Статті

11.5: Розв’яжіть квадратні рівняння у квадратній формі

11.5: Розв’яжіть квадратні рівняння у квадратній формі



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Мета навчання

Наприкінці цього розділу ви зможете:

  • Розв’яжіть рівняння у квадратній формі

Перш ніж почати, пройдіть цю вікторину щодо готовності.

  1. Коефіцієнт підстановки: (y ^ {4} -y ^ {2} -20 ).
  2. Коефіцієнт підстановки: ((у-4) ^ {2} +8 (у-4) +15 ).
  3. Спростіть
    1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {1} {4}} )
    2. ( ліворуч (x ^ { frac {1} {3}} праворуч) ^ {2} )
    3. ( ліворуч (x ^ {- 1} праворуч) ^ {2} )

Розв’яжіть рівняння в квадратній формі

Іноді, коли ми враховували триноми, тринома не здавалося у формі (ax ^ {2} + bx + c ). Отже, ми врахували заміну, що дозволяє нам відповідати формі (ax ^ {2} + bx + c ). Для заміни ми використовували стандарт (u ).

Щоб врахувати вираз (x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 ), ми помітили змінну частину середнього терміна (x ^ {2} ) та його квадрат, (x ^ {4} ), є змінною частиною першого доданка. (Ми знаємо ( ліворуч (x ^ {2} праворуч) ^ {2} = x ^ {4} ).) Отже, ми дозволили (u = x ^ {2} ) і врахувати.

( ліворуч ( color {червоний} x ^ 2 колір {чорний} праворуч) ^ {2} -4 лівий ( color {червоний} x ^ {2} color {чорний} праворуч) -5 )
Нехай (u = x ^ {2} ) і підставляє.
Множник тричлена. ((u + 1) (u-5) )
Замініть (u ) на (x ^ {2} ). ( ліворуч ( color {червоний} x ^ {2} color {чорний} + 1 праворуч) ліворуч ( color {червоний} x ^ 2 color {чорний} -5 праворуч) )

Подібним чином іноді рівняння не має форми (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), а схоже на квадратне рівняння. Тоді ми часто можемо зробити вдумливу підстановку, яка дозволить нам пристосувати її до форми (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Якщо ми можемо зробити так, щоб він відповідав формі, ми можемо використовувати всі наші методи для розв’язання квадратних рівнянь.

Зверніть увагу, що в квадратному рівнянні (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) середній член має змінну (x ), а його квадрат, (x ^ {2} ), дорівнює змінна частина першого доданка. Шукайте ці стосунки, намагаючись знайти заміну.

Знову ж таки, ми будемо використовувати стандарт (u ), щоб зробити підстановку, яка додасть рівняння у квадратну форму. Якщо підстановка дає нам рівняння виду (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), ми говоримо, що початкове рівняння було квадратна форма.

Наступний приклад показує кроки для розв’язання рівняння у квадратній формі.

Приклад ( PageIndex {1} ) Як розв’язувати рівняння в квадратній формі

Розв’язати: (6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 = 0 )

Рішення:

Крок 1: Визначте підстановку, яка подасть рівняння у квадратну форму.Оскільки ( ліворуч (x ^ {2} праворуч) ^ {2} = x ^ {4} ), ми нехай (u = x ^ {2} ).
Крок 2: Перепишіть рівняння із заміною, щоб вивести його у квадратну форму.

Перепишіть, щоб підготуватися до заміни.

Підставляємо (u = x ^ {2} ).

Крок 3: Розв’яжіть квадратне рівняння для (u ).

Ми можемо вирішити факторинг.

Використовуйте властивість Zero Product.

( початок {вирівняно} (2 u-1) (3 u-2) & = 0 2 u-1 = 0, 3 u-2 & = 0 2 u = 1,3 u & = 2 u = frac {1} {2} u & = frac {2} {3} end {суміщений} )
Крок 4: Підставте вихідну змінну назад до результатів, використовуючи заміну.Замініть (u ) на (x ^ {2} ). (x ^ {2} = frac {1} {2} quad x ^ {2} = frac {2} {3} )
Крок 5: Вирішити вихідну змінну.Вирішіть для (x ), використовуючи властивість Square Root.

