Статті

6.E: Застосування похідної (вправи)

6.E: Застосування похідної (вправи)



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Це вправи для домашніх завдань, які супроводжують текстову карту «Загальний рахунок» Девіда Гічарда. Додаткові вправи загального обчислення можна знайти для інших Textmaps і переглянути тут.

6.1: Оптимізація

Приклад 6.1.1 Нехай (f (x) = випадки {1 + 4 x -x ^ 2 & для x leq3 cr (x + 5) / 2 & для (x> 3 ) cr} ).

Знайдіть максимальне і мінімальне значення (f (x) ) для (x ) у ([0,4] ). Графік (f (x) ), щоб перевірити відповіді. (відповідь)

Приклад 6.1.2 Знайдіть розміри прямокутника найбільшої площі з фіксованим периметром 100. (відповідь)

Приклад 6.1.3 Знайдіть розміри прямокутника найбільшої площі з фіксованим периметром P. (відповідь)

Приклад 6.1.4 Коробка з квадратною основою і без верхньої частини має містити об’єм 100. Знайдіть розміри коробки, для якої потрібно найменше матеріалу для п’яти сторін. Також знайдіть відношення висоти до сторони основи. (відповідь)

Приклад 6.1.5 Коробка з квадратною основою повинна містити об’єм 200. Низ і верх утворюються шляхом складання стулками з усіх чотирьох сторін, так що низ і верх складаються з двох шарів картону. Знайдіть розміри коробки, яка вимагає найменшого матеріалу. (відповідь)

Приклад 6.1.6 Коробка з квадратною основою і без верхньої частини має містити обсяг (V ). Знайдіть (з точки зору (V )) розміри коробки, яка вимагає найменшого матеріалу для п’яти сторін. (Цей коефіцієнт не буде враховувати (V ).) (відповідь)

Приклад 6.1.7 У вас є 100 футів огорожі, щоб зробити прямокутну ігрову зону біля стіни вашого будинку. Стіна будинку межує з одного боку. Який найбільший можливий розмір (у квадратних футах) для ігрової зони? (відповідь)

Приклад 6.1.8 У вас є (l ) фути огорожі, щоб зробити прямокутну ігрову зону біля стіни вашого будинку. Який найбільший можливий розмір (у квадратних футах) для ігрової зони? (відповідь)

Приклад 6.1.9 Маркетинг повідомляє, що якщо ви встановите ціну товару на рівні 10 доларів, ви не зможете його продати, але що ви можете продати 500 предметів за кожен долар нижче 10 доларів, якщо ви встановите ціну. Припустимо, ваші постійні витрати складають 3000 доларів США, а ваші граничні витрати становлять 2 долари за товар. Який найбільший прибуток ви можете отримати? (відповідь)

Приклад 6.1.10 Знайдіть площу найбільшого прямокутника, який вміщується всередині півкола радіуса (10 ​​) (одна сторона прямокутника вздовж діаметра півкола). (відповідь)

Приклад 6.1.11 Знайдіть площу найбільшого прямокутника, який вміщується всередині півкола радіуса (r ) (одна сторона прямокутника вздовж діаметра півкола). (відповідь)

Приклад 6.1.12 Для циліндра з площею поверхні 50, включаючи верх і низ, знайдіть відношення висоти до радіуса основи, яке максимізує об’єм. (відповідь)

Приклад 6.1.13 Для циліндра із заданою площею поверхні (S ), включаючи верх і низ, знайдіть відношення висоти до радіуса основи, яке максимізує об’єм. (відповідь)

Приклад 6.1.14 Ви хочете зробити циліндричну ємність на 1 літр із використанням найменшої кількості будівельного матеріалу. Бічна частина зроблена з прямокутного шматка матеріалу, і це можна зробити, не витрачаючи матеріал. Однак верх і низ вирізані з квадратів бічного (2r ), так що (2 (2r) ^ 2 = 8r ^ 2 ) матеріалу (а не (2 pi r ^ 2 ), що є загальною площею верху та низу). Знайдіть розміри контейнера, використовуючи найменшу кількість матеріалу, а також знайдіть відношення висоти до радіуса для цього контейнера. (відповідь)

Приклад 6.1.15 Ви хочете виготовити циліндричні контейнери заданого обсягу (V ) із використанням найменшої кількості будівельного матеріалу. Знайдіть оптимальне відношення висоти до радіуса. (відповідь)

