Статті

4.1E: Зростання та занепад (вправи) - Математика

4.1E: Зростання та занепад (вправи) - Математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Q4.1.1

1. Знайдіть кількість (Q (t) ) речовини, що залишилася на час (t> 0 ), якщо (Q (0) = 20 ) g.

2. Період напіввиведення радіоактивної речовини становить 2 доби. Знайдіть час, необхідний для того, щоб дана кількість матеріалу розпалася до 1/10 від початкової маси.

3. Радіоактивний матеріал втрачає 25% своєї маси за 10 хвилин. Який період його напіввиведення?

4. Дерево містить відомий відсоток (p_0 ) радіоактивної речовини з періодом напіврозпаду ( tau ). Коли дерево гине, речовина розпадається і не замінюється. Якщо виявиться, що відсоток речовини у скам'янілих залишках такого дерева становить (p_1 ), як довго дерево мертве?

5. Якщо (t_p ) та (t_q ) - це час, необхідний для того, щоб радіоактивний матеріал розпався до (1 / p ) та (1 / q ), помноженого на його початкову масу (відповідно), як (t_p ) та (t_q ) пов'язані?

6. Знайдіть константу розпаду (k ) для радіоактивної речовини, враховуючи, що маса речовини дорівнює (Q_1 ) в момент (t_1 ) та (Q_2 ) в момент (t_2 ).

7. Процес створює радіоактивну речовину зі швидкістю 2 г / год, і речовина розпадається зі швидкістю, пропорційною своїй масі, з константою пропорційності (k = .1 ( mbox {hr}) ^ {- 1} ). Якщо (Q (t) ) - маса речовини в момент часу (t ), знайдіть ( lim_ {t to infty} Q (t) ).

8. Банк платить відсотки безперервно за ставкою 6%. Скільки часу потрібно, щоб депозит у розмірі (Q_0 ) збільшився у значенні до (2Q_0 )?

9. За якою процентною ставкою, що постійно збільшується, банківський депозит подвоїться за 8 років?

10. Ощадний рахунок сплачує 5% річних відсотків, що постійно складаються. Початковий депозит складає (Q_0 ) доларів. Припустимо, що подальших зняття коштів або депозитів не буде.

  1. Скільки часу знадобиться, щоб вартість рахунку зросла втричі?
  2. Що таке (Q_0 ), якщо вартість рахунку через 10 років становить 100 000 доларів?

11. Виробник цукерок виготовляє 500 фунтів цукерок на тиждень, тоді як його велика сім'я їсть цукерки зі швидкістю, що дорівнює (Q (t) / 10 ) фунтів на тиждень, де (Q (t) ) - це сума цукерок, присутніх на час (t ).

  1. Знайдіть (Q (t) ) для (t> 0 ), якщо цукерня має 250 фунтів цукерок при (t = 0 ).
  2. Знайдіть ( lim_ {t to infty} Q (t) ).

12. Припустимо, що речовина розпадається з річною швидкістю, рівною половині квадрата маси наявної речовини. Якщо ми почнемо з 50 г речовини, скільки часу пройде, поки залишиться лише 25 г?

13. Супер хлібне тісто збільшується в обсязі зі швидкістю, пропорційною об'єму (V ). Якщо (V ) збільшується в 10 разів за 2 години і (V (0) = V_0 ), знайдіть (V ) у будь-який час (t ). Скільки часу знадобиться, щоб (V ) збільшився до (100 V_0 )?

14. Радіоактивна речовина розкладається зі швидкістю, пропорційною наявній кількості, і половина початкової кількості (Q_0 ) залишається через 1500 років. Через скільки років початкова сума зменшиться до (3Q_0 / 4 )? Скільки залишиться після 2000 років?

15. Майстер постійно створює золото зі швидкістю 1 унція на годину, але помічник безперервно викрадає його зі швидкістю 5%, однак скільки є на годину. Нехай (W (t) ) - кількість унцій, яку майстер має на час (t ). Знайдіть (W (t) ) та ( lim_ {t to infty} W (t) ), якщо (W (0) = 1 ).

16. Процес створює радіоактивну речовину зі швидкістю 1 г / год, і речовина розпадається з погодинною швидкістю, що дорівнює 1/10 від наявної маси (вираженої в грамах). Припускаючи, що спочатку 20 г, знайдіть масу (S (t) ) речовини, присутньої в момент часу (t ), і знайдіть ( lim_ {t to infty} S (t) ) .

17. Бак порожній при (t = 0 ). Вода додається в резервуар зі швидкістю 10 гал / хв, але вона витікає зі швидкістю (в галонах на хвилину), що дорівнює кількості галонів у резервуарі. Яку найменшу ємність може мати бак, якщо цей процес триватиме вічно?

18. Особа вносить 25 000 доларів США в банк, який сплачує 5% на рік відсотків, що постійно складаються. Людина постійно знімає з рахунку в розмірі 750 доларів на рік. Знайдіть (V (t) ), вартість рахунку в момент часу (t ) після початкового вкладу.

19. Людина має багатство, яке зростає із швидкістю, пропорційною квадратному кореню його вартості. Знайдіть вартість (W ) багатства як функцію (t ), якщо це було 1 мільйон доларів 6 місяців тому, а сьогодні - 4 мільйони доларів.

