Статті

7.2.1: Висновки з формули подання - математика

7.2.1: Висновки з формули подання - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Подібно до теорії функцій однієї складної змінної, ми отримуємо тут результати для гармонічних функцій із формули представлення, зокрема з (7.2.5), (7.2.6). Нагадаємо, що викликається функція (u ) гармонічний якщо (u в C ^ 2 ( Omega) ) та
( трикутник u = 0 ) у ( Омега ).

Твердження 7.1. Припустимо, що (u ) є гармонічним в ( Omega ). Тоді (u в C ^ infty ( Omega) ).}

Доказ. Нехай ( Omega_0 підмножина підмножина Omega ) буде таким доменом, що (y in Omega_0 ). З формул подання (7.2.5), (7.2.6), де ( Omega: = Omega_0 ), випливає, що (D ^ lu (y) ) існують і є неперервними для всіх (l ), оскільки можна змінити диференціацію інтегруванням у праві частини формул подання.

( Box )

Зауваження. Насправді, функція, яка є гармонічною в ( Omega ), є навіть справжньою аналітичною в ( Omega ), див. Вправу.

Твердження 7.2 (Формула середнього значення гармонічних функцій). Припустимо, що (u ) є гармонічним в ( Omega ). Тоді для кожного (B_ rho (x) підмножина підмножина Омега )
$$
u (x) = frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { частково B_ rho (x)} u (y) dS_y.
$$

Доказ. Розглянемо випадок (n ge3 ). Твердження випливає з (7.2.6) де ( Omega: = B_ rho (x) ), оскільки (r = rho ) і
begin {eqnarray *}
int _ { частковий B_ rho (x)} frac {1} {r ^ {n-2}} frac { частковий u} { частковий n_y} dS_y & = & frac {1} { rho ^ {n-2}} int _ { частково B_ rho (x)} frac { частково u} { частково n_y} dS_y
& = & frac {1} { rho ^ {n-2}} int_ {B_ rho (x)} трикутник u dy
&=&0.
end {eqnarray *}

( Box )

Ми нагадуємо, що домен ( Omega in mathbb {R} ^ n ) називається підключеним, якщо ( Omega ) не є об'єднанням двох непустих відкритих підмножин ( Omega_1 ), ( Omega_2 ) такий, що ( Omega_1 cap Omega_2 = emptyset ). Домен у ( mathbb {R} ^ n ) підключається тоді і лише тоді, коли його шлях підключений.

Твердження 7.3 (Максимальний принцип). Припустимо, що (u ) є гармонічним у підключеному домені і досягає його супремуму або мінімуму в ( Omega ). Потім (u equiv const. ) У ( Omega ).

Доказ. Розглянемо випадок із супремумом. Нехай (x_0 in Omega ) такий, що
$$
u (x_0) = sup_ Omega u (x) =: M.
$$
Встановити
( Omega_1: = {x in Omega: u (x) = M } ) та ( Omega_2: = {x in Omega: u (x) 0 ) такий, що ( overline {B _ { rho_0} ( overline {x})} subset Омега ) та (u (x) = M ) для всіх (x in B _ { rho_0} ( overline {x}) ). Якщо ні, то існують ( rho> 0 ) та ( widehat {x} ) такі, що
(| widehat {x} - overline {x} | = rho ), (0 < rho < rho_0 ) та (u ( widehat {x}) $$
M = frac {1} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { частково B_ rho ( overline {x})} u (x) dS
< frac {M} { omega_n rho ^ {n-1}} int _ { частковий B_ rho ( overline {x})} dS = M,
$$
що є суперечністю. Таким чином, набір ( Omega_2 ) порожній, оскільки ( Omega_1 ) відкрито.

( Box )

Висновок. Припустимо, ( Omega ) пов'язаний і обмежений, а (u в C ^ 2 ( Omega) cap C ( overline { Omega}) ) гармонічно в ( Omega ). Тоді (u ) досягає мінімуму та максимуму на межі ( частково Omega ).

Зауваження. Попередній наслідок не вдається, якщо ( Omega ) не обмежений, як показують прості контрприклади.


Ласкаво просимо до 7-ї математики в BCMS!

Цей сайт дасть вам посилання на предмети, які будуть корисними для вас, незалежно від того, чи ведете ви математику з містером Мюллером, місіс Муні чи місіс Вайс. Не соромтеся використовувати все, що ви знайдете тут, для сприяння навчанню, навіть якщо це не було згадано чи призначено у вашому класі.

Хочете відвідати сайт, де є маса математичних ігор спеціально для середньої школи? Перевірте сайт пані Рейлі-Харден.

Стандарти MN - посилання 7 та підсилювачів на відповідні сайти, які можуть бути цікавими

Знайте, що кожне раціональне число можна записати як відношення двох цілих чисел або як закінчувальний чи повторюваний десятковий знак. Визнайте, що π не є раціональним, але що його можна апроксимувати раціональними числами, такими як 22/7 та 3.14.

Зрозумійте, що ділення двох цілих чисел завжди призведе до раціонального числа. Використовуйте цю інформацію для інтерпретації десяткового результату задачі на ділення під час використання калькулятора.

Знайдіть позитивні та негативні раціональні числа на числовій прямій, зрозумійте поняття протилежностей і побудуйте пари позитивних і негативних раціональних чисел на координатній сітці.

GeoGebraTube: Основи числових рядків - перемістіть 2 числа вздовж числової лінії. Подивіться, де вони брешуть і як порівнюють. Показано абсолютне значення одного числа.

Порівняйте позитивні та негативні раціональні числа, виражені у різних формах, використовуючи символи & lt, & gt, =, ≤, ≥.

GeoGebraTube: Основи числових рядків - перемістіть 2 числа вздовж числової лінії. Подивіться, де вони брешуть і як порівнюють. Показано абсолютне значення одного числа.

Розпізнавати та генерувати еквівалентні подання позитивних та від’ємних раціональних чисел, включаючи еквівалентні частки.

Додавання, віднімання, множення та ділення додатних і від’ємних раціональних чисел, які є цілими числами, дробами та десятковими числами, що закінчуються, використовують ефективні та узагальнюючі процедури, включаючи стандартні алгоритми, що піднімають позитивні раціональні числа до показників цілого числа.

Підсвічування: Вольтметр - Додавання цілих чисел від 6 до -6.

GeoGebraTube: ПРЕАЛГЕБРА ДОСТУПУ - Множення цілих чисел від -10 до 10.

GeoGebraTube: Віднімання цілих чисел - Віднімання цілих чисел від -10 до 10.

Youtube: Mathland! Життя на числовій лінії - у цьому епізоді цифри показують додавання. (Існує низка досвіду з математики.)

Youtube: Integer Rule Song - проста пісня, що пояснює правила додавання і віднімання цілих чисел

BCMS 7-й клас математики: Ігри та заходи - Глава 1 - різноманітні ігри та заходи для цілочисельних операцій

Використовуйте реальні контексти та зворотний зв’язок між додаванням та відніманням, щоб пояснити, чому процедури арифметики з від’ємними раціональними числами мають сенс.

Зрозумійте, що калькулятори та інші обчислювальні технології часто скорочують чи округлюють числа.

Вирішувати задачі в різних контекстах, що включають обчислення з додатними і від’ємними раціональними числами та позитивними цілими показниками ступеня, включаючи обчислення простих та

BrainPop: Відсотки - Тім і Мобі пояснюють інтерес та різницю між простими та складними відсотками.

Youtube: Super Base - музичне відео для середньої школи, що пояснює закони експоненти.

Використовуйте пропорційні міркування для вирішення проблем, що стосуються співвідношень у різних контекстах.

Scale Factor X - Ігровий сайт зі співвідношенням та коефіцієнтом масштабу.

Реальний світ: масштабні моделі та співвідношення - вирішення пропорцій для пошуку інформації, пов’язаної з космічними подорожами.

Продемонструйте розуміння зв'язку між абсолютним значенням раціонального числа та відстанню на числовій прямій. Використовуйте символ для абсолютного значення.

Зрозумійте, що зв’язок між двома змінними, x та y, є пропорційним, якщо його можна виразити у формі y / x = k або y = kx. Відрізнити пропорційні відносини від інших відносин, включаючи обернено пропорційні (xy = k або k / x = y).

Зрозумійте, що графік пропорційного відношення - це лінія через початок координат, нахилом якої є одиниця норми (константа пропорційності). Знати, як використовувати графічну технологію, щоб дослідити, що відбувається з лінією при зміні одиничної норми.

Представляють пропорційні зв'язки з таблицями, словесні описи, символи, рівняння та графіки перекладають з одного подання на інше. Визначте одиничну норму (константу пропорційності або нахилу), дану будь-яким із цих подань.

BCMS математика 7-го класу: словниковий запас глави 10

BCMS 7-го класу математики: одиниці ціни

Вирішуйте багатоступеневі проблеми, що стосуються пропорційних відносин, у багатьох контекстах.

Scale Factor X - Ігровий сайт із співвідношенням і коефіцієнтом масштабу.

Використовуйте знання пропорцій для оцінки розумності рішень.

BCMS 7 клас математика: Ігри та заходи

Представляти реальні чи математичні ситуації, використовуючи рівняння та нерівності, що включають змінні та позитивні та негативні раціональні числа.

Підсвічування: Баланс панорамування - Вставте два вирази та подивіться, чи однакові вони і коли і на панорамах, і на графіку.

Використовуйте властивості алгебри для створення еквівалентних числових та алгебраїчних виразів, що містять раціональні числа, групування символів та показники цілого числа. Властивості алгебри включають асоціативні, комутативні та розподільні закони.

Обчисліть алгебраїчні вирази, що містять раціональні числа та показники цілого числа за заданими значеннями їх змінних.

Застосовуйте розуміння порядку операцій та групування символів при використанні калькуляторів та інших технологій.

Представляють взаємозв'язки у різних контекстах із рівняннями, що включають змінні та позитивні та негативні раціональні числа. Використовуйте властивості рівності, щоб розв’язати значення змінної. Інтерпретуйте рішення в оригінальному контексті.

Розв’язуйте рівняння, що є результатом пропорційних співвідношень у різних контекстах.

Продемонструйте розуміння пропорційного співвідношення між діаметром та колом кола і що одинична норма (константа пропорційності) дорівнює π. Обчисліть окружність та площу кіл та секторів кіл для розв’язування задач у різному контексті.

Підсвічування: Інструмент кола - Змініть радіус кола і подивіться, що відбувається з діаметром, колом та площею. Порівняйте коефіцієнти. Вирішувати проблеми.

GeoGebraTube: Візуалізуйте область кола - розріжте коло на сектори, переставте їх і подивіться, яку форму вони утворюють.

Обчисліть об’єм та площу поверхні балонів та обґрунтуйте використані формули.

Опишіть властивості подібності, порівняйте геометричні фігури для подібності та визначте коефіцієнти масштабу.