Приклад 6.1.16 Враховуючи правильний круговий конус, ви поміщаєте всередину нього конус з виворотом так, щоб його вершина знаходилася в центрі основи більшого конуса, а основа паралельна основі більшого конуса. Якщо ви виберете перевернутий конус, щоб мати найбільший можливий об’єм, яку частку об’єму більшого конуса він займає? (Нехай (H ) та (R ) - висота та радіус основи більшого конуса, а (h ) та (r ) - висота та радіус основи меншого конуса. Підказка: Використовуйте подібні трикутники, щоб отримати рівняння, що стосується (h ) та (r ).) (відповідь)

Приклад 6.1.17 Наприклад 6.1.12, що трапиться, якщо (w ge v ) $ (тобто ваша швидкість на піску є принаймні швидкістю на дорозі)? (відповідь)

Приклад 6.1.18 Ємність, що вміщує фіксований обсяг, виготовляється у формі циліндра з напівсферичною верхівкою. (Вертикальна напівкуля має той самий радіус, що і циліндр.) Знайдіть відношення висоти до радіуса циліндра, яке мінімізує вартість контейнера, якщо (а) вартість одиниці площі верху вдвічі перевищує вартість за одиниця площі збоку, а ємність виконана без дна; (b) те саме, що і в (а), за винятком того, що контейнер виготовляється з круглим дном, для якого вартість одиниці площі в 1,5 рази перевищує вартість одиниці площі борту. (відповідь)

Приклад 6.1.19 Шматок картону становить 1 метр на (1/2 ) метр. З кожного кута виріжте квадрат, а сторони складіть, щоб зробити коробку з відкритим верхом. Які розміри коробки з максимально можливим об’ємом? (відповідь)

Приклад 6.1.20 (а) Квадратний шматок картону збоку (а ) використовується для виготовлення коробки з відкритим верхом, вирізаючи з кожного кута невеликий квадрат і згинаючи боки. Наскільки великий квадрат слід вирізати з кожного кута, щоб коробка мала максимальний об’єм? (b) Що робити, якщо шматок картону, який використовувався для виготовлення коробки, є прямокутником сторін (a ) та (b )? (відповідь)

Приклад 6.1.21 Вікно складається з прямокутного шматка прозорого скла з напівкруглим шматком кольорового скла зверху; кольорове скло пропускає лише (1/2 ) стільки світла на одиницю площі, як прозоре скло. Якщо відстань зверху вниз (як прямокутника, так і півкола) становить 2 метри, а ширина вікна може бути не більше 1,5 метра, знайдіть розміри прямокутної частини вікна, яка пропускає найбільше світла. (відповідь)

Приклад 6.1.22 Вікно складається з прямокутного шматка прозорого скла з напівкруглим шматком кольорового скла зверху. Припустимо, що кольорове скло пропускає лише (k ) в рази більше світла на одиницю площі, ніж прозоре скло ( (k ) знаходиться між (0 ) та (1 )). Якщо відстань зверху вниз (як прямокутника, так і півкола) є фіксованою відстанню (H ), знайдіть (через (k )) відношення вертикальної сторони до горизонтальної сторони прямокутника, для якої вікно пропускає найбільше світла. (відповідь)

Приклад 6.1.23 Ви розробляєте плакат, який міститиме фіксовану кількість (А ) друку (вимірюється в квадратних сантиметрах) та поля (а ) сантиметрів зверху та знизу та (б ) сантиметрів з боків. Знайдіть відношення вертикального розміру до горизонтального розміру друкованої області на плакаті, якщо ви хочете мінімізувати необхідну кількість рекламного щита. (відповідь)

Приклад 6.1.24 Міцність прямокутного бруса пропорційна добутку його ширини (w ) на квадрат його глибини (d ). Знайдіть розміри найміцнішої балки, яку можна вирізати з циліндричної колоди радіусом (r ). (відповідь)

Приклад 6.1.25 Яку частку обсягу кулі забирає найбільший циліндр, який може поміститися всередині кулі? (відповідь)

Приклад 6.1.26 Американське поштове відділення приймає коробку для відвантаження лише в тому випадку, якщо сума довжини та обхвату (відстань навколо) становить не більше 108 дюймів. Знайдіть розміри найбільшої прийнятної коробки з квадратними спереду та ззаду. (відповідь)

Приклад 6.1.27 Знайдіть розміри найлегшої циліндричної банки, що містить 0,25 літра (= 250 см ({} ^ 3 )), якщо верх і низ зроблені з матеріалу, який удвічі важчий (на одиницю площі), ніж матеріал, що використовується для стороні. (відповідь)

