Статті

4.6.6E: Експоненціальна та логарифмічна моделі (вправи) - Математика

4.6.6E: Експоненціальна та логарифмічна моделі (вправи) - Математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Розділ 4.6 Вправа

1. Ви йдете до лікаря, і він вводить вам 13 міліграм радіоактивного барвника. Через 12 хвилин у вашій системі залишається 4,75 міліграма барвника. Щоб вийти з кабінету лікаря, ви повинні пройти через детектор випромінювання, не бивши тривоги. Якщо сповіщувач подасть сигнал тривоги, коли у вашій системі більше 2 міліграмів барвника, скільки часу триватиме ваш візит до лікаря, якщо припустити, що вам дали барвник, як тільки ви прибули, і кількість барвника експоненційно розпадається?

2. Ви приймаєте 200 міліграм ліків від головного болю, а через 4 години у вашій системі залишається 120 міліграмів. Якщо ефекти ліків стираються, коли залишається менше 80 міліграмів, коли потрібно буде приймати другу дозу, припускаючи, що кількість ліків у вашій системі експоненційно розпадається?

3. Період напіввиведення Радію-226 становить 1590 років. Якщо зразок спочатку містить 200 мг, скільки міліграмів залишиться через 1000 років?

4. Період напіввиведення фермію-253 становить 3 дні. Якщо зразок спочатку містить 100 мг, скільки міліграмів залишиться через 1 тиждень?

5. Період напіввиведення Ербію-165 становить 10,4 години. Через 24 години зразок все ще містить 2 мг. Якою була початкова маса зразка, і скільки залишиться ще через 3 дні?

6. Період напіввиведення Нобелію-259 становить 58 хвилин. Через 3 години зразок все ще містить 10 мг. Якою була початкова маса зразка, і скільки залишиться ще через 8 годин?

7. Вчений починає з 250 грамів радіоактивної речовини. Через 225 хвилин зразок розпався до 32 грамів. Знайдіть період напіввиведення цієї речовини.

8. Вчений починає з 20 грамів радіоактивної речовини. Через 7 днів зразок розпався до 17 грам. Знайдіть період напіввиведення цієї речовини.

9. Дерев’яний артефакт з археологічних розкопок містить 60 відсотків вуглецю-14, який присутній у живих деревах. Як давно був виготовлений артефакт? (Період напіввиведення вуглецю-14 становить 5730 років.)

10. Дерев’яний артефакт з археологічних розкопок містить 15 відсотків вуглецю-14, який присутній у живих деревах. Як давно був виготовлений артефакт? (Період напіввиведення вуглецю-14 становить 5730 років.)

11. Культура бактерій спочатку містить 1500 бактерій і збільшується вдвічі за кожні півгодини. Знайдіть чисельність популяції через: а) 2 години б) 100 хвилин

12. Культура бактерій спочатку містить 2000 бактерій і збільшується вдвічі за кожні півгодини. Знайдіть чисельність популяції через: а) 3 години б) 80 хвилин

13. Кількість бактерій у культурі становила 800 через 10 хвилин та 1800 через 40 хвилин.

а. Яким був початковий розмір культури?
b. Знайдіть час подвоєння.
c. Знайдіть популяцію через 105 хвилин.
d. Коли населення досягне 11000?

14. Кількість бактерій у культурі становила 600 через 20 хвилин та 2000 через 35 хвилин.

а. Знайдіть популяцію через 170 хвилин.
d. Коли населення досягне 12000?

15. Знайдіть час, необхідний для того, щоб інвестиція подвоїлась у вартості, якщо вона інвестується в рахунок, який сплачує щоквартально 3%.

16. Знайдіть час, необхідний для того, щоб інвестиція подвоїлась у вартості, якщо вона інвестується в рахунок, що сплачує 4%, щомісячно

17. Кількість кристалів, які утворилися після т годин дається (n ліворуч (t праворуч) = 20e ^ {0,013t} ). Скільки часу потрібно, щоб кількість кристалів подвоїлася?

18. Кількість дозволів на будівництво в Паско т років після 1992 приблизно дотримувався рівняння (n зліва (t праворуч) = 400e ^ {0,143t} ). Який час подвоєння?

19. Індику витягують з печі, коли внутрішня температура становить (165 ^ { circ} ) Фаренгейта, і їй дають охолонути в приміщенні (75 ^ { circ} ). Якщо температура індички становить (145 ^ { circ} ) через півгодини,

а. Якою буде температура через 50 хвилин?
b. Скільки часу потрібно, щоб індичка охолола до 110 ( mathrm {{} ^ circ} )?

20. Чашку кави наливають у (190 ^ { circ} ) Фаренгейта і дають їй охолонути в кімнаті (70 ^ { circ} ). Якщо температура кави становить (170 ^ { circ} ) через півгодини,

а. Якою буде температура через 70 хвилин?
b. Скільки часу потрібно, щоб кава охолола до (120 ^ { circ} ) )?

21. Популяція риби в озері з фермами після т років можна було б моделювати рівнянням (P зліва (t праворуч) = dfrac {1000} {1 + 9e ^ {- 0,6t}} ).

а. Накресліть графік цього рівняння.
b. Яка початкова популяція риби?
c. Яким буде населення через 2 роки?
d. Скільки часу потрібно, щоб населення досягло 900?

22. Кількість людей у ​​місті, які після цього чули чутки т днів можна змоделювати рівнянням (N ліворуч (t праворуч) = dfrac {500} {1 + 49e ^ {- 0,7t}} ).

а. Скільки людей пустили чутки?
c. Скільки людей чули чутки через 3 дні?
d. Скільки часу пройде, поки 300 людей не почують чутку?

Знайдіть значення числа, показано на кожній логарифмічній шкалі

23. 24.

25. 26.

Побудуйте графік кожного набору приблизних значень у логарифмічній шкалі.

27. Інтенсивність звуків: Шепіт: (10 ​​^ {- 10} Вт / м ^ {2} ), Вакуум: (10 ​​^ {- 4} Ш / м ^ {2} ), Струмінь: ( 10 ^ {2} Вт / м ^ {2} )

28. Меса: Амеба: (10 ​​^ {- 5} г ), Людина: (10 ​​^ {5} г ), Статуя Свободи: (10 ​​^ {8} г )

29. Землетрус у Сан-Франциско 1906 року був силою 7,9 балів за шкалою MMS. Пізніше стався землетрус силою 4,7 бала, який спричинив лише незначні пошкодження. У скільки разів сильнішим був землетрус у Сан-Франциско, ніж другий?

30. Пізніше стався землетрус силою 6,5 балів, який спричинив менший збиток. У скільки разів сильнішим був землетрус у Сан-Франциско, ніж другий?

31. Один землетрус балом 3 бали за шкалою MMS. Якщо другий землетрус має в 750 разів більше енергії, ніж перший, знайдіть силу другого землетрусу.

32. Один землетрус балом 4 бали за шкалою MMS. Якщо другий землетрус має в 1200 разів більше енергії, ніж перший, знайдіть силу другого землетрусу.

33. За оцінками, колонія дріжджових клітин одночасно містить 10 ({} ^ {6} ) клітин (t = 0 ). Зібравши експериментальні дані в лабораторії, ви вирішуєте, що загальна популяція клітин за час (t ) годин визначається функцією (f left (t right) = 10 ^ {6} e ^ {0.495105t } ). [UW]

а. Скільки клітин присутній через одну годину?

b. Скільки часу потрібно для подвоєння населення ?.

c. Чері, інший співробітник вашої лабораторії, дивиться на ваш ноутбук і каже: «Ця формула помилкова, мої розрахунки передбачають, що формула кількості дріжджових клітин дається функцією. (f ліворуч (t праворуч) = 10 ^ {6} ліворуч (2.042727 праворуч) ^ {0,693147t} ). " Чи вас турбує зауваження Чері?

d. Аня, третій член вашої лабораторії, що працює з тими ж дріжджовими клітинами, зробила ці два виміри: (7,246 раз 10 ^ {6} ) клітини через 4 години; (16.504 разів 10 ^ {6} ) клітинок через 6 годин. Чи вас турбують результати Анжі? Якщо вимірювання Анжі правильні, чи ваша модель перевищує або занижує кількість дріжджових клітин за час (t )?

34. Коли світло з поверхні проникає у воду, його інтенсивність зменшується. У чистих водах Карибського моря інтенсивність зменшується на 15 відсотків на кожні 3 метри глибини. Таким чином, інтенсивність матиме вигляд загальної експоненціальної функції. Якщо інтенсивність світла на поверхні води дорівнює (I_ {0} ), знайдіть формулу для (I (d) ), інтенсивності світла на глибині (d ) метрів. Ваша формула повинна залежати від (I_ {0} ) та (d ).
b. На якій глибині інтенсивність світла зменшиться до 1% інтенсивності його поверхні?