20. Нехай (p = p (t) ) - кількість товару, присутнього на момент часу (t ). Продукт виготовляється безперервно зі швидкістю, пропорційною (p ), із константою пропорційності 1/2, і споживається безперервно зі швидкістю, пропорційною (p ^ 2 ), із константою пропорційності 1/8. Знайти (p (t) ), якщо (p (0) = 100 ).

21.

а. У ситуації з прикладу 4.1.6 знайдіть точне значення Р (t) рахунку особи через t років, де t - ціле число. Припустимо, що кожен рік має рівно 52 тижні, і включіть депозит на кінець року в обчислення.

ПІДКАЗКА: На момент t початкові $ 1000 були на депозиті протягом (t ) років. Було внесено (52т ) депозитів по $ (50 ) кожен. Перші $ (50 ) були на депозиті протягом (t - 1/52 ) років, другі протягом (t - 2/52 ) років ... загалом, j $ (50 ) перебуває на депозиті протягом (t - j / 52 ) років ( (1 ≤ j ≤ 52t )). Знайдіть поточну вартість кожного депозиту в розмірі $ (50 ), приймаючи (6 )% відсотків, що постійно складаються, і використовуйте формулу [1 + x + x ^ {2} +. + x ^ {n} = frac {1-x ^ {n + 1}} {1-x} (x neq 1) ], щоб знайти їх загальне значення.

b. Дозволяти

[p (t) = {Q (t) -P (t) над P (t)} ]

- відносна похибка через (t ) років. Знайдіть

[p ( infty) = lim_ {t to infty} p (t). ]

22. Покупець житла позичає (P_0 ) доларів під річну процентну ставку (r ), погоджуючись повернути позику рівними щомісячними виплатами в розмірі (M ) доларів на місяць протягом (N ) років.

а. Виведіть диференціальне рівняння для основної суми позики (суми, яку повинен виплатити покупцеві житла) (P (t) ) за час (t> 0 ), роблячи спрощення припущення, що покупець повертає позику постійно, а не окремими кроками. (Див. Приклад 4.1.6.)

b. Розв’яжіть рівняння, отримане в (а).

c. Використовуйте результат (b), щоб визначити приблизне значення для (M ), припускаючи, що кожен рік має рівно 12 місяців однакової тривалості.

d. Можна показати, що точне значення (M ) визначається як

[M = {rP_0 понад 12} ліворуч (1- (1 + r / 12) ^ {- 12N} праворуч) ^ {- 1}. ]

Порівняйте значення (M ), отримане з відповіді в (c), з точним значенням, якщо (i) (P_0 = 50 000 $ ), (r = 7 {1 over2} )%, ( N = 20 ) (ii) (P_0 = 150 000 $ ), (r = 9,0 )%, (N = 30 ).

23. Припустимо, що покупець будинку Вправа 4.1.22 вирішує постійно повертати позику за курсом ( alpha M ) доларів на місяць, де ( alpha ) - константа, більша за 1. (Це називається прискорена оплата.)

  1. Визначте час (T ( alpha) ), коли буде виплачено позику, та суму (S ( alpha) ), яку заощадить покупець.
  2. Припустимо (P_0 = 50 000 $ ), (r = 8 )% та (N = 15 ). Обчисліть заощадження, здійснені прискореними платежами за допомогою ( alpha = 1.05,1.10 ) та (1.15 ).

24. Благодійник бажає створити цільовий фонд для виплати заробітної плати досліднику протягом (T ) років. Заробітна плата починається з (S_0 ) доларів на рік і зростає з частковим курсом (a ) на рік. Знайдіть суму грошей (P_0 ), яку благодійник повинен внести у цільовий фонд, сплачуючи відсотки за ставкою (r ) на рік. Припустимо, що заробітна плата дослідника виплачується постійно, відсотки постійно складаються, а підвищення зарплати надається постійно.

25. Радіоактивна речовина з константою розпаду (k ) утворюється зі швидкістю

[{при over1 + btQ (t)} ]

одиниці маси за одиницю часу, де (a ) та (b ) - позитивні константи, а (Q (t) ) - маса речовини, присутньої в момент часу (t ); таким чином, швидкість виробництва на початку невелика і має тенденцію до уповільнення, коли величина (Q ).

  1. Встановіть диференціальне рівняння для (Q ).
  2. Виберіть власні позитивні значення для (a ), (b ), (k ) та (Q_0 = Q (0) ). Використовуйте числовий метод, щоб виявити, що відбувається з (Q (t) ) як (t to infty ). (Будьте точні, висловлюючи свої висновки через (a ), (b ), (k ). Однак доказ не потрібен.)

26. Дотримуйтесь інструкцій Вправа 4.1.25, припускаючи, що речовина виробляється з розрахунком (при / (1 + bt (Q (t)) ^ 2) ) одиниць маси за одиницю часу.

27. Дотримуйтесь інструкцій Вправа 4.1.25, припускаючи, що речовина виробляється з розрахунком (при / (1 + bt) ) одиниць маси за одиницю часу.


