Статті

8.1: Рівняння Лапласа - математика

8.1: Рівняння Лапласа - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Вступ

Наступне диференціальне рівняння з частковими частками називається двовимірним рівнянням Лапласа:
begin {рівняння} displaystyle frac { частковий ^ {2} w} { частковий x ^ {2}} + frac { частковий ^ {2} w} { частковий y ^ {2}} = 0 label {laplace} end {рівняння}

де (w (x, y) ) - невідома функція з двома змінними (x ) та (y ). Проблема полягає в тому, щоб знайти рішення цього рівняння, а саме знайти функцію (w (x, y) ), яка задовольняє рівняння ref {laplace}. Це рівняння використовується для моделювання різних фізичних величин.

Приклад ( PageIndex {1} )

Нехай (k ) - дійсне число. Покажіть, що функції (w = e ^ {kx} cos (ky) ) та (w = e ^ {kx} sin (ky) ) задовольняють рівняння lapalce ref {laplace} у кожній точці ( mathbb {R ^ 2} ).

Рішення

Нехай (w = e ^ {kx} cos (ky) ). Тоді ми маємо,
(
dfrac { частково w} { частково x} = ke ^ {kx} cos (ky), dfrac { частково w} { частково y} = - ke ^ {kx} sin (ky), )
що передбачає ( displaystyle frac { частковий ^ {2} w} { частковий x ^ {2}} = k ^ {2} e ^ {kx} cos (ky), displaystyle frac { частково ^ {2} w} { частково y ^ {2}} = - k ^ {2} e ^ {kx} cos (ky) ).

Розглянемо ( displaystyle frac { частковий ^ {2} w} { частковий x ^ {2}} + frac { частковий ^ {2} w} { частковий y ^ {2}} = k ^ { 2} e ^ {kx} cos (ky) -k ^ {2} e ^ {kx} cos (ky) = 0 ).

Отже, що функція (w = e ^ {kx} cos (ky) ) задовольняє рівняння ref {laplace}. Аналогічно функція (w = e ^ {kx} sin (ky) ) задовольняє рівняння ref {laplace}.

Визначення

Функція (w (x, y) ) двох змінних, що мають неперервні другі часткові похідні в області площини, називається гармонічною, якщо вона задовольняє рівняння Лапласа ref {laplace}.

Вправа ( PageIndex {1} )

Покажіть, що ( ln (y ^ 2 + x ^ 2) ) є скромним скрізь, крім місця початку.

Перетворення рівняння Лапласа в полярні координати

Розглянемо перетворення на полярні координати, (x = r cos ( theta), y = r sin ( theta), ) реалізує те, що (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) та ( tan ( theta) = y / x. ) Ми можемо використовувати ці рівняння, щоб виразити ( dfrac { частковий ^ 2w} { частковий x ^ 2} + dfrac { частковий ^ 2w} { частковий y ^ 2} ) з точки зору часткових значень (w ) щодо (r ) та ( theta. )


Рівняння Лапласа

Це називається рівнянням Пуассона, узагальненням рівняння Лапласа. Рівняння Лапласа та рівняння Пуассона - найпростіші приклади еліптичних диференціальних рівнянь з частковими похідними. Рівняння Лапласа також є окремим випадком рівняння Гельмгольца.

Загальна теорія розв’язків рівняння Лапласа відома як теорія потенціалу. Рішеннями рівняння Лапласа є гармонічні функції [1], які важливі в багатьох галузях фізики, зокрема електростатиці, гравітації та динаміці рідини. При дослідженні теплопровідності рівняння Лапласа є стаціонарним рівнянням теплоти. [2] Загалом рівняння Лапласа описує ситуації рівноваги або ті, які явно не залежать від часу.


MWF 11: 00-11: 50 ранку (Face-Face Lewis 304)

Т 11: 00-11: 50 ранку (Інтернет WeBeX)

Це просто чергова лекція, але в Інтернеті.

Класифікація: % Курсу визначається:

Проміжна 1 М1 100
Проміжна 2 М2 100
Фінал F 100
Вікторини Q 100
________________________________
400

Фінал не є вичерпним.
Шість вікторин кожна по 20 балів
буде дано. Ваша найкраща 5 вікторина
оцінки визначають Q вище.

Результати іспиту та вікторини будуть
розміщено в D2L.

Вказуються дати іспитів та вікторин
на розклад нижче. Їх зміст
буде оголошено в класі і
розміщено нижче

Всі іспити / вікторини закриті.

Немає електронних пристроїв / телефонів
дозволяються.

Навчальний план: Матеріал, викладений у тексті, з:

Глава 1 Вступні визначення
Глава 2 Методи ODE першого порядку
Розділ 3 Моделі першого порядку
Глава 4 Лінійні методи ODE другого порядку
Глава 6 Диференціальні рівняння вищого порядку
Розділ 7 Перетворення Лапласа
Розділ 9 Лінійні системи

Домашнє завдання: Запропоновано домашнє завдання наведено нижче.

Хоча домашнє завдання є не оцінено
він є представником видів
питання, які будуть на вікторинах
і іспити.

Додаткові оглядові роздаткові матеріали та лекції
примітки будуть розміщені в D2L під
"Зміст" у міру розвитку курсу.



Розклад

Запропоновані домашні завдання та навчальна програма

Фінал: ср. 28 квітня, 11: 00-11: 50 ранку

Зал Льюса 304 (звичайний клас)

Глава 9: опис нижче

Перегляньте проблеми, опубліковані в D2L

Іспит та вікторина Описи вмісту:

Основні визначення (лінійні, порядку.), Явні та неявні рішення диференціальних рівнянь, перевірка y (x) є рішенням, пошук ODE для неявних рішень, відокремлювані рівняння та вирішення проблем початкових значень (IVP). НЕ буде нічого про проблему падіння тіла в (2.1), ні про метод серії Тейлора в главі 1.

