Статті

4.4: Застосування лінійних систем

4.4: Застосування лінійних систем



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

У цьому розділі ми створюємо та вирішуємо додатки, що ведуть до систем лінійних рівнянь. Створюючи та вирішуючи наші моделі, ми дотримуватимемось Вимог до рішень проблем із Word із розділу 2 розділу 5. Однак замість того, щоб встановлювати одне рівняння, ми створили систему рівнянь для кожної програми.

Приклад ( PageIndex {1} )

В геометрії два кути, які складаються з (90 ^ { circ} ), називаються додатковими кутами. Якщо другий з двох доповнюючих кутів (30 ^ { circ} ) більший за подвійний перший кут, знайдіть градусну міру обох кутів.

Рішення

У рішенні ми розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблемних слів.

  1. Налаштуйте змінний словник. Наш словник змінних матиме форму діаграми, називаючи два взаємодоповнюючі кути ( alpha ) та (β ).

  1. Налаштування системи рівнянь. «Другий кут на (30 ) градусів більше, ніж у два рази перший кут» стає [ beta = 30 + 2 alpha label {Eq4.4.1} ] По-друге, кути є взаємодоповнюючими, що означає, що сума кути дорівнює (90 ^ { circ} ). [ alpha + beta = 90 label {Eq4.4.2} ] Таким чином, ми маємо систему з двох рівнянь у двох невідомих ( alpha ) та (β ).
  2. Вирішіть систему. Оскільки Рівняння ref {Eq4.4.1} вже вирішено для (β ), дозвольте використати метод підстановки та підставити (30 + 2α ) для (β ) у Рівнянні ref {Eq4.4.2}. [ begin {align} alpha + beta & = 90 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.4.2} alpha + (30 + 2 alpha) & = 90 quad color {Червоний} text {Заміна} 30 + 2 alpha text {для} beta 3 alpha + 30 & = 90 quad color {Червоний} text {Поєднуйте подібні терміни. } 3 alpha & = 60 quad color {Червоний} текст {Відняти} 30 текст {з обох сторін. } alpha & = 20 quad color {Червоний} текст {Розділіть обидві сторони на} 3 end {вирівняний} nonumber ]
  3. Відповідай на питання. Перший кут дорівнює (α = 20 ) градусів. Другий кут: [ begin {align} beta & = 30 + 2 alpha quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.4.1} beta & = 30+ 2 (20) quad color {Червоний} текст {Заміна} 20 text {для} alpha beta & = 70 quad color {Червоний} text {Спростіть. } кінець {вирівняний} нечисловий ]
  4. Поглянь назад. Безумовно, (70 ^ { circ} ) більше (30 ^ { circ} ) більше, ніж удвічі (20 ^ { circ} ). Також зверніть увагу, що (20 ^ { circ} +70 ^ { circ} = 90 ^ { circ} ), тому кути доповнюють один одного. Ми маємо правильне рішення.

Вправа ( PageIndex {1} )

Якщо другий з двох взаємодоповнюючих кутів (6 ^ { circ} ) більше, ніж (3 ), помножений на перший кут, знайдіть міру градусів обох кутів.

Відповідь

(21 ) та (69 )

Приклад ( PageIndex {2} )

Периметр прямокутника дорівнює (280 ) футів. Довжина прямокутника в (10 ​​) футів менше подвійної ширини. Знайдіть ширину та довжину прямокутника.

Рішення

У рішенні ми розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблемних слів.

  1. Налаштуйте змінний словник. Наш словник змінних матиме форму діаграми, називаючи ширину та довжину (W ) та (L ) відповідно.

  1. Налаштуйте систему рівнянь. Периметр знаходимо шляхом підсумовування чотирьох сторін прямокутника. [ Begin {array} {l} {P = L + W + L + W} {P = 2 L + 2 W} end {array} nonumber ] Нам кажуть, що периметр дорівнює (280 ) футів, тому ми можемо замінити (280 ) на (P ) в останньому рівнянні. [280 = 2 L + 2 W nonumber ] Ми можемо спростити це рівняння, розділивши обидві сторони на (2 ), отримавши такий результат: [L + W = 140 nonumber ] По-друге, нам кажуть, що «довжина - (10 ​​) футів менше, ніж вдвічі ширина ". Це означає: [L = 2 W-10 nonumber ] Таким чином, система, яку нам потрібно вирішити, є: [L + W = 140 label {Eq4.4.3} ] [L = 2 W-10 label {Рівень 4.4.4} ]
  2. Вирішіть систему. Оскільки Рівняння ref {Eq4.4.4} вже вирішено для (L ), дозвольте використати метод заміщення та підставити (2W −10 ) для (L ) у Рівнянні ref {Eq4.4.3}. [ begin {align} W + L & = 140 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.4.3} W + (2 W-10) & = 140 quad color { Червоний} text {Заміна} 2 W-10 text {для} L 3 W-10 & = 140 quad color {Червоний} text {Поєднуйте подібні терміни. } 3 W & = 150 quad color {Червоний} текст {Додати} 10 текст {з обох сторін. } W & = 50 quad color {Червоний} текст {Розділіть обидві сторони на} 3 end {вирівняний} nonumber ]
  3. Відповідай на питання. Ширина - (Ш = 50 ) футів. Довжина: [ begin {align} L & = 2W-10 quad { color {Red} text {Equation}} ref {Eq4.4.4} L & = 2 (50) -10 quad color {Червоний} text {Заміна} 50 text {для} W. L & = 90 quad color {Червоний} text {Спростіть. } end {вирівняно} nonumber ] Отже, довжина дорівнює (L = 90 ) футів.
  4. Поглянь назад. Можливо, малюнок, позначений нашими відповідями, може найкраще продемонструвати, що ми маємо правильне рішення. Пам'ятайте, ми виявили, що ширина складала (50 ) футів, а довжина - (90 ) футів.

Зверніть увагу, що периметр дорівнює (P = 90 + 50 + 90 + 50 = 280 ) футів. По-друге, зверніть увагу, що довжина (90 ) футів (10 ​​) футів менше подвійної ширини. Отже, ми маємо правильне рішення.

Вправа ( PageIndex {2} )

Периметр прямокутника дорівнює (368 ) метрів. Довжина прямокутника становить (34 ) метрів більше, ніж вдвічі більше ширини. Знайдіть ширину та довжину прямокутника.

Відповідь

довжина (= 134 ), ширина (= 50 )

Приклад ( PageIndex {3} )

Паскаль має ( $ 3,25 ) в обмін в кишені, все в копійках і кварталах. У нього всього (22 ) монети. Скільки копійок у нього?

Рішення

У рішенні ми розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблемних слів.

  1. Налаштуйте змінний словник. Нехай (D ) представляє кількість копійок, а (Q ) - кількість кварталів.
  2. Налаштуйте систему рівнянь. Використання таблиці для узагальнення інформації - хороша стратегія. У першій колонці ми перераховуємо тип монети. Другий стовпець містить номер кожного типу монет, а третій стовпець - значення (у копійках) кількості монет у кишені Паскаля.
    Кількість монетВартість (у центах)
    Даймс (D ) (10D )
    Чверті (Q ) (25Q )
    Підсумки(22)(325)

    Зверніть увагу, що (D ) рази, що оцінюються в (10 ​​) центів за штуку, коштують (10D ) центів. Подібним чином, квартали (Q ), оцінені в (25 ) центів за штуку, коштують (25Q ) центів. Зауважте також, як ми змінили ( $ 3,25 ) на (325 ) центів. Другий стовпець таблиці дає нам наше перше рівняння. [D + Q = 22 label {Eq4.4.5} ] Третій стовпець таблиці дає наше друге рівняння. [10 D + 25 Q = 325 мітка {Eq4.4.6} ]
  3. Вирішіть систему. Оскільки рівняння ref {Eq4.4.5} та ref {Eq4.4.6} мають обидва варіанти у стандартній формі (Ax + By = C ), ми використаємо метод усунення, щоб знайти рішення. Оскільки питання просить нас знайти кількість копійок у кишені Паскаля, ми зосередимось на усуненні термінів (Q ) - та збереженні термінів (D ) - . [Початок {вирівнювання} -25 D -25 Q & = - 550 quad { color {Червоний} text {Рівняння множення}} ref {Eq4.4.5} color {Червоний} text {на} -25 10 D + 25 Q & = 325 quad { color {Червоний} text {Рівняння}} ref {Eq4.4.6} hline-15 D quad qquad & = - 225 quad color {Червоний} text {Додайте рівняння .} end {вирівняно} nonumber ] Поділивши обидві сторони останнього рівняння на (- 15 ), отримаємо (D = 15 ).
  4. Відповідай на питання. Попереднє рішення говорить нам, що Паскаль має в кишені (15 ) копійок.
  5. Поглянь назад. Знову ж, узагальнення результатів у таблиці може допомогти нам зрозуміти, чи маємо ми правильне рішення. По-перше, оскільки нам кажуть, що у Паскаля в цілому монети (22 ), і ми виявили, що він мав (15 ) копійок, це означає, що він повинен мати (7 ) чверті.
    Кількість монетВартість (у центах)
    Даймс(15)(150)
    Чверті(7)(175)
    Підсумки(22)(325)

    П'ятнадцять копійок коштують (150 ) центів, а (7 ) чверті - (175 ) центів. Це всього (22 ) монет і (325 ) центів, або ( $ 3,25 ). Таким чином, ми маємо правильне рішення.