CLP-1 Диференціальне числення

Диференціальне рівняння - це рівняння для невідомої функції, яке включає похідну від невідомої функції. Наприклад, закон охолодження Ньютона говорить:

Швидкість зміни температури об'єкта пропорційна різниці температур між об'єктом та його оточенням.

Ми можемо записати це більш математично, використовуючи диференціальне рівняння - рівняння для невідомої функції (T (t) ), яке також включає її похідну ( diff(t) text <.> ) Якщо позначити через (T (t) ) температуру об'єкта в момент часу (t ), а через (A ) температуру його оточення, закон Ньютона про охолодження говорить, що існує якась константа пропорційності (K text <,> ) така, що

Диференціальні рівняння відіграють центральну роль у моделюванні величезної кількості різних явищ, включаючи рух частинок, електромагнітне випромінювання, фінансові можливості, популяції екосистем та потенціал дії нервів. Більшість університетів пропонують півдюжини різних курсів бакалаврату з різних аспектів диференціальних рівнянь. Ми ледве збираємося подряпати поверхню об'єкта. На цьому етапі ми збираємось обмежитися кількома дуже простими диференціальними рівняннями, для яких ми можемо просто здогадуватися про рішення. Зокрема, ми дізнаємось, як розв’язувати системи, що підкоряються закону охолодження Ньютона в розділі 3.3.2 нижче. Але спочатку ось ще один простіший приклад.


Ревізія: Ядро Ocr 3 - експоненціальне зростання та розпад

Геометричні послідовності (видно в Core 2) - це послідовності, які демонструють експоненціальне зростання або занепад (залежно від загального співвідношення). Сума, на яку послідовність збільшиться на даному етапі, пропорційна значенню послідовності. (Розглянемо складені відсотки, приклад геометричної послідовності).

Причиною цього є "дискретне" експоненціальне зростання просто в тому, що існують точні одиниці часу. Для коротко згаданого прикладу банк буде виплачувати відсотки щороку або, можливо, частіше, однак на рахунку немає постійного надходження відсотків. На відміну від геометричних послідовностей, часто корисно вважати початкову точку "0", оскільки це означає, що нічого не сталося, і тому є більш природним способом вираження зростання.

Експоненціальний ріст відбувається, якщо загальне відношення більше 1, це відносно легко зрозуміти, оскільки можна було б очікувати, що для будь-якого дійсного числа (крім 0) відбудеться збільшення в магнетину в результаті множення на число більше, ніж 1.

І навпаки, загальним співвідношенням є експоненціальний розпад.

Постійне експоненціальне зростання

У багатьох ситуаціях зростання не відбувається через встановлені проміжки часу, і тому представлена ​​раніше ідея також не відповідає ситуації.

Ці ситуації відповідають наступним:

Де "t" - час, "a" і "b" - константи. Значення "b" визначає, чи є експоненціальне зростання чи занепад, якщо воно більше 1, тоді є експоненціальне зростання, а якщо - експоненціальне спадання.

Графіки експоненціального зростання

Логарифми можна використовувати разом з експоненціальним зростанням і занепадом. Вважайте, що графік експоненціальної функції матиме експоненціально зростаючий градієнт, і що його можна виразити як:

Логарифмічні маніпуляції дають:

Звідси можна зробити висновок, що для справді експоненціальної функції графік проти "t" буде прямою лінією. (Звичайно, насправді найімовірніше будуть деякі незначні відхилення (експоненціальне зростання та занепад не є точними речами в реальному житті), однак тут має бути помітна лінія).

Не тільки можна спостерігати наявність експоненціального зростання (або занепаду), за допомогою констант ("a" і "b") можна оцінити (як градієнт прямої лінії, так і перетин осі y) .

Трансформації графіка зростання

Серія перетворень може бути застосована до графіка експоненціального зростання, щоб відобразити його на іншому розділі (отже, цілий графік може бути "побудований" з одного шматка).

Переклад "n" у позитивному напрямку х:

Отже, щоб позбутися цього терміна, застосуйте коефіцієнт масштабу, паралельний осі y,:


Контекст для використання

Ми плануємо використовувати цей модуль у три-чотиригодинний період занять, який проводиться раз на тиждень (або два коротші періоди в той самий тиждень). Він може бути використаний як частина цього модельного курсу, або його можна адаптувати як лабораторну вправу для курсу палеокліматології або якогось іншого курсу, що стосується кріосфери. Ми припускаємо, що студенти матимуть базове розуміння математики, яка, по суті, забезпечує рецепт створення цієї моделі - вони повинні розуміти поняття інтегрування та диференціальні рівняння, але їм не потрібно вирішувати ці завдання самостійно. Для цього модуля студенти повинні приходити до класу готовими взяти коротку вікторину з призначеного читання. Після цього їх проведуть через ряд підказок, призначених допомогти їм створити та експериментувати з низкою простих моделей із використанням програмного забезпечення для моделювання іконографічної коробки STELLA (див. Https://www.iseesystems.com/store/products/ для різних варіантів придбання ліцензій студента або комп'ютерної лабораторії STELLA або для завантаження пробної версії). Студенти також повинні мати доступ до Microsoft Excel або подібного програмного забезпечення для електронних таблиць.

