Статті

6.3: Розкладання на триноми множника вигляду ax² + bx + c

6.3: Розкладання на триноми множника вигляду ax² + bx + c



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Мета навчання

  • Факторні триноми виду (ax ^ {2} + bx + c ).
  • Факторні триноми із загальним множником.

Розкладання на множники триномів форми (ax ^ {2} + bx + c )

Розкладання на множники на множники виду (ax ^ {2} + bx + c ) може бути складним завданням, оскільки на середній член впливають фактори (a ) та (c ). Щоб проілюструвати це, розглянемо наступний множник з множниками:

(10x ^ {2} + 17x + 3 = (2x + 3) (5x + 1) )

Ми можемо помножити, щоб переконатися, що це правильна факторизація.

( початок {вирівняно} (2x + 3) (5x + 1) & = 10x ^ {2} + 2x + 15x + 3 & = 10x ^ {2} + 17x + 3 quad color {Cerulean} { галочка} кінець {вирівняне} )

Як ми бачили раніше, добуток перших доданків кожного двочлена дорівнює першому доданку тричлена. Середній доданок тричлена - це сума добутків зовнішнього та внутрішнього доданків двочленів. Добуток останніх доданків кожного двочлена дорівнює останньому доданку тричлена. Візуально ми маємо наступне:

В загальному,

( початок {вирівняний} колір {Церулянський} {а} кольоровий {чорний} {х ^ {2} +} кольоровий {Церулянський} {б} кольоровий {чорний} {х +} кольоровий {Церулевий} { c} & = (px + m) (qx + n) & = pqx ^ {2} + pnx + qmx + mn & = color {Cerulean} {pq} color {black} {x ^ { 2} +} color {Cerulean} {(pn + qm)} color {black} {x +} color {Cerulean} {mn} end {align} )

Це дає нам,

[a = pq quad text {та} quad b = pn + qm, quad text {де} quad c = mn ]

Коротше кажучи, коли провідний коефіцієнт тричлена є чимось іншим, ніж (1 ), при визначенні факторів за допомогою методу проб і помилок буде більше враховувати. Ключ полягає в розумінні того, як отримується середній термін. Помножте ((2x + 5) (3x + 7) ) і уважно стежте за формуванням середнього терміну.

( begin {масив} {ccc} {( color {Cerulean} {2x} color {чорний} {+} color {OliveGreen} {5} color {чорний} {) (3x + 7) = колір {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 3x}}} & { underbrace {+ color {Cerulean} {2x} color {black} { cdot 7 +} color {OliveGreen} { 5} color {чорний} { cdot 3x}}} & {+ color {OliveGreen} {5} color {чорний} { cdot 7}} {} & { color {Cerulean} {середній : термін}} & {} end {масив} )

( початок {вирівнювання} & = 6x ^ {2} + 14x + 15x + 35 & = 6x ^ {2} + 29x + 35 кінець {вирівнювання} )

Якщо ми думаємо про метод FOIL для множення двочленів, то середній доданок є результатом суми внутрішнього і зовнішнього добутку. У цьому випадку (14x + 15x = 29x ), як показано нижче:

З цієї причини нам потрібно шукати добутки факторів першого та останнього доданків, сума яких дорівнює коефіцієнту середнього члена. Наприклад, щоб розкласти на множник (6x ^ {2} + 29x + 35 ), подивіться на фактори (6 ) та (35 ).

( begin {масив} {ccc} {6 = 1 cdot 6} & { quad} & {35 = 1 cdot 35} {= color {OliveGreen} {2 cdot 3}} & { quad} & {= color {OliveGreen} {5 cdot 7}} end {масив} )

Комбінація, яка дає коефіцієнт середнього терміну, дорівнює (2⋅7 + 3⋅5 = 14 + 15 = 29 ). Переконайтесь, що зовнішні доданки мають коефіцієнти (2 ) та (7 ), а внутрішні доданки мають коефіцієнти (5 ) та (3 ). Використовуйте цю інформацію для множення тричлена:

( begin {align} 6x ^ {2} + 29x + 35 & = (2x quad color {Cerulean} {?} color {black} {) (3x} quad color {Cerulean} {?} колір {чорний} {)} & = (2x + 5) (3x + 7) кінець {вирівняний} )

Приклад ( PageIndex {1} )

Фактор:

(3x ^ {2} + 7x + 2 ).

Рішення:

Оскільки провідний коефіцієнт і останній доданок є простими, існує лише один спосіб врахування кожного.

(3 = 1 cdot 3 quad text {і} quad 2 = 1 cdot 2 )

Почніть із запису факторів першого доданка, (3x ^ {2} ), таким чином:

(3x ^ {2} + 7x + 2 = (x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (3x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

Середній і останній термін є позитивними; тому фактори (2 ) вибираються як додатні числа. У цьому випадку єдиний вибір полягає в тому, в якій групі розмістити ці фактори.

((x + 1) (3x + 2) quad text {або} quad (x + 2) (3x + 1) )

Визначте, яке групування є правильним, помноживши кожен вираз.

( початок {вирівняно} (x + 1) (3x + 2) & = 3x ^ {2} + 2x + 3x + 2 & = 3x ^ {2} + 5x + 2 quad color {червоний} {x} (x + 2) (3x + 1) & = 3x ^ {2} + x + 6x + 2 & = 3x ^ {2} + 7x + 2 quad color {Cerulean} { галочка} кінець {вирівняний} )

Зверніть увагу, що ці товари відрізняються лише середнім рівнем. Також зверніть увагу, що середній термін - це сума внутрішнього та зовнішнього продукту, як показано нижче:

Відповідь:

((x + 2) (3x + 1) )

Приклад ( PageIndex {2} )

Фактор:

(12x ^ {2} + 38x + 20 ).

Рішення:

Спочатку розглянемо фактори першого та останнього термінів.

( begin {масив} {ccc} {12 = 1 cdot 12} & { quad} & {20 = 1 cdot 20} {= 2 cdot 6} & { quad} & {= 2 cdot 10} {= 3 cdot 4} & { quad} & {= 4 cdot 5} end {масив} )

Ми шукаємо продукти факторів, сума яких дорівнює коефіцієнту середнього терміну, (38 ). Для стислості процес мислення ілюструється, починаючи з факторів (2 ) та (6 ). Факторинг починається в цей момент з першого терміну.