( begin {масив} {ll} {x = pm sqrt { frac {1} {2}}} & {x = pm sqrt { frac {2} {3}}} { x = pm frac { sqrt {2}} {2}} & {x = pm frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

Є чотири рішення.

( begin {масив} {ll} {x = frac { sqrt {2}} {2}} & {x = frac { sqrt {6}} {3}} {x = - frac { sqrt {2}} {2}} & {x = - frac { sqrt {6}} {3}} end {масив} )

Крок 6: Перевірте рішення.Перевірте всі чотири рішення. Ми покажемо тут один чек.

Інші чеки залишаємо за вами!

Вправа ( PageIndex {1} )

Розв’язати: (x ^ {4} -6 x ^ {2} + 8 = 0 ).

Відповідь

(x = sqrt {2}, x = - sqrt {2}, x = 2, x = -2 )

Вправа ( PageIndex {2} )

Розв’язати: (x ^ {4} -11 x ^ {2} + 28 = 0 ).

Відповідь

(x = sqrt {7}, x = - sqrt {7}, x = 2, x = -2 )

Узагальнюємо кроки для розв’язання рівняння у квадратній формі.

Розв’яжіть рівняння в квадратній формі

  1. Визначте підстановку, яка подасть рівняння у квадратну форму.
  2. Перепишіть рівняння з підстановкою, щоб вивести його в квадратну форму.
  3. Розв’яжіть квадратне рівняння для (u ).
  4. Підставте вихідну змінну назад у результати, використовуючи заміну.
  5. Вирішити для вихідної змінної.
  6. Перевірте рішення.

У наступному прикладі двочлен у середньому доданку ((x-2) ) у першому доданку має квадрат. Якщо ми дозволимо (u = x-2 ) і підставимо, то наш триноміал матиме форму (a x ^ {2} + b x + c ).

Вправа ( PageIndex {3} )

Розв’яжіть: ((x-5) ^ {2} +6 (x-5) + 8 = 0 ).

Відповідь

(х = 3, х = 1 )

Вправа ( PageIndex {4} )

Розв’яжіть: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) + 15 = 0 ).

Відповідь

(y = -1, y = 1 )

У наступному прикладі ми помічаємо, що (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Крім того, пам’ятайте, що коли ми квадратнуємо обидві сторони рівняння, ми можемо ввести сторонні корені. Обов’язково перевірте свої відповіді!

Приклад ( PageIndex {3} )

Вирішити: (x-3 sqrt {x} + 2 = 0 ).

Рішення:

Значення ( sqrt {x} ) у середньому терміні дорівнює квадрату в першому доданку (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Якщо ми дозволимо (u = sqrt {x} ) і підставляємо, то наш триноміал матиме форму (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Перепишіть тричлен, щоб підготуватися до заміни.
Нехай (u = sqrt {x} ) і підставляє.
Вирішити шляхом факторингу.
Замініть (u ) на ( sqrt {x} ).
Вирішіть для (x ), шляхом квадратування обох сторін.

Перевірка:

Вправа ( PageIndex {5} )

Вирішити: (x-7 sqrt {x} + 12 = 0 ).

Відповідь

(х = 9, х = 16 )

Вправа ( PageIndex {6} )

Вирішити: (x-6 sqrt {x} + 8 = 0 ).

Відповідь

(х = 4, х = 16 )

Заміни раціональних показників також можуть допомогти нам розв’язати рівняння в квадратній формі. Подумайте про властивості показників, починаючи наступний приклад.

Приклад ( PageIndex {4} )

Вирішити: (x ^ { frac {2} {3}} - 2 x ^ { frac {1} {3}} - 24 = 0 ).

Рішення:

Значення (x ^ { frac {1} {3}} ) у середньому члені в квадраті в першому доданку ( ліворуч (x ^ { frac {1} {3}} праворуч) ^ {2 } = x ^ { frac {2} {3}} ). Якщо ми дозволимо (u = x ^ { frac {1} {3}} ) і підставляємо, наш тричлен матиме форму (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Перепишіть тричлен, щоб підготуватися до заміни.
Нехай (u = x ^ { frac {1} {3}} )
Вирішити шляхом факторингу.