Для тих, хто вчиться користуватися STELLA, ми пропонуємо онлайн-підручники & quotplay-along & quot від систем isee. Ви можете знайти їх тут: Підручники із систем isee.


4.1E: Зростання та занепад (вправи) - Математика

Метою даної лабораторії є використання Maple для вивчення застосувань експоненціальної та логарифмічної функцій. Вони використовуються для моделювання багатьох видів росту та занепаду, а також у багатьох шкалах, таких як шкала Ріхтера та децибел.

Розділяючи змінні та інтегруючи (див. Розділ 4.4 тексту), ми маємо

У випадку експоненціального зростання ми можемо скинути знаки абсолютного значення навколо, оскільки завжди буде позитивною величиною. Вирішуючи для, отримуємо

яку ми можемо записати у формі, де є довільна додатна постійна.

де - константа. Це те саме рівняння, що і при експоненціальному зростанні, за винятком того, що замінює. Рішення є

де - додатна постійна. Фізично - це кількість матеріалу, присутнього в.

Радіоактивність часто виражається в термінах напіввиведення елемента. Наприклад, період напіввиведення вуглецю-14 становить 5730 років. Це твердження означає, що для будь-якої даної вибірки, яка після 5730 років половина з них зазнала занепаду. Отже, якщо період напіввиведення елемента Z дорівнює рокам, це має бути це, так що і.

де - константа пропорційності і - температура навколишнього середовища. Використовуючи техніку, яка називається поділом змінних, не складно знайти рішення

де - температура об'єкта в.

Проблемою, з якою стикаються лікарі, є той факт, що для більшості ліків існує концентрація, нижче якої препарат неефективний, і концентрація, вище якої препарат небезпечний. Таким чином, лікар хотів би, щоб концентрація задовольняла

Це означає, що початкова доза не повинна давати концентрації, більшої ніж, і що іншу дозу доведеться вводити до досягнення концентрації.

Основними функціями, які вам потрібні, є натуральний експоненціальний та натуральний логарифм. Команди Maple для цих функцій є exp та ln. Ось кілька прикладів.


В наведеній вище команді потрібно передбачити = реальний, оскільки Maple зазвичай працює зі складними змінними.

Іноді для визначення значення констант у моделях потрібно використовувати експериментальні дані. Наприклад, припустимо, що для конкретного препарату були отримані наступні дані. Відразу після введення препарату концентрація становить 1,5 мг / мл (міліграмів на мілілітр). Через чотири години концентрація знизилася до 0,25 мг / мл. За цими даними ми можемо визначити значення і наступним чином. Значення - це початкова концентрація, тому маємо

Щоб знайти значення нам потрібно вирішити рівняння

який ми отримуємо, підключаючи та використовуючи дані. Команди Maple для вирішення та визначення та побудови графіку функції наведені нижче.

  1. У 1935 р. Чарльз Ф. Ріхтер з Cal Tech розробив шкалу для вимірювання потужності землетрусів. Формула шкали Ріхтера задана формулою

  1. Коли амплітуда землетрусу потроюється, на скільки збільшується магнітуда?
  2. У 1989 році район затоки Сан-Франциско зазнав серйозних збитків від землетрусу силою 7,1 бала. Однак збитки були не настільки великими, як збитки, спричинені великим землетрусом 1906 року, який, за оцінками, мав силу 8,3 бала. Яке відношення амплітуди землетрусу 1906 року до землетрусу 1989 року?


Річний відсоток урожайності

Отже, якщо 12% один раз - це не те саме, що 1% 12 разів, який відсоток
є відсоток, сплачений протягом року за 1%, виплачений 12 разів? Щоб знайти відсоток, який становить 112,68 дол. США від початкової суми, ми ділимо:

Це означає, що загальний приріст становив 12,68%, що на відсоток перевищує 12. Згадайте, що ставка 12% називається номінальною річною ставкою. Швидкість, яка вам
насправді get після врахування рецептури називається річний процентний урожай (APY).

Ми представляємо формальний спосіб обчислення цього:

Оскільки APY триває більше року (
річний відсотковий дохід), ми беремо формулу складених відсотків лише протягом 1 року і стосуємось лише інвестиції в 1 долар (оскільки 1 = 100%). Відніміть 1 від результату, щоб ми враховували лише зростання, ні оригінал 100%.

Альтернативи формулі?

Абсолютно! Якщо вкладена сума відрізняється від $ 1, підрахуйте, якою вона стане за один рік. Візьміть суму на кінець року, розділіть її на оригінал і відніміть 1.

Приклад 5

Нехай кажуть, що ви інвестуєте 325 доларів США під 10% суміші на півроку (двічі на рік) протягом 5 років. Що таке APY?