(12x ^ {2} + 38x + 20 = (2x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (6x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

Ми шукаємо фактори 20, які поряд з коефіцієнтами 12 дають середній термін 38x

( begin {масив} {lll} {Фактори : з : 20} & {Можливі} & {факторизація} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 1) ( 6x + 20)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow 46x}} { color {Cerulean} {1 cdot 20}} & {(2x + 20) (6x + 1)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow 122x}} { color {Cerulean} {2 cdot 10}} & {(2x + 2) (6x + 10)} & { color { Церулевий} {середній : термін Rightarrow 32x}} { color {Cerulean} {2 cdot 10}} & {(2x + 10) (6x + 2)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow 64x}} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & {(2x + 4) (6x + 5)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow 34x }} { color {Cerulean} {4 cdot 5}} & { color {OliveGreen} {(2x + 5) (6x + 4)}} & { color {OliveGreen} {середній : термін Rightarrow 38x} quad color {Cerulean} { галочка}} end {масив} )

Тут остання комбінація дає середній член (38x ).

Відповідь:

((2x + 5) (6x + 4) )

Приклад ( PageIndex {3} )

Фактор:

(10x ^ {2} −23x + 6 ).

Рішення

Спочатку розглянемо фактори першого та останнього термінів.

( begin {масив} {ccc} {10 = 1 cdot 10} & { quad} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 5} & { quad} & {= 2 cdot 3} end {масив} )

Ми шукаємо добутки факторів, сума яких дорівнює коефіцієнту середнього терміну, (- 23 ). Факторинг починається з цього моменту з двох наборів порожніх дужок:

(10x ^ {2} -23x + 6 = ( quad) ( quad) )

Оскільки останній член є позитивним, а середній - негативним, ми знаємо, що обидва фактори останнього терміну повинні бути негативними. Тут ми перелічимо всі можливі комбінації з множниками (10x ^ {2} = 2x⋅5x ).

(10x ^ {2} -23x + 6 = (2x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (5x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

( begin {масив} {ll} {(2x-1) (5x-6)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow -17x}} {(2x-6) (5x -1)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow -32x}} {(2x-2) (5x-3)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow -16x}} {(2x-3) (5x-2)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow -19x}} end {масив} )

Немає комбінації, яка давала б середній термін (- 23x ). Потім переходимо до факторів (10x ^ {2} = 10x⋅x ) і перелічуємо всі можливі комбінації:

(10x ^ {2} -23x + 6 = (10x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

( begin {масив} {ll} {(10x-1) (x-6)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow -61x}} {(10x-6) (x -1)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow -162x}} {(10x-2) (x-3)} & { color {Cerulean} {середній : термін Rightarrow -32x}} { color {OliveGreen} {(10x-3) (x-2)}} & { color {OliveGreen} {середній : термін Rightarrow -23x} quad color {Cerulean} { галочка}} кінець {масив} )

А ми можемо писати

Відповідь:

((10x-3) (x-2) ). Повна перевірка залишається за читачем.

Ми можемо зменшити більшу частину здогадок, пов’язаних з факторизуванням триномів, якщо врахувати всі фактори першого та останнього доданків та їх продукти.

Приклад ( PageIndex {4} )

Фактор:

(5x ^ {2} + 38x-16 ).

Рішення:

Почнемо з факторів (5 ) та (16 ).

( begin {масив} {cc} {} & {16 = 1 cdot 16} {5 = 1 cdot 5} & {= 2 cdot 8} {} & {= 4 cdot 4 } end {масив} )

Оскільки провідний коефіцієнт є простим, ми можемо почати з наступного:

(5x ^ {2} + 38x-16 = (x quad color {Cerulean} {?} Color {black} {) (5x} quad color {Cerulean} {?} Color {black} { )} )

Ми шукаємо продукти факторів 5 і 16, які могли б додати до 38.

( begin {масив} {lll} {Фактори : з : 16} & {Можливі} & {продукти} { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color { Cerulean} {1} : color {black} {і : 5} cdot color {Cerulean} {16}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 1 : і : 80} } { color {Cerulean} {1 cdot 16}} & {1 cdot color {Cerulean} {16} : color {black} {та : 5} cdot color {Cerulean} { 1}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 16 : and : 5}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {2} : color {чорний} {та : 5} cdot color {Cerulean} {8}} & { color {OliveGreen} {products Rightarrow : 2 : та : 40} quad color {Cerulean} { checkmark}} { color {Cerulean} {2 cdot 8}} & {1 cdot color {Cerulean} {8} : color {black} {і : 5 } cdot color {Cerulean} {2}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 8 : і : 10}} { color {Cerulean} {4 cdot 4}} & {1 cdot color {Cerulean} {4} : color {black} {і : 5} cdot color {Cerulean} {4}} & { color {Cerulean} {products Rightarrow : 4 : та : 20}} end {масив} )

Оскільки останній доданок є негативним, ми повинні шукати фактори з протилежними знаками. Тут ми бачимо, що продукти 2 і 40 складають до 38, якщо вони мають протилежні знаки:

(1 cdot ( color {Cerulean} {- 2} color {black} {) + 5 cdot} color {Cerulean} {8} color {black} {= - 2 + 40 = 38} )

Тому використовуйте (- 2 ) та (8 ) як фактори (16 ), переконуючись, що внутрішні та зовнішні продукти є (- 2x ) та (40x ):

Відповідь:

((x + 8) (5x-2) ). Повна перевірка залишається за читачем.

Після багато практики, процес, описаний у попередньому прикладі, можна виконати розумово.

Вправа ( PageIndex {1} )

Фактор:

(12x ^ {2} -31x-30 )

Відповідь

((3x-10) (4x + 3) )

Коли даються тричлени з кількома змінними, процес подібний.

Приклад ( PageIndex {5} )

Фактор:

(9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} ).

Рішення:

Шукайте фактори першого та останнього термінів, щоб сума внутрішніх і зовнішніх продуктів дорівнювала середньому.

( begin {масив} {cc} {9x ^ {2} = 1x cdot 9x} & {25y ^ {2} = 1y cdot 25y} {= 3x cdot 3x} & {= 5y cdot 5y} end {масив} )

Додайте такі продукти, щоб отримати середній термін: (3x⋅5y + 3x⋅5y = 30xy ).

( початок {вирівняно} 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} & = (3x quad) (3x quad) & = (3x + 5y) (3x + 5y) & = (3x + 5y) ^ {2} кінець {вирівняний} )

У цьому прикладі ми маємо ідеальний квадратний тричлен. Перевірте.

( початок {вирівняно} (3x + 5y) ^ {2} & = 9x ^ {2} +2 cdot 3x cdot 5y + 25y ^ {2} & = 9x ^ {2} + 30xy + 25y ^ {2} quad color {Cerulean} { галочка} кінець {вирівняний} )

Відповідь:

((3x + 5y) ^ {2} )

Вправа ( PageIndex {2} )

Фактор:

(16x ^ {2} −24xy + 9y ^ {2} ).

Відповідь

((4x-3y) ^ {2} )

Факторинг триномів із загальними факторами

Доброю практикою є перше врахування ЖКФ, якщо він є. Це робить триноміальний коефіцієнт з меншими коефіцієнтами. Як ми бачили, триноми з меншими коефіцієнтами вимагають значно менших зусиль для факторизації. Цей загальноуважний крок варто визначити на початку.