Scale Factor X - Ігровий сайт із співвідношенням і коефіцієнтом масштабу.

Застосуйте коефіцієнти масштабу, співвідношення довжин та співвідношення площ, щоб визначити довжини сторін та площі подібних геометричних фігур.

Scale Factor X - Ігровий сайт із співвідношенням і коефіцієнтом масштабу.

Ілюмінація: коефіцієнт масштабу - змініть довжини сторін одного прямокутника та спостерігайте, як змінюються співвідношення подібних прямокутників.

Використовуйте пропорції та співвідношення для вирішення завдань, пов’язаних із кресленнями масштабу та перетворенням одиниць вимірювання.

Scale Factor X - Ігровий сайт зі співвідношенням та коефіцієнтом масштабу.

Нанесіть графік та опишіть переклади та відображення фігур на координатній сітці та визначте координати вершин фігури після перетворення.

Створюйте прості експерименти та збирайте дані. Визначте середнє, медіану та діапазон для кількісних даних та даних, представлених на дисплеї. Використовуйте ці величини, щоб зробити висновки щодо даних, порівняти різні масиви даних та зробити прогнози.

Youtube: Середній, медіанний, режим: Музичні ноти - весела пісня, яка допоможе запам’ятати, яка є яка

Опишіть вплив вставки або видалення точки даних на середнє значення та медіану набору даних. Знати, як створювати відображення даних за допомогою електронної таблиці, щоб вивчити цей вплив.

Підсвічування: середнє та медіана - додайте точки даних до набору ваших власних даних і подивіться, як змінюються медіана та середнє значення.

Використовуйте міркування з пропорціями для відображення та інтерпретації даних у кругових графіках (кругових діаграмах) та гістограмах. Виберіть відповідний дисплей даних і знайте, як створити дисплей за допомогою електронної таблиці або іншої графічної технології.

Ілюмінація: Advanced Data Grapher - використовуйте надані дані або введіть свої власні та створіть гістограму, графік стебла та листя та інші графіки.

Підсвічування: Data Grapher - Введіть дані та створіть круговий або лінійний графік.

Підсвічування: інструмент гістограми - використовуйте надані дані або введіть свої власні та створіть гістограму.

Використовуйте випадкові числа, сформовані калькулятором або електронною таблицею або взяті з таблиці, для моделювання ситуацій, що включають випадковість, складіть гістограму для

результати та порівняйте результати з відомими ймовірностями.

Ілюмінація: регульована спінер - Створіть блешню з рівновеликими секторами і крутіть її багато разів. Порівняйте теоретичну ймовірність та відносну частоту.

Обчисліть ймовірність як частку простору вибірки або як частку площі. Виражайте ймовірності як відсотки, десяткові дроби та дроби.

Youtube: Пісня про ймовірність - відео, яке допоможе запам’ятати, що таке ймовірність

Youtube: Проблема Монті Холла - пояснюється у зрозумілих термінах

Використовуйте пропорційні міркування, щоб зробити висновки про та передбачити відносні частоти результатів на основі ймовірностей.

Scale Factor X - Ігровий сайт зі співвідношенням та коефіцієнтом масштабу.

Youtube: Math, Math, Baby - відео & quotdream послідовність & quot, яке включає багато тем з математики


Нехай $ V $ - це векторний простір над полем $ k. ^ Dagger $ Якщо $ A in mathrm(V) $ діагоналізується, він індукує власний базис $ $ за $ V $ з відповідними власними значеннями $ < lambda_i > $. Розглянемо успадковану дію $ A $ на зовнішню та симетричну степені $ Lambda ^ k (V) $ та $ S ^ k (V) $ відповідно. Зокрема, ми можемо охарактеризувати власні пари або $ Lambda ^ k (A) $ та $ S ^ k (A) $ відповідно як

v_ клин cdots клин v_) $ $ ( lambda_ cdots lambda_,

де $ (i_1, cdots, i_k) $ і $ (j_1, cdots, j_k) $ відповідно суворо збільшуються і не зменшуються послідовності цілих чисел, взяті з набору індексів $ <1, cdots, n > $. Таким чином ми отримуємо формули трасування

де $ e_k $ - $ k $-й елементарний симетричний багаточлен, а $ h_k $ - $ k $-й повний однорідний симетричний многочлен. На щастя, симетричні поліноми суми степенів

В іншому випадку ми можемо використовувати сімейство ідентичностей типу Ньютона-Жирара для того, щоб рекурсивно визначати формули трасування, як це дається відповіддю draks на раніше пов'язане питання

$ ^ dagger $ Характеристика не повинна ділити $ n! $, де $ n = dim V $. Висновки тут можна поширити на дефектні $ A $, розглянувши напр. безперервність після того, як подбати про випадок діагоналізації $ A $ за припущення базової топології.

Явно, на додаток до випадку $ k = 2 $ у відповіді брязкальця, це дає нам


Горить 2 Go

Сміт Д. (1906). Стаття 2: Теорія чисел. Історія сучасної математики (Видання Lit2Go). Отримано 07 липня 2021 р. З https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1727/article-2-theory-of-numbers/

Сміт, Девід Юджин. "Стаття 2: Теорія чисел". Історія сучасної математики. Видання Lit2Go. 1906. Веб. https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1727/article-2-theory-of-numbers/>. 07 липня 2021 року.

Девід Юджин Сміт, "Стаття 2: Теорія чисел" Історія сучасної математики, Видання Lit2Go, (1906), доступ 07 липня 2021 р., Https://etc.usf.edu/lit2go/103/history-of-modern-mathematics/1727/article-2-theory-of-numbers/.

Теорія чисел, 1 улюблене серед греків дослідження, отримала свій ренесанс у ХVІ-ХVІІ століттях у трудах Віє, Баше де Мезіріака і особливо Ферма. У вісімнадцятому столітті Ейлер і Лагранж внесли свій внесок у теорію, і на її завершення тема почала набувати наукової форми завдяки великим трудам Лежандра (1798) і Гауса (1801). З останньою & rsquos Disquisitiones Arithmetic & aelig (1801) можна сказати, що вона починає сучасну теорію чисел. Ця теорія розділяється на дві гілки, одну, яка стосується цілих чисел, і стосується її, зокрема, (1) вивчення простих чисел, конгруентностей та залишків, зокрема закону взаємності, і (2) теорії форм , а інший стосується комплексних чисел.

Теорія праймів2 залучила багатьох дослідників протягом дев’ятнадцятого століття, але результати були деталізованими, а не загальними. Tch & eacutebichef (1850) був першим, хто дійшов до будь-яких цінних висновків на шляху встановлення кількості простих чисел між двома заданими межами. Ріманн (1859) також дав добре відому формулу граничного числа простих чисел, що не перевищує даного числа.

Можна сказати, що теорія конгруентності починається з Gauss & rsquos Disquisitiones. Він ввів символіку a & equiv b (mod c) і дослідив більшу частину поля. Tch & eacutebichef опублікував у 1847 році російську роботу на цю тему, а у Франції Серрет зробив багато для того, щоб зробити теорію відомою.

Окрім узагальнення праці його попередників у теорії чисел та додавання багатьох оригінальних та вартих уваги внесків, Лежандру може бути призначена фундаментальна теорема, яка носить його ім'я, Закон взаємності квадратних залишків. Цей закон, відкритий індукцією та проголошений Ейлером, був вперше доведений Лежандром у його Th & eacuteorie des Nombres (1798) для особливих випадків. Незалежно від Ейлера та Лежандра, Гаус відкрив закон близько 1795 р. І був першим, хто дав загальне підтвердження. До теми також долучився Коші, мабуть, найуніверсальніший з французьких математиків століття Діріхле, Vorlesungen & uumlber Zahlentheorie, під редакцією Дедекінда, є класичним Якобі, який ввів узагальнений символ, який носить його ім'я Ліувіль, Целлер, Ейзенштейн, Куммер , і Кронекер. Теорія була розширена, включаючи кубічну і біквадратичну взаємність, зокрема Гауса, Якобі, який вперше довів закон кубічної взаємності, і Куммера.

Гаусу також пояснюється подання чисел у двійкових квадратних формах. До теми додали Коші, Пуансо (1845), Лебеск (1859, 1868) та особливо Ерміт. У теорії потрійних форм Ейзенштейн був лідером, і йому і Х. Дж. С. Сміту також належить вагомий прогрес у теорії форм в цілому. Сміт дав повну класифікацію потрійних квадратичних форм і розширив дослідження Гауса і Рскво щодо реальних квадратних форм до складних форм. Дослідження щодо представлення чисел сумою 4, 5, 6, 7, 8 квадратів було просунуто Ейзенштейном, а теорію завершено Смітом.

У Німеччині Діріхле був одним із найзавзятіших працівників теорії чисел і першим читав лекції з цього питання в німецькому університеті. Серед його внесків є розширення теореми Ферма і Ркуоса на xn + yn = zn, яке Ейлер та Лежандр довели для n = 3, 4, Діріхле показує, що x5 + y5 & ne az5. Серед пізніших французьких письменників - Борель Пуанкар і Екут, мемуари яких є численними та цінними Коженею, та Стілтьєс. Серед провідних авторів у Німеччині є Кронекер, Куммер, Шерінг, Бахман та Дедекінд. В Австрії Stolz & rsquos Vorlesungen & uumlber allgemeine Arithmetik (188586), а в Англії Метьюс і rsquo Теорія чисел (Частина I, 1892) належать до найбільш наукових загальних праць. Генокі, Сильвестр і Дж.В. Л. Глейшер також додав до теорії.

1 Кантор, М., Geschichte der Mathematik, Vol. III, с. 94 Сміт, Х. Дж. С., Звіт про теорію чисел Збірник праць, вип. I Stolz, O., Gr & oumlssen und Zahien, Leipzig. 1891 рік.

2 Brocard, H., Sur la fr & eacutequence et la totalit & eacute des nombres premiers Nouvelle Correspondence de Math & eacutematiques, Vols. V і VI подають найновішу історію до 1879 року.

Ця колекція дитячої літератури є частиною Механізму взаємодії з освітніми технологіями та фінансується за рахунок різних грантів.


Виведення культурно чуйного об’єктива на заняття з математики

Проект математики середньої школи дає студентам можливість застосувати навички, які вони засвоюють на уроці, до проблеми, яка їх турбує.

Всупереч поширеній думці, математика - це більше, ніж просто цифри, алгебраїчні формули та давні алгоритми. Це може слугувати засобом для того, щоб допомогти нашим студентам зрозуміти світ, в якому ми живемо, але поточні події та реальні проблеми, як правило, інтегровані лише в такі предмети, як англійська мова, наука та суспільствознавство - математика вважається своєю власний маленький острів.