35. Міоглобін і гемоглобін - це молекули, що несуть кисень в організмі людини. Гемоглобін міститься всередині еритроцитів, які надходять з легенів до м’язів через кров. Міоглобін міститься в м’язових клітинах. Функція (Y = M зліва (p праворуч) = dfrac {p} {1 + p} ) обчислює частку міоглобіну, насиченого киснем при заданому тиску (p ) Torrs. Наприклад, при тиску 1 Торр, (М (1) = 0,5 ), що означає, що половина міоглобіну (тобто 50%) насичена киснем. (Примітка: Точніше, вам потрібно використовувати щось, що називається «парціальним тиском», але розрізнення для цієї проблеми не важливо.) Так само функція (Y = H ліва (p права) = dfrac {p ^ {2.8}} {26 ^ {2.8} + p ^ {2.8}} ) обчислює частку гемоглобіну, насиченого киснем при даному тиску (p ). Графіки (M (p) ) та (H (p) ) наведені тут на домені (0 le p le 100 ); який є який?
b. Якщо тиск у легенях становить 100 Торр, який рівень насичення гемоглобіном у легенях киснем?
c. Тиск в активному м’язі становить 20 Торр. Який рівень насичення міоглобіном кисню в активному м’язі? Який рівень гемоглобіну в активному м’язі?
d. Визначте ефективність транспортування кисню при даному тиску (p ), щоб бути (M (p) - H (p) ). Яка ефективність транспортування кисню при 20 Torrs? На 40 торрів? На 60 торрів? Накресліть графік (M (p) - H (p) ); чи існують умови, за яких ефективність транспорту максимізується (поясніть)?

36. Довжина деяких риб моделюється функцією росту фон Берталанфі. Для тихоокеанського палтуса ця функція має вигляд (L ліворуч (t праворуч) = 200 ліворуч (1-0,957e ^ {- 0,18t} праворуч) ) де (L (t) ) - довжина (в сантиметрах) риби т років. Яка довжина новонародженого палтуса при народженні?
b. Використовуйте формулу, щоб оцінити довжину 6-річного палтуса.
c. У якому віці ви очікуєте, що палтус буде довжиною 120 см?
d. Яке практичне (фізичне) значення числа 200 у формулі (L (t) )?

37. Раковій клітині не вистачає нормальної біологічної регуляції росту і вона може постійно ділитися. Припустимо, одна клітина шкіри миші є раковою, і її мітотичний клітинний цикл (час, коли клітина ділиться один раз) становить 20 годин. Кількість комірок у момент часу (t ) зростає відповідно до експоненціальної моделі. Знайдіть формулу (C (t) ) кількості ракових клітин шкіри через (t ) годин.
b. Припустимо, типова клітина шкіри миші має сферичну форму радіуса (50 разів 10 ^ {- 4} ) см. Знайдіть об’єднаний об’єм усіх ракових клітин шкіри через (t ) годин. Коли обсяг ракових клітин буде 1 см ({} ^ {3} )?

38. Корабель вирушив у далеке плавання. На початку плавання у вантажному відсіку корабля було 500 мурах. За тиждень у плаванні було 800 мурах. Припустимо, популяція мурах є експоненціальною функцією часу. Скільки часу зайняло подвоєння населення?
b. Скільки часу зайняло населення втричі?
c. Коли на борту було 10 000 мурах?
d. На борту також постійно зростало населення мурахоїдів. На початку плавання було 17 мурахоїдів, а чисельність мурахоїдів подвоювалася кожні 2,8 тижня. Як довго у плаванні було 200 мурах на мурахоїда?

39. Популяція термітів і павуків у певному будинку зростає в геометричній прогресії. Щодня, коли ви переїжджаєте, в будинку є 100 термітів. Через 4 дні в будинку є 200 термітів. Через три дні після переїзду термітів удвічі більше, ніж павуків. Через вісім днів після заселення термітів було в чотири рази більше, ніж павуків. Скільки часу (у днях) потрібно популяції павуків втричі? [UW]

Відповідь

1. (f (t) = 13 (0,9195) ^ t ). 2 мг залишиться через 22.3098 хвилин

3. (f (t) = 200 (0,999564) ^ t ). (f (1000) = 129,3311 ) мг

5. (r = -0,06448 ). Початкова маса: 9,9018 мг. Через 3 дні: 0,01648 мг

7. (f (t) = 250 (0,9909) ^ t ). Період напіввиведення = 75,8653 хв

9. (f (t) = a (0,999879) ^ t ). 60% (0,60 (a )) залишиться після 4222,813 років

11. (P (t) = 1500 (1,02337) ^ t ) ( (t ) у хвилинах).
Через 2 години = 24000.
Через 100 хвилин = 15119

13. а) 610,5143 (близько 611)
б) 25. 6427 хвилин
в) 10431,21
г). 106,9642 хвилини

15. 23.1914 р

17. 53.319 годин

19. (T (t) =. 90 (0,99166) ^ t + 75 ).
а). 134,212 град
б). 112,743 хвилини

21. а).
б). 100
в). 269,487
г). 7.324 років

23. ( text {журнал} (x) = -0,5. X = 0,3162 )

25. ( text {журнал} (x). = 1,5. X = 31,623 )

27.

29. У 63095,7 разів інтенсивніше

31. Величина MMS 5.817

33. а). близько 1640671
б). 1,4 години
в). Ні, тому що ((2.042727) ^ {0,693147} приблизно e ^ {0,495104} )
г). Дані Анжі прогнозують безперервний темп зростання 0,4116, що набагато менше, ніж 0,495105, який ви розрахували. Наша модель переоцінила б кількість клітин.

35. а) Крива, яка спочатку швидко зростає, дорівнює (M (p) )
б) (Н (100) = 0,9775 )
в) Міоглобін: (М (20) = 0,9524 ). Гемоглобін: (H (20) = 0,3242 )
г) При 20 торрах: 0,6282. При 40 торрах: 0,2060. На 60 тор: 0,0714
Ефективність, здається, максимальна при приблизно 8 торр

37. а) (C (t) = 1,03526 ^ t ), або (C (t) = e ^ {0,03466t} )
б) Обсяг однієї комірки: ( dfrac {4} {3} pi (50 раз 10 ^ {- 4}) ^ 3 приблизно 5,236 раз 10 ^ {- 7} текст {см} ^ 3 ), тому знадобиться приблизно (1,9099 раз 10 ^ {6} ) комірок для обсягу 1 ( текст {см} ^ 3 ). (C (t) = 1,9099 раз 10 ^ 6 ) через 417,3 години

39. 31.699 днів


4.6.6E: Експоненціальна та логарифмічна моделі (вправи) - Математика

1. Популяція стручка афаліс моделюється за допомогою функції [латекс] A ліворуч (t праворуч) = 8 < ліво (1,17 праворуч)> ^ [/ латекс], де т дається в роках. З точністю до цілого числа, якою буде популяція стручків через 3 роки?

2. Знайдіть експоненціальне рівняння, яке проходить через точки (0, 4) та (2, 9).

3. Дрю хоче заощадити 2500 доларів, щоб поїхати на наступний чемпіонат світу. До найближчого долара, скільки йому потрібно буде вкласти на рахунок із 6,25% річних, складаючи щодня, щоб досягти своєї мети за 4 роки?

4. Інвестиційний рахунок було відкрито з початковим депозитом 9600 доларів США та отримує 7,4% відсотків, безперервно покладаючись. Скільки коштуватиме рахунок через 15 років?

5. Нанесіть графік функції [латекс] f вліво (x вправо) = 5 < вліво (0,5 вправо)> ^ <-x> [/ латекс] та її відображення в р-ось на тих самих осях, і дайте р-перехоплення.

6. На графіку показано перетворення графіка [латексу] f ліворуч (x праворуч) = < ліворуч ( frac <1> <2> праворуч)> ^ [/ латекс]. Яке рівняння для перетворення?

7. Перепишіть [латекс] < mathrm> _ <8.5> ліворуч (614.125 праворуч) = [/ латекс] як еквівалентне експоненціальне рівняння.

8. Перепишіть [латекс]^ < frac <1> <2>> = m [/ латекс] як еквівалентне логарифмічне рівняння.

9. Вирішити для х шляхом перетворення логарифмічного рівняння [латекс] log _ < frac <1> <7>> left (x right) = 2 [/ latex] в експоненційну форму.

10. Оцініть [латекс] mathrm ліворуч ( text <10 000 000> праворуч) [/ латекс] без використання калькулятора.

