Статті

5: Застосування лінійних рівнянь другого порядку - математика

5: Застосування лінійних рівнянь другого порядку - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

У цьому розділі ми вивчаємо застосування лінійних рівнянь другого порядку.

Ескіз: Серійна мережа RLC: резистор, індуктивність та конденсатор. Зображення використовується з дозволу (CC BY-SA 3.0; Spinningspark у Вікіпедії)


Застосування диференціальних рівнянь другого порядку - Диференціальні рівняння другого порядку

Використовуючи диференціальні рівняння другого порядку, ми можемо проаналізувати схему, що складається з батареї, резистора, індуктивності та конденсатора послідовно. Позначимо Q (t) Q (t) Q (t) як заряд на конденсаторі в момент часу t t t. Струм - це швидкість зміни Q Q Q відносно t t t. Отже, струм системи дорівнює I = d Q d t I = frac

I = d t

Закон Кірхгофа та Апосса стверджує, що сума всіх падінь напруги в системі повинна дорівнювати поданому заряду:

Відповідно до закону Фарадея та Апосса, падіння напруги на індукторі дорівнює миттєвій швидкості зміни струму, помноженій на константу індуктивності, що позначається L L L (вимірюється в Генрі та Апоссе)

З закону Ома та Апосса падіння напруги на резисторі дорівнює опору (виміряному в Омах), помноженому на струм:

А падіння напруги на конденсаторі пропорційне електричному заряду конденсатора, помноженому на константу ємності (вимірюється в фарадах).

І позначимо напругу від акумулятора як якусь функцію щодо часу V b a t = E (t) V_= E (t) V b a t = E (t)

Отже, введення всієї раніше знайденої інформації до Закону Кірхгофа і Апосса:

І ми знаємо, що I = d Q d t I = frac

I = d t

d Q. Отже, рівняння стає,

Що також можна записати як

Що є другим порядком, постійним коефіцієнтом, неоднорідним диференціальним рівнянням.


Endstream endobj 132 0 obj> endobj 133 0 obj> endobj 134 0 obj> endobj 135 0 obj> stream = G: Tk% EAOnG% E [afmf.CK ^ `.S6? caIE1BQ?: LZss]: 1_-e ^ .u6u ^ + R0 = 5Pn * $ I0JP * paqCidT (qi1ArV3% MJ # o5_XsF + iceE, 7? EA> N! FKCOm / @ Y> u A9rA @ *? 4A? dlRmXW'43 $: e / D07qBp8e [Z7 (9fAXqpfP_C1mY5jERp6H$C#[email protected]`*n), _ k) SVXnk l44 ^ ZBlNR (nN2 = jW6 (KEOrmAb'37QjoQ jk1 [C3FClUnIo? IQ6cIZtA] // ID? ZR% `6" lZT # aNg`) gAX1fceOmmOm.C * UaIV5E + f3, W [`K. * mU PSqimFs + ^ Z & =% i0ff (m30 7KWi% @ 6L? M9 * .`OBB6 / cF9qYl-3 +: & QcS ! iZHQ (fBS6U @ c * V iuqmuC + b.SrnV!> rZL20JKD = `d =% C`K:] g9 : 598> @. U XYea88GFA> mgmpc% er` $ [email protected]> K 7nS9 MDe (j? Cj8, Nsu # 8. "P? GbbiR /" 5 + = Pj.SmHPZD @> 9% iIV% DlO> gZ] Xf [j * 88Etm- @ Y] TZi CVNFZ = DI`Z` E! 9Yd1dME (BLEYsXM [JG5Ta: 73s4YAr $ tD 49 ") lDqA% qK? T $ L! BK [jXhD,] b + WB8! M) S5 $ G'Mrt` & () bUY5A2 f> 9RHSYaBRnq]] hF ! T + o, $ OpEb5AeCR.V'9_5.Z5hH_: r * K, 3? NQFBU2% I6j` "? O @ $ PIJ #., ^ 1j> TDN_2EG3s" jQ # DY0W)? G_hS $ !. Vd * g )) E ^ s1Ssiuo4uo [4pcXhVL 2] 1 відповідь 1