Після багатьох років пошуку планів уроків та ресурсів, які допомогли б мені подолати розрив між математикою та реальними проблемами, я вирішив створити власний проект підрозділу для цього. Я опитував своїх учнів семи класів, щоб знайти правильну тему, і створив тритижневий проект, який зосереджувався на перетині між правоохоронними органами та кольоровими громадами в Бостоні. Інші теми, що їх цікавили, включали імміграцію, бідність, безпритульність, забруднення та створення нових робочих місць для молоді в нашій економіці - можливостей для такого виду роботи багато.

4-етапний процес підключення математики до життя студентів

1. Вибір теми або питання: Я почав з думки, що тема повинна відповідати расовому та культурному складу моїх учнів та громадам, в яких вони жили. Найкращий спосіб вибрати тему - запитати їх, що для них насправді має значення. Мої студенти, які були переважно афроамериканками та латиноамериканцями, обрали тему жорстокості в міліції, оскільки вона їх особисто вплинула.

Якщо ви спробуєте це, вибір правильної теми гарантуватиме високий рівень залучення студентів протягом усього проекту. Ви можете створити опитування щодо інтересів або опитувальник, щоб дати своїм студентам, щоб вони могли дуже детально поділитися реальними темами, які вони хотіли б дослідити - це може працювати краще, ніж спочатку просити їх обговорювати ідеї цілим класом, оскільки для цього потрібно зниження тиску.

Визначившись із темою, запишіть її як відкрите фокусне запитання, на яке ваші студенти працюватимуть, щоб відповісти протягом усього проекту. Щодо теми жорстокості з боку міліції, я працював зі своїми студентами, щоб поставити головне питання: "Чи можуть більш різноманітні поліцейські сили запобігати випадкам расового профілювання?"

2. Збір довідкової інформації: Наступним важливим питанням для вчителя математики є: "Які конкретні точки даних необхідні для ефективної відповіді на головне запитання?" Оскільки студенти збираються досліджувати тему через математичну лінзу, вам потрібно буде розглянути, які кількісні точки даних вони можуть вивчити, щоб зробити власні висновки щодо теми.

Ці точки даних - наприклад, статистика, графічні подання, геометричні діаграми або функціональні взаємозв'язки - повинні бути не тільки доступними для контекстуалізації в межах теми, але й доступними для ваших учнів, щоб вони могли застосувати відповідні математичні навички. Мій проект виділив національну статистику зупинок та нестабільних випадків, дані про населення та демографічні дані про поліцейських як пункти даних, які допоможуть відповісти на головне запитання.

На додаток до кількісних даних, які ваші студенти використовуватимуть у своїх математичних роботах, їм потрібні якісні дані - новинні звіти, книги тощо - щоб глибше зрозуміти проблему, яку вони досліджують. На мій погляд, збір цієї інформації є найскладнішим етапом процесу, тому що ви повинні розділити свої особисті упередження, що може вплинути на те, як ваші студенти думають про тему. Вам потрібно представити різні точки зору людей щодо цього питання, щоб ваші студенти мали інформацію, необхідну для формування базових знань та розвитку власного мислення щодо проблеми.

Першоджерела - найнадійніші джерела інформації, оскільки вони є оригінальними та написані чи створені під час випуску. Приклади першоджерел включають рукописи, книги, газетні статті, історичні документи, відео, фотографії та інтерв’ю. Іншими словами - а вони, напевно, запитатимуть - студентам не слід користуватися Вікіпедією.

3. Визначення математичних навичок та прив’язка їх до стандартів: Визначивши відповідні точки даних, ви захочете визначити конкретні математичні навички, які ваші учні використовуватимуть для аналізу точок даних та побудови математичних аргументів.

Навички математики повинні відповідати розвитку відповідно до рівня класу, який ви викладаєте: визнавши, що наш підрозділ расового профілювання був сильно зосереджений на статистичних концепціях, я визначив, що студенти можуть аналізувати точки даних, використовуючи такі навички, як перетворення між раціональними числами (десяткові знаки, дроби та відсотки), міри центральної тенденції (середнє, медіана та мода) та двосторонні таблиці частоти.

Потім вам потрібно буде узгодити математичні навички, які ви визначили, з відповідними академічними стандартами у вашій державі, будь то Загальні основні державні стандарти або академічні стандарти для вашої держави. Визначте стандарти, які найкраще відповідають математичним навичкам, якими, як ви очікуєте, опанують ваші учні на цьому уроці.

4. Визначення кінцевого робочого продукту: Нарешті, розмірковуючи про продукт, який вироблять ваші студенти, вам слід враховувати їх різноманітні академічні потреби. Якщо ви викладаєте в інклюзивному класі, я настійно рекомендую вам співпрацювати з викладачем-дефектологом на цьому етапі. Вони можуть допомогти вам у створенні видозміненої або модифікованої версії остаточного робочого продукту, яка відповідає потребам кожного студента, який отримує навчальну підтримку.

Для цього проекту я дав студентам три варіанти кінцевого продукту. Вони могли брати участь у семінарі семінаричного класу та вести діалог між собою, надаючи текстові та статистичні докази, що підтверджували б їхню відповідь на головне запитання. Другим варіантом було написати листа до уповноваженого поліції, щоб висловити свою стурбованість проблемою расового профілювання з боку правоохоронних органів Бостона, включаючи відповідні дані на підтвердження їх аргументу. Останнім варіантом було написати статтю, в якій викласти свою аргументацію, зі статистичними доказами, що підтверджують це, та принаймні двома рішеннями, які, на їх думку, стосувалися б цієї проблеми. Мої студенти вибрали сократичний семінар цілого класу.

Зрештою, кінцевий продукт повинен забезпечити безліч точок доступу для різних учнів у вашому класі та дозволити їм найкраще продемонструвати володіння математичними навичками та свої знання з теми.


  • Типи чисел: натуральні цілі числа, раціональні, ірраціональні
  • Місцева вартість, округлення, значущі цифри
  • Фактори та прості числа, GCF та LCM
  • Повноваження, дроби та десяткові дроби
  • Повноваження
  • Закони індексів
  • Індекси операцій / логарифмів
  • Закони логарифмів
  • Операції
  • Основа e
  • Зміна бази
  • Логарифмічні рівняння
  • Науковий калькулятор
  • Алгебраїчні вирази
  • Операції алгебраїчних виразів
  • Розкладання на множники алгебраїчних виразів
  • Квадратичні вирази
  • Розв’язання рівнянь
  • лінійна
  • квадратичний
  • кубічний і поліном
  • Часткові дроби
  • Одночасні рівняння

- лінійний з 2 невідомими - лінійний з 3 невідомими - лінійний і квадратний

  • Транспонування формул
  • Оцінка многочленів
  • Поділ багаточленів, залишок та теорема про множники
  • Шкала
  • Нанесення основних фігур площини
  • Нанесення твердих тіл
  • Послідовності, арифметичні та геометричні прогресії
  • Серія
  • Вирішення проблем, пов’язаних з простими та складними відсотками
  • Збіжні ряди
  • Лінійний
  • Квадратичний
  • Експоненціальна
  • Розв’язання рівнянь

- радіанна міра - хвилини та секунди

  • Тригонометричні співвідношення та їх взаємні відповіді
  • Кути піднесення та депресії
  • Правило синусів
  • Правило косинусів
  • Розв’язання трикутників
  • Графіки тригонометричних функцій
  • Формула складеного кута
  • Виведення формули подвійного кута
  • Основні тригонометричні рівняння

- формула - формула напівкута - правило дотичної - факторна формула - подальші тригонометричні рівняння - параметричні рівняння - формула Герона

  • Широти та довготи
  • Екватор та меридіан Грінвіча
  • Відстань між двома точками вздовж малого та великого кіл
  • Час між довготою
  • Швидкість
  • Полярні рівняння
  • Перетворення декартової на полярну і навпаки
  • Графіки полярних рівнянь
  • Визначення локусу відносно точок, прямих, площин, еліпсів, параболи, гіперболи
  • Одиниці виміру
  • Периметр і площі регулярних фігур
  • Об'єм регулярних твердих речовин
  • Площі поверхні регулярних твердих тіл
  • Площа неправильних фігур
  • Площа та обсяги з використанням теореми Паппа
  • Визначення термінів - перестановка та поєднання
  • факторіальне позначення
  • Розв’язування задач, пов’язаних із перестановками та комбінаціями
  • Біноміальне розширення:

- трикутник паскаля - біноміальна теорема - степеневі ряди з використанням біноміальної теореми - корені чисел за біноміальною теоремою - застосовувати біноміальну теорему до наближень


Комплексний аналіз

IV.F Нескінченні продукти, часткові фракції та наближення

Природним способом записати мероморфну ​​функцію є її нулі та полюси. Наприклад, тому що sin π z має нулі на цілих числах, ми очікуємо, що зможемо його “врахувати” у продукт. Справді, Ейлер записав таке розширення продукту:

За допомогою складного аналізу можна суворо виправдати такі розширення.

Питання про збіжність нескінченного добутку легко вирішується. Беручи логарифми, можна звести його до питання збіжності суми. Наприклад, товар

сходиться абсолютно тоді і тільки тоді, коли сума ∑ m = 1 ∞ | колода (1 + а м) | сходиться абсолютно. Оскільки | колода (1 + а м) | становить приблизно ¦ам¦, добуток сходиться абсолютно тоді і тільки тоді, коли ряд ∑ m = 1 ∞ | a m | сходиться абсолютно.

Наступна теорема дозволяє нам побудувати цілу функцію із заданим набором нулів.

Теорема про добуток Вейєрштрасса.

Дозволяти (аj : j = 1, 2, ...) - послідовність ненульових комплексних чисел, у яких жодне комплексне число не зустрічається нескінченно багато разів. Припустимо, що множина <аj> не має (скінченної) граничної точки в комплексній площині. Тоді існує ціла функція f(z) з нулем кратності м при 0, нулі у множині <аj> з правильною кратністю, і ніяких інших нулів. Цю функцію можна записати у формі

З цієї теореми ми можемо отримати наступне подання мероморфної функції.

Мероморфна функція на комплексній площині є часткою двох цілих функцій. Ці дві функції можна вибрати так, щоб вони не мали спільних нулів.

Зокрема, можна розглядати мероморфні функції як узагальнення раціональних функцій.

гамма-функція Ɣ (z) - корисна функція, яка може бути визначена формулою продукту. Справді,

Іншим корисним функціональним рівнянням є Формула Лежандра

Раціональні функції можна представити у вигляді часткових дробів, як і мероморфні функції.

Теорема Міттага-Леффлера & # x27s.

Нехай <bj : j = 1, 2, ...> - множина комплексних чисел без кінцевої граничної точки на комплексній площині, і нехай сторj(z) даються поліноми з нульовими постійними доданками, по одному для кожної точки bj. Тоді існують мероморфні функції в комплексній площині з полюсами в bм з одиничними частинами сторj(1/zbj). Ці функції мають вигляд

Беручи логарифмічні похідні та інтегруючи, можна вивести теорему продукту Вейєрштрасса з теореми Міттага-Леффлера.