((u-6) (u + 4) = 0 )

(u-6 = 0, quad u + 4 = 0 )

(u = 6, quad u = -4 )

Замініть (u ) на (x ^ { frac {1} {3}} ).

(x ^ { frac {1} {3}} = 6, quad x ^ { frac {1} {3}} = - 4 )

Вирішіть для (x ), кубуючи обидві сторони.

( ліворуч (x ^ { frac {1} {3}} праворуч) ^ {3} = (6) ^ {3}, quad ліворуч (x ^ { frac {1} {3}} праворуч) ^ {3} = (- 4) ^ {3} )

(x = 216, quad x = -64 )

Перевірка:

Вправа ( PageIndex {7} )

Розв’язати: (x ^ { frac {2} {3}} - 5 x ^ { frac {1} {3}} - 14 = 0 ).

Відповідь

(х = -8, х = 343 )

Вправа ( PageIndex {8} )

Розв’яжіть: (x ^ { frac {1} {2}} + 8 x ^ { frac {1} {4}} + 15 = 0 ).

Відповідь

(х = 81, х = 625 )

У наступному прикладі нам потрібно мати на увазі визначення від’ємного показника ступеня, а також властивості показників.

Приклад ( PageIndex {5} )

Розв’язати: (3 x ^ {- 2} -7 x ^ {- 1} + 2 = 0 ).

Рішення:

Значення (x ^ {- 1} ) у середньому члені дорівнює квадрату в першому доданку ( ліворуч (x ^ {- 1} праворуч) ^ {2} = x ^ {- 2} ). Якщо ми дозволимо (u = x ^ {- 1} ) і підставляємо, наш тричлен матиме форму (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Перепишіть тричлен, щоб підготуватися до заміни.
Нехай (u = x ^ {- 1} ) і підставляє.
Вирішити шляхом факторингу. ((3 u-1) (u-2) = 0 )
(3 u-1 = 0, quad u-2 = 0 )
Замініть (u ) на (x ^ {- 1} ).
Вирішіть для (x ), взявши взаємне значення, оскільки (x ^ {- 1} = frac {1} {x} ).

Перевірка:

Вправа ( PageIndex {9} )

Розв’язати: (8 x ^ {- 2} -10 x ^ {- 1} + 3 = 0 ).

Відповідь

(x = frac {4} {3}, x = 2 )

Вправа ( PageIndex {10} )

Розв’яжіть: (6 x ^ {- 2} -23 x ^ {- 1} + 20 = 0 ).

Відповідь

(x = frac {2} {5}, x = frac {3} {4} )

Отримайте доступ до цього Інтернет-ресурсу для отримання додаткових вказівок та практики розв’язування квадратних рівнянь.

  • Розв’язування рівнянь у квадратній формі

Ключові поняття

  • Як розв’язувати рівняння в квадратній формі.
    1. Визначте підстановку, яка подасть рівняння у квадратну форму.
    2. Перепишіть рівняння з підстановкою, щоб вивести його в квадратну форму.
    3. Розв’яжіть квадратне рівняння для (u ).
    4. Підставте вихідну змінну назад у результати, використовуючи заміну.
    5. Вирішити для вихідної змінної.
    6. Перевірте рішення.

11.5 Розв’язати системи нелінійних рівнянь

Ми дізналися, як розв’язувати системи лінійних рівнянь з двома змінними за допомогою графіків, підстановки та виключення. Ми будемо використовувати ці самі методи, коли розглядаємо нелінійні системи рівнянь з двома рівняннями та двома змінними. A система нелінійних рівнянь є системою, де принаймні одне з рівнянь не є лінійним.

Наприклад, кожна з наступних систем є системою нелінійних рівнянь.

Система нелінійних рівнянь

A система нелінійних рівнянь є системою, де принаймні одне з рівнянь не є лінійним.