Вправа ( PageIndex {3} )

Елоїза змінила в кишені ( 7,10 $ ), все в нікелях і чвертях. у неї всього (46 ) монет. Скільки у неї кварталів?

Відповідь

(24)

Приклад ( PageIndex {4} )

Роза успадковує ( 10 000 доларів США) і вирішує вкласти гроші на два рахунки, одну частину в депозитний сертифікат, що сплачує (4 \% ) відсотків на рік, а решту у взаємному фонді, який платить (5 \%) на рік. Наприкінці першого року інвестиції Рози заробляють у цілому ( 420 доларів США) відсотків. Знайдіть суму, вкладену в кожен рахунок.

Рішення

У рішенні ми розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблемних слів.

  1. Налаштуйте змінний словник. Нехай (C ) представляє суму, вкладену в депозитний сертифікат, а (M ) - суму, вкладену у пайовий фонд.
  2. Налаштуйте систему рівнянь. Ми знову використовуватимемо таблицю для узагальнення інформації.
    ОцінітьВкладена сумаВідсотки
    Депозитний сертифікат(4\%) (C ) (0,04 ° С)
    Взаємний фонд(5\%) (M ) (0,05 млн. )
    Підсумки(10,000)(420)
    При (4 \% ) відсотки, зароблені за вкладення в (C ) доларів, знаходять, беручи (4 \% ) з (C ) (тобто (0,04C )). Аналогічно, відсотки, зароблені за взаємним фондом, складають (0,05 млн. ). Третій стовпець таблиці дає наше перше рівняння. Загальна сума інвестицій складає ( 10 000 дол. США). [C + M = 10000 нечисло ] Четвертий стовпець таблиці дає нам друге рівняння. Загальний зароблений відсоток - це сума відсотків, зароблених на кожному рахунку. [0,04 С + 0,05 М = 420 нечисло ] Очистімо десяткові цифри з останнього рівняння, помноживши обидві сторони рівняння на (100 ). [4 C + 5 M = 42000 nonumber ] Отже, система, яку нам потрібно вирішити, є: [C + M = 10000 label {Eq4.4.7} ] [4 C + 5 M = 42000 label {Рівень 4.4.8} ]
  3. Вирішіть систему. Оскільки рівняння ref {Eq4.4.7} та ref {Eq4.4.8} мають обидва варіанти у стандартній формі (Ax + By = C ), ми використаємо метод усунення, щоб знайти рішення. Ми зосередимося на усуненні термінів (C ) - . [ Begin {align} -4C-4M & = - 40000 quad { color {Red} text {Множення рівняння}} ref {Eq4. 4.7} color {Червоний} text {by} -4 4C + 5M & = ; ; ; 42000 quad { color {Червоний} text {Рівняння}} ref {Eq4.4.8} hline-15 M & = ; quad2000 quad color {Червоний} текст {Додайте рівняння.} end {align} nonumber ] Таким чином, сума, вкладена в пайовий фонд у (M = $ 2 000 ).
  4. Відповідай на питання. Питання пропонує нам знайти суму, вкладену в кожен рахунок. Отже, підставляємо (M = 2000 ) у рівняння ref {Eq4.4.7} і вирішуємо для (C ). [ Begin {align} C + M & = 10000 quad { color {Red} текст {Рівняння}} ref {Eq4.4.7} C + 2000 & = 10000 quad color {Червоний} text {Підставити 2000 на M} C & = ; ; 8000 quad color { Червоний} text {Відніміть 2000 з обох сторін.} End {align} nonumber ] Таким чином (C = $ 8, 000 ) було вкладено в депозитний сертифікат.
  5. Поглянь назад. По-перше, зверніть увагу, що інвестиції в депозитний сертифікат та ПІФ, ( $ 8000 ) та ( $ 2000 $ ), відповідно, складають ( $ 10 000 ). Розрахуємо відсотки за кожну інвестицію: (4 \% ) з ( $ 8000 ) дорівнює ( $ 320 ), а (5 \% ) з ( $ 2,000 ) дорівнює ( $ 100 ).
    ОцінітьВкладена сумаВідсотки
    Депозитний сертифікат(4\%)(8,000)(320)
    Взаємний фонд(5\%)(2,000)(100)
    Підсумки(10,000)(420)
    Зверніть увагу, що загальний відсоток становить ( $ 420 ), як вимагається у постановці проблеми. Таким чином, наше рішення є правильним.

Вправа ( PageIndex {4} )

Айлін успадковує ( $ 40 000 ) і вирішує вкласти гроші на два рахунки, взявши участь у депозитному сертифікаті, який сплачує (3 \% ) відсотки на рік, а решту - у взаємному фонді, який сплачує (6 %) на рік. Наприкінці першого року її інвестиції приносять у цілому ( $ 2010 ) відсотків. Знайдіть суму, вкладену в кожен рахунок.

Відповідь

( $ 13000 ) у депозитному сертифікаті, ( $ 27000 ) у пайовому фонді.

Приклад ( PageIndex {5} )

Арахіс роздрібно продається за ціною ( $ 0,50 $ ) за фунт, а кеш'ю коштує ( 1,25 $ ) за фунт. Якщо ви були власником магазину, скільки фунтів арахісу та кеш'ю слід змішати, щоб отримати (50 ) фунтів суміші арахісово-кешью вартістю ( 0,95 доларів США) за фунт?

Рішення

У рішенні ми розглядаємо кожен крок Вимоги до вирішення проблемних слів.