Приклад ( PageIndex {6} )

Фактор:

(12x ^ {2} -27x + 6 ).

Рішення:

Почніть з факторизації GCF.

(12x ^ {2} -27x + 6 = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) )

Виділивши 3, коефіцієнти отриманого тринома менші і мають меншу кількість факторів.

( begin {масив} {cc} {4 = color {OliveGreen} {1 cdot 4}} & {2 = color {OliveGreen} {1 cdot 2}} {= 2 cdot 2} & {} end {масив} )

Поміркувавши, ми можемо побачити, що комбінація, що дає коефіцієнт середнього доданку, становить (4 (−2) +1 (−1) = - 8−1 = −9 ).

( початок {вирівнювання} 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 3 (4x quad color {Cerulean} {?} color {black} {) (x} quad color {Cerulean } {?} color {чорний} {)} & = 3 (4x-1) (x-2) кінець {вирівняний} )

Перевірте.

( початок {вирівняно} 3 (4x-1) (x-2) & = 3 (4x ^ {2} -8x-x + 2) & = 3 (4x ^ {2} -9x + 2) & = 12x ^ {2} -27x + 6 quad color {Cerulean} { галочка} кінець {вирівняний} )

Коефіцієнт (3 ) є частиною факторизованої форми вихідного виразу; обов’язково включіть це у відповідь.

Відповідь:

(3 (4x-1) (x-2) )

Це хороша практика постійної роботи з триномами, де провідний коефіцієнт позитивний.

Приклад ( PageIndex {7} )

Фактор:

(- x ^ {2} + 2x + 15 ).

Рішення

У цьому прикладі провідним коефіцієнтом є (- 1 ). Перш ніж розпочати процес факторингу, відлічіть (- 1 ):

(- x ^ {2} + 2x + 15 = -1 (x ^ {2} -2x-15) )

На цьому етапі врахуйте решту тричлена, як зазвичай, пам’ятаючи написати (- 1 ) як фактор у вашій остаточній відповіді. Оскільки (3 + (−5) = −2 ), використовуйте (3 ) та (5 ) як фактори (15 ).

( початок {вирівняне} -x ^ {2} + 2x = 15 & = - 1 (x ^ {2} -2x-15) & = - 1 (x quad) (x quad) & = - (x + 3) (x-5) кінець {вирівняний} )

Відповідь:

(- 1 (x + 3) (x-5) ). Чек залишається читачеві.

Приклад ( PageIndex {8} )

Фактор:

(- 60a ^ {2} -5a + 30 )

Рішення

GCF усіх термінів - (5 ). Однак у цьому випадку коефіцієнт out (- 5 ), оскільки це утворює триноміальний коефіцієнт, де провідний коефіцієнт додатний.

(- 60a ^ {2} -5a + 30 = -5 (12a ^ {2} + a-6) )

Зосередьтеся на факторах (12 ) та (6 ), які поєднуються, щоб отримати середній коефіцієнт, (1 ).

( begin {масив} {cc} {12 = 1 cdot 12} & {6 = 1 cdot 6} {= 2 cdot 6} & {= color {OliveGreen} {2 cdot 3} } {= color {OliveGreen} {3 cdot 4}} & {} end {array} )

Поміркувавши, ми виявимо, що (3⋅3−4⋅2 = 9−8 = 1 ). Розмножимо решту тричлена.

( початок {вирівняне} -60a ^ {2} -5a + 30 & = - 5 (12a ^ {2} + a-6) & = - 5 (4a quad) (3a quad) & = -5 (4a + 3) (3a-2) кінець {вирівняний} )

Відповідь:

(- 5 (4a + 3) (3a-2) ). Чек залишається читачеві.

Вправа ( PageIndex {3} )

Фактор:

(24 + 2x − x ^ {2} ).

Відповідь

(- 1 (x − 6) (x + 4) )

Факторинг із використанням методу змінного струму

У цьому розділі ми розкладаємо триноми виду (ax ^ {2} + bx + c ), використовуючи метод змінного струму, описаний раніше.

Приклад ( PageIndex {9} )

Коефіцієнт, що використовує метод змінного струму:

(18x ^ {2} −21x + 5 ).

Рішення:

Тут (a = 18, b = −21 ) та (c = 5 ).

( початок {вирівнювання} змінна & = 18 (5) & = 90 закінчення {вирівнювання} )

Фактор (90 ) та пошук факторів, сума яких дорівнює (- 21 ).

( begin {align} 90 & = 1 (90) & = 2 (45) & = 3 (30) & = 5 (18) & = color {OliveGreen} {6 (15 )} quad color {Cerulean} { галочка} & = 9 (10) кінець {вирівняний} )

У цьому випадку сума коефіцієнтів (- 6 ) та (- 15 ) дорівнює середньому коефіцієнту, (- 21 ). Отже, (- 21x = −6x − 15x ), і ми можемо писати

(18x ^ {2} color {OliveGreen} {- 21x} color {чорний} {+ 5 = 18x ^ {2}} color {OliveGreen} {- 6x-15x} color {чорний} {+ 5 } )

Фактор еквівалентний вираз, групуючи.

( початок {вирівняне} 18x ^ {2} -21x + 5 & = 18x ^ {2} -6x-15x + 5 & = 6x (3x-1) -5 (3x-1) & = ( 3x-1) (6x-5) end {вирівнювання} )

Відповідь:

((3x-1) (6x-5) )

Приклад ( PageIndex {10} )

Коефіцієнт, що використовує метод змінного струму: (9x ^ {2} −61x − 14 ).

Рішення:

Тут (a = 9, b = −61 ) та (c = −14 ).

Ми розкладаємо (- 126 ) наступним чином:

( begin {align} -126 & = 1 (-126) & = color {OliveGreen} {2 (-63)} quad color {Cerulean} { checkmark} & = 3 (-42 ) & = 6 (-21) & = 7 (-18) & = 9 (-14) кінець {вирівняний} )

Сума факторів (2 ) та (- 63 ) дорівнює середньому коефіцієнту, (- 61 ). Замініть (- 61x ) на (2x − 63x ):

( початок {вирівняно} 9x ^ {2} -61x-14 & = 9x ^ {2} + 2x-63x-14 quad color {Cerulean} {Переставити : терміни : терміни.} & = 9x ^ {2} -63x + 2x-14 quad color {Cerulean} {Фактор : за : групування.} & = 9x (x-7) +2 (x-7) & = (x -7) (9x + 2) кінець {вирівняний} )

Відповідь:

((x-7) (9x + 2) ). Чек залишається читачеві.