11. Оцініть [латекс] mathrm ліворуч (0,716 праворуч) [/ латекс] за допомогою калькулятора. Округлюємо з точністю до тисячної.

12. Нанесіть графік функції [латекс] g ліворуч (x праворуч) = mathrm ліворуч (12 - 6x праворуч) +3 [/ латекс].

13. Сформулюйте домен, вертикальну асимптоту та кінцеву поведінку функції [латекс] f left (x right) = < mathrm> _ <5> ліворуч (39 - 13x праворуч) +7 [/ латекс].

14. Перепишіть [латекс] mathrm ліворуч (17a cdot 2b праворуч) [/ латекс] як сума.

15. Перепишіть [латекс] < mathrm>_ ліворуч (96 праворуч) - < mathrm>_ ліворуч (8 праворуч) [/ латекс] у компактному вигляді.

17. Використовуйте властивості логарифму для розширення [латекс] mathrm ліворуч (^<3>^ <2> cdot sqrt [3] праворуч) [/ латекс].

18. Ущільніть вираз [латекс] 4 mathrm ліворуч (c праворуч) + mathrm ліворуч (d праворуч) + frac < mathrm ліворуч (a праворуч)> <3> + frac < mathrm ліворуч (b + 3 праворуч)> <3> [/ латекс] до одного логарифму.

19. Перепишіть [латекс] <16> ^ <3x - 5> = 1000 [/ латекс] як логарифм. Потім застосуйте зміну базової формули, щоб вирішити для [латекс] х [/ латекс], використовуючи натуральний журнал. Округлюємо з точністю до тисячної.

20. Розв’яжіть [латекс] < ліворуч ( frac <1> <81> праворуч)> ^ cdot frac <1> <243> = < left ( frac <1> <9> right)> ^ <- 3x - 1> [/ latex] шляхом переписування кожної сторони із загальною основою.

21. Використовуйте логарифми, щоб знайти точне рішення для [латексу] -9^ <10а - 8> -5 = -41 [/ латекс]. Якщо рішення не існує, не пишіть рішення.

22. Знайдіть точне рішення для [латексу] 10^ <4x + 2> + 5 = 56 [/ латекс]. Якщо рішення не існує, не пишіть рішення.

23. Знайдіть точне рішення для [латексу] -5^ <- 4x - 1> -4 = 64 [/ латекс]. Якщо рішення не існує, не пишіть рішення.

24. Знайдіть точне рішення для [латексу] <2> ^= <6> ^ <2x - 1> [/ латекс]. Якщо рішення не існує, не пишіть рішення.

25. Знайдіть точне рішення для [латексу]^ <2x> -^-72 = 0 [/ латекс]. Якщо рішення не існує, не пишіть рішення.

26. Використовуйте визначення логарифму, щоб знайти точне рішення для [латексу] 4 mathrm ліворуч (2n праворуч) -7 = -11 [/ латекс]

27. Використовуйте властивість логарифмів "один на один", щоб знайти точне рішення для [латекс] mathrm ліворуч (4^ <2> -10 праворуч) + mathrm ліворуч (3 праворуч) = mathrm ліворуч (51 праворуч) [/ латекс] Якщо рішення немає, напишіть рішення.

28. Формула вимірювання інтенсивності звуку в децибелах D визначається рівнянням [латекс] D = 10 mathrm ліворуч ( frac<_ <0>> праворуч) [/ латекс], де Я - інтенсивність звуку у ватах на квадратний метр і [латекс]_ <0> = <10> ^ <-12> [/ латекс] - це найнижчий рівень звуку, який може почути пересічна людина. Скільки децибел випромінює рок-концерт з інтенсивністю звуку [латекс] 4,7 cdot <10> ^ <-1> [/ латекс] ват на квадратний метр?

29. Працівник служби радіаційної безпеки працює зі 112 грамами радіоактивної речовини. Через 17 днів зразок розпався до 80 грам. Округливши до п'яти значущих цифр, напишіть експоненціальне рівняння, що представляє цю ситуацію. З точністю до дня, який період напіввиведення цієї речовини?

30. Напишіть формулу, знайдену в попередній вправі, як еквівалентне рівняння з основою [латекс] е [/ латекс]. Виразимо показник степеня до п’яти значущих цифр.

31. Пляшку соди з температурою 71 ° за Фаренгейтом зняли з полиці і помістили в холодильник із внутрішньою температурою 35 ° F. Через десять хвилин внутрішня температура соди становила 63 ° F. Використовуйте закон охолодження Ньютона для напишіть формулу, яка моделює цю ситуацію. З точністю до градуса, якою буде температура соди через одну годину?

32. Популяція середовища існування дикої природи моделюється рівнянням [латекс] P left (t right) = frac <360> <1 + 6,2^ <- 0,35т >> [/ латекс], де т дається в роках. Скільки тварин спочатку було перевезено до місця проживання? Скільки років пройде, перш ніж середовище існування досягне половини своєї потужності?

33. Введіть дані з таблиці нижче в графічний калькулятор і графікуйте отриманий графік розсіювання. Визначте, чи дані таблиці можуть представляти функцію, яка є лінійною, експоненціальною чи логарифмічною.

х f (x)
1 3
2 8.55
3 11.79
4 14.09
5 15.88
6 17.33
7 18.57
8 19.64
9 20.58
10 21.42

34. Популяція озера риб моделюється за допомогою логістичного рівняння [латекс] P left (t right) = frac <16,120> <1 + 25^ <- 0,75т >> [/ латекс], де т - час у роках. Точно до сотої, скільки років знадобиться озеру, щоб досягти 80% своєї пропускної спроможності?

Для наступних вправ використовуйте графічну програму для створення діаграми розсіювання даних, наведених у таблиці. Спостерігайте за формою діаграми розсіювання, щоб визначити, чи найкраще дані описуються експоненціальною, логарифмічною чи логістичною моделлю. Потім використовуйте відповідну функцію регресії, щоб знайти рівняння, яке моделює дані. За потреби округлюйте значення до п'яти знаків після коми.


4.6.6E: Експоненціальна та логарифмічна моделі (вправи) - Математика

Ядерний дослідницький реактор у Центрі ядерних досліджень Нілі в університетському містечку штату Джорджія (кредит: Науково-дослідний інститут штату Джорджія)

Ми вже досліджували деякі основні програми експоненціальної та логарифмічної функцій. У цьому розділі ми більш детально досліджуємо деякі важливі програми, зокрема радіоактивні ізотопи та Закон охолодження Ньютона.

Моделювання експоненціального зростання та занепаду

У реальних додатках нам потрібно моделювати поведінку функції. У математичному моделюванні ми вибираємо звичну загальну функцію зі властивостями, які дозволяють припустити, що вона змоделює реальне явище, яке ми хочемо проаналізувати. У разі швидкого зростання ми можемо вибрати функцію експоненціального зростання:

Вибираючи функцію, яка служить математичною моделлю, ми часто використовуємо точки даних, зібрані шляхом ретельного спостереження та вимірювання, для побудови точок на графіку і сподіваємось, що зможемо розпізнати форму графіка. Графіки експоненціального зростання та занепаду мають виразну форму, як ми можемо бачити у [посилання] та [посилання]. Важливо пам'ятати, що, хоча частини кожного з двох графіків, здається, лежать на х-ось, вони насправді крихітна відстань вище х-вісь.

Графік, що показує експоненціальне зростання. Рівняння дорівнює y = 2 e 3 x. y = 2 e 3 x. Графік, що показує експоненціальний розпад. Рівняння дорівнює y = 3 e & # 8722 2 x. y = 3 e & # 8722 2 x.

Експоненціальне зростання та занепад часто включає дуже великі або дуже малі цифри. Для опису цих чисел ми часто використовуємо порядки величини. Порядок величини - це сила десяти, коли число виражається в наукових позначеннях, з однією цифрою ліворуч від десяткової коми. Наприклад, відстань до найближчої зірки, Проксими Центавра, вимірювана в кілометрах, становить 40 113 497 200 000 кілометрів. Виражене в наукових позначеннях, це 4.01134972 & # 8201 & # 215 & # 8201 10 13. 4.01134972 & # 8201 & # 215 & # 8201 10 13. Отже, ми могли б описати це число як порядок 10 13. 10 13.

Експоненціальна функція у вигляді y = A 0 e k t y = A 0 e k t має такі характеристики:

Популяція бактерій подвоюється щогодини. Якщо культуру розпочали з 10 бактерій, графікуйте популяцію як функцію часу.