Є два приклади часткового розширення мероморфних функцій

Теорема про наближення Рунге говорить, що функція, аналітична на обмеженій області Ω з дірками, може бути рівномірно апроксимована раціональною функцією, усі полюси якої лежать в дірках. Теорему Рунге & # x27s можна довести за допомогою інтегральної формули Коші & # x27s для компактних множин.

Теорема про наближення Рунге.

Дозволяти f(z) - аналітична функція на області Ω в комплексній площині нехай К бути компактною підмножиною Ω. Нехай ε & gt 0 - задане (мале) додатне дійсне число. Тоді існує раціональна функція р(z) з усіма її полюсами зовні К такий, що


Функції математики та тригонометрії (посилання)

Щоб отримати детальну інформацію про функцію, клацніть її назву в першому стовпці.

Примітка: Маркери версій вказують на версію Excel, яку було запроваджено. Ці функції недоступні в попередніх версіях. Наприклад, маркер версій 2013 року вказує, що ця функція доступна в Excel 2013 та всіх пізніших версіях.

Повертає абсолютне значення числа

Повертає арккосинус числа

Повертає обернений гіперболічний косинус числа

Функція ACOT

Повертає арккотангенс числа

Функція ACOTH

Повертає гіперболічний аркотангенс числа

Повертає сукупність у списку або базі даних

АРАБСЬКА функція

Перетворює римське число на арабське як число

Повертає арксинус числа

Повертає обернений гіперболічний синус числа

Повертає арктангенс числа

Повертає арктангенс з координат x та y

Повертає зворотний гіперболічний тангенс числа

Функція BASE

Перетворює число в текстове подання із заданим радіусом (основа)

Округлює число до найближчого цілого чи до найближчого кратного значення

Функція «СТЕЛЬ. МАТЕМАТИКА»

Округлює число вгору до найближчого цілого чи до найближчого кратного значення

Округлює число, найближче ціле число або до найближчого кратного значення. Незалежно від знаку числа, число округлюється вгору.

Повертає кількість комбінацій для заданої кількості об'єктів

Функція COMBINA

Повертає кількість комбінацій з повтореннями для заданої кількості елементів

Повертає косинус числа

Повертає гіперболічний косинус числа

Функція COT

Повертає котангенс кута

Функція COTH

Повертає гіперболічний котангенс числа

Функція CSC

Повертає косеканс кута

Функція CSCH

Повертає гіперболічний косекант кута

Функція DECIMAL

Перетворює текстове подання числа в заданій основі в десяткове число

Перетворює радіани в градуси

Округлює число до найближчого парного цілого числа

Повернення e піднято в ступінь заданого числа

Повертає факторіал числа

Повертає подвійний множник числа

Округлює число до нуля

Функція FLOOR.MATH

Округлює число до найближчого цілого чи найближчого кратного значення

Округлює число до найближчого цілого чи до найближчого кратного значення. Незалежно від знаку числа, число округлюється вниз.

Повертає найбільший загальний дільник

Округлює число до найближчого цілого числа

Функція ISO.CEILING

Повертає число, округлене до найближчого цілого числа або до найближчого кратного значення

Повертає найменше загальне кратне

Повертає натуральний логарифм числа

Повертає логарифм числа до заданої бази

Повертає логарифм числа 10 із основою 10

Повертає матричний детермінант масиву

Повертає матрицю, обернену до масиву

Повертає матричний добуток двох масивів

Повертає залишок від ділення

Повертає число, округлене до бажаного кратного

Повертає багаточлен набору чисел

Функція MUNIT

Повертає одиничну матрицю або вказаний розмір

Округлює число до найближчого непарного цілого числа

Повертає результат числа, піднятого до степеня

Повертає цілу частину ділення

Перетворює градуси в радіани

Повертає випадкове число від 0 до 1

Повертає масив випадкових чисел від 0 до 1. Однак ви можете вказати кількість рядків і стовпців для заповнення, мінімальне і максимальне значення, а також повертати цілі числа або десяткові значення.

Повертає випадкове число між вказаними номерами

Перетворює арабську цифру на римську як текст

Округлює число до заданої кількості цифр

Округлює число до нуля

Округлює число вгору, подалі від нуля

Функція SEC

Повертає секанс кута

Функція SECH

Повертає гіперболічний секант кута

Повертає суму степенного ряду на основі формули

Повертає знак числа

Повертає синус заданого кута

Повертає гіперболічний синус числа

Повертає додатний квадратний корінь

Повертає квадратний корінь із (число * pi)

Повертає проміжний підсумок у списку або базі даних

Додає комірки, визначені заданими критеріями

Додає клітинки в діапазоні, які відповідають кільком критеріям

Повертає суму добутків відповідних компонентів масиву

Повертає суму квадратів аргументів

Повертає суму різниці квадратів відповідних значень у двох масивах

Повертає суму суми квадратів відповідних значень у двох масивах

Повертає суму квадратів різниць відповідних значень у двох масивах

Повертає тангенс числа

Повертає гіперболічний тангенс числа

Обрізає число до цілого числа

Важливо: Розраховані результати формул та деяких функцій робочого аркуша Excel можуть дещо відрізнятися між ПК з ОС Windows, що використовує архітектуру x86 або x86-64, та ПК з ОС Windows RT, що використовують архітектуру ARM. Дізнайтеся більше про відмінності.


Типи дробних дробів - скінченні та нескінченні

Існує два типи продовжені дроби:

A скінченний продовжений дріб є загальним поданням дійсного числа x x x у вигляді

Ан нескінченна безперервна дріб є загальним поданням дійсного числа x x x у вигляді

просто межа (якщо вона існує) послідовності усічених дробових дробів

Продовжувані дроби мають багато чудових властивостей, пов'язаних з раціональним наближенням, з численними додатками, включаючи рішення рівняння Пелла.


Навчання математики в ранньому дитинстві: шляхи до досконалості та справедливості (2009)

На жаль, цю книгу не можна надрукувати з OpenBook. Якщо вам потрібно надрукувати сторінки з цієї книги, ми рекомендуємо завантажити її у форматі PDF.

Відвідайте NAP.edu/10766, щоб отримати більше інформації про цю книгу, придбати її в друкованому вигляді або завантажити як безкоштовний PDF.

Нижче наведено виправлений машинно прочитаний текст цього розділу, який має на меті забезпечити наші власні пошукові системи та зовнішні механізми надзвичайно насиченим текстом кожної книги, що представляє глави. Оскільки це НЕВИПРАВЛЕНИЙ матеріал, будь ласка, розгляньте наступний текст як корисний, але недостатній проксі для авторитетних сторінок книги.

9 Висновки та рекомендації Протягом останніх кількох десятиліть все більше зосереджується на важливості дошкільного періоду - у віці від 3 до 5 років - у наданні дітям можливостей, необхідних для успішного початку офіційного навчання в школі. Зараз багато тих, хто формує політику, мають намір запровадити загальнодоступну дошкільну школу через все більші докази того, що якісний дошкільний навчальний заклад може допомогти подолати нерівність в освітніх можливостях та почати подолання прогалин у досягненнях. Важливість підтримки грамотності в цих умовах раннього дитинства є загальновизнаною, але математиці приділяється мало уваги. Однак дослідження здібностей дітей до вивчення математики в поєднанні з доказами того, що ранній успіх у математиці пов'язаний з пізнішим успіхом як у математиці, так і в читанні, дає зрозуміти, що основна грамотність складається як з читання, так і з математики. Удосконалення математичної освіти в ранньому дитячому віці може забезпечити маленьких дітей основними освітніми ресурсами, які є критично важливими для успіху в школі. Крім того, зростаюче значення науки і техніки у кожному житті та для досягнення успіху в багатьох кар'єрах наголошує на необхідності міцних основ математики. Історично багато людей розглядали математику як неважливу або невідповідну для розвитку навчального досвіду маленьких дітей. Однак дослідження, синтезоване в цьому звіті, чітко показує, що ці переконання є необґрунтованими. У процесі нормального розвитку у маленьких дітей формуються ключові математичні ідеї та навички, які включають підрахування додавання і віднімання знахідок, які більше (або менше) працюють з фігурами, рухаючи, комбінуючи та порівнюючи їх, щоб засвоїти деякі їхні властивості, що відчуваються та позначають просторові терміни (наприклад, вгорі, внизу) 331

332 НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В РАННІЙ ДИТИНСТВІ та розуміння вимірювання довжини як кількості одиниць довжини, що становить загальну суму, а також представлення та передача розуміння математики іншим. Спираючись на всебічний огляд дослідження, у цьому звіті викладаються найважливіші сфери, які повинні бути зосередженими на ранньому навчанні математики маленьких дітей, досліджується ступінь, до якої вони зараз включені в умови раннього дитинства, та визначає зміни, необхідні для поліпшення якості математичного досвіду для маленьких дітей. Комітет описує ці найважливіші галузі математики з точки зору навчально-навчальних шляхів, які можна використовувати для сприяння оптимальному навчанню. Такий шлях описує навички та знання, які є основоположними для подальшого навчання, та викладає ймовірну послідовність кроків до більшої компетентності. Можна уважно придивитися до шляху, щоб оцінити, що діти зможуть робити далі, та розробити навчальні заходи, які допоможуть їм рухатись по шляху. Поняття таких шляхів викладання та навчання є припущенням для висновків та рекомендацій цього звіту. Щоб усі діти вступили до початкової школи з математичним підґрунтям, необхідним для успіху, комітет рекомендує велику національну ініціативу з математики дошкільного віку. Успіх такої ініціативи вимагає, щоб батьки, вчителі дошкільного віку, особи, що розробляють політику, та громади переосмислили спосіб їхнього мислення та розуміння математики маленьких дітей. Система дошкільного навчання (наприклад, робоча сила, програми та програми дошкільного віку) повинна працювати спільно для досягнення цієї мети. Крім того, сім'ї та громади також повинні прийняти цю мету, якщо вони серйозно ставляться до вдосконалення математичної освіти дітей. У цьому розділі Комітет узагальнює основні висновки звіту, організованого за розділами, сформулює ключові рекомендації, що випливають із цих висновків, та викладає порядок денний для подальших досліджень. ДІТЕЙНА КОМПЕТЕНТНІСТЬ ТА ПОТЕНЦІАЛ ДЛЯ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ Огляд досліджень розвитку, що проводяться з немовлятами та дітьми молодшого віку, демонструє, що знання та компетенції, що стосуються математики, присутні з раннього віку життя. Ще в дитинстві немовляти цікавляться своїм світом і здатні думати про нього математично. Знаннями про прислівні числа користуються люди з різних культур, а також інші види. Наприклад, до 10-місячного віку маленькі немовлята можуть відрізнити набір з двох предметів від набору з трьох предметів, і з часом вони можуть розрізняти кількість предметів у наборах з більшими номерами. Спираючись на цей фундамент, маленькі діти продовжують