  1. Налаштуйте змінний словник. Нехай (P ) - кількість фунтів вживаного арахісу, а (C ) - кількість фунтів кеш'ю.
  2. Налаштуйте систему рівнянь. Ми знову використовуватимемо таблицю для узагальнення інформації.
    Вартість за фунтСума (фунтів)Вартість
    Арахіс($0.50) (P ) (0,50P )
    Кешью($1.25) (C ) (1,25 ° С)
    Підсумки($0.95)(50)(0.95(50)=47.50)
    При ( $ 0,50 $ ) за фунт, (P ) фунти арахісу коштують (0,50P ). При ( $ 1,25 ) за фунт, (C ) фунти кеш'ю коштують (1,25C ). Нарешті, при ( $ 0,95 ) за фунт, (50 ) фунтів суміші арахісу та кеш'ю буде коштувати (0,95 (50) ), або ( 47,50 $ ). Загальна кількість фунтів суміші визначається наступним рівнянням: [P + C = 50 nonumber ] Четвертий стовпець таблиці дає нам наше друге рівняння. Загальна вартість - це сума витрат на придбання арахісу та кешью. [0,50 P + 1,25 C = 47,50 nonumber ] Давайте очистимо десяткові цифри від останнього рівняння, помноживши обидві сторони рівняння на (100 ) . [50 P + 125 C = 4750 nonumber ] Отже, система, яку нам потрібно вирішити, така: [P + C = 50 label {Eq4.4.9} ] [50 P + 125 C = 4750 мітка {Eq4.4.10} ]
  3. Вирішіть систему. Оскільки рівняння ref {Eq4.4.9} та ref {Eq4.4.10} мають обидва варіанти у стандартній формі (Ax + By = C ), ми використаємо метод усунення, щоб знайти рішення. Ми зосередимося на усуненні термінів (P ) - . [ Begin {align} -50P-50C & = - 2500 quad { color {Red} text {Множення рівняння}} ref {Eq4. 4.9} color {Червоний} text {by} -50 50P + 125C & = ; ; ; 4750 quad { color {Червоний} text {Рівняння}} ref {Eq4.4.10} hline 75C & = quad2250 quad color {Червоний} текст {Додайте рівняння.} end {вирівняне} нечисло ] Поділіть обидві сторони на (75 ), щоб отримати (C = 30 ) фунти кеш'ю містяться у суміші.
  4. Відповідай на питання. Питання вимагає як суми, арахіс, так і кешью. Підставте (C = 30 ) у рівнянні ref {Eq4.4.9}, щоб визначити (P ). [ Begin {align} P + C & = 50 quad { color {Red} text {Equation }} ref {Eq4.4.9} C + 30 & = 50 quad color {Red} text {Підставляємо C на C} P & = 20 quad color {Red} text {Віднімаємо 30 з обох сторін.} end {вирівняно} nonumber ] Таким чином, у суміші є (P = 20 ) фунтів арахісу.
  5. Поглянь назад. По-перше, зверніть увагу, що кількість арахісу та кеш'ю у суміші становить (20 ) та (30 ) фунтів відповідно, тому загальна суміш важить (50 ) фунтів за необхідності. Давайте обчислимо витрати: для арахісу, (0,50 (20) ), або ( $ 10 ), для кеш'ю, (1,25 (30) = 37,50 ).
    Вартість за фунтСума (фунтів)Вартість
    Арахіс($0.50)(20)($10.00)
    Кешью($1.25)(30)($37.50)
    Підсумки($0.95)(50)($47.50)
    Зверніть увагу, що загальна вартість становить ( $ 47,50 ), як вимагається у постановці проблеми. Таким чином, наше рішення є правильним.

Вправа ( PageIndex {5} )

Магазин продає арахіс за ( $ 4,00 ) за фунт, а пекан за ( $ 7,00 ) за фунт. Скільки фунтів арахісу і скільки фунтів пекану слід змішати, щоб отримати суміш (25 ) - фунтів вартістю ( 5,80 $ ) за фунт?

Відповідь

(10 ​​) фунтів арахісу, (15 ) фунтів арахісу


Система лінійних рівнянь у матрицях

В математиці система лінійної системи - це сукупність двох або більше лінійних рівнянь, що включають однаковий набір змінних. Наприклад: 2x & # 8211 y = 1, 3x + 2y = 12. Це система двох рівнянь у двох змінних, яка є x та y, яка називається дволінійним рівнянням у двох невідомих x та y, а рішення лінійного рівняння є значенням змінних таким чином, що виконуються всі рівняння.

У матриці кожне рівняння в системі стає рядком, а кожна змінна в системі стає стовпцем, а змінні скидаються, а коефіцієнти розміщуються в матриці.

Система двох лінійних рівнянь у двох невідомих x та y має такий вигляд:

Тоді систему рівнянь можна записати у матричній формі як:

Якщо R.H.S., а саме B, дорівнює 0, то система є однорідною, інакше неоднорідною.

є однорідною системою двох рівнянь у двох невідомих x та y.

є неоднорідною системою рівнянь.

Система з трьох лінійних рівнянь у трьох невідомих x, y, z має такий вигляд:

Тоді систему рівнянь можна записати у матричній формі як:


Нижній відділ

ECE 5. Вступ до електротехніки та обчислювальної техніки (4)

Вступ до електротехніки та обчислювальної техніки.Теми включають теорію схем, складання та тестування, програмування та налагодження вбудованих систем, механізми перетворювачів та взаємозв'язки перетворювачів, теорію сигналів та систем, цифрову обробку сигналів та модульні методи проектування. Передумови:пріоритетне зарахування до інженерних спеціальностей EC04, EC26, EC27, EC28 та EC37.

ECE 15. Інженерні обчислення (4)

Студенти вивчають мову програмування C з акцентом на високопродуктивних чисельних обчисленнях. Також висвітлено спільність між мовами програмування структур управління, структур даних та вводу-виводу. Розроблено методики використання MATLAB для побудови графіків результатів обчислень C. Передумови: очікується знайомство з базовою математикою, такою як функції тригонометрії та графіки, але цей курс не передбачає попередніх знань програмування.

ECE 16. Швидке проектування апаратного та програмного забезпечення для взаємодії зі світом (4)

Студенти знайомляться з концепціями вбудованих систем зі структурованою розробкою комп'ютерного контролера на основі сигналів електроміограми (EMG) через чотири лабораторні завдання протягом кварталу. Ключові поняття включають вибірку, обробку сигналів, зв’язок та управління в реальному часі. Студенти застосовуватимуть свої попередні знання з мови C (з ECE15) для програмування мікроконтролерів та займатимуться аналізом даних за допомогою мови програмування Python. Передумови: MAE 8 або CSE 8B або CSE 11 або ECE 15.

ECE 17. Об’єктно-орієнтоване програмування: проектування та розробка за допомогою C ++ (4)

Цей курс поєднує в собі основи об’єктно-орієнтованого проектування на C ++, а також практики програмування, налагодження та тестування, що використовуються сучасними розробниками програмного забезпечення. Наголошує на використанні об’єктно-орієнтованих методів для моделювання та міркування щодо проектування системи, а також на використанні сучасних ідіом C ++, шаблонів проектування та стандартної бібліотеки шаблонів (STL) для розробки більш надійних, надійних, масштабованих та безпечний. Передумови: CSE 8B або CSE 11 або ECE 15.

ECE 25. Вступ до цифрового дизайну (4)

Цей курс наголошує на цифровій електроніці. Принципи, представлені на лекціях, використовуються в лабораторних завданнях, які також служать для впровадження експериментальних та конструкторських методів. Теми включають булеву алгебру, комбінацію та послідовну логіку, ворота та їх реалізацію в цифрових схемах. (Можуть застосовуватися матеріали курсу та / або програми.) Передумови: жоден.

ECE 30. Вступ до обчислювальної техніки (4)

Основи апаратного та програмного забезпечення комп’ютерної системи. Теми включають представлення інформації, організацію та проектування комп’ютерів, складання та мікропрограмування, сучасні технології в логічному проектуванні. Передумови: ECE 15 та 25 із класами C & # 8211 або вище.

ECE 35. Вступ до аналогового дизайну (4)

Основні концепції теорії ланцюгів, закони напруги і струму Кірхгофа & # 8217s, теореми Тевеніна & # 8217s і Нортона & # 8217s, аналіз циклів і вузлів, сигнали, що змінюються в часі, перехідні схеми першого порядку, синусоїдальна реакція в стаціонарному стані. MATH 20C та PHYS 2B повинні прийматись одночасно. Може стягуватися плата за програму чи матеріали. Передумови:МАТЕМАТИКА 18, 20А & # 8211B та PHYS 2A.

ECE 45. Схеми та системи (4)

Аналіз схем стаціонарного стану, системи першого та другого порядку, ряди Фур'є та перетворення, аналіз часової області, згортка, перехідна реакція, перетворення Лапласа та дизайн фільтра. Передумови: ECE 35.

ECE 65. Лабораторія компонентів та схем (4)

Ознайомлення з лінійними та нелінійними компонентами та схемами. Теми включатимуть два кінцеві пристрої, біполярні та польові транзистори, а також великий і малий аналіз сигналів діодних і транзисторних ланцюгів. (Може застосовуватися плата за програму чи матеріали.) Передумови: ECE 35.

ECE 85. iTunes 101: Огляд інформаційних технологій (4)

Теми включають те, як такі пристрої, як iPod та iPhone, генерують, передають, отримують та обробляють інформацію (музика, зображення, відео тощо), взаємозв’язок між технологіями та такими проблемами, як конфіденційність та & # 8220net нейтральність, & # 8221 та актуальні теми пов'язані з інформаційними технологіями. Передумови:жоден.

ECE 87. Студентський семінар першого курсу (1)

Програма студентського семінару першого курсу розроблена, щоб надати новим студентам можливість дослідити інтелектуальну тему з викладачем у невеликому семінарі. Студентські семінари першого курсу пропонуються у всіх університетських відділеннях та коледжах студентів, і теми варіюються від кварталу до кварталу. Кількість студентів обмежена від п'ятнадцяти до двадцяти студентів, причому перевага віддається вступу на студенти першого курсу. Передумови: жоден.