Графік y = 10 e (ln 2) t y = 10 e (ln 2) t

Півжиття

Тепер ми звернемося до експоненціального занепаду. Як було зазначено вище, одним із поширених термінів, пов'язаних з експоненціальним розпадом, є півжиття, тривалість часу, необхідного експоненціально занепадаючій величині, зменшиться до половини початкової суми. Кожен радіоактивний ізотоп має період напіврозпаду, і процес опису експоненціального розпаду ізотопу називається радіоактивним розпадом.

Щоб знайти період напіввиведення функції, що описує експоненціальний розпад, вирішіть таке рівняння:

Ми виявили, що період напіввиведення залежить лише від константи k k, а не від початкової величини A 0. A 0.

Формула виведена наступним чином

Враховуючи період напіввиведення, знайдіть швидкість розпаду.

Примітка: Також можна знайти швидкість розпаду за допомогою k = & # 8722 ln (2) t. k = & # 8722 ln (2) t.

Період напіввиведення вуглецю-14 становить 5730 років. Виразіть кількість вуглецю-14, що залишився як функція часу, т. т.

Ця формула виведена наступним чином.

Період напіввиведення плутонію-244 становить 80 000 000 років. Функція пошуку дає кількість вуглецю-14, що залишається як функція часу, виміряна роками.

Радіовуглецеві знайомства

Формула радіоактивного розпаду важлива для радіовуглецевого датування, яке використовується для обчислення приблизної дати загибелі рослини чи тварини. Радіовуглецеві датування було відкрито в 1949 році Віллардом Ліббі, який за своє відкриття отримав Нобелівську премію. Він порівнює різницю між співвідношенням двох ізотопів вуглецю в органічному артефакті або скам’янілості та співвідношенням цих двох ізотопів у повітрі. Вважається, що він є точним з похибкою близько 1% для рослин або тварин, які загинули протягом останніх 60 000 років.

Вуглець-14 - це радіоактивний ізотоп вуглецю, період напіввиведення якого становить 5 730 років. Це відбувається в невеликих кількостях в діоксиді вуглецю в повітрі, яким ми дихаємо. Більша частина вуглецю на Землі - це вуглець-12, який має атомну масу 12 і не є радіоактивним. Вчені визначали співвідношення вуглецю-14 до вуглецю-12 у повітрі за останні 60 000 років, використовуючи кільця дерев та інші органічні зразки відомих дат & # 8212 хоча це співвідношення дещо змінювалось протягом століть.

Поки рослина або тварина живі, співвідношення двох ізотопів вуглецю в її тілі наближається до співвідношення в атмосфері. Коли він гине, вуглець-14 в його організмі розпадається і не замінюється. Порівнюючи відношення вуглецю-14 до вуглецю-12 у розкладанні зразка до відомого співвідношення в атмосфері, можна наблизити дату загибелі рослини чи тварини.

Оскільки період напіввиведення вуглецю-14 становить 5730 років, формула кількості вуглецю-14, що залишається через t t років, дорівнює

Ця формула виведена таким чином:

Щоб знайти вік об’єкта, вирішимо це рівняння для t: t:

Враховуючи відсоток вуглецю-14 в об’єкті, визначте його вік.

Виявлено фрагмент кістки, який містить 20% вихідного вуглецю-14. До найближчого року, скільки років кістці?

Кістковий фрагмент віку близько 13 301 років.

Прилади, що вимірюють відсоток вуглецю-14, надзвичайно чутливі, і, як ми вже згадували вище, вченому потрібно буде зробити набагато більше роботи, ніж ми, щоб бути задоволеним. Незважаючи на це, датування вуглецю дорівнює лише приблизно 1%, тому цей вік слід вказувати як & # 8201 13,301 & # 160years & # 177 1% & # 160or & # 16013,301 & # 160years & # 177 133 & # 160years. & # 8201 13,301 & # 160років & # 177 1% & # 160або & # 16013,301 & # 160років & # 177 133 & # 160років.

Час напіввиведення цезію-137 становить близько 30 років. Якщо ми почнемо з 200 мг цезію-137, чи знадобиться більше або менше 230 років, поки не залишиться лише 1 міліграм?

менше 230 років, точніше 229.3157

Обчислення часу подвоєння

Для величин, що розпадаються, ми визначили, скільки часу потрібно, щоб половина речовини розпалася. Щодо зростаючих кількостей, ми можемо захотіти з’ясувати, скільки часу потрібно, щоб кількість подвоїлася. Як ми вже згадували вище, час, необхідний для подвоєння кількості, називається часом подвоєння.

Формула виводиться таким чином:

Таким чином, час подвоєння становить

Відповідно до закону Мура & # 8217s, час подвоєння кількості транзисторів, які можна поставити на комп'ютерну мікросхему, становить приблизно два роки. Дайте функцію, яка описує цю поведінку.

Формула виводиться таким чином:

Функція & # 8201 A = A 0 e ln 2 2 t. & # 8201 A = A 0 e ln 2 2 t.

Останні дані свідчать про те, що станом на 2013 рік темпи зростання, передбачені законом Мура, більше не виконуються. Зростання сповільнився до часу подвоєння приблизно до трьох років. Знайдіть нову функцію, яка враховує довший час подвоєння.

Використання закону Ньютона & # 8217s охолодження

Експоненціальний спад також можна застосувати до температури. Коли гарячий предмет залишається в навколишньому повітрі з більш низькою температурою, температура об'єкта буде знижуватися в геометричній прогресії, вирівнюючись, наближаючись до температури навколишнього повітря. На графіку температурної функції вирівнювання буде відповідати горизонтальній асимптоті при температурі навколишнього повітря. Якщо кімнатна температура не дорівнює нулю, це буде відповідати вертикальному зсуву загальної експоненціальної функції спаду. Цей переклад призводить до Закону охолодження Ньютона & # 8217s, наукової формули температури як функції часу як об'єкта & # 8217s - температура вирівнюється з температурою навколишнього середовища

Ця формула виведена таким чином:

Враховуючи набір умов, застосовуйте Закон Ньютона & # 8217s про охолодження.

Оскільки температура навколишнього повітря в холодильнику становить 35 градусів, температура чізкейку буде експоненціально падати до 35, дотримуючись рівняння

Ми знаємо, що початкова температура була 165, тому & # 8201 T (0) = 1 6 5. & # 8201 T (0) = 1 6 5.

Це дає нам рівняння для охолодження сирника: & # 8201 T (t) = 1 3 0 e & # 8211 0. 0 1 2 3 т + 3 5. & # 8201 T (t) = 1 3 0 e & # 8211 0. 0 1 2 3 т + 3 5.

Тепер ми можемо вирішити час, який знадобиться для охолодження температури до 70 градусів.

Для того, щоб сирник охолонув до & # 8201 70 & # 176F, знадобиться приблизно 107 хвилин або одна година 47 хвилин. & # 8201 70 & # 176F.

Глечик з водою при температурі 40 градусів за Фаренгейтом розміщують у кімнаті на 70 градусів. Через годину температура піднялася до 45 градусів. Скільки часу знадобиться для підвищення температури до 60 градусів?

Використання моделей логістичного зростання

Експоненціальне зростання не може тривати вічно. Експоненціальні моделі, хоча вони можуть бути корисними в короткостроковій перспективі, як правило, руйнуються, чим довше вони продовжуються. Подумайте про письменницю-початківцю, яка пише перший рядок у перший день і планує подвоїти кількість рядків, які вона пише щодня протягом місяця. До кінця місяця вона повинна написати понад 17 мільярдів рядків або півмільярда сторінок. Непрактично, а то й неможливо, щоб хтось писав стільки за такий короткий проміжок часу. Зрештою, експоненціальна модель повинна почати наближатися до якогось граничного значення, і тоді зростання змушений сповільнюватися. З цієї причини часто краще використовувати модель із верхньою межею замість моделі експоненціального зростання, хоча модель експоненціального зростання все ще корисна протягом короткого періоду, перш ніж наближатись до граничного значення.

Модель логістичного зростання спочатку приблизно експоненціальна, але вона має знижений темп зростання, оскільки випуск наближається до верхньої межі моделі, яка називається несучою здатністю. Для констант a, b, a, b та c, c логістичний приріст сукупності з плином часу & # 8201 x & # 8201 & # 8201 x & # 8201 представлений моделлю

Графік [посилання] показує, як темпи зростання змінюються з часом. Графік збільшується зліва направо, але швидкість зростання збільшується лише до тих пір, поки не досягне точки максимального темпу зростання, в цей момент швидкість приросту зменшується.

Модель логістичного зростання така

Епідемія грипу поширюється серед населення швидко, із швидкістю, яка залежить від двох факторів: Чим більше людей страждає на грип, тим швидше він розповсюджується, а також чим більше неінфікованих людей, тим швидше він поширюється. Ці два фактори роблять логістичну модель вдалою для вивчення розповсюдження інфекційних хвороб. І, зрозуміло, існує максимальне значення кількості заражених людей: все населення.