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 333 розширити свої знання та компетенцію та насолодитися своїм раннім неформальним досвідом математики, таким як спонтанне підрахування іграшок, схвильоване запитання, хто має більше, або вказівка ​​на форми. Висновок 1: Маленькі діти здатні та зацікавлені вивчати значущу математику. Вивчення такої математики збагачує їхній сучасний інтелектуальний та соціальний досвід та закладає основу для подальшого навчання. Знання та компетенції, набуті в процесі повсякденного досвіду, є вихідною точкою для вивчення математики. Природна допитливість немовлят та дітей раннього віку спочатку викликає їх інтерес до розуміння світу з математичної точки зору, а дорослі та громади, які виховують та піклуються про них, також надають досвід, який служить основою для подальшого вивчення математики. Повсякденне середовище дітей багате можливостями навчання математики, наприклад, використання реляційних слів, таких як більше / менше, а також підрахунок та сортування предметів за формою чи розміром. Цей основоположний, щоденний досвід математики може бути побудований для подальшого просування дітей у розумінні математичних понять. Висновок 2: Діти вивчають математику, частково, через повсякденний досвід у домі та в навколишньому середовищі, починаючи з першого року життя. Дітям потрібні багаті математичні взаємодії та керівництво як вдома, так і в школі, щоб бути добре підготовленими до викликів, з якими вони стикнуться у формальному навчанні. Батьки, інші вихователі та вчителі можуть зіграти фундаментальну роль в організації навчального досвіду, що підтримує математику, оскільки вони можуть піддавати дітей багатим математично середовищем та залучати їх до математичної діяльності. Наприклад, батьки та вихователі можуть навчити дітей бачити та називати невеликі кількості, рахувати та вказувати фігури у світі: «Ось два сухарики. У вас по одному в кожній руці. Ці сухарі квадратні. ”Одним із важливих способів покращення навчання математики маленьких дітей є підтримка та навчання дорослих, що пов’язане та розширює їхні попередні знання з математики. Наприклад, ситуація, коли маленька дитина наполягає на тому, щоб мати «більше» плюшевих ведмедів, ніж його товариш по грі, дає можливість дорослому залучити дитину до математичного запитання (наприклад, хто має більше і як ви можете це дізнатись ?). У цьому випадку дорослий може використовувати кілька ключових математичних ідей, щоб допомогти дитині зрозуміти, хто має більше ведмедів, наприклад, використовувати числовий список слів для підрахунку, відповідність підрахунку 1 до 1, потужність (тобто знання загальної суми

334 МАТЕМАТИКА НАВЧАННЯ В РАННІЙ ДИТИНСТВІ (кількість предметів у наборі) та порівняння кількості ведмедів у двох наборах. Ці види можливостей навчання математики допомагають дітям навчитися математизувати або брати участь у процесах, які передбачають зосередження уваги на математичних аспектах повсякденної ситуації, навчитися представляти та розробляти модель ситуації та використовувати цю модель для вирішення проблем. Висновок 3: Дітям потрібна підтримка та інструкція для дорослих, щоб набути та розширити свої ранні знання, а також навчитися зосереджуватись на математичних аспектах повсякденних ситуацій та розробляти їх для математизації. Комітет чітко усвідомлював вплив розвитку та контекстуальних варіацій на можливості навчання дітей та якість їх освітнього середовища як у класі, так і за її межами. Розуміння індивідуальних відмінностей у розвитку дітей, наприклад, у виконавчій функції чи можливості вивчення математики в їх повсякденному середовищі, є фундаментальним для підтримки розвитку компетентності з математики. Незважаючи на те, що всі діти потребують широкого вивчення математики, існує широкий діапазон індивідуальних відмінностей у всіх сферах навчання. Це впливає на види навчального досвіду та навчання, які потрібні окремим дітям. Потреба підтримувати математичну освіту в ранньому віці таким чином, щоб вона відповідала різноманітним умовам та контекстам, є темою дискусії комітету з питань ранньої дитячої математики. Висновок 4: Завдяки індивідуальним варіаціям, які пов’язані з поєднанням попереднього досвіду, можливостей вчитися та вроджених здібностей, деякі діти потребують більш широкої математичної підтримки, ніж інші. Важливо розуміти джерела спостережуваних відмінностей у компетентності дітей і не плутати одне джерело індивідуальних варіацій з іншим. Наприклад, низька ефективність може бути пов’язана з дефіцитом здібностей дитини до вивчення математики, коли це насправді зумовлено іншими факторами, такими як відсутність у дитини можливостей вивчати математику або труднощі, пов’язані з лінгвістичною та культурною бар’єри між учителем та дитиною. Можливості вивчати математику повсякденного життя різняться залежно від походження дітей, включаючи їх соціально-економічний статус (СЕС) та культурну групу. Знання та вміння з математики різняться в межах та між культурними групами через різні фактори, включаючи мову та відносний наголос на математиці. Культурні, лінгвістичні та соціально-економічні фактори взаємодіють складними способами, які важко розділити.

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 335 Комітет був особливо стурбований викладанням та навчанням математики для дітей із низьким соціально-економічним складом через особливі виклики, з якими вони стикаються та можуть вплинути на їх знання та компетентність у математиці. Наприклад, вони можуть частіше відвідувати школи з меншими ресурсами та мати меншу підтримку математики вдома. Таким чином, хоча діти з дуже низькими та високими математичними знаннями та компетенцією знаходяться в усіх групах СЕС, діти з низьким СЕС потребуватимуть особливої ​​уваги. Важливо зазначити, що надання маленьким дітям якісних навчальних курсів з математики може допомогти зменшити систематичну нерівність у навчальних результатах та пізніші можливості для кар’єрного зростання. Висновок 5: Маленькі діти з нижчих соціально-економічних груп в середньому відвідують школу з меншими знаннями та навичками математики, ніж їхні вищі соціально-економічні статуси. Офіційне навчання не дало успіху у подоланні цього розриву для дітей із низьким соціально-економічним статусом. Окрім необхідності інструктажу з математики, факти свідчать, що маленьким дітям також потрібно підтримувати їх соціально-емоційний розвиток як невід'ємну частину їхньої освіти. Зокрема, у ранні навчальні роки у дітей формуються загальні компетентності та підходи до навчання, які включають їх здатність регулювати свої емоції та поведінку, концентрувати свою увагу та ефективно спілкуватися з іншими. У свою чергу, вивчення математики може сприяти розвитку цих загальних компетенцій. Висновок 6: Усе навчання, включаючи вивчення математики, полегшується, коли маленькі діти також розвивають навички регулювати власне навчання, що включає регулювання емоцій та поведінки, зосередження їхньої уваги та ефективне спілкування з іншими. ФОНДАЦІЙНА І ДОСТИЖНА МАТЕМАТИКА ДЛЯ МОЛОДИХ ДІТЕЙ На підставі дослідницьких даних про знання та компетентність дітей у роки раннього дитинства, а також на основі встановленого консенсусу математичного співтовариства дошкільного віку (див., Наприклад, Фокус навчальної програми NCTM). Точки), комітет визначив дві галузі математики, на яких слід зосередитись: (1) число, включаючи ціле число, операції та відношення, та (2) геометрія, просторове мислення та вимірювання. У кожній із цих сфер комітет пропонує вказівки щодо шляхів викладання та навчання на основі того, що відомо з досліджень розвитку та в класі. Прогрес кожної дитини на цих шляхах навчання та навчання математики є функцією її власного рівня розвитку

336 НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В РАННІМ ДИТИНСТВІ, а також можливості та досвід, включаючи навчання. Шляхи викладання та навчання можуть стати основою для навчальної програми і можуть використовуватися вчителями для оцінки того, де кожна дитина знаходиться на цьому шляху. Хоча це правда, що маленькі діти є більш компетентними з математики, ніж вважають багато вчителів раннього дитинства, батьки та широка громадськість, існують обмеження щодо того, що вони можуть робити в математиці. Комітет пам'ятав про це протягом усього навчального процесу, і, отже, шляхи викладання та навчання, представлені у цьому звіті, є як фундаментальними, так і досяжними. Перша область вмісту - це число, включаючи ціле число, операції та відносини. Робота з числом (наприклад, навчитися рахувати) є головною метою багатьох програм раннього дитинства, однак, коли їм надається можливість, діти здатні продемонструвати компетентність у більш витончених математичних заходах, пов'язаних із цілим числом, операціями та відносинами . Наприклад, потужність - знання, скільки їх у наборі - є ключовою частиною навчання числа дітей. Відносини та операції - це продовження розуміння числа. Ядро відносин складається з таких навичок, як побудова відносин, більших, менших і рівних. Ядро операцій включає додавання та віднімання. Другою важливою сферою змісту є геометрія, просторове мислення та вимірювання. Основоположна математика дітей передбачає геометрію або вивчення простору та фігур у двох та трьох вимірах (наприклад, навчання розпізнаванню фігур у багатьох різних орієнтаціях, розмірах та фігурах). Фундаментальне розуміння форми починається з досвіду, коли дітям демонструють різноманітні приклади та неприклади, а також розуміють атрибути фігур, які є математично доречними, а також такі (наприклад, орієнтація, розмір), які не є. По мірі того, як діти просуваються по шляху навчання та навчання, їм потрібні можливості для обговорення та опису фігур, і на основі цього досвіду вони набувають здібностей поєднувати фігури у картинки та врешті-решт вчаться розбирати та складати фігури для створення нових фігур. . Маленькі діти також потребують навчальних заходів, що включають просторову орієнтацію та просторову візуалізацію. Наприклад, вони можуть використовувати уявні уявлення про своє оточення і, на основі представлення, моделювати взаємозв'язки між об'єктами у своєму оточенні. Важливо те, що знання дітей вимірювань допомагає їм пов’язати число та геометрію, оскільки вимірювання передбачає охоплення простору та кількісну оцінку цього покриття. Пізніше діти можуть порівнювати довжини, вимірюючи предмети за допомогою одиниць, якими можна керувати, наприклад, сантиметрові кубики. Число є особливо важливим для подальшого успіху в шкільній математиці, оскільки число та пов'язані з ним поняття складають більшість змісту математики, що охоплюється в пізніших класах. Однак важливо зазначити, що поняття, пов'язані з числом (і відношеннями та операціями), також можна досліджувати за допомогою геометрії та вимірювань. Крім того, геометрія