ECE 90. Бакалаврський семінар (1)

Цей семінарський клас забезпечить широкий огляд сучасних тем досліджень як в електротехніці, так і в комп’ютерній техніці. Типовими предметними областями є обробка сигналів, дизайн VLSI, електронні матеріали та пристрої, радіоастрономія, зв'язок та оптичні обчислення. Передумови: жоден.


4.4: Застосування лінійних систем

Програми, що включають лінійні рівняння, постійно з’являються в біологічних дослідженнях - починаючи від щоденних обчислень, що використовуються для розв’язання задач, до побудови та аналізу експериментальних даних. Знання того, як моделювати та розв’язувати лінійні рівняння, також може допомогти вам знайти відсутні дані. Тут ми представляємо лише кілька застосувань лінійних рівнянь, з якими ви можете зіткнутися під час вивчення наук про життя.

Змішування кислот

Розгляньте розчин 1,00 М соляної кислоти (HCl) і припустимо, ми додаємо до цього розчину 5,00 M HCl. Якщо ми почнемо з 565 мл 1,00 М HCl, ми хотіли б знати, скільки грамів HCl буде в розчині після х додано мілілітрів 5,00 М HCl. Ми можемо використовувати лінійне рівняння для обчислення кількості грамів HCl у розчині після х мл 5,00 М HCl додають як,

Спочатку визначаємо початкову масу HCL у розчині, представлену b в лінійному рівнянні. Для перетворення ми маємо наступне:

де 36,5 г - формульна маса або молярна маса HCl. Тепер ми повинні обчислити
схил м. Ми можемо використовувати розмірний аналіз щоб визначити м& rsquos одиниць. Оскільки р має одиниці г HCl, mx також повинні містити одиниці г HCl. Далі, тому що х являє собою кількість мілілітрів 5,00 М доданої HCl, м повинні містити одиниці г HCl на мл. Таким чином, ми повинні визначити, скільки грамів HCl припадає на мл 5,00 M HCl. Ми маємо наступне перетворення,

Таким чином, на мл 5,00 М HCl додають 0,183 г HCl. Отже, рівняння, задане,

можна використовувати для обчислення кількості грамів HCl, що є в розчині після х додають мл 5,00 М HCl. Одного разу р Ви можете розрахувати молярність нового розчину, обчисливши кількість молей HCl (від р) і ділимо на кількість літрів розчину. Наприклад, після додавання 5,00 х 10 2 мл 5,00 М HCl у розчині знаходиться 112 г HCl,

р(500) = 0,183 & middot 500 + 20,6 = 112.

Нове рішення матиме молярність,

Яке це число?

Наш перший приклад показав, як лінійні рівняння зазвичай використовуються в задачі хімічної суміші. Система з двох лінійних рівнянь також може бути використана в рідкісних випадках, наприклад у такій ситуації. Розглянемо вид комах з юнацькими та дорослими стадіями, який культивується в лабораторії. Лабораторний запис вказує на те, що в певний час перепису в культурі було 200 комах, і експериментатор вилучив з культури 11 дорослих, щоб співвідношення неповнолітніх та дорослих становило 3: 4. Однак хтось пролив розчин на блокнот , і де ви повинні побачити, скільки з 200 комах були неповнолітніми, а скільки дорослими, тепер ви бачите лише чорнильну пляму. Ви хочете повторити цей експеримент за інших умов. Враховуючи обмежену інформацію, як ви дізнаєтесь, скільки з 200 комах були неповнолітніми, а скільки дорослими?

Для вирішення цієї задачі ми можемо використовувати лінійні рівняння. Ми починаємо з першої поданої інформації, що в цілому було 200 комах. Ми будемо використовувати змінну j представляти неповнолітніх та а представляти дорослих. Запишемо таке рівняння,

Оскільки нам потрібно вирішити дві невідомі (j і а), нам потрібно інше рівняння. Зараз ми використовуємо той факт, що було вилучено 11 дорослих, щоб співвідношення неповнолітніх і дорослих становило 3: 4. Ми повинні перевести це в математику. Ми знаємо, що після видалення 11 дорослих на кожних 4 дорослих повинно бути 3 неповнолітніх. Існують різні способи вираження співвідношення за допомогою рівнянь. Використовуючи цілі числа, вираз х = 2р означає, що існує 2 х& rsquos за кожну 1 р іншими словами, співвідношення х до р це 2: 1. Щоб переконати себе в цьому х = 2р позначає співвідношення 2: 1 х до р, замінник х = 2 в х = 2р отримати р = 1. У рівнянні х = 2р, більше число 2 (менше число 1) йде перед р (х), бо їх менше р& rsquos ніж х& rsquos (докладніше х& rsquos ніж р& rsquos). Подібним чином можна виразити співвідношення неповнолітніх до дорослих 3: 4 після вилучення 11 дорослих, використовуючи таке рівняння,

Тепер ми вирішуємо цю систему підстановкою, підстановкою j = 200 & мінуса з рівняння 1 у рівняння 2 як,

Вирішення змінної a розподілом та поєднанням подібних термінів дає,

Отже, ми знаходимо, що a = 119. Знайти j ми підставляємо а = 119 в будь-яке рівняння як,

Таким чином, ми робимо висновок, що з 200 комах у культурах було 81 неповнолітніх та 119 дорослих особин. Неважко перевірити, що,


Резюме

Високоякісні дані імпедансу можна досягти, лише застосовуючи амплітуди змінного струму, які є достатньо малими для отримання лінійної характеристики, але достатньо великими, щоб забезпечити гарне відношення сигнал / шум у спостережуваному діапазоні частот.

Наші експерименти показали, як результати вимірювань можуть змінюватися за допомогою різних амплітуд змінного струму. Зокрема, амплітуди, які є занадто великими для спостережуваної системи та дають нелінійну реакцію, демонструють відмінності, які можна побачити на графіках Боде та Найквіста. Обидві криві зміщені порівняно з дійсними результатами. Як правило, відхилення є більш значними в області низьких частот, де більші амплітуди змінного струму більше порушують електрохімічну рівновагу.

Таким чином, загальне гармонійне спотворення є корисною методикою вимірювання, яка надає кількісну інформацію про виміряну реакцію сигналу. Ця додаткова інформація у формі так званого коефіцієнта THD може допомогти оцінити, чи вимірюваний сигнал є нелінійним - в кінцевому підсумку спричиняючи неточні, неточні або навіть невірні результати - чи відповідь сигналу лінійна, що призводить до дійсних даних імпедансу .

Повне гармонійне спотворення: теорія та практика. Ред. 1.1 4/15/2021 © Авторське право 2021 Gamry Instruments, Inc.

Хочете PDF-версію цього додатка?

Заповніть наступну форму, і ми надішлемо посилання на вашу поштову скриньку!


4 Критерії стійкості на основі канонічних нерівностей Бесселя – Лежандра (40) та (46)

У цьому розділі ми розробляємо деякі критерії стійкості, використовуючи канонічні нерівності Бесселя – Лежандра (40) та (46), щоб показати ефективність канонічних нерівностей Бесселя – Лежандра, а також підтвердити деякі твердження, висловлені в попередніх розділах.

4.1 Критерії стійкості для випадку 1

У випадку 1 - зміна часу є диференційовано задовільним (47). У цій ситуації ми вибираємо наступний розширений функціонал Ляпунова – Красовського: (59) де - матриці Ляпунова, які слід визначити, та

з і , та для (60)

Перший доповнений доданок у (59) мотивований лемою 4 таким чином, що вектори в (60), індуковані інтегральною нерівністю (40), з'являються у похідній функціонала Ляпунова – Красовського . Другий і третій доповнені терміни взяті з [62]. Слід зазначити, що функціонал Ляпунова – Красовського в (59) відрізняється від того, що викладений у (51), який залежить від поліномів Лежандра.