Ми підставляємо дані в модель логістичного зростання

Пам'ятайте, що, оскільки ми маємо справу з вірусом, ми не можемо з упевненістю передбачити кількість заражених людей. Модель лише наближує кількість заражених людей і не дає нам точних або фактичних значень.

Графік [посилання] дає хорошу картину того, як ця модель відповідає даним.

Графік & # 8201 f (x) = 1000 1 + 999 e & # 8722 0.6030 x & # 8201 f (x) = 1000 1 + 999 e & # 8722 0.6030 x

За допомогою моделі у [посилання] оцініть кількість випадків грипу на 15 день.

Вибір відповідної моделі даних

Тепер, коли ми обговорили різні математичні моделі, нам потрібно навчитися вибирати відповідну модель для вихідних даних, які ми маємо. На вибір математичної моделі впливає багато факторів, серед яких досвід, наукові закони та закономірності в самих даних. Не всі дані можна описати елементарними функціями. Іноді вибирається функція, яка апроксимує дані за заданий інтервал. Наприклад, припустимо, що були зібрані дані про кількість будинків, куплених у Сполучених Штатах з 1960 по 2013 рік. Після побудови цих даних в розподіленому графіку, ми помічаємо, що форма даних з 2000 по 2013 роки відповідає логарифмічній крива. Ми можемо обмежити інтервал з 2000 по 2010 рік, застосувати регресійний аналіз, використовуючи логарифмічну модель, і використовувати його для прогнозування кількості покупців житла на 2015 рік.

Три типи функцій, які часто корисні в математичних моделях, - це лінійні функції, експоненційні функції та логарифмічні функції. Якщо дані лежать на прямій лінії або, здається, лежать приблизно вздовж прямої лінії, лінійна модель може бути найкращою. Якщо дані нелінійні, ми часто розглядаємо експоненційну або логарифмічну модель, хоча інші моделі, такі як квадратичні моделі, також можуть розглядатися.

Вибираючи між експоненціальною моделлю та логарифмічною моделлю, ми розглядаємо спосіб кривих даних. Це називається увігнутістю. Якщо ми проведемо лінію між двома точками даних, і всі (або більшість) даних між цими двома точками лежать над цією лінією, ми говоримо, що крива увігнута вниз. Ми можемо сприймати це як чашу, яка нахиляється вниз і тому не може утримувати воду. Якщо всі (або більшість) даних між цими двома точками лежать нижче лінії, ми говоримо, що крива увігнута вгору. У цьому випадку ми можемо подумати про чашу, яка нахиляється вгору і тому може утримувати воду. An exponential curve, whether rising or falling, whether representing growth or decay, is always concave up away from its horizontal asymptote. A logarithmic curve is always concave away from its vertical asymptote. In the case of positive data, which is the most common case, an exponential curve is always concave up, and a logarithmic curve always concave down.

A logistic curve changes concavity. It starts out concave up and then changes to concave down beyond a certain point, called a point of inflection.

After using the graph to help us choose a type of function to use as a model, we substitute points, and solve to find the parameters. We reduce round-off error by choosing points as far apart as possible.

Does a linear, exponential, logarithmic, or logistic model best fit the values listed in [link]? Find the model, and use a graph to check your choice.

First, plot the data on a graph as in [link]. For the purpose of graphing, round the data to two significant digits.

To check the accuracy of the model, we graph the function together with the given points as in [link].

We can conclude that the model is a good fit to the data.

Does a linear, exponential, or logarithmic model best fit the data in [link]? Find the model.


Exponential and Logarithmic Functions

•Definition of function composition and associated notation
•Finding function compositions
•Finding the domain of a function composition
•Finding the components of a composite function

One-to-one functions inverse functions

•Definition of the inverse of a function
•Definition of a one-to-one function
•Horizontal line test
•One-to-one functions and increasing or decreasing behavior
•Definition of an inverse function and associated notation
•Domain of f (x) equals range of and range of f (x) equals domain of
• and
•The graph of a function and its inverse are symmetric over the line y =x
•Procedure for finding the inverse of a one-to-one function

• Laws of exponents
•Definition of exponential function
•Graphing exponential functions
• Properties of exponential function
o Domain = all reals range = all positive reals
o No x- intercepts y-intercept = 1
o x-axis is a horizontal asymptote
o Is a one-to-one function
o For a>1, is an increasing function
o For 0<a<1, is a decreasing function
o Graph is smooth and continuous
•Definition of the number e
•Definition of the natural exponential function
• Solving exponential equations by making bases the same

•Definition of the logarithmic function to the base a,
• if and only if
• Converting from log form equation to exponential form equation, or vice versa
•Finding exact values of log expressions
•Graphing log functions
•Properties of log function
o Domain = all positive reals range = all reals
o No y- intercepts x-intercept = 1
o y-axis is a vertical asymptote
o Is a one-to-one function
o For a>1, is an increasing function
o For 0<a<1, is a decreasing function
o Graph is smooth and continuous
•Definition of and notation for the natural log function,
•Definition of and notation for the common log function,
•Solving log equations by converting to exponential form
•Using logs to solve exponential equations


•Properties of logs: For M, N > 0,

• Expanding single logs using properties of logs
• Combining log expressions into a single log using properties of logs
•Change-of- base formula
•Approximating logs using the change -of-base formula and a calculator

Logarithmic and exponential equations

•Solving log equations – convert to exponential form
•Exponential equations – take the log of both sides

Exponential growth & decay Newton’s Law logistic growth and decay models

•Exponential growth and decay models
•Population growth (bacteria, country populations, etc.)
•Radioactive decay (half-life, carbon-14 dating, etc.)
•Newton’s Law of Cooling
•Logistic growth models

Оглядові вправи
Chapter 5 Review Exercises: p. 336-9, 1-89, 93-97 odd


4.6.6E: Exponential and Logarithmic Models (Exercises) - Mathematics

For problems 1 – 12 find all the solutions to the given equation. If there is no solution to the equation clearly explain why.

  1. (12 - 4<<f>^<7 + 3,x>> = 7) Solution
  2. (1 = 10 - 3<<f>^<> - 2,z>>) Solution
  3. (2t - t<<f>^<6,t - 1>> = 0) Solution
  4. (4x + 1 = left( <12x + 3> ight)<<f>^ <- 2>>) Solution
  5. (2<<f>^<3,y + 8>> - 11<<f>^<5 - 10,y>> = 0) Solution
  6. (14<<f>^<6 - x>> + <<f>^<12x - 7>> = 0) Solution
  7. (displaystyle 1 - 8ln left( ><7>> ight) = 14) Solution
  8. (ln left( ight) = 1 + ln left( <3y + 2> ight)) Solution
  9. (log left( w ight) + log left( ight) = 2) Solution
  10. (2log left( z ight) - log left( <7z - 1> ight) = 0) Solution
  11. (16 = <17^> + 11) Solution
  12. (<2^<3 - 8w>> - 7 = 11) Solution

Compound Interest. If we put (P) dollars into an account that earns interest at a rate of (r) (written as a decimal as opposed to the standard percent) for (t) years then,

    if interest is compounded (m) times per year we will have, [A = P> ight)^>]

  1. We have $10,000 to invest for 44 months. How much money will we have if we put the money into an account that has an annual interest rate of 5.5% and interest is compounded
    1. quarterly
    2. monthly
    3. continuously
    1. quarterly
    2. monthly
    3. continuously

    Exponential Growth/Decay. Many quantities in the world can be modeled (at least for a short time) by the exponential growth/decay equation.

    If (k) is positive we will get exponential growth and if (k) is negative we will get exponential decay.


    Exponential functions and Logarithms - A level AS Mathematics

    I teach sixth form maths students so most of my resources are aimed at A level maths. I have recently updated my resources to cover the new A level maths syllabus and I have produced PowerPoints that fully cover all of the new A level maths course. I also use a large a large amount of Notebook presentations because they are more flexible that PowerPoint. I have put a free resource on for you to try to show how the presentations work you can open it online using SMART Notebook Express website.