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 337 та вимірювання забезпечують багатий контекст, в якому діти можуть поглибити свої математичні міркування. Висновок 7: Дві широкі області математичного змісту особливо важливі як фокус для навчання математики в перші роки: (1) число (яке включає ціле число, операції та співвідношення) та (2) геометрія, просторове мислення та вимірювання. У контексті цих основних напрямків змісту маленькі діти повинні брати участь як у загальних, так і в конкретних процесах мислення, які лежать в основі всіх рівнів математики. Сюди входять загальні процеси репрезентації, вирішення проблем, міркування, підключення та спілкування, а також більш конкретні процеси об’єднання, декомпозиції та складання, зв’язку та упорядкування, пошуку закономірностей та структур, організації та класифікації інформації. Іншими словами, діти повинні навчитися математизувати свій світ: зосередившись на математичних аспектах повсякденної ситуації, навчившись представляти та розробляти кількісні та просторові аспекти ситуації, щоб створити математичну модель ситуації, та використовувати цю модель для вирішення проблеми. Висновок 8: У контексті кожної із цих змістових сфер молоді діти повинні брати участь як у загальних, так і у специфічних математичних процесах мислення, як описано вище та в Розділі 2. СИСТЕМА ОСВІТИ РАННЬОГО ДИТИНСТВА Система дошкільного виховання "система доставки" €, який виховує та піклується про дітей до вступу до дитячого садка, має велику різноманітність і найкраще характеризується як нешироко зшита різноманітна програма різноманітних програм та провайдерів, які широко різняться за ступенем, в якому вони формулюють та діють відповідно до своєї освітньої місій або явно призначені для надання освітніх послуг. Типи програм варіюються від друзів та родичів, які піклуються про дітей вдома за допомогою неформальних домовленостей, до великих центрів, у яких працюють вчителі, що пропонують структуровану навчальну програму. Ця різноманітність в системі дошкільного виховання характеризує сьогодні освіту та догляд за маленькими дітьми в Сполучених Штатах. Близько 40 відсотків маленьких дітей проводять свій день вдома, з батьками або з іншим дорослим, який доглядає (цей відсоток включає дітей, що перебувають вдома щодо відносної та нерелятивної опіки, а також дітей, які не мають регулярної ранньої освіти та догляд), і близько 60 відсотків перебувають у певному центрі догляду (сюди входять діти, які перебувають у центрах, що не входять у головний та головний старти). Залежно від типу обстановки, різні правила щодо освіти

338 НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В РАННІМ ДИТИНСТВІ можуть існувати стандарти або очікування, які, в свою чергу, впливають на характер та якість навчального досвіду маленьких дітей від встановлення до обстановки. Дедалі більше політики зосереджуються на тому, як забезпечити якісну дошкільну освіту більшій кількості дітей, особливо тим, чиї сім'ї не можуть дозволити собі за це платити. Ряд штатів рухається до дошкільної освіти, яка фінансується державою, щоб забезпечити раннє навчання та догляд за цими дітьми. У всіх налаштуваннях потрібно збільшити кількість та якість часу, присвяченого математиці. Формальні умови з освітньою програмою представляють найбільшу можливість для реалізації послідовного, послідовного набору навчального досвіду з математики.З цієї причини комітет зосередив увагу на видах навчальної програми та інструкцій, які можна застосовувати в центрах та дошкільних закладах. Комітет приділяв більш обмежену увагу тому, як збільшити підтримку математики в неформальних умовах. Ці підходи обговорюються в розділі «Поза системою освіти». Навчальна програма та інструкція Виклавши бачення оптимальних шляхів викладання та навчання в математиці дошкільного віку, комітет звернувся до бази даних, що стосується навчальної програми та інструкція. Комітет спочатку вивчив ступінь того, наскільки зміст та досвід навчання, втілені у навчально-навчальних шляхах, представлені у сучасних навчальних програмах та дошкільних класах. Далі комітет дослідив, що відомо про ефективні інструктажі з математики для маленьких дітей, і що, можливо, доведеться зробити для вдосконалення існуючої практики. Комітет шукав докази для вирішення двох питань: Що відомо про те, скільки математичних вказівок доступні в даний час дітям у дошкільних закладах і якої якості? Що відомо про найкращі методи навчання та ефективну навчальну програму для навчання математики маленьких дітей? Хоча систематичних даних існує небагато, комітет зміг визначити деякі корисні джерела. Ми провели оригінальний аналіз стандартних документів, що стосуються раннього дитинства, для 49 штатів та тих, що стосуються дитячих садків, для 10 штатів з найбільшим населенням студентів. На основі цих аналізів комітет робить висновок: Висновок 9: Сучасні державні стандарти раннього дитинства в середньому не включають багато математики. Коли математика включена, існує зміна між різними станами у висвітлюваному змісті. Хоча стандарти представляють широкі вказівки держав щодо відповідного змісту для дітей раннього віку, вони не надають

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 339 про те, що насправді відбувається в класах. Для останнього комітет вивчив дані широкомасштабного дослідження викладання в дошкільних закладах, що фінансуються державою, з 11 штатів, а також кількох невеликих досліджень навчальної програми. Результати показують, що, якщо математична діяльність включена в класи раннього дитинства, вона часто представляється як частина інтегрованої або вбудованої навчальної програми, в якій викладання математики є другорядним для інших цілей навчання. Цей вид інтеграції відбувається, коли, наприклад, книжка-розповідь має якийсь математичний зміст, але не призначена висувати математику на перший план, вчитель підраховує або робить просту арифметику під час перекусу або вказує на математичні ідеї, з якими діти можуть зіткнутися під час гри блоків. Однак дані свідчать про те, що велика залежність від інтегрованої або вбудованої математичної діяльності може сприяти тому, що занадто мало часу витрачається на математику в класах раннього дитинства. Крім того, час, який витрачається на діяльність, в якій цілісність і глибина математики є сумнівною. Мало хто з існуючих всеосяжних підходів до навчальної програми для дітей раннього віку забезпечує достатньо цілеспрямовані інструкції з математики, щоб діти могли просуватися по шляху викладання та навчання, рекомендованому комітетом. Висновок 10: Більшість програм дошкільного віку витрачають мало часу на математику, і більшість із них мають низьку якість навчання. Тому втрачається багато можливостей для вивчення математики протягом дошкільного дня. Докази, розглянуті комітетом, свідчать про те, що навчальний час, орієнтований на математику, потенційно є більш ефективним, ніж вбудована математика. Докази, що з’являються в результаті кількох досліджень суворої навчальної програми з математики, показують, що діти, які переживають цілеспрямовані заняття з математики, в яких викладання математики є головною метою, отримують вищі успіхи в математиці і повідомляють, що вони більше насолоджуються математикою, ніж ті, хто цього не робить. Крім того, ці дослідження вказують на те, що спланована послідовність навчальних програм може підтримати математичний розвиток маленьких дітей чутливим та чуйним чином. Додаткові можливості використовувати математику під час математичної гри, соціодраматичної гри та конкретних матеріалів (наприклад, блоки, головоломки, маніпулятори, інтерактивне комп’ютерне програмне забезпечення) можуть надати дітям можливість “практикувати” математику у значущому та захоплюючому контексті. Висновок 11: Навчання дітей математикою можна покращити, якщо вони мають сплановану послідовність навчальних програм, яка використовує дослідницькі шляхи викладання та навчання, описані в цьому звіті, а також інтегрований досвід математики (наприклад, математика в контексті книжки оповідань), які поширюють математичне мислення через гру, дослідження, творчі дії та практики.

340 НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В РАННІМ ДИТИНСТВІ Ефективні навчальні програми математики використовують різноманітні навчальні підходи, такі як поєднання індивідуальних, малих груп та цілогрупових заходів, орієнтованих на математику, що рухає дітей вздовж описуваних шляхів навчання та навчання у цьому звіті. Крім того, у всіх цих контекстах навмисне навчання покращує навчання математики маленьких дітей. Навчальне навчання варіюється від діяльності, керованої вчителем, до реагуючих зворотних зв’язків, які ґрунтуються на та розширюють розуміння дитини. Важливо також залучати дітей до математичних розмов - дискусія між дорослими та дітьми, яка фокусується на математичних поняттях, таких як кількість об'єктів у наборі або як дійти до відповіді - оскільки це полегшує їх математичний розвиток, збільшуючи зв’язки між математичними поняттями, словами та ідеями. Слід зазначити, що комітет не схвалює жодної конкретної моделі чи навчальної програми, швидше за все, ми сподіваємось сказати, що принципи, засновані на дослідженнях, описані в цьому звіті, повинні керувати вибором щодо розробки навчальної програми та інструктажу з математики дошкільного віку. Висновок 12: Ефективні програми ранньої математики використовують різноманітні навчальні підходи та включають навмисне навчання. Докази також вказують на те, що навчання є більш ефективним, коли воно може спиратися на інформацію про поточний рівень розуміння дитини. Таке чуйне навчання може бути здійснене, коли вчителі знають, як використовувати формувальне оцінювання для керівництва навчанням. Формативне оцінювання є важливою складовою того, що повинні знати вчителі, щоб ефективно вести дітей по шляху навчання та навчання математики. Висновок 13: Формативне оцінювання надає викладачам інформацію про сучасні знання та навички дітей для керівництва навчанням і є важливим елементом ефективного викладання математики. Дані досліджень дошкільної освіти вказують на те, що будь-який підхід до навчальної програми та педагогіки є більш ефективним, якщо здійснювати його в контексті позитивного навчального середовища. Позитивні стосунки між дітьми та їх вчителями є ключовим аспектом якісної освіти в дошкільному віці. У цьому класі навчальний клас дітям забезпечується безпечне та поживне середовище, яке сприяє навчанню та позитивним взаємодіям між вчителями та однолітками. Висновок 14: Успішне навчання математики вимагає позитивного навчального середовища, яке повністю залучає дітей та сприяє їхньому ентузіазму до навчання.

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 341 Робоча сила та професійний розвиток Персональна робоча сила - ті, хто виконує як навчальні, так і неінструктивні ролі в умовах раннього дитинства - є ключовою для підтримки академічного, соціального, емоційного та фізичного розвитку дітей раннього віку. Ця робоча сила складається з людей, які виконують різні ролі, розташовані в різних місцях та мають широкий спектр освіти та професійної підготовки. Близько 24 відсотків працівників дошкільного віку перебувають у центральних установах, 28 відсотків перебувають у регульованих домашніх умовах, а близько 48 відсотків працюють в умовах неформального догляду за межами обох цих систем. Хоча більшість фахівців дошкільного віку працюють у неформальних установах, більшість дітей перебувають у центральних установах. Навіть в одній обстановці люди виконують різні ролі, такі як головний викладач, помічник викладача, помічник у класі або адміністратор програми. Рівень і тип навчання можуть варіюватися як за роллю, так і за обстановкою. Наприклад, сім'ї, які надають послуги догляду за дітьми, можуть мати незначну або зовсім не мати спеціальної підготовки з дошкільної освіти, асистент вчителів може мати деякі формальні курсові роботи, а провідні викладачі, що працюють у центрі, можуть мати 4-річний ступінь коледжу (або навіть аспірантуру) зі спеціалізацією в ранньому дитинстві. Ця різноманітність ролей та освітніх традицій створює труднощі для задоволення потреб робочої сили, пов’язаних із підтримкою математики раннього дитинства. Особам, які виконують різні ролі, ймовірно, знадобляться різні види знань та навчання для підтримки математики дітей. Залежно від рівня освіти, також можуть існувати відмінності в знаннях людей з математики, розвитку дітей у математиці та способах підтримки навчання математики. Окрім того, у галузі раннього дитинства історичний акцент робився на навчанні своєї робочої сили для підтримки соціального та емоційного розвитку дітей, приділяючи менше уваги когнітивному розвитку та академічним сферам. Дійсно, академічна діяльність, така як вивчення математики, може бути контекстом, в якому процвітає соціально-емоційний розвиток. Значною мірою наголос на соціально-емоційному розвитку в ранньому дитинстві базується на неправильних інтерпретаціях теорій когнітивного розвитку, тобто уявлення про маленьких дітей, які займаються більш абстрактним мисленням, таким як математика, суперечить розвитку та навчання дітей дошкільного віку. Дослідження математики раннього дитинства спростували це уявлення, але ця ідея все ще поширена в цій галузі і продовжує залишатися проблемою для переходу від досліджень до практики. Висновок 15: Багато працівників у ранньому дитячому віці не знають, на що здатні маленькі діти з математики, і можуть не визнати свого потенціалу для вивчення математики.