Рішення

Оскільки ми хочемо
річний відсотковий урожай, нам не потрібно турбуватися про тривалість інвестиції. Ми обчислимо відповідь за формулою та інтуїтивно зрозумілим способом:

Формула APY Інтуїтивно
[латекс] displaystyle < зліва (<1> + frac <<. 1 >> <<2>> праворуч)> ^ <<2>> - <1> = <1.1025> - <1> [/ латекс] Використовуючи TVM Solver, $ 325 становитиме $ 358,3125 за один рік. Знайдіть відношення нового до старого.
[латекс] displaystyle = <. 1025> [/ латекс] [латекс] displaystyle frac << ne>><<>> = frac << 358.3125 >> <<325>> = <1.1025> [/ латекс]
[латекс] displaystyle = <10,25>% [/ латекс] Це означає, що приріст становить 10,25%. Одне місце говорить нам, що нове - це 100% від старого, а потім дещо.

На мій погляд, набагато легше зрозуміти та запам’ятати інтуїтивний підхід справа. Зайве говорити, що ви отримаєте однакову відповідь.


Чому математика?

Згідно з недавнім опитуванням Raytheon, 44 відсотки учнів середніх шкіл воліють виносити сміття, ніж виконувати домашні завдання з математики. У програмі міжнародного оцінювання студентів 2012 року американські старшокласники посіли 27 місце серед своїх колег з ОЕСР, продемонструвавши тривожну відсутність навичок вирішення проблем та критичного мислення. Лише 11,6 відсотка випускників середніх шкіл висловлюють зацікавленість продовжувати STEM в коледжі. З них трохи більше половини відповідають еталону готовності коледжів ACT з математики.

Для багатьох студентів математика - це купа випадкових навичок запам’ятовування та відригування, низка кроків, що не мають сенсу чи стосуються їхнього життя. Упродовж поколінь акцент робиться на повних інструкціях - зробіть це, потім зробіть те - залишив студентів дивуватися: "Що це означає?" і "Коли я коли-небудь його використаю?"

Звичайно, що насправді запитують студенти: "Чому математика?" Це гарне запитання. Ви збираєтесь увійти до класу. Перш ніж це зробити, запитайте себе: чому ви хочете, щоб студенти вивчали математику? Чому ви хочете його викладати?

Опитування MetLife 2012 року показало, що задоволеність роботою вчителів є найнижчою за останні 20 років. Я думаю, це особливо вірно для вчителів математики, які разом зі своїми колегами з ELA працюють під привидом щорічного тестування високих ставок. У цьому середовищі метарефлексія типу "чому?" може здатися неможливо розкішним, як споглядання природи щастя в урагані.

Але давайте собі дозвіл на мить замовкнути какофонію, яку ми побудували навколо освіти, і розглянути: Чому математика?

Чому математика? Типові відповіді

Очевидна відповідь: "Тому що одного разу це буде потрібно студентам". Це правда. Багато студентів одного дня також потребуватимуть біфокалів, але цього, мабуть, недостатньо, щоб переконати 12-річну дитину почати економити свою надбавку. "Один день" є досить абстрактним і, чесно кажучи, трохи затятий, коли використовується для виправдання, "Робіть сторінки 17, 1-73, дивно".

Інша відповідь: «Тому що математика допомагає учням розв’язувати задачі». Це теж правда. Існує класичне завдання, в якому студентам представляють два сценарії:

  1. Вони можуть вибрати одноразовий платіж у розмірі 1 мільйон доларів.
  2. Вони можуть отримати копійки в перший день, дві копійки в другий день, чотири копійки в третій і так далі протягом місяця.

Студенти працюють у групах, щоб визначити, який варіант кращий. Деякі малюють картинки. Інші створюють таблиці. Протягом виконання завдання учні виявляють, що на десятий день варіант копійки дасть лише 512 копійок. Але на тридцятий день це дало б 2 29, або приблизно 1 мільярд копійок: понад 11 мільйонів доларів.

Хоча це дивовижна відповідь, метою завдання є менше рішення, а більше сам акт з’ясування. Студенти отримують можливість стати більш гнучкими у своєму мисленні, а також розкрити деяку основну математичну структуру (в даному випадку експоненціальне зростання). Це важливо. Дійсно, це надзвичайно важливо.

Але цього недостатньо. Хтось із студентів неминуче запитає: "Але ніхто не запропонував мені 1 мільйон доларів. Це дурне. Чому мені це потрібно?" І коли він це робить, як нам реагувати?

Чому математика? Можлива відповідь

Чому математика? Чому експоненціальне зростання?

Оскільки експоненціальне зростання дозволяє нам визначити, наскільки швидко зростає людська популяція, та обговорити її наслідки для глобального виробництва продуктів харчування та чистої енергії. Експоненціальне зростання дозволяє нам дослідити, як змінилися консолі для відеоігор, і передбачити, чи будуємо ми Матрицю.

У шостому класі учні вчаться перетворювати дроби у відсотки. Чому відсотки? Тому що вони дозволяють нам визначити, чи Колесо фортуни сфальсифіковано та обговорюють найчесніший спосіб давати чайові в ресторані. Студенти дізнаються різницю між медіаною та середньою величиною та як намалювати графік коробки. І ці інструменти дозволяють нам проаналізувати розподіл багатства в США та розглянути, що означає жити в чесному суспільстві.