Найбільш загальним підходом до цих проблем є написання вашої системи як чотиривимірної системи ODE першого порядку: begin x '& amp = xi xi' & amp = - bx - a xi + dy + c eta y '& amp = eta eta' & amp = -dx -c xi -by -a ета кінець які можна записати у матричній формі begin mathbf'= A , mathbf кінець з begin mathbf = почати x xi y eta end qquad text qquad A = початок 0 & amp 1 & amp 0 & amp 0 -b & amp -a & amp d & amp c 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 -d & amp -c & amp -b & amp -a end. кінець Дивно, але власні значення цієї матриці не особливо важко знайти, як і власні вектори. Тоді загальне рішення наведеної системи має вигляд begin mathbf(t) = c_1 e ^ < lambda_1 t> mathbf_1 + c_2 e ^ < lambda_2 t> mathbf_2 + c_3 e ^ < lambda_3 t> mathbf_3 + c_4 e ^ < lambda_4 t> mathbf_4, кінець де $ lambda_ <1,2,3,4> $ - власні значення матриці $ A $ і $ mathbf_ <1,2,3,4> $ - асоційовані власні вектори. Константи $ c_ <1,2,3,4> $ визначаються початковими умовами.

Щодо вашого запитання для літературної довідки: я не уявляю підручника з диференціальних рівнянь ні обробляючи вищезазначений підхід, тому виберіть свого улюбленого.


Серійні рішення

Метод степеневих рядів використовується для пошуку рішення степенного ряду певних диференціальних рівнянь.

Мета навчання

Визначте кроки та опишіть застосування методу степенного ряду

Ключові винос

Ключові моменти

  • Метод степенного ряду вимагає побудови рішення степенного ряду [латекс] f = sum_^ infty A_kz ^ k [/ латекс] для лінійного диференціального рівняння [латекс] f '' +f '+f = 0 [/ латекс].
  • Метод передбачає степеневий ряд із невідомими коефіцієнтами, а потім підставляє це рішення в диференціальне рівняння, щоб знайти відношення рекурентності для коефіцієнтів.
  • Диференціальне рівняння відлюдника [латекс] f '' - 2zf '+ лямбда f = 0 лямбда = 1 [/ латекс] має таке рішення степенного ряду: [латекс] f = A_0 ліво (1 + <- 1 над 2> x ^ 2 + <- 1 over 8> x ^ 4 + <- 7 over 240> x ^ 6 + cdots right) + A_1 ліворуч (x + <1 over 6> x ^ 3 + < 1 over 24> x ^ 5 + <1 over 112> x ^ 7 + cdots right) [/ латекс].

Ключові терміни

  • відношення рецидивів: рівняння, яке рекурсивно визначає послідовність, кожен член послідовності визначається як функція попередніх термінів
  • аналітичні функції: функція, яка локально задана збіжним степенним рядом

Метод степеневих рядів використовується для пошуку рішення степенного ряду певних диференціальних рівнянь. Загалом, таке рішення передбачає степеневий ряд з невідомими коефіцієнтами, а потім підставляє це рішення в диференціальне рівняння, щоб знайти відношення рекурентності для коефіцієнтів.

Серія степенів Маклауріна з експоненціальною функцією: Експоненціальна функція (синім кольором) та сума перших [латексних] n + 1 [/ латексних] членів його степенного ряду Макларена (червоним кольором). Використовуючи степеневі ряди, можна вирішити лінійне диференціальне рівняння загального виду.

Метод

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку:

Припустимо, що [латекс] a_2 [/ латекс] ненульовий для всіх [латекс] z [/ латекс]. Тоді ми можемо розділити всюди, щоб отримати:

Припустимо далі, що [латекс] frac[/ латекс] та [латекс] frac[/ латекс] - це аналітичні функції. Метод степенних рядів вимагає побудови рішення степенного ряду:

Після підстановки форми степенного ряду отримують відношення рекуррентності для [латекс] A_k [/ латекс], яке можна використовувати для реконструкції [латексу] f [/ латексу].

Приклад

Давайте розглянемо випадок, відомий як диференціальне рівняння Ерміта:

[латекс] f '' - 2zf '+ лямбда f = 0 quad ( lambda = 1) [/ латекс]

Ми можемо спробувати побудувати серійне рішення:

[латекс] стиль відображення^ infty A_kz ^ k f '= sum_^ infty kA_kz ^ f '' = сума_^ infty k (k-1) A_kz ^> [/ латекс]

підставивши їх у диференціальне рівняння:

[латекс] початок & <> sum_^ infty k (k-1) A_kz ^-2z sum_^ infty kA_kz ^+ sum_^ infty A_kz ^ k = 0 & = sum_^ infty k (k-1) A_kz ^- sum_^ infty 2kA_kz ^ k + sum_^ infty A_kz ^ k end[/ латекс]

зсув на першу суму:

[латекс] початок & = sum_^ infty (k + 2) ((k + 2) -1) A_z ^ <(k + 2) -2> - sum_^ infty 2kA_kz ^ k + sum_^ infty A_kz ^ k & = sum_^ infty (k + 2) (k + 1) A_z ^ k- sum_^ infty 2kA_kz ^ k + sum_^ infty A_kz ^ k & = sum_^ infty зліва ((k + 2) (k + 1) A_+ (- 2k + 1) A_k праворуч) z ^ k кінець[/ латекс]

Якщо цей ряд є рішенням, то всі ці коефіцієнти повинні дорівнювати нулю, отже:

Ми можемо переставити це, щоб отримати відношення рецидиву для [латексу] A_[/ латекс]:

і всі коефіцієнти з більшими показниками можна отримати аналогічним чином, використовуючи відношення рецидиву. Рішенням серії є:


5: Застосування лінійних рівнянь другого порядку - математика

Ось набір практичних завдань для розділу про диференціальні рівняння другого порядку в примітках до диференціальних рівнянь.

  1. Якщо вам потрібен документ у форматі PDF, що містить рішення, на вкладці завантаження вище містяться посилання на файл PDF, який містить рішення для повної книги, розділу та розділу. На даний момент я не пропоную PDF-файли для вирішення окремих проблем.
  2. Якщо ви хочете переглянути рішення в Інтернеті, перейдіть на веб-сторінку з набором проблем, клацніть посилання на рішення для будь-якої проблеми, і вона переведе вас до рішення цієї проблеми.

Зверніть увагу, що деякі розділи матимуть більше проблем, ніж інші, а деякі матимуть більшу чи меншу кількість різноманітних проблем. Більшість розділів повинні мати різні рівні складності в задачах, хоча це залежить від розділу до розділу.

Ось перелік усіх розділів, для яких були написані практичні завдання, а також короткий опис матеріалу, викладеного в примітках до цього конкретного розділу.

Основні поняття - У цьому розділі дайте глибоке обговорення процесу, який використовується для розв’язування однорідних, лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, (ay '' + by '+ cy = 0 ). Ми виводимо характерний поліном і обговорюємо, як Принцип Суперпозиції використовується для отримання загального рішення.

Справжні корені - У цьому розділі ми обговорюємо рішення однорідних, лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, (ay '' + by '+ c = 0 ), в яких корені характерного полінома, (ar ^ <2 > + br + c = 0 ), є справжніми різними коренями.

Складні корені - У цьому розділі ми обговорюємо рішення однорідних, лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, (ay '' + by '+ c = 0 ), в яких корені характерного полінома, (ar ^ <2 > + br + c = 0 ), є складними коренями. Ми також отримаємо з комплексних коренів стандартне рішення, яке зазвичай використовується в цьому випадку, яке не буде включати комплексні числа.

Повторні корені - У цьому розділі ми обговорюємо рішення однорідних, лінійних диференціальних рівнянь другого порядку, (ay '' + by '+ c = 0 ), в яких корені характерного полінома, (ar ^ <2 > + br + c = 0 ), повторюються, тобто подвійний, коріння. Ми використаємо зменшення порядку для виведення другого рішення, необхідного для отримання загального рішення в цьому випадку.

Скорочення замовлення - У цьому розділі ми коротко розглянемо тему зменшення замовлення. Це буде один з небагатьох випадків у цій главі, коли буде розглядатися несталевий коефіцієнт диференціального рівняння.

Фундаментальні набори рішень - У цьому розділі ми розглянемо деякі теорії розв’язку диференціальних рівнянь другого порядку. Ми визначаємо фундаментальні набори розв’язків та обговорюємо, як їх можна використовувати для отримання загального розв’язку однорідного диференціального рівняння другого порядку. Ми також визначимо Вронського і покажемо, як його можна використовувати для визначення, чи є пара рішень фундаментальним набором рішень.

Детальніше про Вронського - У цьому розділі ми розглянемо, як Вронського, представленого в попередньому розділі, можна використовувати для визначення того, є дві функції лінійно незалежними чи лінійно залежними. Ми також дамо і альтернативний метод пошуку Вронського.

Неоднорідні диференціальні рівняння - у цьому розділі ми обговоримо основи розв’язування неоднорідних диференціальних рівнянь. Визначимо додаткове та конкретне рішення та надамо форму загального рішення неоднорідному диференціальному рівнянню.

Невизначені коефіцієнти - У цьому розділі ми вводимо метод невизначених коефіцієнтів для пошуку конкретних рішень неоднорідного диференціального рівняння. Ми працюємо з різноманітними прикладами, що ілюструють безліч керівних принципів для початкового вгадування форми конкретного рішення, необхідного для методу.