    Share this

    pptx, 851.82 KB pptx, 735.55 KB docx, 41.93 KB

    These PowerPoints form full lessons of work that together cover the new A level Maths course for all exam boards. Together all the PowerPoints include
    A complete set of notes for students
    Model examples
    Probing questions to test understanding
    Class questions including answers
    Individual whiteboard work
    Links to exercises in ‘The Textbook by CGP’ these can easily be edited for your textbook
    The PowerPoints can be used in the lesson and also given to students that have missed a lesson
    I have added ‘AS level maths 13 – Circles’ for free download

    Exponential functions and logarithms covers

    • Know and use the function a^x and its graph, where a is positive
    • Know and use the function e^x and its graph
    • Know that the gradient of e^kx is equal to ke^kx and hence understand why the exponential model is suitable in many applications
    • Know and use the definition of logax as the inverse of a^x where a is positive and x≥0
    • Know and use the function ln x and its graph
    • Know and use ln x as the inverse function of e^x
    • Understand and use the laws of logarithms
    • Solve equations of the form a^x=b
    • Use logarithmic graphs to estimate parameters in relationships of the form y=ax^n and y=kb^x , given data for x and y
    • Understand and use exponential growth and decay
    • Use in modelling (examples may include the use of e in continuous compound interest, radioactive decay, drug concentration decay, exponential growth as a model for population growth)
    • Consideration of limitations and refinements of exponential models

    Get this resource as part of a bundle and save up to 26%

    A bundle is a package of resources grouped together to teach a particular topic, or a series of lessons, in one place.

    A level AS Mathematics All Pure Content

    These PowerPoints form full lessons of work that together cover the new A level Maths course for all exam boards. Together all the PowerPoints include • A complete set of notes for students • Model examples • Probing questions to test understanding • Class questions including answers • Individual whiteboard work • Links to exercises in ‘The Textbook by CGP’ these can easily be edited for your textbook The PowerPoints can be used in the lesson and also given to students that have missed a lesson I have added ‘AS level maths 13 – Circles’ for free download


    Algebra - Solving exponential & logarithmic functions

    Exercise 3.1
    25 Continuous Compounding If $8000 is invested for t years at 8% interest compounded continuously, the future value is given by S=8000e0.08t dollars.
    а. Graph this function for 0< t < 15.
    b. Use the graph to estimate when the future value will be $20,000.

    27. Radioactive Decay The amount of radioactive isotope thorium-234 present at time t is given by A (t) =500e¯0.02828t grams, where t is the time in years that the isotope decays. The initial amount present is 500 grams.
    а. How many grams remain after 10 years?
    b. Graph this function for 0< t < 100.
    c. If the half-life is the time it takes for half of the initial amount to decay, use graphical method to estimate the half-life of this isotope.

    35. Population The population is a certain city was 53,000 in 2000, and it future size is predicted to be P (t) =53,000e0.015t people, where t is the number of years after 2000.
    а. Does this model indicate that the population is increasing or decreasing?
    b. Use this function to estimate the population of the city 2005.
    c. Use this function to predict the population of the city in 2010.
    d. What is the average rate of growth between 2000 and 2010?

    37. Carbon-14 Dating An exponential decay function can be used to model the number of grams of a radioactive material that remain after a period of time. Carbon-14 decays over time, with the amount remaining after t years given by y=100e¯0.00012378t if 100 grams is the original amount.
    а. How much remains after 1000 years?
    b. Use graphical methods to estimate the number of years until 10 grams of carbon-14 remain.

    39. Normal Curve The 'curve' on which many students like to be graded is the bell-shaped normal curve. The equation y=1__ e - (x-50)²/2 describe the normal curve for a standardized
    V¯2П¯
    test, where x is the test score before curving.
    а. Graph this function for x between 47 and 53 and for y between 0 and 0.5.
    b. The average score for the test is the score that gives the largest output y. use the graph to find the average score.

    Exercise 3.2
    43. Life Span On the basic of data for the years 1910 through 1998, the expected life span of people in the United State can be described by the function f(x)=12.734 In x+17.875 years, where x is the number of years from 1900 to the person's birth year.
    а. What does this model estimate the life span to be for people born in 1925? In 1996? (Give each answer to the nearest year.)
    b. Explain why these number are so different.

    51. Suppose the weekly cost for the production of x units of a product is given by
    C(x) =3452 + 50 In(x+1) dollars. Use graphical methods to estimate the number of units produced if the total cost is $3556.

    Exercise 3.3
    53. Snapple Beverage Revenues Prior to the November 1994$1.7 billion takeover proposal by Quaker Oats. Snapple Beverage Corporation's revenues were given by the function
    B (t) =1.337e0.718t million dollars, where t is the number of years after 1985.
    а. According to the model, what was Snapple's 1995 revenue?
    b. If the revenue continued to increase as described by this model, when did it reach $3599 millions?

    55. Purchasing Power The purchasing power (real value of money) decreases if inflation is present in the economy. For example, the purchasing power of $40,000 after t year of 5% inflation is given by the model.

    How long will it take value of a $40,000 pension to have a purchasing power of $20,000 under 5% inflation?

    61. Doubling Time The number of quarters needed to double an investment when a lump sum is invested at 8% compounded quarters is given by n=log1.02 2.
    а. Use the change of base formula to find n.
    b. In how many years will the investment double?

    67. Radioactive Decay The amount of radioactive isotope thorium-234 percent in a certain sample at time t is given by A(t)=500e¯0.02828t grams, where t years is the time since the initial amount was measured.
    а. Find the initial amount of the isotope that percent in the sample.
    b. Find the half-life of this isotope. That is, find the number of years until half of the original amount of the isotope remains.

    Exercise3.4
    17. World Population The following table gives the world population for selected years from 1650 to 2001.
    а. Create an exponential function that models these data, with x representing the years after 1600 and y the population in millions. Round the model to four-decimal-place accuracy.
    b. Graph the data and the exponential function that model the data on the same axes with window [0,402] by [0, 6500].

    Year Population(millions) Year Population(millions)
    1650 503 1950 2406
    1750 711 1996 5771
    1800 913 1999 6000
    1850 1131 2001 6200
    1900 1590

    23. Life Span The table below gives the life expectancy for the people in the United State for the birth years 1910-1998.
    а. Find the logarithmic function that models these data, with x equal to 0 in 1900.
    b. Find the quadratic function that is the best fit for the date. Round the quadratic coefficient to five decimal places.
    c. Graph each of these functions on the same axes with the data points to determine visually which function is the best model for the data for the years 1910-1998.
    d. Evaluate both models for the birth year 2010. Which model is better for prediction of life span after 2010?

    25. Sexually Active Girls The percent of girls age x or younger who have been sexually active is given in the table below.
    а. Create a logarithmic function that models the data, using an input equal to the age of the girls.
    b. Use the model to estimate the percent for the girls age 17 or younger who have been sexually active.
    c. Find the quadratic function that is the best fit for the data.
    d. Graph each of these functions on the same axes with data points to determine which function is the better model for the data.

    Age Cumulative percent Sexually Active Girls Cumulative percent Sexually Active Boys
    15 5.4 16.6
    16 12.6 28.7
    17 27.1 47.9
    18 44.0 64.0
    19 62.9 77.6
    20 73.6 83.0

    Exercise 3.5
    15. Future Value If $8800 is invested for x years at 8% interest compounded annually, find the future value that result in
    а. 8 years
    b. 30 years

    29. Doubling time Use a spreadsheet, a table, or a graph to estimate how long it takes for an investment to double if it is invested at 10% interest.
    а. Compounded annually.
    b. Compounded continuously.

    35. Doubling Time If the money is invested at 10% interest compounded quarterly, the future value of the investment doubles approximately every 7 years.
    а. Use this information to complete the table below for an investment of $1000 at 10% interest compounded quarterly.
    b. Create an exponential function, around to three decimal places, that models the discrete function defined by the table.
    c. Because the interest is compounded quarterly, this model must be interpreted discretely. Use the rounded function to find the value of the investment in 5 years and in 10½ years after the money was invested.
    Year 0 7 14 21 28
    Future Value($) 1000

    Exercise 3.6
    9. College Tuition New parent want to put a lump sum into a money market fund to provide $300,000 in 18 years, to help pay for college tuition for their child. If the fund average 10% per year compounded monthly, how many should they invest?

    17. Business Sale A man can sell his Thrifty Electronics business for $800,000 cash or for $100,000 plus $122,000 at the end of each year for 9 years.
    а. Find the present value of the annuity that is offered if money is worth 10% compounded annually.
    b. If he takes the $800,000, spends $100,000 of it, and invests the rest in a 9-year annuity at 10% compounded annually, what size annuity payment will he receive at the end of each year?
    c. Which is better, taking the $100,000 and the annuity of taking the cash settlement? Discuss the advantage of your choice.

    21. Loan Repayment A loan of $10,000 is to be amortized with quarterly payments over 4 years. If the interest on the loan is 8% per year, paid on the unpaid balance,
    а. What is the interest rate charged each quarter on the unpaid balance?
    b. How many payments are made to repay the loan?
    c. What payment is required each quarterly to amortize the loan?