знати відокремлювані, лінійні, точні, однорідні визначення Бернуллі та методи розв’язання. Одним із запитань буде діаграма, де ви вирішите, чи є точний лінійний, однорідний, відокремлюваний, Бернуллі. Три питання будуть прямими рішеннями ОДЕ першого порядку вищезазначених типів.

Фундаментальні матриці, загальні розв’язання та розв’язання проблем початкових значень. Для матриці 2 на 2 A, знаходження загального розв’язку x '= Ax, де A має i) реальні різні власні значення, складні власні значення та реальні повторювані власні значення

Іспит охоплюватиме матеріали з наступних розділів підручника:

  1. Розділ 1.1 Визначення та теорія ODE
  2. Розділ 1.2 Явні / неявні рішення IVP, унікальність існування
  3. Розділ 2.2 Відокремлені рівняння
  4. Розділ 2.3 Лінійні рівняння
  5. Розділ 2.4 Точні рівняння
  6. Розділ 2.6 Однорідні рівняння та рівняння Бернуллі
  7. Розділ 3.2 Проблеми змішування (без проблем з населенням)
  8. Розділ 3.4 Механіка Ньютона - падаючі тіла, тертя, ракети
  • Вам доведеться вирішити відокремлюване, лінійне, точне, однорідне та рівняння Бернуллі. Це формує основну частину іспиту (близько 70%)
  • Буде проблема з додатком: Тільки проблема змішування (15%)
  • Буде ні питання щодо інших застосувань: механіка Ньютона, схеми.
  • Одне питання вимагатиме від вас класифікації типів диференціальних рівнянь (15%).
  • Зразки проблем, розміщені у D2L, є гарним показником рівня складності проблем.

Опис вмісту проміжного періоду 2

Іспит охоплюватиме матеріали з наступних розділів підручника: 4.2-4.7, 4.9

  1. Постійний коефіцієнт однорідного y порядку 2 h (т)
  2. Постійний коефіцієнт однорідного 3-го порядку y h (t) з одним відомим розчином (див. оглядовий аркуш)
  3. Постійний коефіцієнт 2-го порядку: Метод невизначених коефіцієнтів для y стор (т)
  4. Загальні рішення y (t) = y h (t) + y стор (t), Проблеми початкової вартості, Вронскіан за незалежність
  5. Коші Ейлер 2-го порядку однорідний y h (т)
  6. Варіація методу параметрів для y стор (t) - стандартна форма.
  7. Зменшення порядку: однорідний розчин у 2 (t) з заданого однорідного y 1 (т)
  8. Механічні вібрації: Форма амплітудної фази y = A sin (wt + phi) для відсутність випадку тертя
  • Буде проблема амплітудно-фазової (10-15%). Насправді з кожного пункту 1-8 вище буде запитання з єдиним можливим винятком 2.
  • Зразки огляду, опубліковані в D2L, є гарним показником рівня складності проблем, але цей аркуш має лише одну амплітудно-фазову проблему.
  • Примітка: невизначені коефіцієнти ТІЛЬКИ для L (y) = ay '' + by '+ cy = f, а не L (y) = ax 2 y' '+ bxy' + cy = f
  • Запитань щодо перетворення Лапласа не буде

Остаточний: Опис вмісту

Середа, 28 квітня - 11: 00-11: 50 ранку у Льюїс Холі 304 (звичайне місце занять)

Матеріал з розділів 9.4-9.8 підручника

Висвітлені теми

  • Системи: Незалежність, Вронскіан, Фундаментальна матриця X (t)
  • Системи: загальне рішення для однорідних / неоднорідних систем
  • Системи: Розв’язування задач початкової вартості за допомогою фундаментальної матриці X (t)
  • Системи: Постійна A (2x2): реальні різні власні значення
  • Системи: Постійна A (2x2): реальні повторювані власні значення
  • Системи: Постійна A (2x2): складне власне значення
  • Системи: варіація параметрів

Марк Пернаровський
Доцент
Кафедра математичних наук
Університет штату Монтана
Боузмен, MT 59717


8.1: Рівняння Лапласа - математика

Ви ось-ось стерти свою роботу з цієї діяльності. Ви впевнені, що хочете це зробити?

Доступна оновлена ​​версія

Існує оновлена ​​версія цієї діяльності. Якщо ви оновите останню версію цієї діяльності, ваш поточний прогрес у цій діяльності буде стертий. Незалежно від цього, ваш запис про завершення роботи залишиться. Як ви хотіли б продовжити?

Редактор математичних виразів

Враховуючи перетворення Лапласа певної функції, ми вивчаємо методи відновлення функції.

Зворотне перетворення Лапласа

Визначення зворотного перетворення Лапласа

У траншеї 8.1 ми визначили перетворення Лапласа за. Ми також скажемо, що це зворотне перетворення Лапласа , і написати Для розв'язування диференціальних рівнянь за допомогою перетворення Лапласа ми повинні мати можливість отримати з його перетворення. Для цього існує формула, але ми не можемо її використовувати, оскільки вона вимагає теорії функцій складної змінної. На щастя, ми можемо використовувати таблицю перетворень Лапласа, щоб знайти зворотні перетворення, які нам знадобляться.

пункт: 8.2.1b Налаштування в парі перетворень показує, що

Наступна теорема дозволяє нам знайти зворотні перетворення лінійних комбінацій перетворень у таблиці. Доказ опускаємо.