Ключові винос

  • Якщо трином виду (ax ^ {2} + bx + c ) враховує добуток двох двочленів, тоді коефіцієнт середнього члена буде сумою певних добутків множників першого та останнього доданків.
  • Якщо триноміал має найбільший спільний коефіцієнт, то найкращою практикою буде спочатку розбити GCF, перш ніж намагатись його розкласти на добуток двочленів.
  • Якщо провідний коефіцієнт тринома від’ємний, то найкращою практикою є вилучення цього негативного коефіцієнта перед спробою факторизувати триноміал.
  • Розкладання на фактори триномів виду (ax ^ {2} + bx + c ) вимагає багато практики та терпіння. Надзвичайно важливо витратити час, щоб стати майстром, працюючи безліч вправ.

Вправа ( PageIndex {4} ) Факторинг триномалів

Фактор.

  1. (3x ^ {2} −14x − 5 )
  2. (5x ^ {2} + 7x + 2 )
  3. (2x ^ {2} + 5x − 3 )
  4. (2x ^ {2} + 13x − 7 )
  5. (2x ^ {2} + 9x − 5 )
  6. (7x ^ {2} + 20x − 3 )
  7. (7x ^ {2} −46x − 21 )
  8. (3x ^ {2} + x − 2 )
  9. (5x ^ {2} + 34x − 7 )
  10. (5x ^ {2} −28x − 12 )
  11. (9x ^ {2} −12x + 4 )
  12. (4х ^ {2} −20x + 25 )
  13. (49x ^ {2} + 14x + 1 )
  14. (25x ^ {2} −10x + 1 )
  15. (2x ^ {2} + 7x + 16 )
  16. (6x ^ {2} −19x − 10 )
  17. (27x ^ {2} + 66x − 16 )
  18. (12x ^ {2} −88x − 15 )
  19. (12y ^ {2} −8y + 1 )
  20. (16y ^ {2} −66y − 27 )
  21. (9x ^ {2} −12xy + 4y ^ {2} )
  22. (25x ^ {2} + 40x + 16 )
  23. (15x ^ {2} −26xy + 8y ^ {2} )
  24. (12a ^ {2} −4ab − 5b ^ {2} )
  25. (4x ^ {2} y ^ {2} + 16xy − 9 )
  26. (20x ^ {2} y ^ {2} + 4xy − 7 )
  27. Площа прямокутника задається функцією (A (x) = 3x ^ {2} −10x + 3 ), де (x ) вимірюється в метрах. Перепишіть цю функцію у розкладеному вигляді.
  28. Площа прямокутника задається функцією (A (x) = 10x ^ {2} −59x − 6 ), де (x ) вимірюється в метрах. Перепишіть цю функцію у розкладеному вигляді.
Відповідь

1. ((x − 5) (3x + 1) )

3. ((x + 3) (2x − 1) )

5. ((x + 5) (2x − 1) )

7. ((x − 7) (7x + 3) )

9. ((x + 7) (5x − 1) )

11. ((3x − 2) ^ {2} )

13. ((7x + 1) ^ {2} )

15. Грунтуйте

17. ((3x + 8) (9x − 2) )

19. ((6y − 1) (2y − 1) )

21. ((3x − 2y) ^ {2} )

23. ((3x − 4y) (5x − 2y) )

25. ((2xy − 1) (2xy + 9) )

27. (A (x) = (3x − 1) (x − 3) )

Вправа ( PageIndex {5} ) Факторинг триномалів із загальними факторами

Фактор.

  1. (6x ^ {2} −20x − 16 )
  2. (45x ^ {2} + 27x − 18 )
  3. (20x ^ {2} −20x + 5 )
  4. (3x ^ {2} + 39x − 90 )
  5. (16x ^ {2} + 26x − 10 )
  6. (54x ^ {2} -15x + 6 )
  7. (45x ^ {2} −45x − 20 )
  8. (90x ^ {2} + 300x + 250 )
  9. (40x ^ {2} −36xy + 8y ^ {2} )
  10. (24a ^ {2} b ^ {2} + 18ab − 81 )
  11. (6x ^ {2} y ^ {2} + 46xy + 28 )
  12. (2x ^ {5} + 44x ^ {4} + 144x ^ {3} )
  13. (5x ^ {3} −65x ^ {2} + 60x )
  14. (15a ^ {4} b ^ {2} −25a ^ {3} b − 10a ^ {2} )
  15. (6a ^ {4} b + 2a ^ {3} b ^ {2} −4a ^ {2} b ^ {3} )
  16. (20a ^ {3} b ^ {2} −60a ^ {2} b ^ {3} + 45ab ^ {4} )
Відповідь

1. (2 (x − 4) (3x + 2) )

3. (5 (2x − 1) ^ {2} )

5. (2 (8x ^ {2} + 13x − 5) )

7. (5 (3x − 4) (3x + 1) )

9. (4 (5x − 2y) (2x − y) )

11. (2 (xy + 7) (3xy + 2) )

13. (5x (x − 12) (x − 1) )

15. (2a ^ {2} b (3a − 2b) (a + b) )

Вправа ( PageIndex {6} ) Факторинг триномалів із загальними факторами

Виділіть (- 1 ), а потім розкладіть далі.

  1. (- x ^ {2} −4x + 21 )
  2. (- x ^ {2} + x + 12 )
  3. (- x ^ {2} + 15x − 56 )
  4. (- x ^ {2} + x + 72 )
  5. (- y ^ {2} + 10y-25 )
  6. (- y ^ {2} −16y − 64 )
  7. (36−9a − a ^ {2} )
  8. (72−6a − a ^ {2} )
  9. (32 + 4x − x ^ {2} )
  10. (200 + 10x − x ^ {2} )
Відповідь

1. (- 1 (x − 3) (x + 7) )

3. (- 1 (x − 7) (x − 8) )

5. (- 1 (y − 5) ^ {2} )

7. (- 1 (a − 3) (a + 12) )

9. (- 1 (x − 8) (x + 4) )

Вправа ( PageIndex {7} ) Факторинг триномалів із загальними факторами

Спочатку відлічіть негативний загальний коефіцієнт, а потім, якщо можливо, врахуйте додатково.