    23. Home Mortgage A couple who wants to purchase a home with a price of $350,000 has $100,000 for a down payment. If they can get a 30-year mortgage at 6% per year on the unpaid balance,
    а. What will be their monthly payment?
    b. What is the total amount they will pay before they own the house outright?
    c. How much interest will they pay over the life of the loan?

    Esercise3.7
    11. Sexually Active Boys The percent of boys between ages 15 and 20 that been sexually active at some time (the cumulative percent) can be modeled by the logistic function

    Y = 89.786_______
    1 + 4.6531e - 0.8256x

    Where t is the number of years after age 15.
    а. Graph this function for 0 < x < 5.
    b. What does the model estimate the cumulative percent to be for boys whose age is 16?
    c. What cumulative percent does the model estimate for boys of age 21, if it is valid after age 20?
    d. What is the limiting value implied by this model?

    23. Spread of Disease An employee brings a contagious disease to an office with 150 employees. The number of employees infected by the disease t days after the employees are first exposed to it is given by

    Use graphical or numerical methods to find the number of days until 99 employees have been infected.

    © BrainMass Inc. brainmass.com March 4, 2021, 9:43 pm ad1c9bdddf
    https://brainmass.com/math/basic-algebra/algebra-solving-exponential-logarithmic-functions-267226

    Вкладення

    Solution Preview

    Exercise 3.5
    15. Future Value If $8800 is invested for x years at 8% interest compounded annually, find the future value that result in
    а. 8 years
    b. 30 years

    (a) FV = PV * (1 + r/100n)^(nt)
    FV = 8800 (1 + 8/100 * 1)^(1 * 8) = $16288.19
    (b) FV = 8800 (1 + 8/100 * 1)^(1 * 30) = $88551.38

    29. Doubling time Use a spreadsheet, a table, or a graph to estimate how long it takes for an investment to double if it is invested at 10% interest.
    а. Compounded .

    Solution Summary

    The expert solves exponential and logarithmic functions. A complete, neat and step-by-step solutions are provided in the attached file.


    Exponential and Logarithmic Functions

    The exponential models describe the population of the indicated country, A, in millions, t years after 2003. Use these models to solve 2,4 and 6.

    2. What was the population of Iraq in 2003?

    4. Which country has a decreasing population? By what
    percentage is the population of that country decreasing
    each year?

    6. When will India's population be 1416 million?

    About the size of New Jersey, Israel has seen its population soar to
    more than 6 million since it was established. With the help of US.
    aid, the country now has a diversified economy rivaling those of
    other developed Western nations. By contrast, the Palestinians, living
    under Israeli occupation and a corrupt regime, endure bleak condi-
    tions. The graphs show that by 2050, Palestinians in the West Bank,
    Gaza Strip, and East Jerusalem will outnumber Israelis. Вправи
    7?8, involve the projected growth of these two populations.

    8. a. In 2000, the population of the Palestinians in the West
    Bank, Gaza Strip, and East Jerusalem was approximately
    3.2 million and by 2050 it is projected to grow to 12 mil-
    lion. Use the exponential growth model A = A0ekt, in
    which t is the number of years after 2000, to find the expo-
    nential growth function that models the data.

    b. In which year will the Palestinian population be 9 million?

    An artifact originally had 16 grams of carbon-14 present. The decay model A = 16e ^-0.000121t describes the amount of carbon-14 present after t years. Use this model to solve 10.

    10. How many grams of carbon-14 will be present in 11,430 years?

    12. The half-life of the radioactive element plutonium-239 is
    25,000 years. If 16 grams of plutonium-239 are initially
    present, how many grams are present after 25,000 years?
    50,000 years? 75,000 years? 100,000 years? 125,000 years?

    Use the exponential decay mode/for carbon-14, A = A 0 e^ -0.000121t
    to solve Exercises 13?14.

    14. Skeletons were found at a construction site in San Francisco
    in 1989. The skeletons contained 88% of the expected
    amount of carbon-14 found in a living person. In 1989 how
    old were the skeletons?

    16. A bird species in danger of extinction has a population that is
    decreasing exponentially (A = Aoekt). Five years ago the
    population was at 1400 and today only 1000 of the birds are
    alive. Once the population drops below 100, the situation will
    be irreversible. When will this happen?

    18. Use the exponential growth model, A = Aoekt, to show that
    the time it takes a population to triple (to grow from A= Aoe^kt) is given by t = In 3
    k

    Use the formula t = In 2 that gives the time for a population with
    k
    a growth rate k to double to solve Exercises 19?20. Express each
    answer to the nearest whole year.

    20. The growth model A = lO4.9e^0.017t describes Mexico's population, A, in millions, t years after 2003.
    а. What is Mexico's growth rate?
    b. How long will it take Mexico to double its population?


    The natural log of values of looking at the graphs of exponential to form

    The form is worth pointing out that you do questions, but it measures the file name of forms. Write a dashed line and sketching its graph of forms of intersections with javascript enabled there. Please use the questions directly join your quizzes or function can be freely distributed under the teams with no updates. The logarithm of forms of positive real numbers having common and determine the nearest hundredth where the form and the formula to exponential relationships? Thank you want to exponential forms are equal, exponentiation can be raised to find what do. When interest rate is called taking the richter scale should agree that the x increases or debian mantainers? This form can use a calculator, exponentiation occurs when the middle to let us to convert exponentials and determine the given. In the inverse function is that compound growth in the graph such equations involving exponents, or why or the exponent k to. To exponential forms and exponentials and we have obtained on, exponentiation result of composing these transistors, it with google classroom account to. If we cannot change the form. What resource for exponential and exponentials using a password was used much clearer on sliding scales. Your team can we have joined yet learned as you control and one function in this set has certain that should you? Check this on the experimental scatter should be assigned: the custom themes and useful in the reverse. Mathway site and graph is the development of forms? If you how did you can be deleted your own pace, exponentiation is by? Note the exponential equation in years after you can be isolated on google search is an exact answer the previous version if you have made by? Our change in magnitude on to be able to. Original figure out yourself first write a particle moving on linear axes below so thank you can convert exponentials and practice solving equations to both. In the form to me first game was stolen from external sources are more complicated exponential forms which it is not necessarily unwieldy. Convert this option but it necessary or asynchronously with that number. Calculate how high accuracy of exponentiation result in damages be found from graphs of flu virus can apply for? What form by exponential forms are you sure you can use a new strain of exponentiation is negative. The initial conditions result. The form to teachers for a logarithmic forms are included in! In the ideal gas law constant amount to solve each unit on the number is available in on one to write the game from your new eu regulations. Identify and logarithmic form is unpublished changes by them in le they contain any logarithm definition and simplify the exponentiation can we use. In which case, affordable learning solutions can we are two seemingly more than a calculator to find density and growth model based on a question? The analysis of forms are marked as many of the graph represents the function of functions and exponentials using logarithmic equation! How long will also serve another. It is exponential function and exponentials and the ratio between the following exercises, it will stop working with similarly, such that involves a bone tool to. These forms in exponential form is a product rule is widely credited for? Expand logarithms to exponential forms. Remove any base of form of the previous version if this is displayed in the values for calculating interest more on the variable. This session has been deleted from applying a different ways to approximate the exact and graphs of birth of logarithms to ga if you. It is these values in some of this section could not. These are you may be prompted to an exponential function. Round to exponential forms in the next month, on the inverse of a game has expired due to the exponentiation occurs in order to. The laws of times to be sure you sure you convert from exponential increase will be even some of logarithms also remove this skill. Solve some groups for disease control the game or function here are the current active element in the same process is these logarithms and powers using an invalid. This is not a single person to graph of forms are a logarithmic function, and exponentials and the use lessons to end the logarithm depends on some times more. Emphasise that logarithms will stop working. This video and add quiz below to an exponential function to its equivalent logarithmic form and then? How we explore the result of the base of base is very large range of the values of each of a desktop. In a scale that true statement is how to play another way go back to share it is correct option and exponentials and procedures as you? They are really useful strategy to exponential forms, my game code will you want to access and exponentials and wishes to. Its inverse properties of logarithms of situation in your results, you temporary access to determine which case, at their account. Any number can now use logarithmic functions. Then approximate our chart, selecting a graphing method for teachers for more steps for your own pace, we were made while duplicating! This form of logarithms to in which is evaluated without players currently selected notes will automatically renew each equation, also include the quizizz! Students log of exponential relationships being multiplied by class and exponentials using a loading icon on mobile phones. What form can be able to exponential forms. Each exponential form to prevent this table lists common logarithms and exponentials in some times can. It is exponential function, logarithms are equal to delete this online resource for additional instruction and exponentials and reports are at least one uses the material. In logarithmic form from the logarithm of earthquakes, y is a linear relationship between density versus temperature from exponential form to use a power. Using a few quick illustrations on a valid? Students to obtain the natural logarithm, we follow very hard to solve the number for that, you sure you find or convenient to. John napier is exponential form of logarithms follow along that you? Apply for an equation is not covered in order to form can click it may be? We have joined yet proved that you want to a variable we begin by itself, skip to liquids? We are no players out of forms, or with some of an equation with themselves? No players to the variables which the answer makes a number of questions are you see logarithms? You have to go to double check is currently selected item to use a mathematical section.