Варіація параметрів - У цьому розділі ми представляємо метод варіації параметрів для пошуку конкретних рішень неоднорідного диференціального рівняння. Ми даємо детальний огляд методу, а також отримуємо формулу, яка може бути використана для пошуку конкретних рішень.

Механічні вібрації - у цьому розділі ми розглянемо механічні вібрації. Зокрема, ми змоделюємо об'єкт, з'єднаний з пружиною і рухається вгору-вниз. Ми також допускаємо введення демпфера в систему та дію загальних зовнішніх сил на об'єкт. Також зауважимо, що, хоча ми прикладаємо механічні коливання в цьому розділі, проста зміна позначень (і відповідна зміна того, що представляють величини) може перемістити це майже в будь-яку іншу технічну область.


5: Застосування лінійних рівнянь другого порядку - математика

WfX +> (JmN_fIM-Uuae5`O%., '$ Ajg +! KUi'6 (> KSFM] 7] D + FBCL! PcdZ] DlZ7U! $. A% & = fl? E] ^ CmFpSlB ^ o4mi! CI "+: sdm0 *> qB3ZfIiL0], l6cH: VUR> 7 $ u1a-YY? OEBOIGFMb -_ * GO8Sg> 3o (LXX`B = ^ mK2c16 fj, [3r * _nK, 0IDkX7uaC $ T3q = cT49jY #, cT49jY # = IlQ> VNpkHDD7 ^ .- jR2dk1 [HEAVB / .f, 'lNsf% 244b% / r2 + FbX6 549Tnr] eN (ZAe [G! 8Y) N! BEEC] 082cZ $ GZ "$ U4ORO7 = 2 / C Tt) % C7 / Fp $ n8UU :> (") 6q.lC'Q ^ з & H.EX`64Iqe8b ^ mE (9Qe [S8h5> Bh0> mk # Uh) #u> 3Z" 3% l / @ iI ^ 1 ) h] 5e Z>% $ QnFVg $ q6PbeEPlfbN86cl ([_ D = Pl! fXM * In! + OC # gmejd BE1 _sBi $ T Sn, .4] RNYba8C3F9-Zec / ^ # T3 + qKRmYkLG3BfU (X (X (DK)). t8Ej-A9 LKWaIu3 ^ / OeN_7tc "1 # G6 '* ^ -' KpV6A8YTq_msOb] PWLGJd 0> gR %% Jru8: MPdZ LjXK * #] G ^! oEmPah3rRl`q.VY, eJ / X? P (Hl ^ qA: rC? ^ DN / -5Fh3NF3lqedgtl = R s6 = N02 ^ C ", 8? 8IYt%? U.neGZPPZ'3 * .B ^% kU0g2 & TN) U: hl / 3 & XY3ra-AP% / 2I + 4rEPp.eH _tj) t = f2fq> PW: iDY384J] 3Rrj $ F (VP (U-t'b7 t! J-`d] 9oS) 'SIlTIah7, Jeh6LVrPgQeA3RiP [+ Q8G * TF / $ 5: El *> rS YWPB. *. & * so0Fi [r15! Y [spR (3puV0Jm] l8.Nb0E * Nsp / Loua & $ ogH% 0

_1. ^ A8HQ (D`, 8 МВт! DA * t! TnT./ X) XFTJ'S0 "Otn1 9V (_g]` PS ^ K3'gNb'rXS # u% 2 (Z_8cd-n0 # o% [

> endstream endobj 11 0 obj> stream = G> "f> AkM% Q, heF [iB! l'STaFBNkecN * & D U! V (` pI'Orm0S8 = Z & +% u2Ys? U "? Kk> _1L2b @ / t DLc8K'n) sjl u3rX'qO6Asu_m52 * Rf% O [a = `Mq? L'0> C] (qTFA SArQKD = (, J = T + Ygr) 0 ^ * Y)] dWmF! RfkDLfLJ $ Sni5 dY 04 + OPqdK $ [`Sqtt Q`h1 ^ IY * = 9JS (> H / FT = kaua% Of:`] p'i (% Af @ AR! H8uX7A (99 (NgjcMg TYEhj) 8! T2 gomXBa ^ # 2 YX. +> 2) fi @ $ fYUo & IJ *% - qJ