  • Ставки одиниці? Скільки часу потрібно, щоб спалити Біг Мак, і чи повинен Макдональдс переписати своє меню з точки зору фізичних вправ?
  • Співвідношення? Як засоби масової інформації, які ми споживаємо, впливають на наше щастя?
  • Перестановки? Скільки взуття ви можете розробити на NIKEiD, і в який момент це викликає параліч за допомогою аналізу?
  • Лінійні функції? Чи коштує коледж витрат?

Чому математика? Тому що математика допомагає нам бути здоровішими. Це кидає нам виклик бути добрішими. Це спонукає нас бути цікавішими.

У 2009 році ми як країна розірвали себе в дискусіях щодо реформи охорони здоров’я. Ми кричали один на одного на засіданнях ратуші і називали тих, хто не погоджується з нами, зрадницькими та неамериканськими. І все-таки в медичному страхуванні нічого не суперечить. Це просто очікуване значення: ймовірність захворіти, помножена на вартість лікування.

Математика дозволяє нам обговорювати важливі питання в осмисленому, конструктивному вигляді. Чому математика? Тому що це дозволяє нам бути кращими громадянами.

Математика: об’єктив у світ

Загальні основні державні стандарти визначають "строгість" як однаковий акцент на трьох сферах:

Студенти повинні розвивати базові навички, які вони повинні вміти вирішувати пропорцію. Студенти також повинні розвинути розуміння понять, вони повинні розуміти, що означає пропорційність.

І все ж поки математика - це об’єкт з запит, це також об’єкт для запит. Галілей проводив багато годин, вивчаючи та вдосконалюючи свої телескопи, проте його основна мотивація полягала не в самому пристрої, а в тому, що він міг робити з ним: погляд на космос. Поколіннями ми представляли студентам версію математики, що характеризується здебільшого процедурами задуму та концептуальними загадками. Заняття математикою без автентичних програм нагадують уроки астрономії, де студенти проводять рік калібруючи телескоп, але насправді ніколи не дивляться на зірки. Математика дозволяє нам краще розуміти світ і жити в ньому більш осмислено.

  • Як коливаються температури протягом року, і чи бачите ви свідчення довгострокових змін клімату? (Trig функції)
  • Яка ймовірність знайти життя на інших планетах? (Множення дробу)
  • Як ваша пам’ять погіршується з часом. . . і скільки ви можете йому справді довіряти? (Експоненціальний розпад)

Чому математика? Чому урок математики? Оскільки на уроках математики учні можуть обговорювати найважливіші та спонукальні до роздумів питання, що стоять перед нами як видом.

Ваша спадщина як вчителя

Ви збираєтеся вступити до викладацької діяльності. Десь цієї осені ви вперше відкриєте двері свого класу. Це величезний момент. Вітаю. Одного разу, однак, ви залишите викладацьку діяльність і зачините ці двері востаннє. Що між тими моментами ти хочеш досягти? Існує ціла структура, яка допоможе вирішити це для вас: стандарти та тести, втручання та навчальні програми. Проте навіть за найжорсткіших обставин найважливіші рішення в кінцевому підсумку доходять до вас.

Коли ви останній раз зачиняєте ці двері, які розмови ви хочете вести? Усім своїм колишнім учням - тисячам дорослих, які зараз у світі - які уроки ви хочете викладати? Які думки ви хочете надихнути? І як ви хочете, щоб їхнє життя стало кращим для того часу, який вони провели у вашому класі?


Розрахунок маси з сили та ваги

Отже, дозвольте чітко повторити рівняння:

З рівняння можна зробити висновок, що вага є прямим результатом маси у гравітації.

Приклад 1: Apple

Ісаак Ньютон мирно насолоджується під яблунею. Він збирався заснути, як раптом * бонк * яблуко впало йому в голову і розбудило його з напівсону. Прокинувшись, пан Ньютон відразу зважує яблуко, і воно важить 250 грам.

Допоможіть пану Ньютону знайти масу свого яблука.

З цієї проблеми ми можемо зробити висновок, що:

Отже, ми підставляємо ці дані у рівняння, і отримаємо:

Вуаля! Маса яблука 250,17 грам.

Приклад 2: Яблуко, але на Місяці

Ніл Армстронг просто приземлився на Місяць зі своїм космічним кораблем. На його святкування Ніл хотів би з’їсти яблуко. Перш ніж з’їсти його, Ніл повинен зважити яблуко, щоб виміряти його щоденне споживання. Вагова шкала говорить, що яблуко важить 41,3 грама. Гравітація на Місяці дорівнює 1,62 м / с2.

З цієї проблеми ми можемо зробити висновок, що:

Отже, ми підставляємо ці дані у рівняння, і отримаємо:

  • Ш = m x g
  • 0,4052 = м х 1,62
  • м = 0,4052 / 1,62
  • м = 0,25017 кілограма = 250,17 грам

З цього рівняння маса яблука становить 250,17 грам. Це така ж маса, як яблука містера Ньютона на землі! Який збіг.


Розділ 8А

Населення MeadowView збільшується зі швидкістю 3% на рік. Якщо населення сьогодні становить 100 000, що це буде через три роки?

Це є експоненціальна приріст: населення щороку збільшується на певний відсоток.

Через рік чисельність населення стає (100000 разів (1 + 0,03) = 100000 разів 1,03 ).