342 НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В РАННІЙ ДИТИНІ Професійний розвиток, який, як правило, забезпечує навчання тих, хто вже працює, може бути життєво важливим механізмом надання викладачам нових або оновлених навичок та знань, які їм потрібні, та охоплення тих працівників, які мають мало або відсутність офіційного навчання. На основі досліджень на рівні К-12 тривають ефективні підходи до підвищення кваліфікації з математики, які ґрунтуються на теорії, прив'язані до навчальної програми, встановлені робочими місцями та доставляються принаймні частково на місці знаним тренером. хто дає вчителю час для роздумів. Комітет розглянув нові дані досліджень, проведених в умовах раннього дитинства, які підтверджують ці висновки. Ці дослідження вказують на те, що професійний розвиток, орієнтований на розуміння прогресу розвитку дітей у математиці в контексті навчальної послідовності, заснованої на дослідженнях, може покращити ефективність навчання вчителів. Намагання забезпечити професійний розвиток вчителів є однією з важливих складових успішного вдосконалення навчання, але стійкі зміни також потребуватимуть співпраці адміністраторів, вчителів та батьків. Висновок 16: Підвищення кваліфікації вчителів та іншого персоналу для підтримки викладання та навчання математики має важливе значення для ефективної реалізації математичної освіти дошкільного віку. Корисний професійний розвиток вимагатиме постійних зусиль, які передбачають допомогу вчителям (а) зрозуміти необхідну математику, ключові шляхи викладання та навчання та принципи навмисного викладання та навчальної програми та (б) навчитися виконувати навчальну програму. Дані, розглянуті комітетом про офіційну підготовку вихователів дошкільного віку (курси, що проходять в рамках асоційованого або магістерського ступенів), вказують на те, що є мало можливостей дізнатись про розвиток дітей у математиці або як навчити математику до раннього дитинства . Для кращої підготовки викладачів дошкільного віку з математики необхідні додаткові курси та додаткові матеріали в існуючих курсах, що висвітлюють розвиток дітей у математиці та математичній педагогіці. Крім того, системи ліцензування та реєстрації надають значний вплив на зміст та досвід програм дошкільної освіти в ранньому дитинстві, і мало хто включає математичні вимоги. Висновок 17: Підготовка вихователів дошкільного віку до підготовки, як правило, включає небагато можливостей дізнатись про математичний розвиток дітей або як його підтримати. Вимоги до ліцензування та сертифікації для вчителів та програм кредитування є потенційними важелями для збільшення кількості уваги, що надається підтримці математики.

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 343 На додаток до вже викладених проблем щодо різноманітного навчання та налаштування робочої сили, залучення та утримання кваліфікованих осіб на роботу в ранньому дитинстві є складним через погану компенсацію, відсутність пільг та високий рівень обороту в поле. Ця ситуація створює додатковий виклик для розробки досвіду, що передує службі та під час роботи, який може покращити знання вихователя дошкільного віку про те, як підтримати навчання маленьких дітей з математики. Висновок 18: Поліпшення вимог до підготовки та знань для вчителів дошкільного віку представлятиме значні виклики, якщо не будуть розглянуті існуючі питання найму, компенсацій, пільг та великої текучості. ПОЗА СИСТЕМОЮ ОСВІТИ Значна кількість (близько 40 відсотків) дітей не відвідує центрів, а навпаки, їх виховують і опікуються батьки, родичі або інші дорослі вдома. Батьки або інші особи, які виховують дітей, слугують першими вчителями дітей. Докази, розглянуті комітетом, свідчать про те, що вони можуть відігравати ключову роль у формуванні раннього навчання дітей математикою за допомогою таких видів діяльності, як заохочення гри з блоками та іншими маніпуляціями, навчання числа слів, грати в лічильні та настільні ігри, сортувати, класифікувати, писати та переглядати освітні телевізійні програми, розмовляючи з дітьми про те, що вони дивляться. Показано, що математичні розмови є особливо ефективним способом для дорослих підтримати розвиток математичних ідей. Насправді розмови з математики, що починаються ще в дитинстві, пов’язані з дитячими математичними знаннями при вступі до дошкільного навчального закладу. Крім того, неформальні навчальні середовища, такі як бібліотеки, музеї та громадські центри, потенційно можуть стати ресурсами, які батьки та опікуни можуть використовувати для залучення дітей до математичної діяльності. Висновок 19: Сім'ї можуть сприяти розвитку математичних знань та навичок, оскільки вони визначають очікування та створюють стимулююче середовище. Однак дані свідчать про те, що сім'ї з низьким рівнем СЕЗ рідше, ніж сім'ї з вищих соціально-економічних груп, беруть участь у практиці, що сприяє розвитку мовної та математичної компетентності. Незважаючи на те, що багато типів освітніх програм розроблено для сприяння використанню цих практик серед батьків із низьким рівнем СЕЗ, є мало свідчень про якості, які роблять такі зусилля успішними. Навчальні програми для батьків, засновані на моделях, які ставлять батьків у традиційну роль учнів

344 МАТЕМАТИКА НАВЧАННЯ В РАННЬОМУ ДИТИНСТВІ навчання від «експертів» має труднощі з підтримкою участі сім'ї настільки довго, щоб досягти успіху. Висновок 20: Навчальні програми для батьків можуть покращити математичний досвід батьків, однак існує мало свідчень про те, як розробляти такі програми, щоб зробити їх ефективними. Ресурси, доступні батькам та іншим вихователям, а також ті, що доступні через неформальні освітні середовища (наприклад, бібліотеки, музеї, громадські центри), також можуть бути ефективним механізмом підтримки навчання дітей математики. Наприклад, навчальні телевізійні програми та програмне забезпечення можуть навчити дітей математиці. Комітет розглянув дослідження програмного забезпечення та освітніх програм, а також моделей громадських програм, що просувають математику, і робить висновок: Висновок 21: За умови належного математичного змісту та підтримки дорослих засоби масової інформації (наприклад, телебачення, комп'ютерне програмне забезпечення) як а також можливості навчання на базі громади (наприклад, музеї, бібліотеки, громадські центри) можуть залучати та навчати маленьких дітей з математики. Такі ресурси можуть забезпечити додаткові можливості вивчення математики для маленьких дітей, особливо тих, хто може не мати доступу до якісних програм ранньої освіти. РЕКОМЕНДАЦІЇ Як випливають із висновків комітету, потрібно зробити ще багато роботи, щоб надати маленьким дітям можливості навчання з математики, які їм потрібні. Таким чином, комітет вважає надзвичайно важливим розпочати інтенсивні національні зусилля для розширення можливостей вивчення математики в умовах раннього дитинства, щоб забезпечити, щоб усі діти вступили до школи з математичними основами, необхідними для успіху в навчанні. Принципи, засновані на дослідженнях, та шляхи викладання та навчання математики, описані у цьому звіті, також можуть зменшити диспропорції в освітніх результатах між дітьми з низьким рівнем СЕЗ та їхніми вищими серед СЕС. На сьогоднішній день дослідження того, як маленькі діти вивчають ключові поняття з математики, має чіткі наслідки для практики, проте ці висновки не широко відомі та не застосовуються вихователями дошкільного віку або навіть тими, хто навчає викладачів дошкільного віку. Цей звіт зосереджений на синтезі та перекладі цієї доказової бази в придатну для використання форму, яка може бути використана для керівництва національними зусиллями. Тому комітет рекомендує:

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 345 Рекомендація 1: Необхідно запровадити скоординовану національну ініціативу з математики дошкільного віку для вдосконалення викладання та навчання математики для всіх дітей віком від 3 до 6 років. З цієї загальної рекомендації випливає низка конкретних рекомендацій щодо дій. Конкретні кроки та особи чи організації, які повинні брати участь у їх введенні, описані нижче. Рекомендація 2: Математичний досвід у ранньому дитинстві повинен зосередитись на (1) числі (що включає ціле число, операції та відношення) та (2) геометрії, просторових відношеннях та вимірюванні, при цьому більше часу на вивчення математики приділяється число, ніж до інших тем. Цілі математичного процесу повинні бути інтегровані в ці сфери змісту. Діти повинні розуміти концепції та засвоювати навички, проілюстровані на шляхах викладання та навчання, описаних у цьому звіті. В обох напрямках змісту слід приділяти достатньо часу навчанню, щоб діти могли досконаліше володіти поняттями та навичками, викладеними на шляху навчання та навчання.Крім того, загальні та конкретні цілі математичного процесу (див. Розділ 2) повинні бути інтегровані зі змістом, щоб дозволити дітям встановити зв'язок між математичними ідеями та поглибити свої математичні міркування. Ця нова змістовна увага вимагатиме, щоб усі залучені переосмислили, як вони бачать і розуміють математику, яку вивчають у ранньому дитинстві. Цілі, програми, навчальні програми та професійний розвиток у ранньому дитинстві повинні бути проінформовані та адаптовані до дослідницьких шляхів викладання та навчання, викладених у цьому звіті. Тому комітет рекомендує: Рекомендація 3: Усі програми для дітей раннього віку повинні забезпечувати високоякісні навчальні програми та інструкції з математики, як описано у цьому звіті. Кожна програма для дошкільного віку потребуватиме продуманої продуманої навчальної програми, яка включає послідовність навчальних занять з математики, а також орієнтований на дитину досвід, який підтримується вчителем. Такі навчальні програми повинні базуватися на моделях навчання, які підходять для маленьких дітей та підтримують їх емоційний та соціальний розвиток, а також їх пізнавальний розвиток. Як зазначалося раніше, ефективні навчальні програми з математики використовують різноманітні навчальні підходи і повинні включати можливості для розширення математичного мислення дітьми через гру, дослідження, творчі дії та практику. Програмам потрібно буде переглянути, переглянути та узгодити свої існуючі стандарти