% TM.6h-_% p7Ok.6Cq5P # / G> a7aBZSH-6j`) "gX5Q) $ U%` pfq> d: / '4n: 5t # ^ KH, k # 5p @ UkM +) _ * [RQ% E75 pM * mf ( O [A / uM d / b @iF], FOeVZMieI) Clgn) (.), DNL23j8 7_YpA [W5eP &: s, MqO? D! 11r 7M5 $ IB TiXGkl) c2i & pTdaQ!) I $ [M "mT # s0O% * ^ j77S'l2.l +! FB mmKii, El" 9 & * L '"3YmbT / goD ^%' + KNb2r> + QO945_AQm'A -, /` sAIkHP-mfh-`RSL5d *) Yqn8j`Re l $ CN07 - '> (F1) ./' cDdRr0VsO / s! GQuk / 'H * VH2Nkp $ PHM5k9` ^ _k = c + b "_PbIf [n [cDCgJEdg%! FAO (APE5b2 /! *] Pd4 / NdA0XIcK:! M-9GY5 ^ 8] (B? L3: dU-r% rO0e KmA ^ lIK [aI ( (SK`uEmAR, (/ ** `u [9j kdP_, q =%") ( -S M3T [3a4 mkrsTnVWKC% / CtK oVY # rSdW6? # GKjn @ XA "Xf'76oZriB XRD #"> 9O W * Yn52] 8l3? CGu8 ' KjTj9mXTY! C- @ JW # N & lX = g6 = g6 = G6 % DBKMMn # Sa "me5O> JjVHd ^" L M @ 8KaW (E)>] N (hUN7YjOk $ -! WWD.cKq [DQ'L'Sb1 ^ # 7u # EVZa7R4 Y: Gc ,, 0l "oncL ' % gq @ $ I (5k d @, @ _ ​​S #% M6f ^: 'u 2 =% V5 @ R $] Pmm85INciNtu], RteR? aYE% RRP1o "GY (' 1. , e2`>, # i = [Q 16Qa? gWfgt3Yc'n.IB_g J] 0 ^ #>) Zn XsfQiiuIV $ O`C: K1 (Itd2St0 = NY,) B $ bM3%> fsm> oYV? 1 # (JYBobL> ,: pd & J = +? c8083: PQQQC = (Tj. [': oOOFNH $ D? Q # r9F "k% UM_jp5.ltdZee + nZ $.% 2OIIS HNC? WWVk3UGF +% ChA3JH0P) .R0aBW4 [DjDIdQFBrd 0md> Vd0> # 2 `c% ^ L" C3% Z! RoZ s * -lIt) t ! S6eKI5g% ^ GfCJ = JV0) = * r, O'ge0O ^ `jkjig NjF9b" C8B #! I (VorN = * ftB-, k / ajl $ YJUNmEU2`Xm`c / `%` kh & [n] 2G ^ L45 & A2: dQ1_d`BhldW7gN AQD!) (A G Mbc4CpcFJ_NBWP9.gCl "8eOoo # hfh # M5Hq mM7d FB $ tB ^! KH9 $ nBfnY]` 1O @ cfbRKZu0lSaabVq [F $ XV $ FW $ X $ Ms! N:? 5: * UDA> 9f / OUV> KaIP? SZdDV + YL_sP # EeH @ AL1upS8sGXrq $ E ^ 3mcU) 1ebiS = 4O7R46-COIE / ZMU 0_ @ PW`

td * Ps / Sf @ -XB'5> 9n], (@ VR9 '@ Y02) X [? TI # 6cq ^ 3BTpRU [] F6: _hY1moj6F%> jl5`otIi @ RL6c ^ s8? I4Gu [B ^' gC5f, `Z] A8?: 8 + QFh'oopt & KcOMd8S $ k, ei (jcCg + p: fqu ^? QAYqAiccC 6F # 'J +: 7 # $ [C4H-6G41 / m- @ 0: ZpTQl + XF @ S : N`F-PTcXlk jV'C [email protected]=Q8Z.3,: 9GD6mJRrhFAl-ug ^ I [WQLr & W ^ MdC [? L @ * C% `coM ^ o = m'ROt08Rk & V2 / 2ulWm8R0 a4S - /> BD '

PGMcLJUS [u $ l2] S, EBB3nJ ', c: ^: e2M *> c2I ^ - @ 5WTGcZaPMiWI)) Z.EGS h8gDcR`DDRel! WcSDXZ0] LsYSE + n5Wd (VSl6kG + G0VGD P QJka [/ qg4QmG7b = 6 [.QDcA) 9KHl% nV ._. (D * Oth "HJFhGWu_! N $ XJH7" U * YL01A48: * Jln "/ g K] oN5VfB = W A] 2o.> J > KKbg2 @ G6n ^ # SWUGUEtdg` "qe-23 * eVNTAACf: 9Jk) h14U.'KCADQd 8SPh & _A * & Bi ^ L ($ *% Rfm_KmE9bo? Lf? G ^: SZ?" "5m # _nb0 $ '] 5_) nhW HD1Sp`% * kBgXE'LKWg l? QG4sl4X8Ujo] 4 * qG]: dO3h (apc0ae) Ba, NWI, 1ApL 7) 0aY2 "1L! 0s> qRbdBj MbnB ^ SZIJ` (% uE_ @ s ',% CJA_ [s',% im7k9qF, -, c / KA # qrf & (KQl = '"e = qnS # Ogs] NOB -Ch1ql.eI GPrVK # 4! 9