4.1.1 N -залежні критерії стійкості

Твердження 1. Для констант , і ціле додатне число N, система (1) підпорядковується є асимптотично стійким, якщо існують реальні матриці , , і та реальні матриці і з відповідними розмірами, такими, що для

(61) (62) де визначено в (41), і (63) (64) с визначається у (42), будучи i матриця th-го рядка така, що , є ідентифікувати матрицю, і

Доказ. Спочатку введемо вектор як , , , , , , . Це легко перевірити і , де і визначені у пропозиції 1. Беручи похідну від в (59) поряд з траєкторією системи (1) дає

(65)

де , визначено в (41), і визначені у пропозиції 1. Застосовуючи вдосконалену взаємно опуклу нерівність (21), маємо (66) де визначено в (64). Підставивши (66) на (65), вийде (67) (68) Зауважте, що є лінійним а також на . Якщо LMI в (61) та (62) задовольняються, доповненням Шура це є

Таким чином, з (67) існує скаляр такий як , який робить висновок, що система (1) асимптотично стійка для . □

Замість інтегральної нерівності (40) можна також використовувати її афінну версію (46) для виведення іншої N -залежний критерій стійкості шляхом незначної модифікації функціоналу Ляпунова – Красовського (59), де термін замінюється на . Результат зазначений у наступній пропозиції.

Твердження 2. Для констант , і ціле число , система (1) підпорядковується є асимптотично стійким, якщо існують реальні матриці , , і та реальні матриці і з відповідними розмірами, такими, що для

(69)

Примітка 1. Твердження 1 і 2 містять два N -залежні критерії стійкості для системи (1), яка підпорядковується (47), завдяки канонічній інтегральній нерівності (40). Кількість необхідних змінних рішення може бути розрахована як для пропозиції 1 та для твердження 2. Більше того, позитивна визначеність матриць і може бути розслабленим, якщо дотримуватися рядка в [76] або [81].

4.1.2 Ієрархія критеріїв стабільності LMI

У роботі [81] доведено, що критерій стабільності з точки зору LMI утворює a ієрархія. Далі показано, що такий ієрархічний характеристика також прихована у LMI пропозицій 1 та 2. На основі пропозиції 1, є

Твердження 3. Для системи (1), яка підпадає під дію (47), є таке

(70) (71) с , і визначаються відповідно в (54), (61) та (62).

Доказ. Не втрачаючи загальності, припустимо, що не є порожнім. З визначення , існують реальні матриці , , і та реальні матриці і з відповідними розмірами, такими що і , які еквівалентні

де визначено в (68). Дозволяє

де і . Тоді нам потрібно лише це довести (72)

де і є власними дійсними матрицями і . Звідси випливає, що

Дозволяє . Тоді

де і є деякими власне дійсними матрицями. Таким чином

(73)

Оскільки є неодиничним і , існують досить малі скаляри і такий як якщо для , який закінчується . □

Подібно до пропозиції 3, можна довести, що LMI в пропозиції 2 також утворюють ієрархію. Для даних скалярів і , позначаємо через допустима максимальна верхня межа затримки, що змінюється в часі використовуючи пропозицію 1 або 2. Тоді за ознакою ієрархії можна зробити висновок, що .

4.2 Критерії стійкості для випадку 2

У випадку, коли затримка часу задовольняє (48), складно встановити N -залежний критерій стійкості з використанням слідства 4, оскільки не можна використовувати опуклу властивість справлятися з похідною спричинені векторами у (60), якщо є необмеженим знизу. Однак для , ми можемо отримати деякі нові результати, базуючись на наступному доповненому функціоналі Ляпунова – Красовського як (74) де і .

Твердження 4. Для констант і , система (1), яка підпорядковується (48), асимптотично стійка, якщо існують реальні матриці , , і та реальні матриці і з відповідними розмірами, такими що

(75) (76) де , і визначені в (42) та (43) з і (77) (78) (79) с будучи i го рядок-блок матриця ідентичності, і

Доказ. Беручи похідну від часу в (74) дає

(80) Позначимо , , де і визначені в (60), і (81) Тоді для будь-якої реальної матриці з відповідними розмірами виконується таке рівняння: (82) (83) де визначено у (77). Застосуємо інтегральну нерівність (40) з отримати

де і . Завдяки поліпшенню взаємно опуклої нерівності (21) можна мати (84) (85) де визначений у (79). Якщо LMI в (75) та (76) задовольняються, тримається за допомогою доповнення Шура. Таким чином, можна зробити висновок, що система (1), яка підпадає під (48), є асимптотично стабільною. □

Подібно до твердження 2, якщо використовувати афінну інтегральну нерівність (46) замість (40), ми отримаємо такий результат.

Твердження 5. Для констант і , система (1), яка підпорядковується (48), асимптотично стійка, якщо існують реальні матриці , , і та реальні матриці і з відповідними розмірами, такими що

(86) (87)

Зауваження 2. Положення 4 та 5 містять два критерії стійкості для системи (1) відповідно до (48). Порівняно з [64, теорема 1], основна відмінність полягає в тому, що положення 4 і 5 виведені на основі такої умови, як для , де є лінійний матрична функція на , що приводить до необхідної та достатньої умови і такий як для . Це лінійний матрична функція сприяє введенню векторів і в (81). Однак у доведенні [64, теорема 1], є квадратичний функція на . Таким чином, застосування квадратичного опуклого підходу в (13) дає лише достатню умову таку, що для .

Зауваження 3. Мета введення векторів і в (81) - поглинати такий як є лінійний на В іншому випадку буде потрійною матрично-значною поліноміальною функцією на , що важко вивести критерій стійкості для системи (1) у випадку 2. Кількість змінних прийняття рішень для пропозиції 4 та для пропозиції 5.

4.3 Критерії стійкості для випадку 3

У випадку 3 - зміна часу відомо, що він є безперервним, але жодної інформації щодо похідної зміни часу затримки в аналізі стабільності немає. У цьому випадку розширений функціонал Ляпунова – Красовського може бути обраний як (88) де і визначені в (74).Використовуючи інтегральну нерівність (40) та її афінний варіант (46), аналогічно доведенню тверджень 4 та 5, ми маємо наступні два критерії стійкості.

LMI в (75) та (76) задовольняються, де замінюється на як

LMI в (86) задовольняються, де замінюється на як

Доказ. Доказ може бути завершений наступним доказом пропозиції 4. □

Зауваження 4. У випадку 3 пропозиція 6 містить два критерії стійкості системи (1). Використовуючи нерівність Бесселя – Лежандра другого порядку, у [52, теорема 1] також повідомляється про критерій стійкості системи (1) з (49). Основна різниця між ними полягає у вибраному функціоналі Ляпунова – Красовського. У пропозиції 6, збільшений вектор вводиться в в (88), але не в [52, теорема 1]. В результаті, якщо взяти похідну від збільшеного терму, вийде

Тобто вектори і , в (81) пов'язані Питання, що підвищує доцільність умов стабільності у пропозиції 6.

Зауваження 5. Кількість змінних рішення, необхідних у пропозиції 6, становить для умови (i) та для умови (ii), які менше, ніж у [52, теорема 2].

Зауваження 6. Слід зазначити, що запропоновані результати в цьому розділі можна легко розширити до лінійної системи з інтервалом, що змінюється в часі за умови, що можна змінити вибрані функціонери Ляпунова – Красовського, взявши нижню межу в обліковому записі. Через їх подібність ці результати у статті опущено.

4.4 Наочні приклади

У цьому розділі ми порівняли вищезазначені критерії стабільності з деякими існуючими на двох числових прикладах.

Приклад 1. Розглянемо систему (1), де

(89) Різна затримка є диференційованою функцією на .

Приклад 1 добре використовується для обчислення допустимої максимальної верхньої межі (AMUB) для змінної затримки . Для порівняння ми розглянемо два випадки .