Подібно до систем лінійних рівнянь, рішення нелінійної системи є впорядкованою парою, яка робить обидва рівняння істинними. У нелінійній системі може бути більше одного рішення. Ми побачимо це, коли вирішуємо систему нелінійних рівнянь графіком.

Коли ми вирішували системи лінійних рівнянь, рішенням системи була точка перетину двох прямих. У системах нелінійних рівнянь графіки можуть бути колами, параболами або гіперболами, і може бути кілька точок перетину, а отже, кілька рішень. Після того, як ви ідентифікуєте графіки, візуалізуйте різні способи, як графіки можуть перетинатися, і скільки може бути рішень.

Для розв’язання систем нелінійних рівнянь графічним способом ми використовуємо в основному ті самі кроки, що і для систем лінійних рівнянь, дещо модифікованих для нелінійних рівнянь. Етапи наведені нижче для довідки.


Опрацьований приклад 8: Використання квадратної формули

Вирішіть для (x ) і залиште свою відповідь у найпростішій формі: (2x ^ 2 + 3x = 7 )

Перевірте, чи можна вираз розкласти на множники

Вираз не можна розкласти на множники, тому слід використовувати загальну квадратичну формулу.

Запишіть рівняння у стандартній формі (а^ + bx + c = 0 )

Визначте коефіцієнти, які потрібно підставити у формулу

[a = 2 qquad b = 3 qquad c = -7 ]

Застосувати квадратну формулу

Завжди записуйте спочатку формулу, а потім підставляйте значення (a ), (b ) та (c ).

Напишіть остаточну відповідь


Як розв’язувати квадратні рівняння?

Тепер, коли ви знаєте основи лінійних рівнянь, нехай & rsquos проведуть вас через концепцію квадратного рівняння.

Квадратне рівняння - це алгебраїчне рівняння зі змінною порядку другого ступеня і може бути записане у вигляді:

Вісь 2 + Bx + C = 0

хневідома змінна,

A і B- коефіцієнти,

C.є константою.


Більш квадратний калькулятор формул Вирішені приклади

Введіть свій математичний вираз у відповідну текстову область. Переконайтеся, що ви використовуєте правильний набір позначень та символів.

Закінчивши, натисніть кнопку обчислення, щоб отримати коріння. Цей калькулятор квадратних формул допомагає знайти корені квадратного рівняння за допомогою квадратної формули. За допомогою поетапного рішення дуже просто вивчити алгебру на EquationCalc.com.

Прийнятні математичні символи та їх використання Якщо ви вирішите написати математичні твердження, ось список прийнятних математичних символів та операторів.


Комплексні числа та квадратні рівняння Клас 11 MCQ Запитання з відповідями

Студентам рекомендується розв’язувати складні числа та квадратичні рівняння з кількома варіантами питань математики класу 11, щоб знати різні поняття. Відпрацювання запитань MCQ щодо складних чисел та квадратних рівнянь з класами 11 із відповідями зміцнить вашу впевненість, тим самим допоможе вам добре набрати іспит.

Дослідіть численні запитання MCQ про складні числа та квадратні рівняння класу 11 із відповідями, наданими з докладними рішеннями, дивлячись нижче.

Питання 1.
Нехай z1 та z2 бути двома коренями рівняння z² + az + b = 0, z є складним. Далі припустимо, що походження z1 та z2 утворюють рівносторонній трикутник. Потім
(a) a² = b
(b) a² = 2b
(c) a² = 3b
(d) a² = 4b

Питання 2.
Значення i i становить
(а) 0
(b) e -π
(c) 2e -π / 2
(d) e -π / 2

Відповідь: (d) e -π / 2
Нехай A = i i
⇒ журнал A = i log i
⇒ log A = i log (0 + i)
⇒ log A = i [log 1 + i tan -1 ∞]
⇒ журнал A = i [0 + i π / 2]
⇒ журнал A = -π / 2
⇒ A = e -π / 2

Питання 3.
Значення √ (-25) + 3√ (-4) + 2√ (-9) становить
(a) 13 i
(b) -13 i
(c) 17 i
(d) -17 i