  1. (- 8x ^ {2} + 6x + 9 )
  2. (- 4x ^ {2} + 28x − 49 )
  3. (- 18x ^ {2} −6x + 4 )
  4. (2 + 4x − 30x ^ {2} )
  5. (15 + 39x − 18x ^ {2} )
  6. (90 + 45x − 10x ^ {2} )
  7. (- 2x ^ {2} + 26x + 28 )
  8. (- 18x ^ {3} −51x ^ {2} + 9x )
  9. (- 3x ^ {2} y ^ {2} + 18xy ^ {2} −24y ^ {2} )
  10. (- 16a ^ {4} + 16a ^ {3} b − 4a ^ {2} b ^ {2} )
  11. Висота в футах снаряда, запущеного з вежі, задається функцією (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 80 ), де (t ) представляє кількість секунд після запуску. Перепишіть задану функцію у розкладеному вигляді.
  12. Висота в футах снаряда, запущеного з вежі, задається функцією (h (t) = - 16t ^ {2} + 64t + 192 ), де (t ) представляє кількість секунд після запуску. Перепишіть задану функцію у розкладеному вигляді.
Відповідь

1. (- (2x − 3) (4x + 3) )

3. (- 2 (3x − 1) (3x + 2) )

5. (- 3 (2x − 5) (3x + 1) )

7. (- 2 (x − 14) (x + 1) )

9. (- 3y ^ {2} (x − 4) (x − 2) )

11. (h (t) = - 16 (t + 1) (t − 5) )

Вправа ( PageIndex {8} ) Факторинг із використанням методу змінного струму

Коефіцієнт, що використовує метод змінного струму.

  1. (2x ^ {2} + 5x − 7 )
  2. (3x ^ {2} + 7x − 10 )
  3. (4х ^ {2} −25x + 6 )
  4. (16x ^ {2} −38x − 5 )
  5. (6x ^ {2} + 23x − 18 )
  6. (8x ^ {2} + 10x − 25 )
  7. (4x ^ {2} + 28x + 40 )
  8. (- 6x ^ {2} −3x + 30 )
  9. (12x ^ {2} −56xy + 60y ^ {2} )
  10. (20x ^ {2} + 80xy + 35y ^ {2} )
Відповідь

1. ((x − 1) (2x + 7) )

3. ((x − 6) (4x − 1) )

5. ((2x + 9) (3x − 2) )

7. (4 (x + 2) (x + 5) )

9. (4 (x − 3y) (3x − 5y) )

Вправа ( PageIndex {9} ) Теми форуму

  1. Створіть свій власний трином виду (ax ^ {2} + bx + c ), що враховує фактори. Поділіться цим разом із рішенням на дошці обговорень.
  2. Випишіть свій власний перелік кроків для множення тринома форми (ax ^ {2} + bx + c ) та поділіться ним на дошці обговорень.
  3. Створіть тричлен виду (ax ^ {2} + bx + c ), який не робить множник, і поділяйте його разом із причиною, чому він не робить множник.
Відповідь

1. Відповіді можуть відрізнятися

3. Відповіді можуть відрізнятися


Розкладання на множники триномів - множники на множники

Триноми - це алгебраїчні вирази, у яких є три доданки. Квадратні тричлени мають вигляд x 2 x 2 + bх + c, а a, b і c - все означає число.

Для того, щоб розкласти на триноми, вам & aposll доведеться попрацювати, щоб знайти два числа, які будуть множитися, щоб дорівнювати "c" із квадратної форми вище, а також складати, дорівнюючи "b". Це кроки для більш простих питань, де перше "а" дорівнює 1. Для більш складних задач "а" буде числом, яке не є одним. Вам & aposll потрібно спочатку помножити "a" і "c", а потім знайти фактори добутку "a * c", які також складаються з "b".

Ми досліджуємо це на прикладах запитань, щоб продемонструвати, як розкладати на триноми множники.

У цьому прикладі ми збираємось використовувати метод "перехресне множення, а потім перевірка" для множення тринома. Це один із способів множити триноми.

Використовуйте перехресне множення та перевіряйте для множення тринома Розкладіть на множник доданок b ^ 2 і помістіть їх у перше поле

Коефіцієнт останнього терміну -20. Є кілька комбінацій (1х20, 2х10, 4х5), які можуть дати нам 20, то яка це? Ми перемножимо ці комбінації на фактори першого члена. Подивіться, яка комбінація дасть відповідь, яка відповідає середньому терміну (у цьому питанні середнім терміном є & ndashb).

Поєднання, яке відповідає середньому терміну

Із цих комбінацій 4x-5 (що дорівнює -1) може отримати відповідний середній член -b.

З’ясуйте, що 4, -5 відповідають середньому терміну Успішно враховано b ^ 2-b-20

Метод "перехресне множення, а потім перевірка" також може бути використаний на більш твердих триномах, у яких провідний коефіцієнт не дорівнює 1. У цьому питанні провідний коефіцієнт дорівнює 2 (від провідного доданка 2 x 2 2 2 х 2).

Розкладіть на множники перший доданок 2x ^ 2 і помістіть у перший вікно

Для того, щоб врахувати останній доданок +12, існує кілька комбінацій (1x12, 2x6, 3x4). Ми ще раз перемножимо ці комбінації на фактори першого терміну. Подивіться, яка комбінація дасть відповідний середній термін (у цьому питанні середній термін дорівнює + 25x)

Знайдіть комбінацію, яка відповідає 25x

З цих комбінацій 1x12 може отримати відповідний середній термін + 25x. Це тому, що (2х x 12) + (х x 1) = 24х + х = 25х

З’ясуйте, що 12 та 1 відповідають середньому терміну 25x Фактор 2х ^ 2 + 25х + 12 успішно

Розмножуючи множини на множники: ax² + bx + c

Цей пакет допомагає студентам зрозуміти, як розкладати більш досконалі квадратні рівняння. Студенти будуть використовувати факторинг, щоб знайти два рішення (також звані коренями або х-перехопленнями) квадратного рівняння (яке відображається як парабола). Факторинг - це процес пошуку двох доданків - для квадратних рівнянь ці доданки будуть двома двочленами, - які можна помножити разом, щоб отримати квадратне рівняння.

Багато студентів знайомі з використанням процесу FOIL для множення двочленів. Розділення на множники квадратних рівнянь є, суттєвим, зворотом використання FOIL для перетворення пари двочленів у поліном. Наприклад:

Якщо вам поставлена ​​проблема: $ (x-2) (x + 4) $

Ви б використали FOIL (що означає "помножте ПЕРШИЙ термін, потім OUTER умови, потім ВНУТРІШНІ умови, потім ОСТАННІ умови"), щоб отримати: $ x ^ 2 + 4x-2x-8 $,

що можна спростити до $ x ^ 2 + 2x-8 $

З іншого боку, якби вам дали вираз $ x ^ 2 + 2x-8 $ і попросили його врахувати

(або якщо вам дали $ x ^ 2 + 2x-8 $ = 0 і попросили це вирішити),

$ x times x = x ^ 2 $, і $ -2 times 4 = -8 $ поки $-2+4=2$,

Кожна сторінка починається з легших проблем, які ускладнюються, коли студенти працюють через пакет. Простіші задачі мають стандартну форму. Більш складні проблеми вимагають від студентів спрощення та поєднання подібних термінів, перш ніж вони розкладуть проблему на фактори.

Після виконання всіх 36 завдань студентам повинно бути зручніше виконувати ці проблеми і чітко розуміти, як їх вирішувати.


Що говорять вчителі про Мангахі

Нас люблять і вчителі, і студенти у всьому світі. Ось доказ!