Випадок 1: задовольняє (47) з . Ми порівняли критерії стабільності з деякими існуючими, отриманими для визначено у (54). Для різних значень , Таблиця 1 перелічує отримані AMUB Серета і Гуайсбо [102, теорема 1], Чжан та ін. [72, пропозиція 1], Чжан та ін. [69, теорема 2], Лі та ін. [100, теорема 1], Зен та ін. [67, Висновок 1], Соре і Гуайсбо [81, теорема 8 с ], підхід IQC [21], підхід квадратичного розділення [104] та положення 1 та 2 з у цій роботі. З таблиці 1 видно це

Таблиця 1. AMUB для (випадок 1 для прикладу 1)
Метод 0 0.1 0.5 0.8
[ 21 ] 6.117 4.714 2.280 1.608
[ 104 ] 6.117 4.794 2.682 1.957
[ 69 ] 6.165 4.714 2.608 2.375
[ 67 ] 6.059 4.788 3.055 2.615
[ 102 ] 6.0593 4.71 2.48 2.30
[ 100 ] 6.0593 4.8313 3.1487 2.7135
[ 72 ] 6.168 4.910 3.233 2.789
[ 81 ] 6.1725 5.01 3.19 2.70
Пропозиція 1 () 6.0593 4.8344 3.1422 2.7131
Пропозиція 1 () 6.1689 4.9192 3.1978 2.7656
Пропозиція 1 () 6.1725 4.9203 3.2164 2.7875
Пропозиція 1 () 6.1725 4.9246 3.2230 2.7900
Пропозиція 2 () 6.0593 4.8377 3.1521 2.7278
Пропозиція 2 () 6.1689 4.9217 3.2211 2.7920
Пропозиція 2 () 6.1725 4.9239 3.2405 2.8159
Пропозиція 2 () 6.1725 4.9297 3.2527 2.8230
  • Результати в цьому рядку отримані з теореми 8 с у [81].
  • • Твердження 1 і 2 с отримати більшу верхню межу ніж критерії в [67, 69, 72, 100, 102], підхід IQC [21] та підхід квадратного розділення [104]. Навіть для і , Твердження 1 і 2 перевершують [69, теорема 2], [100, теорема 1], [67, наслідки 1], підхід IQC [21] та підхід квадратного розділення [104].
  • • Для , Серет і Гуайсбо [81, теорема 8 с ] дають більшу верхню межу затримки, ніж пропозиції 1 і 2 с завдяки цьому позитивна визначеність матриць і розслаблені. Однак для і , Твердження 1 і 2 пропонують кращі результати, ніж [81, теорема 8].
  • • За те саме N, Пропозиція 2 забезпечує більшу верхню межу ніж пропозиція 2 за рахунок вищого обчислювального навантаження, що означає, що критерій стійкості з використанням афінної інтегральної нерівності (46) може отримати більшу верхню межу ніж використання інтегральної нерівності (40) та вдосконаленої взаємно опуклої нерівності (21).

Випадок 2: затримка, що змінюється в часі задовольняє (48). Для того, щоб показати ефективність пропозицій 4 та 5, АМУБ наведені в таблиці 2 для різних значень . З цієї таблиці видно, що (i) твердження 4 і 5 справді можуть виводити деякі більші верхні межі ніж [64, теорема 1] та [79, теорема 1], тоді як положення 4 та 5 вимагають більшої кількості змінних, ніж [79, теорема 1] () та [64, теорема 1] () та (ii) афінна інтегральна нерівність (46) може призвести до більшої верхньої межі ніж інтегральна нерівність (40) плюс покращена взаємно опукла нерівність (21).

Приклад 2. Розглянемо систему (1) з урахуванням (49), де

(90) Часова затримка є безперервним, але не диференційованим на . Таблиця 2. AMUB для різних (випадок 2 для прикладу 1)
Метод 0 0.1 0.5 0.8 1
[ 79 ] 6.059 4.704 2.420 2.113 2.113
[ 64 ] 6.168 4.733 2.429 2.183 2.182
Твердження 4 6.168 4.800 2.533 2.231 2.231
Твердження 5 6.168 4.800 2.558 2.269 2.263

Цей приклад взятий для ілюстрації обґрунтованості твердження 6.

Для порівняння обчислюємо верхню межу такі, що система залишається стабільною. Застосовуючи [47, теорема 7], [53, теорема 1], [52, теорема 2] та пропозицію 6, отримані результати та необхідна кількість змінних прийнятих рішень наведені в таблиці 3, звідки видно, що пропозиція 6 перевершує ці методи в [47, 52, 53]. Більше того, очевидно, що використання афінної інтегральної нерівності (46) може дати більшу верхню межу ніж використання інтегральної нерівності (40), хоча потрібно більше змінних прийняття рішень.

Таблиця 3. AMUB для прикладу 2
Метод Кількість змінних рішення
[ 47 ] 1.59
[ 53 ] 1.64
[ 52 ] 2.39
Пропозиція 6- (i) 2.39
Пропозиція 6- (ii) 2.53

Підсумовуючи, на двох добре використаних чисельних прикладах показано, що отримані критерії стійкості в цій роботі є більш ефективними, ніж деякі існуючі, при отриманні більшої верхньої межі для лінійної системи із змінною у часі затримкою.

Як аналог інтегральних нерівностей, нерівності з кінцевою сумою для аналізу стійкості систем з дискретним часом з різними затримками також приділяють велику увагу. В опублікованій літературі повідомляється про велику кількість нерівностей з кінцевою сумою та критеріїв стійкості, див. [105 - 114]. Оскільки системи дискретного часу із затримками, що змінюються у часі, не є основною темою статті, критерії стійкості, засновані на нерівностях скінченної суми, розроблених нещодавно, в статті не згадуються.


Поширені програми для лінійних рейок

Лінійні рейки - це лінійні вузли, які мають подвійні паралельні колії, що містять несучі кулі або ролики. Основою багатьох промислових застосувань вони забезпечують керування низьким тертям та високу жорсткість для навантажень, які можуть варіюватися від декількох грамів до тисяч кілограмів. Різноманітність розмірів, класи точності та попереднього навантаження роблять лінійні рейки придатними практично для будь-яких вимог до продуктивності.

Причин використання лінійних рейок безліч, але їх найбільш очевидними перевагами перед іншими типами напрямних є вантажопідйомність, точність ходу та жорсткість. Наприклад, напрямні круглих валів можуть витримувати лише навантаження, що падають або піднімаються, тоді як лінійні напрямні напрямних можуть витримувати як навантаження, що спадають / піднімаються, так і моментні навантаження. І на відміну від схрещених роликових напрямних, для яких хід часто обмежується до 1 метра або менше, лінійні рейки можуть забезпечувати дуже велику довжину ходу. У порівнянні з напрямними підшипників ковзання, лінійні рейки мають вищу жорсткість і жорсткість, і часто мають кращі характеристики навантаження / експлуатації.

Лінійні напрямні також забезпечують високий рівень точності ходу завдяки точній обробці одного або обох країв рейки, які виконують роль опорних поверхонь. А з двома, чотирма або шістьма рядами елементів кочення - сферичними кулями або циліндричними роликами - жорсткість висока, а прогин несучого блоку мінімальний. Всі ці атрибути поєднують у собі лінійну направляючу систему, яка ідеально підходить для застосувань, що вимагають високої точності, високої жорсткості та тривалого терміну служби.

Однорейкові програми

Оскільки лінійні рейки мають кулі (або ролики), що підтримують навантаження, на кожній стороні рейки, вони можуть витримувати перевантажені навантаження, навіть коли використовується лише одна рейка. (На відміну від цього, лінійні напрямні круглих валів повинні використовуватися попарно, коли присутні навісні навантаження.) Через цю функцію в багатьох додатках використовується одна лінійна рейка, щоб заощадити простір або запобігти порушенням суміщення між іншими компонентами системи. Ось кілька прикладів застосувань, які використовують одну лінійну рейку.

Лінійні виконавчі механізми & # 8211 Лінійні рейки часто є напрямним механізмом вибору для приводів, які приводяться в рух з ременями, гвинтами або пневматичними циліндрами, через їх здатність протистояти моментним навантаженням. Вони також можуть підтримувати швидкість руху до 5 м / с, що важливо в ремінних або пневматичних системах.

Лінійні виконавчі механізми часто містять одну лінійну рейку з одним або двома несучими блоками.
Кредит зображення: PBC Linear

Надземні транспортні системи & # 8211 Коли навантаження розташовані під рейкою та підшипниковим блоком, як це часто буває у підвісних транспортних систем, лінійні рейки - хороший вибір для наведення. Їх висока вантажопідйомність дозволяє транспортувати важкі вантажі, а жорсткість лінійної рейки сприяє жорсткості всієї системи.

Козлові роботи & # 8211 Визначальною особливістю порталу є те, що він має дві осі X (а іноді і дві осі Y та Z). Окремі осі, як правило, включають одну лінійну рейку і приводиться в дію гвинтом або системою ременів і шківів. Якщо паралельно працюють дві осі (наприклад, X та X & # 8217), реалізовані дуже хороші моментні потужності, хоча кожна вісь має лише одну лінійну рейку.