Обернені перетворення Лапласа раціональних функцій

Використання перетворення Лапласа для розв’язування диференціальних рівнянь часто вимагає знаходження зворотного перетворення раціональної функції, де і є поліномами без спільних множників. Оскільки можна показати, що якщо це перетворення Лапласа, нам потрібно лише розглянути випадок, де. Для отримання ми знаходимо часткове часткове розкладання, отримуємо обернені перетворення окремих доданків у розкладі з таблиці перетворень Лапласа і використовуємо властивість лінійності зворотного перетворення. Наступні два приклади це ілюструють.

Ярлик, використаний у другому розв’язанні прикладу прикладу: 8.2.4, - це метод Хевісайда. Наступна теорема формулює цей метод формально.

Ліва частина (рівняння: 8.2.12) пропонує нам взяти, щоб отримати, і отримати. Тепер ми можемо вибрати будь-яке третє значення для визначення. Беручи врожайність. Оскільки це означає, що. Тому і

Деякі програмні пакети, що виконують символічну алгебру, можуть дуже легко знайти розширення часткових дробів. Ми рекомендуємо використовувати такий пакет, якщо він вам доступний, але лише після того, як ви самостійно зробите достатньо часткових розширень дробу, щоб освоїти техніку.

Джерело тексту

Тренч, Вільям Ф., “Елементарні диференціальні рівняння” (2013). Викладачі та редаговані книги та компакт-диски з підсилювачами 8. (CC-BY-NC-SA)


8.1: Рівняння Лапласа - математика

Цей курс є почесним вступом до диференціальних рівнянь. Ми охопимо більшість матеріалів із стандартного курсу, а також деякі додаткові теми. Наша основна увага буде зосереджена на вивченні лінійних систем, а потім на використанні цих знань для вивчення якісної поведінки нелінійних систем.

Лекції: понеділок та середа 12-1: 15 PM у Krieger 308. Секція засідає у п’ятницю 12-12: 50 PM у Krieger 308.

Набори завдань будуть проводитись у класі по середах - див. Графік нижче для дат. Жодне пізнє домашнє завдання не приймається. Найнижча оцінка домашнього завдання буде відхилена.

Графік роботи: Алекс Підстава: понеділок, 15:00. Джейкоб Бернштейн: вівторок, 15:00 або за домовленістю.

Список літератури

  • М. У. Гірш, С. Смейл і Р. Девані, “Диференціальні рівняння, динамічні системи та вступ до хаосу”, 3-е видання (обов’язково)
  • У. Бойс і Р. ДіПріма, "Елементарні диференціальні рівняння та крайові задачі", 10-е вид. (необов’язкове посилання)

Іспити

Буде три іспити. Два у класі проміжні терміни та фінал.

Дати іспитів: Перший проміжний термін: середа, 8 жовтня. Другий проміжний період: середа, 5 листопада. Підсумковий іспит: середа, 17 грудня, 9:00 - 12:00.

Обчислення

Хоча це не є важливим для курсу, вміння складати рішення за допомогою комп’ютера може значно допомогти вам зрозуміти. Будучи студентом Хопкінса, ви маєте право на безкоштовну копію Mathematica, яка має всі інструменти (і багато іншого!) Для цього. Інструкції щодо отримання вашої копії тут. Якщо ви хочете використати щось з менш крутою кривою навчання, ви можете знайти онлайн-аплет Java, який намічає поля схилу та рішення тут. Дивіться цю сторінку, якщо у вас виникли проблеми із запуском аплету.


8.1: Рівняння Лапласа - математика

Наступне диференціальне рівняння в частинних похідних, яке ми збираємося вирішити, це двовимірне рівняння Лапласа,

Закономірне питання, яке слід поставити перед тим, як ми почнемо вивчати, як це вирішити, - чи з’являється це рівняння природним чином де-небудь? Відповідь - дуже рішуче так! Якщо розглянути двовимірне рівняння теплоти,

Ми можемо бачити, що рівняння Лапласа відповідало б знаходженню рівноважного рішення (тобто незалежне від часу рішення), якщо не було джерел. Отже, це рівняння, яке може виникнути у фізичних ситуаціях.

Те, як ми розв’яжемо рівняння Лапласа, буде залежати від геометрії 2-D об’єкта, на якому ми його розв’язуємо. Почнемо з розв’язування його на прямокутнику, заданому (0 le x le L ), (0 le y le H ). Для цієї геометрії рівняння Лапласа разом із чотирма граничними умовами матиме

Одне з важливих речей, на яке слід звернути увагу, це те, що на відміну від рівняння теплоти, ми не матимемо тут жодних початкових умов. Обидві змінні є просторовими змінними, і кожна змінна зустрічається у похідній 2-го порядку, тому нам потрібні дві граничні умови для кожної змінної.

Далі, зауважимо, що, хоча диференціальне рівняння з частинними похідними є одночасно лінійним та однорідним, граничні умови є лише лінійними та не є однорідними. Це створює проблему, оскільки для розділення змінних потрібні однорідні граничні умови.

Щоб повністю розв’язати рівняння Лапласа, насправді нам доведеться розв’язати його чотири рази. Кожного разу, коли ми її вирішуємо, лише одна з чотирьох граничних умов може бути неоднорідною, тоді як решта три будуть однорідними.

Чотири проблеми, мабуть, найкраще показати за допомогою швидкого ескізу, тому давайте розглянемо наступний ескіз.