MZ [ArTk> uZ WPTL> DVs] aFk & .VT "> J ('0lD # [= La! N) tG * a6q1 (: 0J * b2XR + n! Jj% H.s2kpqn? + ZJ`PWip * 9R? K0Y ! omcT =, Ic? 6EZ, PeuXKQmpcG! @o_lu]! a & JKcGXuUnS7F '^ ml4Tia (R] + ApQQam'_Y [LQ8h $ j ^ , Aa . $ # Du0-S.FaWF = 9L,> - iOp`MbaHhYY C0ImBJ'DX * o> #): Y "Ec5 N7fQI9hhX mPbA = N * / - CV, / C77 ^ i:

Ласкаво просимо!

Це один із понад 2400 курсів з OCW. Ознайомтеся з матеріалами цього курсу на сторінках, зв’язаних ліворуч.

MIT OpenCourseWare - це безкоштовна відкрита публікація матеріалів тисяч курсів MIT, що охоплює всю навчальну програму MIT.

Відсутність реєстрації та реєстрації. Вільно переглядайте та використовуйте матеріали OCW у своєму власному темпі. Немає реєстрації, а також дати початку чи закінчення.

Знання - це ваша нагорода. Використовуйте OCW, щоб керувати власним навчанням протягом усього життя або навчати інших. Ми не пропонуємо кредит або сертифікацію за використання OCW.

Створено для обміну. Завантажте файли на потім. Надіслати друзям та колегам. Змінюйте, реміксуйте та використовуйте повторно (просто пам’ятайте, що як джерело потрібно навести OCW.)


Існування позитивного рішення різницевих рівнянь часто зустрічається при аналізі математичних моделей, що описують різні процеси. Це є мотивацією для інтенсивного вивчення умов існування позитивних розв’язків дискретних або неперервних рівнянь. Подібний аналіз пов'язаний з розслідуванням випадку всіх рішень, що коливаються (для відповідного розслідування в обох напрямках ми посилаємось, наприклад, на [1–15] та посилання там). У цій роботі виведені різкі умови для всіх коливальних розв'язків для класу лінійних затримо-дискретних рівнянь другого порядку.

Ми розглянемо відкладене лінійне дискретне рівняння другого порядку

де, закріплено,, і. Розв'язок (1.1) додатний (негативний) на if () для кожного. Розв'язок (1.1) коливається, якщо він не є додатним чи від'ємним для довільного.

Давайте визначимо вираз,, за, де і, а замість, ми будемо писати лише.

У роботі [2] розглядається рівняння затримки лінійного різниці вищого порядку та доводиться наступний результат, пов'язаний з (1.1) про існування позитивного рішення.

Нехай буде досить великим і. Якщо функція задовольняє

для кожного, то існують натуральне ціле число та рішення (1.1), яке виконується для кожного.

Наша мета - відповісти на відкрите питання, чи всі розв'язки (1.1) коливаються, якщо нерівність (1.2) замінити протилежною

припускаючи і досить великий. Нижче ми доводимо, що якщо виконується (1.3) і, то всі розв'язки (1.1) є коливальними. Доказом нашого головного результату послужить наслідок одного з результатів Домшлака [8, Висновок, стор. 69].

Нехай і фіксовані натуральні числа такі, що. Нехай буде задана послідовність додатних чисел і додатне число, таке, що існує число, що задовольняє