Якщо паралельно працюють дві осі, моментні потужності дуже великі, хоча кожна вісь має лише одну лінійну рейку. У цьому прикладі показано дві осі X (з кожною по одній лінійній рейці), одну вісь Y та одну вісь Z.
Кредит зображення: Northwest Motion

Застосування на двох рейках

Коли присутні великі моментні навантаження, лінійні рейки можуть використовуватися попарно, що дозволяє розібрати моментне навантаження на сили на несучих блоках. У цій конфігурації приводний механізм може бути встановлений між лінійними рейками, що робить загальну систему дуже компактною. Подвійне застосування лінійних рейок включає:

Лінійні етапи & # 8211 Етапи - це, як правило, системи з дуже високою точністю, що означає, що висока точність руху та мінімальне відхилення є першорядними. Навіть якщо навантаження зосереджено на сцені з незначним або відсутнім навантаженням, часто використовуються подвійні лінійні рейки, щоб забезпечити максимальну жорсткість та термін служби підшипника.

Лінійні рейки часто використовуються поетапно, що вимагає більшої довжини ходу, ніж можуть забезпечити повітряні підшипники або перехрещені роликові гірки.
Кредит зображення: Aerotech Inc.

Верстати & # 8211 Подібно до етапів, верстати вимагають дуже високого рівня точності та жорсткості ходу, щоб гарантувати, що інструмент виробляє високоякісні деталі. Паралельне використання двох рейок - як правило, з двома несучими блоками на кожну рейку - забезпечує мінімізацію прогину. Верстати також зазнають дуже великих навантажень, тому розв’язування навантаження на чотири несучі блоки допомагає збільшити термін служби підшипників.

Вимоги до вантажопідйомності та жорсткості для верстатів часто диктують використання подвійних лінійних рейок - або кульових, або роликових.
Кредит зображення: Hydratight Limited

Декартові роботи & # 8211 Оскільки декартові роботи зазвичай використовують лише одну лінійну систему на вісь, важливо, щоб кожна вісь витримувала великі моментні навантаження. Ось чому більшість декартових осей роботів побудовані з лінійних приводів, які включають дві лінійні напрямні паралельно.

Декартові роботи сконструйовані з окремих осей, які використовують подвійні лінійні рейки, такі як кульові гвинтові, подвійні рейки, показані тут.
Кредит зображення: Rollon Corp.

Робототранспортні одиниці & # 8211 Шестивісні роботи забезпечують гнучкий рух для додатків, які вимагають охоплення та обертання у багатьох напрямках. Але якщо роботові потрібно переїхати на іншу станцію або робочу зону, системи з двома рейками можуть діяти як & # 8220 сьома вісь, & # 8221 транспортуючи всього робота на нове місце. Суттєвою перевагою лінійних рейок у цих додатках є можливість з'єднання декількох рейок на дуже великій довжині ходу - часто перевищує 15 метрів.

Цей робот-транспортний пристрій використовує дві лінійні рейки паралельно і здатний нести до 2930 кг з максимальним ходом 30 метрів.
Кредит зображення: Kawasaki Robotics (США), Inc.

Звичайно, лінійні рейки - не ідеальне рішення для кожен застосування. Наприклад, лінійні рейки зазвичай не підходять для використання в споживчому просторі & # 8211, такі як напрямні дверей та гірки ящиків & # 8211, часто через вартість. А лінійні рейки вимагають дуже точних монтажних поверхонь не лише для того, щоб скористатися перевагами їх високої точності ходу, але й для того, щоб уникнути перев’язування несучого блоку, що може призвести до зменшення терміну служби. Вони також повинні мати повну опору, на відміну від лінійних валових систем, які можуть бути лише з кінцевою опорою. Це означає, що не тільки початкова вартість лінійної рейки, як правило, вища, ніж у круглого валу або підшипникової системи, а також вартість підготовки та монтажу.

Лінійні рейки також можуть сприйматися як менш гладкі або & # 8220зривчасті & # 8221 за своїми ходовими властивостями, ніж інші типи підшипників. Це пов’язано з контактом, який виникає між несучими навантаженнями кулями (або роликами) і доріжками для руху. Попереднє навантаження лінійної рейкової системи, яке часто роблять для підвищення жорсткості, може посилити відчуття "зарубкості" при переміщенні несучого блоку вздовж рейки. (Цей ефект зникає із навантаженням на підшипник, але сприйняття часто залишається.)

Для застосувань, які не вимагають вантажопідйомності, жорсткості або точності ходу лінійної рейки, можуть підійти інші лінійні напрямні & # 8211, такі як системи круглих валів, напрямні підшипників ковзання або навіть перехрещені роликові гірки & # 8211 дорого.


Ринок біопроцесів одноразового використання, щоб перевершити лінійні перехідні очікування, сягне 4,4 млрд. Доларів США

Звіт про ринок системи біопроцесу для одноразового використання, проведений компанією Persistance Market Research, відповідає мінливій тенденції споживацтва у всій галузі охорони здоров’я. „Безготівковий перехід” є одним із „нових” норм. Неорганічний ріст також підскочив. Ключові учасники ланцюжка створення вартості в галузі охорони здоров’я - як приватні, так і державні - взяли участь у змаганнях за постійно вимогливий ландшафт.

Зростаючий попит на системи біопроцесу для одноразового використання завдяки їх перевагам, що мають менші шанси перехресного забруднення, створює міцну опору для їх використання у біофармацевтичній промисловості. Фармацевтичні та біотехнологічні компанії з нетерпінням чекають безперервного виробництва фармацевтичних продуктів з оптимізацією швидкості та забезпечення стерильності, що, як очікується, збільшить попит на системи біопроцесу одноразового використання. Використання одноразових продуктів для біообробки покращує процеси вищого та нижчого циклу з кращою безпекою, стерильністю та надійністю. Окрім того, очікується, що постійне зосередження основних гравців на виробництві високоякісних та технологічно вдосконалених одноразових систем біопроцесу також прискорить зростання ринку.

Збільшення інвестицій у розширення виробничого заводу та зростаючий акцент на недорогих розробках одноразового біопроцесу ключовими учасниками ринку є іншими основними факторами, які, як очікується, можуть сприяти зростанню ринку. Глобальний ринок біопроцесорних систем одноразового використання було оцінюється в 4,4 млрд. доларів США у 2020 році, і очікується, що він матиме показник CAGR, близький до 20% протягом прогнозованого періоду (2020 - 2030).

Компанії, охоплені звітом про ринок системи біопроцесу одноразового використання

  • Thermo Fisher Scientific Inc.
  • Sartorius Stedim Biotech
  • Корпорація Danaher
  • Merck Millipore
  • Eppendorf AG
  • Celltainer Biotech B.V.
  • Біотехнологія Applikon
  • ТОВ "Целлексус"
  • Parker Hannifin Corp.
  • Mettler-Toledo International, Inc.

Знайомтесь із методологією Report @ https://www.persistencemarketresearch.com/methodology/12142

Основні висновки дослідження ринку біопроцесорних систем одноразового використання

  • Сегмент біореактора за компонентами мав максимальну цінність завдяки зростаючому використанню біореакторів одноразового використання для культури клітин та процесів ферментації.
  • Застосовуючи, GMP та комерційне виробництво отримали помітну частку доходу понад 71%.
  • Очікується, що все більш широке впровадження систем біопроцесу одноразового використання у біофармацевтичних компаніях призведе до значної частки доходу цього сегменту.
  • Північна Америка є найбільш прибутковим ринком з доходом близько 34% у 2020 році, однак вона втратить частину своєї частки ринку протягом наступних десяти років.
  • Зростання витрат на охорону здоров'я та збільшення попиту на недорогі біопрепарати в азіатських країнах, як очікується, сприятимуть зростанню ринку в регіоні до більш ніж третини світової частки до 2030 року.
  • Очікується, що ринки Росії, Китаю та Іспанії збільшаться на рівні CAGR 16%, 18,4% та 17% відповідно до 2030 року.

"Зростаючий попит на одноразові системи біопроцесу для поліпшення швидкості виробництва та ефективності біопрепаратів за низьких витрат, як очікується, процвітає зростання ринку та забезпечує конкурентну перевагу гравцям" говорить аналітик дослідження ринку стійкості.