Питання 4.
Якщо кубичні корені одиниці дорівнюють 1, ω і ω², тоді значення (1 + ω / ω²) ³ дорівнює
(а) 1
(б) -1
(c) ω
(d) ω²

Відповідь: (б) -1
Враховуючи, кубичні корені одиниці дорівнюють 1, ω і ω²
Отже, 1 + ω + ω² = 0
і ω³ = 1
Тепер <(1 + ω) / ω²> ³ = <-ω² / ω²> ³ = <-1> ³ = -1

Питання 5.
Якщо <(1 + i) / (1 & # 8211 i)> ⁿ = 1, то найменшим значенням n є
(а) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4

Питання 6.
Значення [i 19 + (1 / i) 25] ² становить
(а) -1
(б) -2
(в) -3
(d) -4

Відповідь: (d) -4
Враховуючи, [i 19 + (1 / i) 25] ²
= [i 19 + 1 / i 25] ²
= [i 16 × i³ + 1 / (i 24 × i)] ²
= [1 × i³ + 1 / (1 × i)] ²
= [i³ + 1 / i] ²
= [i² × i + 1 / i] ²
= [(-1) × i + 1 / i] ²
= [-i + 1 / i] ²
= [-i + i 4 / i] ²
= [-i + i³] ²
= [-i + i² × i] ²
= [-i + (-1) × i] ²
= [-i & # 8211 i] ²
= [-2i] ²
= 4i²
= 4 × (-1)
= -4
Отже, [i 19 + (1 / i) 25] ² = -4

Питання 7.
Якщо z і w - два комплексні числа, такі що | z | ≤ 1, | w | ≤ 1 і | z + iw | = | z & # 8211 iw | = 2, тоді z дорівнює
(a) 1 або i
(b) i або & # 8211 i
(c) 1 або & # 8211 1
(d) i або & # 8211 1

Відповідь: (c) 1 або & # 8211 1
Дано | z + iw | = | z & # 8211 iw | = 2
⇒ | z & # 8211 (-iw) | = | z & # 8211 (iw) | = 2
⇒ | z & # 8211 (-iw) | = | z & # 8211 (-iw) |
Отже, z лежить на перпендикулярній бісектрисі прямої, що поєднує -iw та -iw.
Оскільки -iw - дзеркало по осі х, геометричне місце z - осі х.
Нехай z = x + iy та y = 0
⇒ | z | & lt 1 і x² + 0² & lt 0
⇒ -1 ≤ x ≤ 1
Отже, z може приймати значення 1 або -1

Питання 8.
Значення <-√ (-1)> 4n + 3, n ∈ N дорівнює
(a) i
(b) -i
(c) 1
(г) -1

Питання 9.
Знайдіть реальну θ таку, що (3 + 2i × sin θ) / (1 & # 8211 2i × sin θ) є реальною
(а) π
(b) nπ
(c) nπ / 2
(d) 2nπ

Відповідь: (b) nπ
Враховуючи,
(3 + 2i × sin θ) / (1 & # 8211 2i × sin θ) = <(3 + 2i × sin θ) × (1 & # 8211 2i × sin θ)> / (1 & # 8211 4i² × sin² θ)
(3 + 2i × sin θ) / (1 & # 8211 2i × sin θ) = <(3 & # 8211 4sin² θ) + 8i × sin θ> / (1 + 4sin² θ) & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230. 1
Тепер рівняння 1 є дійсним, якщо sin θ = 0
⇒ sin θ = sin nπ
⇒ θ = nπ

Питання 10.
Якщо i = √ (-1), то 4 + 5 (-1/2 + i√3 / 2) 334 + 3 (-1/2 + i√3 / 2) 365 дорівнює
(a) 1 & # 8211 i√3
(б) -1 + i√3
(c) i√3
(d) -i√3

Відповідь: (c) i√3
Дано, 4 + 5 (-1/2 + i√3 / 2) 334 + 3 (-1/2 + i√3 / 2) 365
= 4 + 5w 334 + 3w 365
= 4 + 5w + 3w²
= 4 + 5 (-1/2 + i√3 / 2) + 3 (-1/2 & # 8211 i√3 / 2)
= i√3