5: Застосування лінійних рівнянь другого порядку - математика

WfX +> (JmN_fIM-Uuae5`O%., '$ Ajg +! KUi'6 (> KSFM] 7] D + FBCL! PcdZ] DlZ7U! $. A% & = fl? E] ^ CmFpSlB ^ o4mi! CI "+: sdm0 *> qB3ZfIiL0], l6cH: VUR> 7 $ u1a-YY? OEBOIGFMb -_ * GO8Sg> 3o (LXX`B = ^ mK2c16 fj, [3r * _nK, 0IDkX7uaC $ T3q = cT49jY #, cT49jY # = IlQ> VNpkHDD7 ^ .- jR2dk1 [HEAVB / .f, 'lNsf% 244b% / r2 + FbX6 549Tnr] eN (ZAe [G! 8Y) N! BEEC] 082cZ $ GZ "$ U4ORO7 = 2 / C Tt) % C7 / Fp $ n8UU :> (") 6q.lC'Q ^ з & H.EX`64Iqe8b ^ mE (9Qe [S8h5> Bh0> mk # Uh) #u> 3Z" 3% l / @ iI ^ 1 ) h] 5e Z>% $ QnFVg $ q6PbeEPlfbN86cl ([_ D = Pl! fXM * In! + OC # gmejd BE1 _sBi $ T Sn, .4] RNYba8C3F9-Zec / ^ # T3 + qKRmYkLG3BfU (X (X (DK)). t8Ej-A9 LKWaIu3 ^ / OeN_7tc "1 # G6 '* ^ -' KpV6A8YTq_msOb] PWLGJd 0> gR %% Jru8: MPdZ LjXK * #] G ^! oEmPah3rRl`q.VY, eJ / X? P (Hl ^ qA: rC? ^ DN / -5Fh3NF3lqedgtl = R s6 = N02 ^ C ", 8? 8IYt%? U.neGZPPZ'3 * .B ^% kU0g2 & TN) U: hl / 3 & XY3ra-AP% / 2I + 4rEPp.eH _tj) t = f2fq> PW: iDY384J] 3Rrj $ F (VP (U-t'b7 t! J-`d] 9oS) 'SIlTIah7, Jeh6LVrPgQeA3RiP [+ Q8G * TF / $ 5: El *> rS YWPB. *. & * so0Fi [r15! Y [spR (3puV0Jm] l8.Nb0E * Nsp / Loua & $ ogH% 0

_1. ^ A8HQ (D`, 8 МВт! DA * t! TnT./ X) XFTJ'S0 "Otn1 9V (_g]` PS ^ K3'gNb'rXS # u% 2 (Z_8cd-n0 # o% [

> endstream endobj 11 0 obj> stream = G> "f> AkM% Q, heF [iB! l'STaFBNkecN * & D U! V (` pI'Orm0S8 = Z & +% u2Ys? U "? Kk> _1L2b @ / t DLc8K'n) sjl u3rX'qO6Asu_m52 * Rf% O [a = `Mq? L'0> C] (qTFA SArQKD = (, J = T + Ygr) 0 ^ * Y)] dWmF! RfkDLfLJ $ Sni5 dY 04 + OPqdK $ [`Sqtt Q`h1 ^ IY * = 9JS (> H / FT = kaua% Of:`] p'i (% Af @ AR! H8uX7A (99 (NgjcMg TYEhj) 8! T2 gomXBa ^ # 2 YX. +> 2) fi @ $ fYUo & IJ *% - qJ