Розширення виробничих потужностей - обов’язкова стратегія для учасників ринку

Ключові гравці ринку на ринку біопроцесорних систем одноразового використання з нетерпінням чекають розширення своїх виробничих потужностей шляхом створення нових потужностей біопроцесу для задоволення світового попиту. Провідні компанії також відкривають нові пункти розподілу продукції по регіонах.

Наприклад, у червні 2017 року Паркер Ганніфін відкрив новий відділ фільтрації біологічних наук Parker у Біртлі, Великобританія, та Окснарді, штат Каліфорнія, США, щоб забезпечити міжнародні рішення з біообробки, харчових продуктів та напоїв та охорони здоров'я.

Що ще є у звіті?

Дослідження ринку стійкості пропонує практичну інформацію та унікальний погляд на ринок біопроцесорних систем одноразового використання у своєму останньому дослідженні, що представляє історичну оцінку попиту на 2015 - 2019 роки та прогнози на 2020–2030 роки на основі компонентів (біореактори, змішувачі, контейнери для біопроцесу, передача та мішки для зберігання, системи відбору проб, системи фільтрації, хроматографічні колонки, зонди та датчики підсилювача, трубопровідні вузли, з'єднувачі та затискачі підсилювача та заповнювальні системи), застосування (дослідження та розробка підсилювачів (R & ampD) та GMP та комерційне виробництво) та кінцевий споживач (біофармацевтичні компанії, підрядні дослідницькі організації, підрядні виробничі організації та науково-дослідні інститути) у семи ключових регіонах світу.

Дослідіть широке охоплення досліджень ринку стійкості Індустрія охорони здоров’я

Пов’язані звіти:

Ринок прив'язок м'яких тканин:

Згідно з дослідженнями ринку стійкості, глобальний ринок якорів для м’яких тканин був оцінений в 585 млн. Дол. США в 2019, і розшириться на a 5% CAGR за прогнозований період (20202030).

Ринок лікування фіброзу легенів:

Згідно з останніми дослідженнями компанії, глобальні ринок лікування фіброзу легенів прогнозується з урахуванням ринкової вартості

4,4 млрд. Доларів США до кінця 2029 року.

Ринок тестування на шлунково-кишкові інфекції:

Глобальний ринок тестування на шлунково-кишкові інфекції прогнозується, що до кінця 2026 року ця вартість становитиме понад 490,2 млн. дол. США у вартісному виразі. У звіті також передбачається, що ринок тестування на шлунково-кишкові інфекції зростатиме на рівні CAGR 5,1% до 2026 року.

Дослідження ринку стійкості (PMR), як стороння дослідницька організація, здійснює свою діяльність завдяки ексклюзивному об’єднанню досліджень ринку та аналізу даних, що допомагає компаніям піднятися на висоту, незалежно від турбулентності, пов’язаної з фінансовими / природними кризами.


Рівняння прогину пучка для лінійних систем

Коли лінійна направляюча, така як круглий вал або профільована рейка, відхиляється або провисає, підшипники, які рухаються вздовж напрямної, зазнають крайового навантаження (більша навантаження, сконцентрована на кінцях підшипника), що може спричинити грубі, нерегулярні рухи, збільшується знос і зменшений термін служби підшипників. І коли лінійна направляюча вбудована в лінійний привід, відхилення в корпусі приводу або корпусі перетворюється на направляючу, що спричиняє ті самі проблеми з роботою.

Щоб уникнути надмірного прогину, лінійні системи слід монтувати згідно з вимогами виробника & # 8217s, які включають допуски на рівність та прямолінійність. В ідеалі це означатиме кріплення приводу або напрямної з постійною опорою по всій довжині. Але у випадках, коли повна підтримка неможлива - часто через конструкцію чи обмеження простору - наступні рівняння відхилення балки можуть дати оцінку того, наскільки велике відхилення буде спричинене умовами монтажу та навантаження додатка.

Рівняння прогину балки для круглих напрямних валів та портальних систем

Одним із способів запобігти прогину в круглих напрямних валів є використання опор валів. Але це додає витрат і заперечує одну з переваг використання круглих валів: відкритий простір під валом для інших конструкційних або машинних деталей.

З цієї причини круглі напрямні вала часто підтримуються лише на кінцях, що називається просто кріпленням на опорі. Але коли повна довжина валу не підтримується, вал буде відхилятися через власну вагу. А коли додається зовнішнє навантаження, вантаж спричинить додатковий прогин, рухаючись уздовж валу, з максимальним відхиленням, коли вантаж знаходиться в центрі валу та довжини валу.

Просто підкріплене кріплення також відбувається в портальних системах, які складаються з двох осей X (основи), з віссю Y (хрест), встановленою між ними. Вісь Y кріпиться лише на її кінцях у просто підтримуваному розташуванні. Як і просто підтримуваний вал, поперечна вісь козлової системи відхиляється як через власну вагу, так і через прикладене навантаження, при цьому максимальне відхилення відбувається, коли навантаження розташоване посередині осі (зазвичай половина довжини ходу) .

Кредит зображення: Northwest Motion

Для просто підтримуваної балки (круглої направляючої валу або поперечної осі козлової коробки), максимальне відхилення - це сума відхилення від власної ваги балки, плюс відхилення від навантаження:

Е - це модуль пружності матеріалу, який також називають модулем Янга & # 8217s. Його одиниці вимірювання - Н / м 2 або lbf / in 2 . Модуль пружності часто надає виробник.

Я є площинний момент інерції (також званий & # 8220другий момент площі & # 8221) напрямної або виконавчого механізму. Його одиниці - м 4 або в 4 . Формули площинного моменту інерції для загальних фігур можна знайти тут.

Найпростіший спосіб кріплення та навантаження просто підтримується одним точковим навантаженням. Але лінійні напрямні та системи, як правило, використовують два підшипники на одну направляючу для того, щоб покращити можливість моменту навантаження та загальну вантажопідйомність.

При такому розташуванні навантаження розподіляється між двома підшипниками, і максимальне відхилення відбувається в два місця: за місцем розташування кожен підшипник, коли центр вантажу знаходиться в середині довжини системи & # 8217s.

Коли на одній напрямній використовуються два підшипники, відхилення від ваги балки (напрямної чи осі) плюс відхилення від прикладеного навантаження обчислюється як:

Рівняння прогину пучка для декартових систем та телескопічних напрямних

Консольна балка підтримується лише на одному кінці, при цьому максимальне відхилення відбувається, коли прикладене навантаження розташоване найдальше від підтримуваного кінця. Як і просто підтримувані балки, консольні балки відчувають відхилення як завдяки власній вазі, так і вазі прикладеного навантаження.

Сценарії консольних балок зустрічаються рідше в лінійних напрямних і приводах. Але два типи лінійних систем за своєю суттю консольні: телескопічні напрямні та декартові системи. У декартовій системі базова вісь або вісь X повністю підтримується, і залежно від декартової конфігурації друга (Y) або третя (Z) вісь будуть консольними.

Для консольної балки відхилення через вагу балки (телескопічна направляюча або декартова вісь) плюс навантаження розраховується як:

Зауважте, що розрахунки прогину для складених телескопічних напрямних складніші, ніж наведені тут рівняння відхилення консольної балки, через проміжні опори та різний переріз по довжині напрямної. Наведені тут рівняння призначені для простих телескопічних застосувань. Для більш складних механізмів виробники часто проводять розрахунки відхилення, характерні для їх конструкції напрямних телескопічних зон.


Вступ до прикладної лінійної алгебри та лінійних динамічних систем із застосуванням до схем, обробки сигналів, систем зв'язку та управління. Теми включають: Наближення найменших квадратів надто визначених рівнянь та рішення найменших норм невизначених рівнянь. Симетричні матриці, норма матриць та розкладання особливих значень. Власні значення, ліві та праві власні вектори та динамічна інтерпретація. Матриця експоненціальна, стабільність та асимптотична поведінка. Багатовихідні багатовихідні системи, описи згортки матриць імпульсів і кроків та описи матриць передачі. Контроль, доступність, передача стану та введення найменших норм. Оцінка стану спостережливості та найменших квадратів. EE263 охоплює деякі ті самі теми, але доповнює CME200.

Читач курсів EE263 - це один файл у форматі PDF, що складається з титульної сторінки разом із слайдами лекцій, допоміжними примітками та домашніми завданнями нижче.


Перегляньте відео: 7 клас. Алгебра. Розвязування задач за допомогою систем лінійних рівнянь. (Найясніший 2022).