Тепер, як тільки ми вирішимо всі ці чотири проблеми, рішення нашої початкової системи, ( eqref), буде,

Оскільки ми знаємо, що рівняння Лапласа є лінійним та однорідним, і кожна з частин є рішенням рівняння Лапласа, тоді сума також буде рішенням. Крім того, це задовольнить кожну з чотирьох початкових граничних умов. Ми перевіримо першу, а решту залишимо вам для підтвердження.

[u ліворуч ( праворуч) = ліворуч ( праворуч) + ліворуч ( праворуч) + ліворуч ( праворуч) + ліворуч ( праворуч) = ліворуч (x праворуч) + 0 + 0 + 0 = ліворуч (x праворуч) ]

У кожному з цих випадків одинока неоднорідна гранична умова займе місце початкової умови в задачах рівняння теплоти, які ми вирішували пару розділів тому. Ми застосуємо поділ змінних до кожної задачі та знайдемо вирішення продукту, яке задовольнить диференціальне рівняння та три однорідні граничні умови. Використовуючи Принцип суперпозиції, ми знайдемо рішення проблеми, а потім застосуємо остаточну граничну умову, щоб визначити значення константи (констант), що залишились у задачі. Процес багато в чому ідентичний тому, що ми робили, коли вирішували рівняння теплоти.

Ми зробимо тут дві справи, а решту залишимо вам робити.

Почнемо з того, що припустимо, що наше рішення буде у формі,

[ ліворуч ( праворуч = h ліворуч (x праворуч) varphi ліворуч (y праворуч) ]

а потім нагадаємо, що ми виконали поділ змінних щодо цієї проблеми (з невеликою зміною позначень) ще в Прикладі 5 розділу Розділення змінних. Отже, з цієї проблеми ми знаємо, що поділ змінних дає наступні два звичайні диференціальні рівняння, які нам потрібно буде розв’язати.

[ почати & frac <<h >> <<>>> - lambda h = 0 & hspace <0,25in> & frac << varphi >> <<>>> + lambda varphi = 0 & h left (L right) = 0 & hspace <0,25in> & varphi left (0 right) = 0 hspace <0,25in> varphi ліворуч (Н праворуч) = 0 кінець]

Зауважимо, що в цьому випадку, на відміну від рівняння теплоти, ми спочатку повинні вирішити крайову задачу. Не знаючи, що таке ( лямбда ), ми не можемо вирішити тут перше диференціальне рівняння лише з однією граничною умовою, оскільки знак ( лямбда ) впливатиме на рішення.

Також зауважимо, що ми вирішили крайову задачу в Прикладі 1 розв’язування рівняння теплоти, і тому немає причин її вирішувати тут. Беручи до уваги зміну літер, враховуючи власні значення та власні функції для проблеми граничного значення,

Тепер, коли ми знаємо, що таке власні значення, давайте запишемо перше диференціальне рівняння з підключеним ( lambda ).

Оскільки коефіцієнт (h left (x right) ) у диференціальному рівнянні вище позитивний, ми знаємо, що рішенням цього є,

Однак це насправді не підходить для роботи з граничною умовою (h left (L right) = 0 ). Отже, зауважимо також, що наступне також є рішенням.

Вам слід перевірити це, підключивши це до диференціального рівняння та переконавшись, що насправді це рішення. Застосування самотньої граничної умови до цього «зсунутого» рішення дає,

Рішення першого диференціального рівняння тепер,

і це тим далі, чим ми можемо піти з цим, оскільки ми мали лише одну граничну умову. Однак насправді це не проблема, оскільки ми тепер маємо достатньо інформації, щоб сформувати вирішення продукту для цього диференціального рівняння з частинними похідними.

Рішенням продукту для цього диференціального рівняння з частковими частками є

Тоді Принцип суперпозиції говорить нам, що рішенням рівняння часткових похідних є,

і це рішення задовольнить три однорідні граничні умови.

Щоб визначити константи, нам потрібно лише застосувати кінцеву граничну умову.

Зараз, у попередніх проблемах, які ми робили, це, очевидно, була якась серія Фур'є, і насправді вона все ще є. Різниця тут полягає в тому, що коефіцієнти ряду синусів Фур'є зараз,

замість просто (). У нас може бути трохи більше спокуси використовувати ортогональність синусів для виведення формул для (), однак ми все ще можемо використати роботу, яку ми робили раніше, щоб отримати тут формули коефіцієнтів.

Пам’ятайте, що ряд синусів Фур’є - це просто ряд коефіцієнтів (залежно від (n )), помноженого на синус. Ми все ще маємо це тут, за винятком того, що «коефіцієнти» цього разу дещо менші, ніж те, що ми бачили, коли вперше мали справу з Ряд Фур'є. Отже, коефіцієнти можна знайти, використовуючи точно ту саму формулу з розділу синусоїдальних рядів Фур'є функції на (0 le y le H ), нам просто потрібно бути обережними з коефіцієнтами.

Формули для () цього разу трохи брудні порівняно з іншими проблемами, які ми вже робили, але насправді вони не все такі брудні.

Добре, давайте розглянемо одну з інших проблем тут, щоб ми могли сказати кілька моментів.

Добре, ми вперше зіткнулися з проблемою, коли раніше не проводили поділ змінних, тож давайте пройдемо через це. Будемо вважати, що рішення у формі,

[ ліворуч ( праворуч = h ліворуч (x праворуч) varphi ліворуч (y праворуч) ]

Спочатку ми застосуємо це до однорідних граничних умов, оскільки вони нам знадобляться, як тільки дійдемо до точки вибору константи поділу. Ми дозволимо вам підтвердити, що граничні умови стають,

[h left (0 right) = 0 hspace <0,25in> h left (L right) = 0 hspace <0,25in> varphi left (0 right) = 0 ]

Далі ми підключимо рішення продукту до диференціального рівняння.