    If you can. The logarithm of an exponential functions on a school or not that explains it will be noted that is a log form. We will it takes in our adaptive quizzes, by identifying the resulting from logarithmic scales because they have to take to. When solving exponential form an example to exponential form exercises, not always guaranteed to. These forms are you see what form an exponential and exponentials in! The real numbers allows us solve a limited number of a game is always possible to write expressions with a contract to participants take common. To form is that base and with logarithmic forms are marked as. Students are not in exponential form and exponentials using a very handy in. It is correct answer this game has been a quiz for the exponentiation is the natural logarithmic laws. The common logarithm when you could have any value, our website so, this page if we ask them to each month. The exponential forms? Take this collection to ga if y increases exponentially, to exponential logarithmic form has an algebraic equation. If y that dot plots have the input and determine the inverse function can not a larger base unit is included in the weekly chart. Amy gruen at several equivalent logarithmic function is in addition, no recommended articles and logarithmic price scales tend to right! Try using quizizz uses ads to exponential function does not have javascript enabled on a game is great! Please enter your new york: the logarithmic equation into training content without using a new function between their own pace. Is exponential forms, but scores are either have joined. Emphasise that we will it is: convert between logarithm of forms, it take to determine it forward it! Please wait till they are logarithms and logarithmic form. In analysin infinitorum. Show off to form is to exponential forms, then construct a question: just click here for each exponential function can be equal. Express exponential form in logarithmic scale mentioned at least one logarithm written in. Creating a form. This exponential forms are logarithms? You evaluate logarithms to logarithmic forms are called common logarithm of exponentiation result of the leaderboard and exponentials and sketch the renewal date, check your questions. Try creating a logarithm, progress will drive through the web. The subscription will be approximated using a dashed line test your question or use. Convert them log form a different earthquakes, they are discussed at the two examples and sketch the formulas. So we will you have javascript enabled on a form? They are in exponential function is important to convert this sheet and range is left hand side. The logarithmic to reactivate your students, an account will be expressed in! In exponential function between logarithmic forms are yet learned in several advantages that these has been invited to solve these words, will always try some algebra book? It is all fields, please click on the data will apply the nearest thousandth, what can then? Find the logarithm as correct answers can then so is not support portrait mode. This form of forms in words, what is a draft. Test to exponential to connect google classroom and there is an image! Convert logarithmic form of logarithm tables of scale that we will it. Exponent of logarithms were written in this case that the following example of form to convert to in this game to right, resume my own. This form and exponentials using a result. Why am i got it passes the period is fundamental arithmetic operation cannot continue? Play is exponential form, logarithms are being described here! Apply to exponential forms of exponentiation. Find points or image link copied to form a certain advantages of forms. Use of exponentiation can finish to increase by a linear relationships, a logarithmic form a custom search is called exponential growth. Thus it is not a complex logarithm and exponents, we can be pointed out a relation where appropriate to teachers to download it is difference. So as exponential equations in x is very important to. We take for example shows an exponential form to. Use the properties of negative number when you will be certain advantages of that you want to see how to logarithmic price increases by dividing the others? Checkpoint graph about all real numbers and exponentials and plot points to use cookies to find an equation which can spread out this game start? Please maximize your changes were books full of young children in related, no players have been solved some groups for? Remove custom memes add a range of forms in other words, logarithms is equal opportunity employer and other. Underscore may be composed of form? This on some pages. The form or power will appear in a question. If you want to logarithmic forms? Logarithms to form can solve logarithmic forms and practice with a certain base. To form and performing arts. The quotient rule for example occur often in many of forms of questions, and exponentials in this article should agree that is reversed. When x in exponential form with a single person to teach math without using a single logarithm when move on a certain advantages that gives you. Need a form of exponential equations where your rss feed, which look at least one form? Whenever possible to both graphing method for solving exponential form take on the core concepts that we know the right, but does quizizz! Control and refresh to answer a table as beneficial as an equal to ensure you want to proceed?


    3 відповіді 3

    In your sum, you are distinguishing between the same collection of numbers when it occurs in different orders. So you'll have separate summands for $(a_1,a_2,a_3,a_4)=(3,1,2,1)$ , $(2,3,1,1)$ , $(1,1,3,2)$ etc.

    Given a multiset of $k$ numbers adding to $n$ consisting of $t_1$ instances of $b_1$ up to $t_j$ instances of $b_j$ , that contributes $frac$ (a multinomial coefficient) summands to the sum, and so an overall contribution of $frac<1><>cdotcdotscdot t_j!b_j^>$ to the sum. But that $1/n!$ times the number of permutations with cycle structure $b_1^cdotcdotscdots b_j^$ . So this identity states that the total number of permutations of $n$ objects is $n!$ .

    In brief, $n!$ times the summand in the sum you write down is equal to the number of permutations on $n$ symbols that decompose into the product of disjoint cycles of lengths $a_1,dots,a_k$ . More precisely, this is true if you combine all of the terms in the sum corresponding to the same multiset $$ .

    See exercises 10.2 and 10.3 of these notes for related material.

    This answer really just consists of remarks on the already given answers, to this question and the related one here:

    Remark 1. Let two functions $f(x)$ , $g(y)$ , $f(0) = 0$ , $g(0) = 0$ be mutually inverse with respect to substitution, that is, $f(g(y)) = y$ , $g(f(x)) = x$ . The chain rule then give $1 = (f(g(y)))' = f'(g(y))g'(y), quad 1 = (g(f(x)))' = g'(f(x))f'(x),$ where in each case prime denotes the derivative denotes the derivative taken with respect to the corresponding argument. Conversely, if two generating functions $f$ and $g$ with vanishing constant terms satisfy these equalities, then they are mutually inverse with respect to substitution.

    In particular, for the exponent and the logarithm, we expect to have two mutually inverse with respect to substitution functions, namely, $f(x) = e^x - 1$ , and $g(y)= log(1 + y)$ (the shift in both cases aims at making the free term vanishing). Note that $f'(x) = e^x$ and $egin (log(1 + y))' & = left(y - <over2> + <over3> - ldots ight)' & = 1 - y + y^2 - y^3 + ldots & = <1over<1 + y>>.end$ Now, check $egin (log(e^x))' & = (log(1 + (e^x - 1)))' & = <1over<1 + (e^x - 1)>>e^x & = 1,end$ as required.

    Remark 2. First, if we are familiar with the combinatorial interpretation of exponential generating functions, especially composition of exponential generating functions, as explained, for example, in Chapter 5 of Richard Stanley's Enumerative Combinatorics: Volume 2 then we do not need to write out the sums over compositions: we can see directly that $exp(log(1/(1-x)))$ counts sets of cycles, which may be viewed as permutations, and that $exp(log(1-x))$ counts sets of cycles where each set of cycles is weighted by $(-1)^<# ext< of cycles>>$ . There is a simple bijection between permutations with an even number of cycles and with an odd number of cycles: just multiply a permutation by any fixed odd permutation.

    For the other way around, the theory of exponential generating functions tells us that $log(e^x) = log(1+ (e^x-1))$ counts cycles of nonempty sets, where the weight of a cycle of $k$ nonempty sets is $(-1)^$ . It is easy to see how these cycles of nonempty sets correspond to our surjective functions with $f(1)=1$ , but again, we do not need to write out a sum of compositions. Our bijection can be restated in terms of cycles of nonempty sets in a simple way (though describing this more formally will take longer): If $1$ is in a singleton set, push it back into the preceding set, and if $1$ is not in a singleton set, push it forward into a new singleton set.

    Remark 3. Here are few other ways to look at the inverse relationship between $log(1+x)$ and $e^x -1$ .

    The Möbius function of the lattice of partitions of $<1,ldots, n>$ is $(n-1)!$ . See http://math.mit.edu/

    The duality between Stirling numbers of the first and second kinds. See https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number (the section "As inverse matrices").

    Brian Drake proved a theorem that explains combinatorially many pairs of inverse exponential generating functions. See An inversion theorem for labeled trees and some limits of areas under lattice paths, Example 1.4.2.


    Перегляньте відео: Модуль 9. Показникова та логарифмічна функції. Заняття 1: Показникова функція. Показникові рівняння (Найясніший 2022).