Через два роки воно стає (100000 разів 1,03 разів (1 + 0,03) = 100000 разів 1,03 ^ 2 )

Через три роки воно стає (100000 разів 1,03 ^ 2 разів (1 + 0,03) = 100000 разів 1,03 ^ 3 = 109273 )

Лінійна або експоненціальна вправа 10. продовжив

Шаблон (n ) років потому популяція становить (100000 разів 1,03 ^ n )

Наприклад, через 30 років населення стає

Лінійна або експоненціальна вправа 12

Ціна на галон бензину зростає на 4 центи на тиждень. Якщо сьогодні ціна ( 3,10 доларів США) за галон, якою вона буде через десять тижнів?

Це є лінійний зростання: ціна щотижня зростає на певну суму (4 центи) незалежно від того, якою вона була.

Протягом десяти тижнів ціна зросте на
(4 раз 10 = 40 ),
і стане (3,10 + 40 = $ 3,50 )

Тут закономірність така: $ n $ тижнів пізніше ціна становить
(310 + 4 разів п ) (центів).

Лінійна або експоненціальна вправа 14

Вартість вашого автомобіля зменшується на 10% на рік. Якщо машина сьогодні коштує ( 12 000 доларів США), що вона буде коштувати через два роки?

Це є експоненціальна розпад: значення зменшується на певний відсоток (10%) щороку.

Через рік машина коштує
(12000 - 12000 разів 0,1 = 12000 разів (1-0,1) = 12000 разів 0,9 = 10800 $ )

Через два роки машина коштує
(10800 - 10800 разів 0,1 = 10800-1080 = $ 9720 )

Лінійна або експоненціальна вправа 14. варіація. (n ) років

Через рік машина коштує
(12000 - 12000 разів 0,1 = 12000 разів (1-0,1) = 12000 разів 0,9 = 10800 $ )

Через два роки машина коштує
((12000 разів (1-0,1)) разів (1-0,1) = 12000 разів (1-0,1) ^ 2 )

Через три роки машина коштує
((12000 разів (1-0,1) ^ 2) разів (1-0,1) = 12000 разів (1-0,1) ^ 3 )

Тепер закономірність стає зрозумілою: $ n $ років тому машина коштує
(12000 разів (1-0,1) ^ n = 12000 разів 0,9 ^ n )

Наприклад, через 20 доларів через рік машина коштує
(12000 разів 0,9 ^ <20> приблизно $ 1459 )

Шахівницька притча Вправа 18

Скільки зерен пшениці потрібно розмістити на квадраті 32 шахової дошки?

Рішення. Нагадаємо, що на першому квадраті є 1 зерно.

є (2 = 2 ^ 1 ) на другому квадраті, (4 = 2 ^ 2 ) на третьому квадраті, (8 = 2 ^ 3 ) на четвертому тощо.

Шаблон зрозумілий: квадратне число (n ) має (2 ^) зерна.

Зокрема, квадрат 32 має
(2 ^ <31> = 2147483648 приблизно 2,1 раз 10 ^ 9 ) зерен.

Шахівницька притча Вправа 18. продовжив

Знайдіть загальну кількість зерен та їх масу на даний момент, припускаючи, що зерно пшениці важить 1/7000 фунтів.

Структура загальної кількості зерен на борту лише дещо складніша, і вона подана на p475 підручника.

Після заповнення квадрата (n ) на дошці з'являються (2 ^ n-1 ) зерна.

Для (n = 32 ) це (2 ^ <32> -1 = 4 294 967 295 приблизно 4,2 по 10 ^ 9 )

Вага, про який йде мова, становить
(4294967295 разів 1/7000 приблизно 613 567 ) фунтів.

Чарівна пенні Притча Вправа 24

Припустимо, ви могли продовжувати робити одну стопку копійок. Через скільки днів стек буде достатньо довгим, щоб досягти найближчої зірки (за Сонцем), яка знаходиться в (4 разів 10 ^ <13> ) км?

Через (t ) днів є (2 ^ t ) копійки.

Нам потрібна товщина копійки, спробуємо це з’ясувати

Після деяких спроб і помилок ми виявляємо це
(2 ^ <65> приблизно 3,7 раз 10 ^ <19> ), тому 65 днів має вистачити.

Бактерії в пляшці Примірна вправа 26

Скільки бактерій у пляшці об 11:15?

Рішення. Нагадаємо, що (t ) хвилин за 11:00 у пляшці є (2 ^ t ) бактерії.

Таким чином, їх є (2 ^ <15> ) о 11:15.

Вправа 26. продовжив

Яка частка пляшки заповнена на той час?

Опівдні пляшка наповнена (2 ^ <60> ) бактеріями.

Об 11:15 складають (2 ^ <15> ) бактерії
( frac <2 ^ <15>> <2 ^ <60>> = frac <1> <2 ^ <45>> = 2 ^ <-45> приблизно 2,8 раз 10 ^ <-14> )


Обчислення та диференціальні рівняння для наук про життя

Курси обчислення викладаються в університетах по всьому світу протягом сотень років. The teaching materials for calculus, from traditional textbooks to modern computer software, have been reinvented and refined over the years and have become classical and standard. Thus, the most challenging question for this project is: why do we need to develop a new calculus course? The straightforward answer is that although the basic concepts and techniques of calculus have not changed, many fields where mathematics is applied have developed and advanced, especially in the biological sciences, and most importantly the students have changed. All these changes have increased concerns over science, technology, engineering and mathematics (STEM) education [see Project Kaleidoscope (2006)]. The reforms in STEM education demand a redesign of foundation courses in mathematics, among which calculus is the key to quantitative analysis in sciences.