Тепер, у цей момент нам потрібно вибрати константу поділу. Ми отримали дві однорідні граничні умови на (h ), тож давайте виберемо константу, щоб диференціальне рівняння для (h ) давало знайому граничну задачу, тому нам не потрібно повторювати жодну з цих робіт. У цьому випадку, на відміну від (), нам знадобиться (- лямбда ).

Це хороша проблема, яка наочно ілюструє, що іноді вам потрібна ( лямбда ) як константа розділення, а інколи вам потрібна (- лямбда ). Мало того, але іноді потрібно лише невелика зміна граничних умов, що зумовлює зміну.

Отже, після додавання до константи поділу отримуємо,

і два звичайних диференціальних рівняння, які ми отримуємо з цього випадку (разом з їх граничними умовами), це,

Тепер, як ми вже зазначали вище, коли ми вирішували, з якою константою поділу працювати, ми вже вирішили першу граничну задачу. Отже, власні значення та власні функції для першої крайової задачі є,

Тоді друге диференціальне рівняння,

Оскільки коефіцієнт ( varphi ) позитивний, ми знаємо, що рішенням цього є,

У цьому випадку, на відміну від попереднього прикладу, нам не потрібно буде використовувати зміщену версію рішення, оскільки це буде чудово працювати з граничною умовою, яку ми отримали для цього. Отже, застосування граничної умови до цього дає,

і це рішення стає,

Рішення продукту для цього випадку є тоді,

Тоді рішення цього диференціального рівняння в частинних похідних

Нарешті, застосуємо неоднорідну граничну умову, щоб отримати коефіцієнти для цього розв’язку.

Як ми вже очікували, це знову серія синусів Фур'є (хоча це не завжди буде синусом), тому, використовуючи раніше виконану роботу замість використання ортогональності синусів, ми бачимо, що

Добре, ми працювали над двома з чотирьох справ, які потрібно було б вирішити, щоб повністю вирішити ( eqref). Як ми вже бачили, кожен випадок був дуже схожий і в той же час мав деякі відмінності. Ми бачили використання обох констант поділу, і що іноді нам потрібно використовувати «зсунене» рішення, щоб мати справу з однією з граничних умов.

Перш ніж рухатись далі, зауважимо, що ми використовували тут встановлені граничні умови температури, але ми могли просто використати встановлені граничні умови потоку або їх поєднання. Незалежно від того, які граничні умови у нас є, вони працюватимуть однаково.

В якості останнього прикладу в цьому розділі давайте розглянемо вирішення рівняння Лапласа на диску радіуса (a ) та заданої температури на межі. Оскільки ми зараз перебуваємо на диску, має сенс, що, мабуть, нам слід зробити цю проблему в полярних координатах, і тому перше, що нам потрібно зробити, це записати рівняння Лапласа через полярні координати.

Рівняння Лапласа через полярні координати:

Гаразд, це набагато складніше, ніж декартова форма рівняння Лапласа, і це додасть кілька складностей у процесі розв’язання, але це не так погано, як здається. Головною проблемою, яку ми отримали тут насправді, є той факт, що ми маємо єдину граничну умову. А саме

[u ліворуч ( праворуч = f ліворуч ( theta праворуч) ]

Це визначає температуру на межі диска. Очевидно, нам знадобляться ще три умови, однак, оскільки ми отримали 2-ю похідну як в (r ), так і в ( theta ).

Коли ми вирішували рівняння Лапласа на прямокутнику, ми використовували умови в кінцевих точках діапазону кожної змінної, і тому тут є певний сенс, що нам, мабуть, також потрібні такі ж умови. Діапазон наших змінних тут,

[0 le r le a hspace <0,25in> - pi le theta le pi ]

Зауважте, що обмеження на ( theta ) тут дещо довільні і тут вибираються для зручності. Буде працювати будь-який набір обмежень, що охоплює весь диск, проте, як ми побачимо з цими обмеженнями, ми отримаємо ще одну знайому проблему граничного значення. Найкращий вибір тут часто невідомий, поки не буде здійснено поділ змінних. На цьому етапі ви можете повернутися назад і зробити свій вибір.

Добре, тепер нам потрібні умови для (r = 0 ) та ( theta = pm , pi ). По-перше, зауважимо, що рівняння Лапласа з точки зору полярних координат є сингулярним при (r = 0 ) (тобто отримуємо ділення на нуль). Однак з фізичних міркувань ми знаємо, що температура повинна залишатися кінцевою скрізь на диску, і тому давайте встановимо умову, що,

Це може здатися дивним умовою, і воно точно не відповідає іншим граничним умовам, які ми бачили до цього моменту, але це у нас вийде, як ми побачимо.

Тепер для граничних умов для ( theta ) ми зробимо щось подібне до того, що ми робили для 1-D рівняння головки на тонкому кільці. Два обмеження на ( theta ) насправді є лише різними сторонами рядка на диску, тому давайте використовувати там періодичні умови. Іншими словами,

З усім цим не будемо розв’язувати рівняння Лапласа на диску радіусом (а ).

У цьому випадку ми припустимо, що рішення буде у формі,

[u ліворуч ( праворуч = varphi ліворуч ( theta праворуч) G ліворуч (r праворуч) ]

Включення цього в періодичні граничні умови дає,

Тепер підключимо рішення продукту до рівняння часткових похідних.