Питання 11.
Дійсною частиною комплексного числа √9 + √ (-16) є
(а) 3
(б) -3
(c) 4
(d) -4

Відповідь: (а) 3
Дано, √9 + √ (-16) = √9 + √ (16) × √ (-1)
= 3 + 4i
Отже, реальна частина комплексного числа дорівнює 3

Питання 12.
Модуль 5 + 4i становить
(а) 41
(b) -41
(c) √41
(d) -√41

Відповідь: (c) √41
Нехай Z = 5 + 4i
Тепер модуль Z обчислюється як
| Z | = √ (5² + 4²)
⇒ | Z | = √ (25 + 16)
⇒ | Z | = √41
Отже, модуль 5 + 4i дорівнює √41

Питання 13.
Модуль 1 + i√3 дорівнює
(а) 1
(b) 2
(c) 3
(d) Жодне з них

Відповідь: (b) 2
Нехай Z = 1 + i√3
Тепер модуль Z обчислюється як
| Z | = √ <1² + (√3) ²>
⇒ | Z | = √ (1 + 3)
⇒ | Z | = √4
⇒ | Z | = 2
Отже, модуль 1 + i√3 дорівнює 2

Питання 14.
Значення <-√ (-1)> 4n + 3, n ∈ N дорівнює
(a) i
(b) -i
(c) 1
(г) -1

Питання 15.
Якщо ω - кубовий корінь з одиниці (ω ≠ 1), то найменше значення n, де n - додатне ціле число, таке що (1 + ω²) ⁿ = (1 + ω 4) ⁿ
(а) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 6

Відповідь: (b) 3
Даний ω є уявним кубичним коренем одиниці.
Отже 1 + ω + ω² = 0 і ω³ = 1
Тепер (1 + ω²) ⁿ = (1 + ω 4) ⁿ
⇒ (-1) ⁿ × (ω) ⁿ = (1 + ω × ω³) ⁿ
⇒ (-1) ⁿ × (ω) ⁿ = (1 + ω) ⁿ
⇒ (-1) ⁿ × (ω) ⁿ = (-ω²) ⁿ
⇒ (-1) ⁿ × (ω) ⁿ = (-1) ⁿ × ω²ⁿ
⇒ ωⁿ = ω²ⁿ
Оскільки ω³ = 1, отже, найменше значення n дорівнює 3

Питання 16.
Значення i 9 + i 10 + i 11 + i 12 становить
(a) i
(b) 2i
(c) 0
(d) 1

Відповідь: (c) 0
Дано, i 9 + i 10 + i 11 + i 12
= i9 (1 + i + i2 + i3)
= i9 (1 + i & # 8211 1 & # 8211 i)
= i9 × 0
= 0

Питання 17.
Якщо a = cos α + i sin α і b = cos β + i sin β, тоді значення 1/2 (ab + 1 / ab) дорівнює
(а) гріх (α + β)
(b) cos (α + β)
(c) гріх (α & # 8211 β)
(d) cos (α & # 8211 β)