Although we can teach and learn calculus from the pure and abstract mathematical point of view, the general consensus is that the most efficient way to study/teach Calculus is connecting the mathematical concepts with their applications. Classical applications for teaching Calculus include: moving objects, free fall problems, optimization problems involving area or volume and interest rate problems. These examples have been proved to be very efficient for engineering students but not for the life science majors. We have developed a set of application examples for Calculus, which are more biology oriented. These include: growth/decay problems in any organism population, gene regulation and dynamical changes in biological events such as monitoring the change of patients’ temperature along with the medications. By using these examples, the students would feel the connection between mathematics and their major subjects. Consequently, they are more motivated to study Calculus.

Traditionally, the first Calculus course does not include exponential functions and logarithm functions. Because of the applications as mentioned above, it is essential for us to discuss these two functions in our first Calculus course. With careful planning, this is not difficult to do. In fact, this course could be more efficient than the traditional Calculus I.

The objective of the first semester calculus is to train the students in the basic concepts and techniques of calculus: limit, continuity, differentiation and integration. This course is important because it transitions from high school mathematics to higher mathematical thinking with analytical rigor. It is also important because of its wide applicability in many fields, from science and engineering to economics and social science, allowing students to broaden their horizons of investigation and career options. We believe that most of the students would learn calculus well if they were motivated by the prospective usefulness of calculus in their future studies and careers. They would also appreciate mathematics more if they felt that they were connected with the applications as well as the theories. However, the traditional first-semester calculus focuses on applications in mechanics and physics. Although calculus textbooks nowadays contain some problems in economics and business, chemistry and biology applications are rare and instructors usually do not mention them at all in class, being somewhat unfamiliar with those fields. We will design a new first-semester calculus course which would break this tradition and contain a balanced set of application examples in biology, chemistry, economics and physics. This will then serve as a gateway course for students from all fields so that they can have a broader view about calculus.

Figure 1. Plot of a Michaelis-Menten function. This function is always increasing and concave down. It has a horizontal asymptote, y=4.

For this part, we will cover all the theories and techniques that are covered in the traditional calculus-I course. Unlike in the traditional calculus-I course where most of application problems taught are physics problems, we will carefully choose a mixed set of examples and homework problems to demonstrate the importance of calculus in biology, chemistry and physics, but emphasizing the biology applications.

Example 1. Traditionally, the first application discussed in Calculus I is the distance/velocity/acceleration problem for moving objects including the free-fall problem. For our Bio-enriched Calculus I, we will consider the Michaelis-Menten kinetics function [4][9]:

This function has many applications in biological fields. For example, it can be used for modeling in enzyme reaction or population growth. Here п could be the nutrient concentration and f be the growth rate function for bacteria Kmax і Kn are positive constant parameters standing for maximum growth rate and the nutrient density at which the bacteria growth rate reaches Kmax /2. This example can be used to introduce the dependence on nutrient as the first derivative and the acceleration (deceleration) of it as the second derivative. In the later discussions of related rates, we can revisit this example for the relationship of two time dependent functions, u(t) і n(t):

де u(t) і n(t) are bacteria density and nutrient concentration as functions of time, t.
Graphing of the Michaelis-Menten kinetics function can be one stone for two birds: using graphing techniques with derivatives and showing the biological significance of the two parameters Kmax і Kn (Figure 1).

Example 2. (Example given in [2] adapted from [1]) Ichthyosaurs are a group of marine reptiles that were fish-shaped and comparable in size to dolphins. They became extinct during the Cretaceous. Based on a study of 20 fossil skeletons, it was found that the skull length (in cm) and backbone length (in cm) of an individual were related through the allometric equation:

де S(x) is the skull length and B(x) is the backbone length at age х. After differentiation on both sides of the equation and a couple of manipulation steps, we end up with the equation:

The first equation gives the relationship between S(x) і B(x). However, it is the second equation that clearly shows that the backbone grows faster than the skull. This example contains several basic calculus concepts and techniques, derivative, power chain rule, relative growth rates and related growth rates. Plus it stirs the students’ curiosity with questions like why babies always seem to have big heads.

Although all application examples of calculus are interesting in some way, examples from microbiology and paleontology as given above are certainly more fascinating to the students in life sciences. Throughout the course, we will carefully integrate the application examples with the calculus concepts and techniques. By the end of the semester, we have two missions to complete: a solid introduction to calculus with rigorous standards of understanding and mastery, and building a real bridge between mathematics and life sciences.

References:
[1] Benton, M. J. and Harper, D (1997), Basic Paleomtology. Addison Wesley and Longman.

[2] Neuhauser, C. (2004), Calculus for Biology and Medicine, 2nd edition, Pearson Education, Inc..