Мангахіг перетворює наших студентів на "наркоманів", які змагаються між собою за найкращі бали та золоті медалі. І оскільки вікторини винагороджують як точне згадування знань, так і глибоке концептуальне розуміння, кожна година, яку вони проводили, розважаючись, робить їх кращими математиками. П’ять зірок.

Том Дінг

Академія Арк, Уемблі, Лондон

Я використовую Mangahigh у своєму класі більше 5 років. Що повертає мене до повернення, це математичні ігри та широкий спектр концепцій, які пропонуються. Але найкращим є той факт, що діти ЛЮБЯТЬ грати в це. У мене є студенти, які благають мене призначити їм виклики вчителям! Випрошуєте більше математичної роботи? Я добре з цим !!

Рене Ернандес

Зелена початкова школа, Аллен, штат Техас

Дітям сподобався студент зі СДУГ, який НІКОЛИ раніше не міг зосередитись в останні періоди дня, коли він не зупинився б, поки не отримав медаль! Абсолютно феноменально! Його мати в захваті, а решта кабінету математичного персоналу була вражена!


Приклад

Приклад 1

Для наступних триноміальних множників x 2 + 3x + 2 ми будемо діяти наступним чином:

Вам потрібно знайти два числа, щоб, коли ви додаєте його, результат дорівнював 3, а при множенні - 2.

Після проведення перевірки можна зробити висновок, що шукані цифри: 2 та 1. Отже, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Приклад 2

Для триноміального множника x 2 -5x + 6 ми шукаємо два числа, сума яких дорівнює -5, а добуток - 6. Числа, які відповідають цим двом умовам, складають -3 та -2. Отже, множник даного тринома дорівнює x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2


Що говорять вчителі про Мангахі

Нас люблять і вчителі, і студенти у всьому світі. Ось доказ!

Mangahigh перетворює наших студентів на "наркоманів математики", які змагаються між собою за найкращі бали та золоті медалі. І оскільки вікторини винагороджують як точне згадування знань, так і глибоке концептуальне розуміння, кожна година, яку вони проводили, розважаючись, робить їх кращими математиками. П’ять зірок.

Том Дінг

Академія Арк, Уемблі, Лондон

Я використовую Mangahigh у своєму класі більше 5 років. Що повертає мене до повернення, це математичні ігри та широкий спектр концепцій, які пропонуються. Але найкращим є той факт, що діти ЛЮБЯТЬ грати в це. У мене є студенти, які благають мене призначити їм виклики вчителям! Випрошуєте більше математичної роботи? Я добре з цим !!

Рене Ернандес

Зелена початкова школа, Аллен, штат Техас

Дітям сподобався студент зі СДУГ, який НІКОЛИ раніше не міг зосередитись в останні періоди дня, коли він не зупинився б, поки не отримав медаль! Абсолютно феноменально! Його мати в захваті, а решта кімнати математичного персоналу була вражена!


Трином - це квадратичний багаточлен (або багаточлен ступеня 2), який, як правило, складається з трьох членів:
$ a ^ <2> + bx + c, $

де (a neq 0 ). У багатьох випадках тричлен можна розкласти на множники або представити як добуток двох двочленів:
$ a ^ <2> + bx + c = (px + q) (rx + s). $

Процес множення многочленів має важливе значення для спрощення багатьох алгебраїчних виразів і є корисним інструментом у вирішенні рівнянь вищого ступеня. Цей процес широко застосовується у випадку поліномів із цілочисельним коефіцієнтом. Отже, наш онлайн-калькулятор має справу лише з триномами з цілими коефіцієнтами.

Алгоритм, що використовується в нашому калькуляторі факторингу триномів, передбачає подання тринома у вигляді:
$ a ^ <2> + bx + c = a ^ <2> + mx + nx + c, $

де цілі числа (m ) та (n ) задовольняють наступним умовам: (m + n = b ), (mn = ac. )

Як тільки (m ) та (n ) знайдені, ми використовуємо групування та властивість розподілу для остаточного множення тринома.

Пов’язані калькулятори

Ознайомтеся з іншими нашими калькуляторами алгебри, такими як Заповнення квадратного калькулятора або Ідеальний квадратний калькулятор.


Розв’язування квадратних рівнянь методом факторингу

Використовуйте факторинг для створення еквівалентні форми з поліноми.

Оцініть та спростіть алгебраїчні вирази, наприклад: добутки / частки багаточленів, логарифмічні вирази та складні дроби та розв’яжіть та графікуйте лінійні, квадратні, експоненційні та логарифмічні рівняння та нерівності, а також розв’яжіть та графікуйте системи рівнянь та нерівностей.

Операції з дійсними числами та виразами

Нелінійні рівняння

Факторні алгебраїчні вирази, включаючи різницю квадратів і триномів (тричлени обмежені формою ax 2 + bx + c, де a дорівнює 1 після віднімання всіх мономіальних множників).

  • Сімейства функцій демонструють властивості та поведінку, які можна розпізнати у представництвах. Функції можна трансформувати, комбінувати та складати для створення нових функцій у математичних ситуаціях та ситуаціях у реальному світі.
  • Математичні функції - це зв’язки, які присвоюють кожному члену одного набору (домену) унікальний член іншого набору (діапазону), і зв’язок розпізнається у поданнях.
  • Числа, міри, вирази, рівняння та нерівності можуть представляти математичні ситуації та структури у багатьох еквівалентних формах.
  • Шаблони демонструють відносини, які можна розширити, описати та узагальнити.
  • Зв’язки та функції - це математичні зв’язки, які можна представити та проаналізувати за допомогою слів, таблиць, графіків та рівнянь.
  • Є деякі математичні зв’язки, які завжди є істинними, і ці зв’язки використовуються як правила арифметики та алгебри і корисні для написання еквівалентних форм виразів та розв’язування рівнянь та нерівностей.
  • Алгебраїчні властивості, процеси та подання
  • Аналіз однієї та двох змінних (одновимірних та двовимірних) даних
  • Експоненційні функції та рівняння
  • Функції та множинні подання
  • Лінійні співвідношення: Рівняння та нерівності в одній та двох змінних
  • Лінійна система рівнянь та нерівностей
  • Поліноміальні функції та рівняння
  • Квадратичні функції та рівняння
  • Розширити алгебраїчні властивості та процеси на квадратичні, експоненційні та поліноміальні вирази та рівняння, а також на матриці та застосувати їх для вирішення реальних проблем світу.
  • Представляють поліноміальну функцію кількома способами, включаючи таблиці, графіки, рівняння та контекстуальні ситуації, та встановлюють зв’язки між уявленнями, пов’язуючи рішення пов’язаного поліноміального рівняння з кожним поданням.
  • Представляють квадратичну функцію різними способами, включаючи таблиці, графіки, рівняння та контекстуальні ситуації, і встановлюють зв’язки між уявленнями, пов’язують рішення пов’язаного квадратного рівняння з кожним поданням.
  • Використовуйте алгебраїчні властивості та процеси в математичних ситуаціях та застосовуйте їх для вирішення реальних проблем.