Це, безумовно, більший безлад, який ми вже бачили до цього моменту, коли справа стосується розділення змінних. У цьому випадку простого розподілу на розчин продукту, хоча це все ще необхідно, буде недостатньо для розділення змінних. Нам також доведеться помножити на (), щоб повністю відокремити змінні. Отже, виконуючи все це, переміщуючи кожен доданок в одну сторону знака рівності та вводячи константу поділу,

Цього разу ми використали ( lambda ) як константу поділу, щоб отримати диференціальне рівняння для ( varphi ), яке збігається з таким, яке ми вже зробили.

Тоді звичайними диференціальними рівняннями є,

Тепер ми вирішили проблему граничного значення, наведену вище, у прикладі 3 розділу власних значень та власних функцій попереднього розділу, і тому немає жодних причин переробляти її тут. Власні значення та власні функції для цієї проблеми:

Підключивши це до першого звичайного диференціального рівняння та використовуючи правило добутку на похідну, яку ми отримаємо,

Це диференціальне рівняння Ейлера, і тому ми знаємо, що рішення матимуть вигляд (G зліва (r праворуч) = ) за умови, що (p ) є коренем,

Отож, оскільки випадок (n = 0 ) дасть подвійний корінь проти двох справжніх різних коренів, якщо (n ne 0 ) у нас тут є два випадки. Вони є,

Тепер нам потрібно згадати умову, що ( left | праворуч | & lt infty ). Кожне з наведених вище рішень матиме (G ліворуч (r праворуч) до infty ) як (r до 0 ). Тому, щоб виконати цю граничну умову, ми повинні мати ( = < надбудова_2> = 0).

Тому рішення зводиться до,

[G ліворуч (r праворуч) = hspace <0,25 дюйма> n = 0,1,2,3, ldots ]

і зауважимо, що після закінчення другого терміну ми можемо об’єднати два рішення в єдине рішення.

Отже, ми маємо два вирішення цієї проблеми. Вони є,

Тоді наше рішення - це сума всіх цих рішень або,

Застосування до цього останньої граничної умови дає,

Це повний ряд Фур'є для (f ліворуч ( theta праворуч) ) на інтервалі (- pi le theta le pi ), тобто (L = pi ). Також зауважте, що ще раз "коефіцієнти" ряду Фур'є трохи заплутаніші, ніж зазвичай, але не настільки брудні, як коли ми працювали над прямокутником вище. Ми могли б ще раз використати ортогональність синусів і косинусів для виведення формул для () та () або ми можемо просто скористатися формулами з розділу ряду Фур'є, щоб отримати,

При вирішенні коефіцієнтів, які ми отримуємо,

До цього прикладу більшість поділів змінних проблем мали вигляд дуже подібних, і легко потрапити в пастку, очікуючи, що все буде виглядати так, як ми бачили раніше. На цьому прикладі ми можемо побачити, що проблеми, безумовно, можуть бути різними зрідка, тому не варто занадто замислюватися в тому, що вони завжди працюватимуть однаково.

Перш ніж ми вийдемо з цього розділу, давайте коротко поговоримо про те, що вам потрібно було зробити на частковому диску. Наведені періодичні граничні умови існували лише тому, що у нас був цілий диск. Що, якби ми мали диск лише між скажем ( alpha le theta le beta ).

Коли ми отримали частковий диск, ми тепер маємо дві нові межі, яких ми не маємо на всьому диску, і періодичні граничні умови більше не матимуть сенсу. Періодичні граничні умови використовуються лише тоді, коли ми маємо дві “межі” в контакті між собою, і це, очевидно, не буде у випадку з частковим диском.

Отже, якщо ми дотримуємось встановлених граничних температурних умов, ми мали б такі умови

Також зверніть увагу, що для того, щоб використовувати розділення змінних у цих умовах, нам потрібно мати ( ліворуч (r праворуч) = left (r right) = 0 ), щоб переконатися, що вони однорідні.

Як останнє зауваження, ми могли б просто використовувати граничні умови потоку для останніх двох, якби хотіли. Проблема граничного значення була б іншою, але поза цим проблема працювала б однаково.

Ми також могли б використовувати умову потоку на межі (r = a ), але ми ще не говорили про те, як застосувати такий стан до нашого рішення. Нагадаємо, що це умова, яку ми застосовуємо до нашого рішення для визначення коефіцієнтів. Це не складно використовувати, ми просто ще не говорили про такий стан. Ми зробимо це в наступному розділі.


Математика 267 Елементарні диференціальні рівняння та перетворення Лапласа Розділ B1

Оцінки курсів тепер доступні. Рішення для фіналу буде опубліковано пізніше цього тижня.