Відповідь: (b) cos (α + β)
Дано a = cos α + i sin sin α і b = cos β + i sin β
Тепер 1 / a = 1 / (cos α + i sin α)
⇒ 1 / a = <1 × (cos α & # 8211 i sin α) / <(cos α + i sin α) × (cos α + i sin α)>
⇒ 1 / a = (cos α & # 8211 i sin α) / (cos² α + i sin² α)
⇒ 1 / a = (cos α & # 8211 i sin α)
Знову ж таки, 1 / b = 1 / (cos β + i sin β)
⇒ 1 / b = <1 × (cos β & # 8211 i sin β) / <(cos β + i sin β) × (cos β + i sin β)>
⇒ 1 / b = (cos β & # 8211 i sin β) / (cos² β + i sin² β)
⇒ 1 / b = (cos β & # 8211 i sin β)
Тепер ab = (cos α + i sin α) × (cos β + i sin β)
⇒ ab = cos α × cos β + i cos α × sin β + i sin α × cos β & # 8211 sin α × sin β
Знову ж, 1 / ab = (cos α & # 8211 i sin α) × (cos β & # 8211 i sin β)
⇒ 1 / ab = cos α × cos β & # 8211 i cos α × sin β & # 8211 i sin α × cos β & # 8211 sin α × sin β
Тепер ab + 1 / ab = cos α × cos β + i cos α × sin β + i sin α × cos β & # 8211 sin α × sin β + cos α × cos β & # 8211 i cos α × sin β & # 8211 i sin α × cos β & # 8211 sin sin × × sin β
⇒ ab + 1 / ab = 2 (cos α × cos β & # 8211 sin α × sin β)
⇒ 1/2 (ab + 1 / ab) = 2 (cos α × cos β & # 8211 sin α × sin β) / 2
⇒ 1/2 (ab + 1 / ab) = cos α × cos β & # 8211 sin α × sin β
⇒ 1/2 (ab + 1 / ab) = cos (α + β)

Питання 18.
Полярна форма -1 + i є
(a) √2 (cos π / 2 + i × sin π / 2)
(b) √2 (cos π / 4 + i × sin π / 4)
(c) √2 (cos 3π / 2 + i × sin 3π / 2)
(d) √2 (cos 3π / 4 + i × sin 3π / 4)

Відповідь: (d) √2 (cos 3π / 4 + i × sin 3π / 4)
Полярна форма комплексного числа = r (cos θ + i × sin θ)
Дано, комплексне число = -1 + i
Нехай x + iy = -1 + i
Тепер x = -1, y = 1
Тепер r = √ <(- 1) ² + 1²> = √ (1 + 1) = √2
і tan θ = y / x
⇒ загар θ = 1 / (- - 1)
⇒ загар θ = -1
⇒ θ = 3π / 4
Тепер полярна форма дорівнює √2 (cos 3π / 4 + i × sin 3π / 4)

Питання 19.
Для всіх комплексних чисел z1, z2 задовільний | z1| = 12 і | z2 & # 8211 3 & # 8211 4i | = 5, мінімальне значення | z1 & # 8211 z2| є
(а) 0
(b) 2
(c) 7
(d) 17

Відповідь: (b) 2
Дано Для всіх комплексних чисел z1, z2 задовільний | z1| = 12 і | z2 & # 8211 3 & # 8211 4i | = 5
Тепер mod (z1) = 12 являє собою коло з центром в 0 і радіусом 12
мод (z2 & # 8211 3 & # 8211 4i) = 5 являє собою коло з центром в (3, 4) і радіус 5
Це коло проходить через початок координат. Відстань діаметрально протилежного кінця дорівнює 10
Отже, мінімальне значення (z1 & # 8211 z2) = 2

Питання 20.
Значення (1 & # 8211 i) ² становить
(a) i
(b) -i
(c) 2i
(d) -2i

Відповідь: (г) -2і
Враховуючи, (1 & # 8211 i) ² = 1 + i² & # 8211 2i
= 1 + (-1) & # 8211 2i
= 1 & # 8211 1 & # 8211 2i
= -2i

Ми вважаємо, що отримані знання щодо питань NCERT MCQ для математики класу 11 Розділ 5 Комплексні числа та квадратні рівняння з відповідями безкоштовне завантаження у форматі PDF було корисним у максимальній мірі. Якщо у вас є якісь інші запитання щодо CBSE Class 11 Maths Complex Numbers and Quadratic Equations MCQs Multiple Choice questions with Answers, не соромтеся звертатися до нас через розділ коментарів, і ми допоможемо вам з можливим рішенням.


Опрацьований приклад 2: Квадратичні послідовності

Запишіть наступні два доданки та визначте рівняння для тексту (n ^ <> ) термін послідовності ( text <5> ) ( text <12> ) ( text <23> ) ( text <38> ) ( ldots )

Знайдіть перші відмінності між термінами

Знайдіть другу різницю між термінами

Тож існує загальна друга відмінність ( text <4> ). Тому ми можемо зробити висновок, що це квадратна послідовність виду (T_n = an ^ 2 + bn + c ).