% TM.6h-_% p7Ok.6Cq5P # / G> a7aBZSH-6j`) "gX5Q) $ U%` pfq> d: / '4n: 5t # ^ KH, k # 5p @ UkM +) _ * [RQ% E75 pM * mf ( O [A / uM d / b @iF], FOeVZMieI) Clgn) (.), DNL23j8 7_YpA [W5eP &: s, MqO? D! 11r 7M5 $ IB TiXGkl) c2i & pTdaQ!) I $ [M "mT # s0O% * ^ j77S'l2.l +! FB mmKii, El" 9 & * L '"3YmbT / goD ^%' + KNb2r> + QO945_AQm'A -, /` sAIkHP-mfh-`RSL5d *) Yqn8j`Re l $ CN07 - '> (F1) ./' cDdRr0VsO / s! GQuk / 'H * VH2Nkp $ PHM5k9` ^ _k = c + b "_PbIf [n [cDCgJEdg%! FAO (APE5b2 /! *] Pd4 / NdA0XIcK:! M-9GY5 ^ 8] (B? L3: dU-r% rO0e KmA ^ lIK [aI ( (SK`uEmAR, (/ ** `u [9j kdP_, q =%") ( -S M3T [3a4 mkrsTnVWKC% / CtK oVY # rSdW6? # GKjn @ XA "Xf'76oZriB XRD #"> 9O W * Yn52] 8l3? CGu8 ' KjTj9mXTY! C- @ JW # N & lX = g6 = g6 = G6 % DBKMMn # Sa "me5O> JjVHd ^" L M @ 8KaW (E)>] N (hUN7YjOk $ -! WWD.cKq [DQ'L'Sb1 ^ # 7u # EVZa7R4 Y: Gc ,, 0l "oncL ' % gq @ $ I (5k d @, @ _ ​​S #% M6f ^: 'u 2 =% V5 @ R $] Pmm85INciNtu], RteR? aYE% RRP1o "GY (' 1. , e2`>, # i = [Q 16Qa? gWfgt3Yc'n.IB_g J] 0 ^ #>) Zn XsfQiiuIV $ O`C: K1 (Itd2St0 = NY,) B $ bM3%> fsm> oYV? 1 # (JYBobL> ,: pd & J = +? c8083: PQQQC = (Tj. [': oOOFNH $ D? Q # r9F "k% UM_jp5.ltdZee + nZ $.% 2OIIS HNC? WWVk3UGF +% ChA3JH0P) .R0aBW4 [DjDIdQFBrd 0md> Vd0> # 2 `c% ^ L" C3% Z! RoZ s * -lIt) t ! S6eKI5g% ^ GfCJ = JV0) = * r, O'ge0O ^ `jkjig NjF9b" C8B #! I (VorN = * ftB-, k / ajl $ YJUNmEU2`Xm`c / `%` kh & [n] 2G ^ L45 & A2: dQ1_d`BhldW7gN AQD!) (A G Mbc4CpcFJ_NBWP9.gCl "8eOoo # hfh # M5Hq mM7d FB $ tB ^! KH9 $ nBfnY]` 1O @ cfbRKZu0lSaabVq [F $ XV $ FW $ X $ Ms! N:? 5: * UDA> 9f / OUV> KaIP? SZdDV + YL_sP # EeH @ AL1upS8sGXrq $ E ^ 3mcU) 1ebiS = 4O7R46-COIE / ZMU 0_ @ PW`

td * Ps / Sf @ -XB'5> 9n], (@ VR9 '@ Y02) X [? TI # 6cq ^ 3BTpRU [] F6: _hY1moj6F%> jl5`otIi @ RL6c ^ s8? I4Gu [B ^' gC5f, `Z] A8?: 8 + QFh'oopt & KcOMd8S $ k, ei (jcCg + p: fqu ^? QAYqAiccC 6F # 'J +: 7 # $ [C4H-6G41 / m- @ 0: ZpTQl + XF @ S : N`F-PTcXlk jV'C [email protected]=Q8Z.3,: 9GD6mJRrhFAl-ug ^ I [WQLr & W ^ MdC [? L @ * C% `coM ^ o = m'ROt08Rk & V2 / 2ulWm8R0 a4S - /> BD '

PGMcLJUS [u $ l2] S, EBB3nJ ', c: ^: e2M *> c2I ^ - @ 5WTGcZaPMiWI)) Z.EGS h8gDcR`DDRel! WcSDXZ0] LsYSE + n5Wd (VSl6kG + G0V P QJka [/ qg4QmG7b = 6 [.QDcA) 9KHl% nV ._. (D * Oth "HJFhGWu_! N $ XJH7" U * YL01A48: * Jln "/ g K] oN5VfB = W A] 2o.> J > KKbg2 @ G6n ^ # SWUGUEtdg` "qe-23 * eVNTAACf: 9Jk) h14U.'KCADQd 8SPh & _A * & Bi ^ L ($ *% Rfm_KmE9bo? Lf? G ^: SZ?" "5m # _nb0 $ '] 5_) nhW HD1Sp`% * kBgXE'LKWg l? QG4sl4X8Ujo] 4 * qG]: dO3h (apc0ae) Ba, NWI, 1ApL 7) 0aY2 "1L! 0s> qRbdBj MbnB ^ SZIJ` (% uE_ @ s ',% CJA_ [s',% im7k9qF, -, c / KA # qrf & (KQl = '"e = qnS # Ogs] NOB -Ch1ql.eI GPrVK # 4! 9

MZ [ArTk> uZ WPTL> DVs] aFk & .VT "> J ('0lD # [= La! N) tG * a6q1 (: 0J * b2XR + n! Jj% H.s2kpqn? + ZJ`PWip * 9R? K0Y ! omcT =, Ic? 6EZ, PeuXKQmpcG! @o_lu]! a & JKcGXuUnS7F '^ ml4Tia (R] + ApQQam'_Y [LQ8h $ j ^ , Aa . $ # Du0-S.FaWF = 9L,> - iOp`MbaHhYY C0ImBJ'DX * o> #): Y "Ec5 N7fQI9hhX mPbA = N * / - CV, / C77 ^ i:


Перегляньте відео: Решение систем уравнений методом подстановки (Найясніший 2022).