346 НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В РАННІМ ДИТИНСТВІ, професійний розвиток, навчальний план та матеріали для досягнення навчально-навчальних шляхів для математичної освіти дошкільного віку, представлених у цій доповіді. Особливо важливо, щоб діти, які живуть у бідності, отримували такий якісний досвід, щоб вони ходили в перший клас нарівні з дітьми з більш сприятливих верств населення. Це означає, що реалізація наших рекомендацій програмами, що обслуговують економічно неблагополучних дітей, такими як “Старт” та програми, які фінансуються державою для раннього виховання дітей, є особливо актуальною. Щоб внести рекомендовані зміни, програми для дітей раннього віку потребуватимуть чітких директивних вказівок для цього. Щоб заохотити це, комітет рекомендує: Рекомендація 4: Держави повинні розробити або переглянути свої стандарти або рекомендації щодо раннього навчання дітей, щоб відобразити шляхи викладання та навчання, описані в цьому звіті. З огляду на свіжі знання та перспективи, які дає цей звіт, важливо, щоб держави переглядали свої стандарти та рекомендації щодо раннього навчання та розвитку, щоб переконатись, що вони відображають відповідний наголос на ранній математиці. З цією метою ми закликаємо всі держави вивчити свої рекомендації щодо раннього навчання та розвитку, по-перше, визначити, що достатньо підкреслюється значення математики для розвитку маленьких дітей, і, по-друге, забезпечити, щоб зміст математики на (1) число (включаючи ціле число, операції та відношення) та (2) геометрію, просторове мислення та вимірювання. Рекомендація 5: Розробники навчальних програм та видавці повинні базувати свої матеріали на принципах та шляхах викладання та навчання, описаних у цьому звіті. Педагогам та програмам для раннього дитинства потрібні відповідні матеріали для підтримки математичного розвитку та навчання дітей. Розробники навчальних програм та видавці, які виробляють матеріали для навчальної програми, інструкцій та оцінки, повинні переглянути та оновити їх так, щоб вони відображали принципи, сформульовані у цьому звіті. Успіх цих загальних зусиль повинен буде зосередитись на охопленні як діючої робочої сили дошкільного віку, так і викладачів, які працюють на вищій службі, щоб надати їм навички та знання, необхідні для викладання математики. Таким чином, ми даємо декілька рекомендацій стосовно викладачів та робочої сили. Рекомендація 6: Суттєвим компонентом скоординованої національної ініціативи з математики дошкільного віку є надання професійного розвитку вчителям, які працюють у дошкільному віці, що допомагає їм

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 347 (а) зрозуміти необхідну математику, ключові навчальні шляхи навчання та принципи навмисного навчання та навчальну програму та (b) навчитися виконувати навчальну програму. Застосування теоретичних знань викладачів до навчальної програми з потужним математичним компонентом надає їм можливість отримати зворотний зв’язок та поміркувати про навчальні практики, які вони насправді застосовуватимуть у класі. Професійний розвиток також повинен зосереджуватись на переконаннях вчителів щодо математики дітей, діяльності та ресурсах у класі, які можуть сприяти математичному розвитку дітей, а також їх знанням практики оцінювання, пов'язаної з навчальною програмою. Всі ці важливі сфери повинні бути включені в професійний розвиток висококваліфікованого педагога-педагога. Для впровадження високоякісних інструктажів з математики Комітет також рекомендує навчити викладачів дошкільного віку використовувати цілий ряд ефективних навчальних стратегій у різних форматах, включаючи вивчення та практику роботи цілої групи, пари / малої групи та ігрова та цілеспрямована діяльність. Серйозні зусилля для вдосконалення підготовки дошкільних вчителів потребуватимуть державного ліцензування / сертифікації, акредитації та визнання, а також систем акредитації, які оцінюють компетентність і якість викладачів. Математика раннього дитинства, описана в цьому звіті, повинна бути відображена в основних компонентах цих систем та програм. Рекомендація 7: Необхідно змінити вимоги до курсових робіт та практичних занять для вихователів дошкільного віку, щоб відобразити посилений акцент на математиці дітей, як описано у звіті. Ці зміни повинні також вноситись і застосовуватися організаціями дошкільного віку, які контролюють акредитацію, акредитацію та визнання програм професійного розвитку вчителів. Комітет також визнає необхідність виходу за рамки офіційної системи дошкільної освіти, щоб охопити сім'ї та громади - обидва з яких мають сильний вплив на навчання маленьких дітей. Важливою складовою охоплення всіх дітей потрібно буде включити стратегії, спрямовані на дітей, які перебувають в інших місцях, таких як будинки чи догляд за дітьми в сім'ї. Рекомендація 8: Слід створити партнерські стосунки щодо дошкільної освіти між сімейними та громадськими програмами, щоб вони мали можливість спільно працювати над просуванням математики дітей. Наприклад, сімейні програми навчання та підтримки, такі як Програма розвитку сімейних стосунків та спільноти спільнот, повинні включати

348 НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ В РАННІЙ ДИТИНСТВІ, яка надає родинам та громадам рекомендації щодо того, чому вони повинні це робити, і як вони можуть допомогти дітям розвинути ключові математичні ідеї та навички. Крім того, фахівці, що працюють з сім'ями, повинні пройти навчання, орієнтоване на знання та навички ранньої математики, а також мати доступ до програм та ресурсів з домашньої математичної діяльності. З цією метою існує потреба у розробці більшої кількості ресурсів, які можуть підтримувати математику в неформальних умовах та за допомогою засобів масової інформації та технологій. Рекомендація 9: Існує потреба в посиленому неформальному програмуванні, навчальних ресурсах, програмному забезпеченні та інших засобах масової інформації, які можуть бути використані для підтримки математичного навчання маленьких дітей у таких умовах, як будинки, громадські центри, бібліотеки та музеї. МАЙБУТНІ ДОСЛІДЖЕННЯ У своїй роботі комітет провів всебічний огляд наявних доказів, пов’язаних з розвитком математики та навчанням у ранньому дитинстві. Як зазначалося, ми визначили, що доказова база є достатньо надійною, щоб направляти основну національну ініціативу з ранньої математики. Проте залишаються прогалини у базі знань про математичну освіту дітей. Ми вважаємо надзвичайно важливим, щоб дослідницька база продовжувала прогресувати в ряді ключових сфер, зазначених нижче. Наслідки для тих, хто вивчає англійську мову. ”Ƒ Все частіше в класах раннього дитинства обслуговується значна кількість дітей, рідною мовою яких є не англійська, і ці діти будуть дотримуватися тих самих очікувань щодо майбутніх досягнень, що й діти, рідною мовою яких є англійська. На сьогоднішній день мало опублікованих досліджень досліджували викладання та вивчення математики з дітьми дошкільного віку, які одночасно вивчають англійську мову. Комітет рекомендує провести дослідження, яке може допомогти визначити найкращі методи підвищення математичного навчання дітей раннього віку, які розмовляють рідною мовою, відмінною від англійської. Дослідження ролі вчителів у забезпеченні ефективного навчання. ”Нещодавно дослідники досягли прогресу в розумінні процесу викладання математики на рівні початкової школи. Це дослідження підкреслює роль знань і навичок вчителів, включаючи їх знання математики, їх розуміння математичного мислення та навчання дітей та їх знання педагогічного змісту (тобто їх знання про те, як структурувати клас і навчальну програму та залучати дітей у діяльності, щоб математика була доступною). Однак набагато менше уваги до подібних питань спостерігається в умовах раннього дитинства. Дослідження необхідні, щоб визначити, в якій мірі результати дослідження в Росії

ВИСНОВКИ ТА РЕКОМЕНДАЦІЇ 349 вищі класи застосовуються до навчання математики в ранньому дитинстві та того, що може бути унікальним для раннього дитинства. Оцінка навчальних програм. В ході нашого огляду математики раннього віку стало ясно, що багато з наявних навчальних програм не були ретельно оцінені на предмет ефективності. Потрібний якісний пошук навчальної програми, який відстежує ефективність навчальних програм під час впровадження, використовуючи теорії та навчальні моделі, які спочатку використовувались для керівництва розробкою навчальної програми. Це дослідження повинно також враховувати, як різноманітність у дитячому середовищі та в різних навчальних середовищах впливає на реалізацію та ефективність. Для досягнення цих цілей комітет рекомендує дослідженню та розробці навчальних програм проходити етапи: від ранніх оглядів відповідних досліджень до створення навчальних матеріалів, щоб допомогти дітям на шляху викладання та навчання у цьому звіті, до циклів базового оцінювання та, нарешті, до підтверджувальної оцінки з використанням суворих конструкцій, на всіх етапах інтегруються кількісні та якісні методології. Дослідження цього типу допоможуть забезпечити, щоб програми для дітей раннього віку могли робити обґрунтований вибір на основі фактичних даних серед навчальних програм. Ефективна підготовка вчителів. ”Значна частина останніх досліджень з підготовки вихователів дошкільного віку була зосереджена на тому, чи є ступінь бакалавра ефективним маркером для компетентності вчителів. Хоча цей напрямок досліджень був корисним для виявлення деяких навичок вчителів, які пов’язані з позитивними результатами навчання дітей, наукові дослідження у цій галузі мають вийти за рамки B.A./non-B.A. розрізнення. Комітет рекомендує дослідженню ефективності вчителів дошкільного віку зосередитись на змісті та якості програм підготовки вчителів, а не на тому, чи мають вчителі ступінь бакалавра. Залучення батьків. ”Незрозуміло, чому сім’ї з низьким рівнем СЕС часто не беруть участі в освітніх заходах і що можна зробити для сприяння їхній участі у цих програмах. Тому Комітет рекомендує проводити кращі описові дослідження, які б вивчали, що батьки розуміють щодо підтримки математичного навчання своїх дітей, і як сприяти залученню батьків до цих зусиль. Більше того, якщо батьки мають знання про те, як підтримати математичний розвиток своїх дітей, але не застосовують ці знання на практиці, важливо, щоб дослідження вивчали перешкоди, що перешкоджають їх активному просуванню математики дошкільного віку. Втручання для дітей з обмеженими можливостями навчання. ”Дослідження труднощів у навчанні та обмежень у математиці - це зароджується область

350 МАТЕМАТИКА НАВЧАННЯ В РАННІЙ ДИТИНІ досліджень, які потребують розширення. Подальші дослідження необхідні для кращого розуміння того, які компетентності раннього числа передбачають майбутній успіх у математиці. Подібне дослідження може допомогти виявити дітей, яким загрожує труднощі з навчанням або інвалідність з математики у дошкільний вік, розробити цілеспрямовані заходи для таких дітей та перевірити їх ефективність.