Завдання

Студенти використовуватимуть факторинг як метод вирішення квадратних функцій. Студенти:

факторні триноми різних форм:

ax & sup2 + bx + c = 0, де а, б, і c мають найбільший загальний коефіцієнт (GCF)

застосувати властивість нульового продукту для розв’язання рівнянь виду (ax + b) (cx + d) = 0

отримати рішення факторизованих квадратних рівнянь виду

Основні запитання

Як ми можемо показати, що алгебраїчні властивості та процеси є розширенням арифметичних властивостей та процесів, і як ми можемо використовувати алгебраїчні властивості та процеси для розв’язання задач?

Словниковий запас

Двочлен: Багаточлен із двома доданками. [IS.1 - Підготовка]

Тричлен: Багаточлен із трьома доданками.

Найбільший загальний фактор: Найбільший коефіцієнт, який спільний у двох чи більше чисел.

Фактор: Ціле число, яке рівномірно ділиться на інше число.

Нуль функції: Значення аргументу, для якого функція дорівнює нулю. Також х-перехоплення та корінь рівняння.

Тривалість

90 & ndash120 хвилин [IS.2 - Усі студенти]

Необхідні навички

Матеріали

студентські білі дошки (або папір) та маркери та гумки

комп’ютери з доступом до Інтернету

роздруківки задач / уроків, де це потрібно

Пов’язані плани одиниць та уроків

Супутні матеріали та ресурси

Можливе включення комерційних веб-сайтів нижче не означає мається на увазі схвалення їх продуктів, які не є безкоштовними та не потрібні для цього плану уроків.

студентські білі дошки (або папір) та маркери та гумки

комп’ютери з доступом до Інтернету

роздруківки задач / уроків, де це потрібно

Формативне оцінювання

Спостереження під час уроків у класі, дискусій та заходів повинні зосереджуватися на конкретних продуктах, які створюють учні, зокрема на двох біноміальних факторах тринома. Require students to multiply the two binomial factors using FOIL and compare the resulting trinomial to the original prompt.

Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) requires students to use the zero property of multiplication and evaluates their level of understanding of the logical necessity of a zero product, if one of the factors is equal to zero.

Suggested Instructional Supports

This lesson helps students to develop skills in solving quadratic equations by factoring and provides them with useful techniques for factoring and for understanding the rationale that supports finding solutions. The lesson includes recognizing and using trinomials in various forms.

The Zero Product Property is an elementary concept that is familiar to students. In applying it to binomial factors, they can use the property as a tool in a way that has not previously been represented. Students are able to recognize that the property applies not only to monomials, but also to binomials, and is applicable for all real numbers.

The think-pair-share activity presents students with representations of all three types of trinomial factoring. By attempting solutions individually, students gain an immediate sense of how well they understand the techniques. In sharing their solution methods and results with partners, they can expand their understanding by seeing different solutions and correcting their own and their partners&rsquo errors.

The Solve by Factoring Worksheet requires students to classify as well as factor the trinomials presented. The classification tasks engage students in reviewing their understanding of the individual characteristics of the three types of trinomials. This activity encourages them to use the specific traits of the trinomial to find the unique binomial factors.

Students who find the factoring of trinomials a challenging operation will get some satisfaction in the application of the Zero Product Property. The property is easy to understand and use, and makes the steps to solving quadratic equations by identifying and deconstructing binomials more accessible. Students with the knowledge and skills to factor trinomials of higher difficulty will also appreciate this basic technique.

This lesson is organized so that students can build upon prior knowledge of factoring and solving linear equations to solve quadratic equations. Students should be introduced, through teacher instruction, to the concepts and procedures for solving quadratics by factoring. During this time students should be given time to individually practice these processes and for discussion with classmates. Students should receive immediate feedback on their work during the activities so they are on track to be successful with homework assignments. The student document can also be used to help students stay organized during classroom instruction.

IS.1 - Preparation
Consider word walls and different strategies to ensure that the vocabulary is constantly used during the lesson.
IS.2 - All Students
Consider pre-teaching the concepts critical to this lesson, including the use of hands-on materials. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.3 - Struggling Learners
Consider pre-teaching the Zero-product property and factoring. Strugglling students may need more direct instruction with learning the concepts critical to this lesson. Throughout the lesson, based on the results of formative assessment, consider the pacing of the lesson to be flexible based on the needs of the students. Also consider reteaching and/or review both during and after the lesson as necessary.
IS.4 - All Students
Consider modeling and doing think alouds to help students understand the problem solving process.

Instructional Procedures

After this lesson, students will know how to solve quadratic equations using factoring. Students are learning how to solve quadratic equations because there are many real-world situations that can be modeled by quadratic equations. Students should have prior knowledge of factoring trinomials. Students will understand that there are two solutions to a quadratic equation and why this is different from solving linear equations. They will also find that in dealing with real-life scenarios not all solutions make sense. They should be able to recognize the solution(s) that fit. Students will be able to check their work by substituting their solutions into the equation.

&ldquoYesterday we looked at quadratic equations and many types of situations that can be modeled using them. One of the things we discussed was the zeros of quadratic equations, which are the solutions. On the graphs we looked at, we noted that the zeros were located where the graph crossed the х-вісь. Let&rsquos take a moment to recall one of these examples.&rdquo Display the following for students:

&ldquoNow solving this equation is rather simple when you can find the zeros right in the graph, but what if you do not have a graph or the zeros are not easy to calculate from the graph? Today, we are going to discuss an algebraic approach that can be used to solve problems like this, as well as story problems that can be modeled using quadratic equations.&rdquo

The following notes, models, and examples should be shown to students to explain the lesson. Visual and auditory learners will be able to see and/or hear the process that is involved in solving quadratics by factoring.

Zero-Product Property

Для будь-якого а і b, якщо ab = 0, then either а = 0, b = 0, or а і b equal 0.

Solving Equations by Factoring [IS.3 - Struggling Learners]

Крок 1: Make the equation equal to _ 0 _.

Крок 2: ___ Фактор ___ the trinomial.

Крок 3: Apply the ___ Zero Product Property __ (set each factor equal to __ 0 _ then ____ solve ___).

Students should have an understanding of factoring trinomials from previous instruction. Depending on the skill level of your students, you may have to vary how much review of factoring trinomials you provide.

Type 3: Equations of the form ax² + bx + c = 0 with a GCF

Students should be instructed to factor out a GCF before beginning the rest of the solving process as in type 1 and 2.