Домашні завдання (у зворотному хронологічному порядку):
Проблеми з розділом дат (термін дії наступного періоду, якщо не вказано інше)
5/3 5.2,3 огляд
5/2 5,2 1,2,3,5: для y (x0) = - 2, y '(x0) = 1, знайдіть a0, a1,. a5.
Побудуйте розв’язок, використовуючи часткові суми через a4x ^ 4 і через a5x ^ 5, на -1,5 & ltx & lt1,5
4/30 5.2 5,6
4/29 5.2 1,2,3
4/28 5.1 19, 21
4/25 5.1 1,2,3,10,11,13,14
4/24 6.5, 6.6 6.5:1,2,3,13
4/22 6.4 5
4/22 6.4 1,2,3,14,15
4/19 6.3 1-7
4/15 6.3
4/12 6.2 11-13
4/11 6.2 1-5,7
4/9 6,1 1,2,3 5ab
4/8 7.9, 6.1
4/5 7,9 1,2 та проблема початкового значення
4/4 7.9
4/2 7.7
4/1 7.4, 7.7 7.7: 1,3,5,11
3/29 7.8 2,3,5,7,8
3/28 7,8 7,6: 4 (передача в понеділок 4/1), 25, 26 7,8: 1
3/26 7,6 2,3,8 фазові площини, 7,10
3/25 7.6 2,3,8,9
3/15 7.6 7.3: 18 7.5:10 7.6:1
3/14 7,5 до 3/25: 5,6,14,16,18,29
3/8 7,5 до 3/14: 1,11,12,13,15,17
3/7 7.3 15,19,22,24
3/5 7.3 1-7
3/4 7.2 4,6,10,12,13,14,18
3/1 7.2 1,2,3
2/28 3.2, 3.3 3.2: 7,8,14,16 3.3:1,2,3
2/26 ПРИМІТКИ ЛЕКЦІЇ (включаючи домашнє завдання) на вівторок 2/26
2/25 3.7 5,6
2/22 3,6 5,6 (також перегляньте задачі 3.1: 7,11,16 3.4: 11,16,24 3.5: 1,12,14)
2/21 3.6 1,2,4,13,17
2/19 3.8 1,2,3
2/18 3,8 5, 6, 9, 10, 11 + фінішний приклад у класі
2/15 3.8 8,12
2/14 3.4/5 3.4: 17,18,19 3.5: 2,3,4,5,11,13
2/12 3.4 7,8,9,10,12
2/11 3,2 1,2 до 2/12, 7, 8 до пізніше
2/8 3,1 1,3,5,6 до 2/11, 9,10,17,20 до 2/12
2/1 2.9 2,5,9
2/1 2.6 7,8,19,25,27
1/31 2.4 1, 2, 3
1/29 2,7 роздатковий матеріал, 1, 5, 6, 13
1/28 2,5 3,4,6, 14, 15a, 20, 21 (до сплати 1/31)
1/25 2,5 роздатковий матеріал
1/24 2,3 1,3,9,14,20,21,24,29 (до сплати 1/28)
1/22 2,1 14,16,19 (зібрано 1/24)
2.1 1,13
2.6 1-3,7,9,11
2.2 2,3,6,7,9,11
1.3 1,5,7,8,9
1.2 1,3,13
1.1 1

  • Лінійний 1-го порядку: явне рішення (загальне та IVP), таке як домашнє завдання 2.1, наприклад, 2.1.16 (важлива лінійна формула 1-го порядку)
  • Застосування лінійного 1-го порядку: суміш / ставок (2.3.1), експоненціальне зростання / занепад (2.3.14), рух (2.3.22)
  • Сепарабельний 1-го порядку: неявне рішення (загальне та IVP), таке як домашнє завдання 2.2, наприклад, 2.2.2, примітка, що розділяється, включає автономність
  • моделі народонаселення, стабільні рівноваги (експоненціальне зростання, логістичне рівняння, приклади населення США): роздаткове домашнє завдання. Важливою є чітка формула рішення логістичного рівняння.
  • точні рівняння: визначте, чи точно, і якщо знайдете неявне рішення (загальне та IVP), наприклад 2.6.7
  • використання інтегруючих факторів для перетворення неточних у точні, наприклад, 2.6.19, знаходження інтегруючих факторів 1 змінної, наприклад, 2.6.25
  • Чисельний метод Ейлера (потрібна програма-калькулятор, питання буде необов’язковим)
  • різницеві рівняння: рішення лінійного рівня 1-го порядку, наприклад, 2.9.2, а в іншому випадку з платежами, наприклад, 2.9.9
  • Лінійний однорідний 2-го порядку з постійними коефіцієнтами (загальний та IVP, усі 3 типи), наприклад 3,1: 2,16 3,4: 11,20 3,5: 6,12
  • Лінійні неоднорідні 2-го порядку за невизначеними коефіцієнтами (одне конкретне рішення, загальний розчин, IVP), такі як 3,6: 2, 3, 3, 13, 19а
  • Застосування лінійних однорідних 2-го порядку: пружини та схеми. 3.8: 7, 9 (опустити останні 3 речення), 12 (також сюжет)
  • Existence and Uniqueness of solutions to 2nd order linear differential equations, linear independence of a fundamental set of solutions & Wronskian 3.2:4, 8(explain), 14, 16 3.3: 5, 11, 13, 24, 27
  • Matrix arithmetic (7.2:1,13)
  • Solution of systems of linear (algebraic) equations (7.3:1,4)
    Eigenvalues and eigenvectors of matrices (7.3: 23, 24)
  • linear homogeneous with real eigenvalues and "enough" eigenvectors (general and IVP) such as (solution only) 7.5: 2-4,7,14-16
  • linear homogeneous with complex eigenvalues (general solution, IVP) such as (solution only) 7.6: 1, 2,3, 9, 10
  • linear homogeneous with repeated real eigenvalues (general and IVP) such as (solution only) 7.8 1,2,3,5, 8-10
  • linear independence and fundamental matrices such as 7.7 2, 4
  • nonhomogeneous systems 7.9
  • interpretation of phase planes
  • applications of linear homogeneous: circuits such as 7.2: 25, 26
  • derivation of the Laplace transform of a function such as 6.1: 5ab, 6
  • computation of inverse Laplace transform, such as 6.2: 3,4,8,9
  • Laplace transforms of functions and piecewise continuous functions such as 6.1:1, 6.3:6, 7
  • inverse Laplace transform such as 6.2:5,8, 6.3:7,
  • solution of a differential equation with initial conditions by Laplace transforms such as 6.2: 12,13, 6.4: 2,3, 6.5:2,3
  • series solution (general and IVP) of a differential equation at an ordinary point (partial sum through x^5 term and graph of solution of IVP) such as 5.2:5,15, 16
  • radius of convergence of a power series such as 5.1.4

The Final Exam was at the time for the Math 267 group (Thursday, May 9, 4:30-6:30 PM) in 2245 Coover .