Продовжуючи послідовність, наступними першими відмінностями будуть:

Знаходження наступних двох доданків у послідовності

Наступні два терміни будуть такими:

Визначте загальний доданок для послідовності

Щоб знайти значення (a ), (b ) та (c ) для (T_n = an ^ 2 + bn + c ), ми дивимось на перший ( text <3> ) терміни в послідовності:

почати n = 1: T_1 & amp = a + b + c n = 2: T_2 & amp = 4a + 2b + c n = 3: T_3 & amp = 9a + 3b + c end

Ми вирішуємо набір одночасних рівнянь для визначення значень (a ), (b ) та (c )

Ми знаємо, що (T_1 = 5 ), (T_2 = 12 ) та (T_3 = 23 )

почати a + b + c & amp = 5 4a + 2b + c & amp = 12 9a + 3b + c & amp = 23 end почати T_2 - T_1 & amp = 4a + 2b + c - (a + b + c) 12 - 5 & amp = 4a + 2b + c - a - b - c 7 & amp = 3a + b qquad ldots (1 ) кінець почати T_3 - T_2 & amp = 9a + 3b + c - (4a + 2b + c) 23-12 & amp = 9a + 3b + c - 4a - 2b - c 11 & amp = 5a + b qquad ldots (2 ) кінець почати (2) - (1) & amp = 5a + b - (3a + b) 11 - 7 & amp = 5a + b - 3a - b 4 & amp = 2a тому a & amp = 2 end почати текст (1): quad 3 (2) + b & amp = 7 тому b & amp = 1 text quad a + b + c & amp = 5 2 + 1 + c & amp = 5 тому c & amp = 1 end

Напишіть загальний термін для послідовності


Природа коренів квадратного рівняння

Природа коренів квадратного рівняння визначається тим, що відоме як дискримінант квадратного рівняння.

  • Випадок 1: Якщо D позитивне, то коріння справжні та неоднакові.
  • Випадок 2: Якщо D - ідеальна квадратура, а a, b, c - це раціональні числа, то два корені є дійсними, раціональними та нерівними.
  • Випадок 3: Якщо D позитивне, але не ідеальний квадрат, тоді воно справжнє та ірраціональне. У цьому випадку коріння справжні, нераціональні та неоднакові.
  • Випадок 4: Якщо D = 0, то два корені є дійсними та рівними.
  • Випадок 5: Якщо D від’ємне, то коріння є уявними або складними. [Див. Приклад 3 цього розділу]

Приклад 10: Доведіть, що рівняння матиме однакові корені тоді і лише тоді, коли.

який має форму, де

Щоб дане рівняння мало рівні корені, ми повинні мати,


Дані для Розв’язування квадратного рівняння

  • Для цього ми введемо наше квадратне рівняння y = a + bx + cx ^ 2 а також визначити корінь змінної “ X ”, Набравши цю квадратну формулу x0 = [-b ± SQRT (b ^ 2 - 4ac] / 2a

Рисунок 2: Квадратична формула

  • Тепер ми підготуємо таблицю для коренів “X”, які є “x1” і “x2”, і приписуючи значення змінним у рівнянні “X”, які є “a, b і c”

Малюнок 3: Таблиця коренів

Рисунок 4a: Формула додатного кореня рівняння

Рисунок 4b: Відповідь на позитивний корінь рівняння

  • Тепер ми повторимо ту ж операцію для “ x2 ”Від копіювання, вставлення та зміна“+” увійти в “Знак мінус у формулі в Осередок B12 як = (- B8-SQRT (B8 ^ 2-4 * B7 * B9)) / (2 * B7)

Рисунок 5a: Формула від’ємного кореня рівняння

Рисунок 5b: Розв’язане квадратне рівняння


Перегляньте відео: РІВНЯННЯ. ЯК РОЗВЯЗУВАТИ?!!! ДОСТУПНЕ ПОЯСНЕННЯ (Найясніший 2022).