Note: At first, many of these equations look as if they are type 2 equations yet, after factoring a GCF, the problem may reveal a type 1 equation. If the GCF is not factored out of the equation before beginning the factoring process, the solutions will be the same but the factored forms will be different. (This is demonstrated below.)

Without factoring out the GCF in problem 1: (3х + 6)(х &ndash 5) = 0, factored, but not completely, since 3 can be factored out of 3х + 6. But solving 3х + 6 = 0 gives a solution of &minus2, the same as in Example 1. This relationship is important because when students are asked to factor something completely, the answer of (3х + 6)(х &ndash 5) would not be correct since it is not completely factored. A similar situation can be shown with Example 2.

Think-pair-share (interpersonal and verbal intelligences): Place a problem on the board and have students individually work out the problem on paper. After 3 to 5 minutes, have students pair up to discuss their answers. Direct students to discuss any errors and help each other decide on a correct answer. Then have a class discussion on the correct answer and anything students noticed during their discussions such as common errors, arithmetic mistakes, procedural mistakes, etc. You may have a student display the process for the class on the board.

Sample problems for students:

Activity 2: Real-Life Scenarios [IS.4 - All Students]

Problem 1: The length of a rectangle is 3 more inches than its width. Find the dimensions of the rectangle with an area of 108 square inches.

1. This problem uses a type 1 scenario and also uses the concepts of area of a rectangle and the distributive property.

2. It is important to explain at this point that in applied situations not all solutions make sense. Have a discussion with students about which answer works and why. (&minus12 is a solution but does not make sense because a length cannot be negative, thus making 9 the only possible solution to the width).

Рішення: width = 9 in., length = 12 in.

Problem 2: The length and width of an 8-inch by 12-inch photograph are reduced by the same amount to make a new photograph with an area that is 1/3 of the original. By how many inches will the dimensions of the photograph have to be reduced?

1. This problem uses a type 1 scenario, the concept of area of a rectangle, and using FOIL (First Outside Inside Last when multiplying two binomials).

2. For situation 2 there are two possible solutions that are both positive (16 and 4), but discuss with students which one makes sense in the given situation. Since the possible solutions represent the value that is deducted from each side of the photograph, the only answer that would work is 4. An answer of 16 is not reasonable because it is not possible to cut 16 inches off a photograph that only has 12 inches on one side and 8 on the other.

Solution: Reduce the dimensions of the photograph by 4 inches.

Give students the following problems to work on independently for about 10 to 15 minutes. Have students label the type of each problem before beginning to work on it. After independent work time, have students pair up to compare and discuss answers. As students are finishing, have some students write the work for each problem on the board and then discuss the problems as a class. Hand out the Solving Quadratics by Factoring Worksheet (M-A1-1-2_Solving Quadratics by Factoring Worksheet.doc), as desired, for students to work on. (This resource is good as a day 2 follow-up lesson.)

Routine: Use the Lesson 2 Student Document (M-A1-1-2_Lesson 2 Student Document.doc) to give students a structured format for taking notes. Provide this resource to students, as needed, to allow them to keep more organized and structured notes.

Have students reflect on factoring trinomials and whether they remember the process (intrapersonal). This should be done prior to going through the examples of solving quadratics by factoring. Display two problems (one at a time) and have students work through the factoring process on a white board (or piece of paper). Have students hold up their work when finished and make corrections and adjust teaching where needed to meet the needs of your students.

Alternate Method: For Activity 1, you can do the activity once after presenting all three situations or one situation at a time (after each of the methods), having students change partners for each situation. This approach might allow students more reflection and discussion on each of the methods, if time permits.

Visual Learners: For Activity 2, use the Problem Solving Graphic Organizer (M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer.docx and M-A1-1-2_Problem Solving Graphic Organizer Blank.docx) to help students organize their word- problem solving techniques more efficiently. This can help many students, especially those who need their work to be more visual and organized. There are two resources: one with sequential steps and ideas already filled in, and another that has a blank flow chart. Use whichever document fits the needs of your students.

Assign to students an Internet word-problem activity (see the Related Resources section). This activity will help build students&rsquo understanding and ability to read and evaluate important information from a word problem. This is a great way to give students more practice with word problems.


How do you factor a 2 BX C?

Trinomials в form x 2 + bx + c може бути factored by finding two integers, r and s, whose sum is b and whose product is c. If the remaining тричленний is still of the форму ax 2 + bx + c, find two integers, r and s, whose sum is b and whose product is ac.

  1. Move all terms to one side of the equation, usually the left, using addition or subtraction.
  2. Factor the equation completely.
  3. Set each factor equal to zero, and solve.
  4. List each solution from Step 3 as a solution to the original equation.

In this way, how do you solve an equation with 2 variables?

До solve systems of algebraic рівняння containing two variables, start by moving the змінні to different sides of the рівняння. Then, divide both sides of the рівняння від один з змінні до solve для того змінна. Next, take that number and plug it into the formula to solve for the other змінна.

У математиці, a коефіцієнт is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression it is usually a number, but may be any expression. For example, if y is considered as a parameter in the above expression, the коефіцієнт of x is &minus3y, and the constant коефіцієнт is 1.5 + y.


Trinomials

Let us consider the product (x+a)(x+b) and use the distributive property to show how each term of the resulting trinomial is formed. This can help us develop a factoring technique for trinomials.

Notice that the coefficient of the middle term is the sum of а і b and the last term is the product of а і b.

Example: Factor x²+2x-63

We need to find a pair of integers whose sum is 2 and whose product is -63.

x²+2x-63 = (x+___)(x+___)

The only possible pair of integers is 7 and 9. to get a product of -63 and a sum of 2, the larger number must be positive and the smaller number must be negative.

x²+2x-63 = (x+9)(x+(-7)) = (x+9)(x-7)

Factoring of the form ax²+bx+c

Let us consider factoring trinomials where the coefficient of the squared term is not one. First, let us use an informal trial and error technique that works quite well for some types of trinomials.

Example: Factor 12x²-x-6

First, observe that 12x² can be written as x·12x, 3x·4x, or 2x·6x. Then, since the middle term and the last term of the trinomial is negative, the binomials can be of the form

(3x+2)(4x-3) best suits the expression.

Perfect Square Trinomials

Perfect square trinomials are trinomials that resulted from squaring a binomial. They are easily recognized bby the nature of their terms. For example, 9y²+24y+16 is a perfect square trinomial because the first term is a perfect square, the last term is a perfect square, the middle term is twice the product of the numbers being squared in the first and last terms.

The following trinomials can be factored as indicated.

a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²

Example: Factor x²+14x+49

x²+14x+49=(x+7)(x+7)=(x+7)²

Authors:
Danielle Arriz Tio
Hans Nehru Alfante
John Rey Cueva
IV-St. Олена


Перегляньте відео: Наружная реклама, вывески в г. Москва (Найясніший 2022).