Підсумковий іспит
This test requires a calculator capable graphing and of evaluating the reduced row echelon form (rref) of a matrix. A table of Laplace transforms will be provided. You may use a 3 page (3 sides total) help sheet (that you prepare) for the test. You may also use a table of integrals if desired, but you need to give it to me by Wednesday 5/8 with your name on it (it will be returned to you at the test).
This exam will have 2 parts:
Part 1 will resemble previous tests and will have material on Ch 1-2 and Ch 5-6. (60-70% of the test)
Part 2 will have longer questions on material from Chapters 3 and 7. You will have a choice as to which questions in part 2 to answer. (30-40% of the tes t)


Підручник

Required textbook:

Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems by W.E. Boyce, R.C. DiPrima and D.B. Meade (9781119447542), 11th Ed., Wiley.


Recommended textbooks
:

  • Elementary linear algebra, lecture notes by K. R. Matthews, 1991. Available at http://www.numbertheory.org/book.
  • Linear algebra and its applications, by G. Strang, Thomson, Brooks/Cole.
  • Linear algebra and its applications, by D.C. Lay, S.R. Lay and J.J. McDonald, Pearson.

8.1: Laplace Equations - Mathematics

Course Description: Math 5587-8 is a year course that introduces the basics of partial differential equations, guided by applications in physics and engineering. Both analytical and numerical solution techniques will be discussed. Specific topics to be covered during the year include, in rough order:

Classification of PDEs the heat, wave, Laplace, Poisson and Helmholtz equations characteristics the maximum principle separation of variables Fourier series harmonic functions distributions Green's functions and fundamental solutions special functions, including Bessel functions and spherical harmonics finite element method Fourier and Laplace transforms nonlinear PDEs shocks and solitons. Choice of supplementary topics and applications will depend on the interests of the class.

Prerequisites: Strong background in linear algebra, multi-variable calculus and ordinary differential equations (3000 level). Some mathematical sophistication. Other topics will be introduced as needed.

Текст: Walter A. Strauss, Partial Differential Equations: an Introduction, John Wiley & Sons, New York, 1992.

Supplementary Text: Richard Haberman, Elementary Applied Partial Differential Equations, Third Edition, Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1998.

  1. Quick review of ordinary differential equations
  2. Solution of first order linear PDEs (Strauss 1.1, 1.2)
  3. The one-dimensional wave equation: quick derivation, d'Alembert formula, conservation of energy, finite intervals and reflection of waves (Strauss 1.3, 2.1, 2.2, 3.2)
  4. The one-dimensional heat equation: derivation, separation of variables (Strauss 1.3, 4.1)
  5. Fourier series: basic properties, convergence, Gibbs phenomena, differentiation, delta functions and distributions (Strauss 5.1--5, 12.1)
  6. Solution to heat and wave by separation of variables (Strauss 4.1, 4.2)
  7. Fourier transforms (Strauss 12.3)
  8. More on the heat equation: fundamental solution, maximum principle, well-posedness (Strauss 1.5, 2.3--5)
  9. Laplace equation in two dimensions: separation of variables for rectangle and disk, classification of 2D PDEs -- elliptic, parabolic and hyperbolic (Strauss 6.1--3, 1.6)
  10. (time permitting) Numerical methods (Strauss 8.1--5)

Домашнє завдання: Each assignment will consist of problems from the text. Assignments handed out on a Tuesday will be due the following Tuesday.

Hour Exams: There will be two midterm exams. Make-up exams will only be given in exceptional circumstances, and then only when notice is given to me before hand and a suitable written excuse forthcoming.

First Midterm: Thursday, October 28. Will cover sections 1.2, 2.1, 2.2, 3.2, chapter 5, 12.1.

Second Midterm: Thursday, December 2. Will cover sections 2.3, 2.4, 2.5, 4.1, 4.2, 12.3, 12.4.

Take Home Final Exam: Due: Thursday, December 16, 6:00pm

Incompletes: Only given in extreme circumstances, and only when the student has satisfactorily completed all but a small portion of the work in the course. Students повинен make prior arrangements with the professor well before the end of the quarter.

Grading Standards and Student Conduct: Students are expected to be familiar with University of Minnesota policies on grading standards and student conduct, including the consequences for students who violate standards of academic honesty.


Details

Laplace&aposs equation in two dimensions is given by:

.

Let the unit square have a Dirichlet boundary condition everywhere except , where the condition is for . The formal solution is

,

де .

Solutions for boundary conditions on the other sides of the square are obtained by switching variables in the formula. For instance, the solution for applied to for simply switches and in the formula. Similar formulas are then obtained for applied at either or , with switching as appropriate. (Reference: E. D. Rainville, Elementary Differential Equations, 3rd ed., New York: Macmillan, 1964 p. 474)

This Demonstration deals with the square and by shifting the variables, leading to slightly more complicated solutions.

Solutions to Laplace&aposs equation are called harmonic functions. One of the properties of harmonic functions is that they will not attain any local minima or maxima inside the boundary thus the minima and maxima are on the boundary, as defined by the Dirichlet conditions. Another property is that the solution at any point />has a value that is the average of the values over the area of a circle defined with />at its center.


Перегляньте відео: Diferansiyel Denklemler: Lineer Diferansiyel Denklemlerde Çözümün Varlığı ve Tekliği (Найясніший 2022).