Приклад 6.1.28 Конічна паперова чашка вміщує (1/4 ) літра. Знайдіть висоту та радіус конуса, що мінімізує кількість паперу, необхідного для виготовлення чашки. Використовуйте формулу ( pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} ) для площі сторони конуса. (відповідь)

Приклад 6.1.29 Конічна паперова чашка повинна містити фіксований об’єм води. Знайдіть відношення висоти до базового радіуса конуса, яке мінімізує кількість паперу, необхідного для виготовлення чашки. Використовуйте формулу ( pi r sqrt {r ^ 2 + h ^ 2} ) для площі сторони конуса, яка називаєтьсябічні площі конуса. (відповідь)

Приклад 6.1.30 Якщо конус з якомога більшою площею поверхні (бічна площа плюс площа основи) вмістити в сферу, який відсоток від обсягу сфери займає конус? (відповідь)

Приклад 6.1.31 Два електричні заряди, один позитивний заряд A величини (a ), а інший негативний заряд B величини (b ), розташовані на відстані (c ) один від одного. Позитивно заряджена частинка (P ) розташована на лінії між A і B. Знайдіть, куди слід поставити (P ) так, щоб віддалення від (A ) до (B ) було мінімальним. Тут припустимо, що сила від кожного заряду пропорційна силі джерела і обернено пропорційна квадрату відстані від джерела. (відповідь)

Приклад 6.1.32 Знайдіть частку площі трикутника, яку займає найбільший прямокутник, який можна намалювати в трикутнику (однією з його сторін вздовж сторони трикутника). Покажіть, що цей дріб не залежить від розмірів даного трикутника. (відповідь)

Приклад 6.1.33 Які ваші відповіді на Проблему? 9 це впливає на те, що вартість одиниці товару для предметів (x ) замість просто $ 2 зменшується нижче $ 2 пропорційно (x ) (через економію на масштабі та обсяжні знижки) на 1 відсоток за кожні 25 вироблених товарів ? (відповідь)

Приклад 6.1.34 Ви стоїте біля борту великого басейну рівномірної глибини, коли бачите дитину в біді. Ви можете бігати зі швидкістю (v_1 ) на суші та з меншою швидкістю (v_2 ) у воді. Ваша перпендикулярна відстань від сторони басейну дорівнює (a ), перпендикулярна відстань дитини дорівнює (b ), а відстань по стороні басейну між найближчою точкою до вас і найближчою точкою до дитини становить (c ) (див. малюнок нижче). Не припиняючи робити жодного обчислення, ви інстинктивно вибираєте найшвидший маршрут (показано на малюнку) і рятуєте дитину. Наша мета - отримати співвідношення між кутом ( theta_1 ), який ваш шлях робить з перпендикуляром до бічної частини басейну, коли ви перебуваєте на суші, і кутом ( theta_2 ), який ваш шлях робить з перпендикуляром коли ти у воді. Для цього нехай (x ) - це відстань між найближчою до вас точкою з боку басейну і точкою, де ви заходите у воду. Запишіть загальний час пробіжки (на суші та у воді) через (x ) (а також константи (a, b, c, v_1, v_2 )). Потім встановіть похідну рівною нулю. Результат, який називається "законом Снелла" або "законом заломлення", також регулює вигин світла, коли він потрапляє у воду. (відповідь)

6.2: Пов’язані тарифи

Приклад 6.2.1Циліндричний резервуар, що стоїть вертикально (з однією круглою основою на землі), має радіус 20 см. Наскільки швидко падає рівень води в резервуарі, коли вода зливається на рівні 25 см $ {} ^ 3 $ / сек? (відповідь)

Приклад 6.2.2Циліндричний резервуар, що стоїть вертикально (з однією круглою основою на землі), має радіус 1 метр. Наскільки швидко падає рівень води в резервуарі, коли вода зливається зі швидкістю 3 літри в секунду? (відповідь)

Приклад 6.2.3Сходи довжиною 13 метрів спираються на горизонтальну землю і притуляються до вертикальної стіни. Нога драбини відтягується від стіни зі швидкістю 0,6 м / сек. Наскільки швидко верх ковзає по стіні, коли підніжжя сходів знаходиться на відстані 5 м від стіни? (відповідь)

Приклад 6.2.4Сходи довжиною 13 метрів спираються на горизонтальну землю і притуляються до вертикальної стіни. Верх сходів піднімається вгору по стіні зі швидкістю 0,1 долара за метр в секунду. Наскільки швидко підніжжя сходів наближається до стіни, коли підніжжя сходів знаходиться на відстані 5 м від стіни? (відповідь)

Приклад 6.2.5Обертовий маяк розташований у воді за 2 милі. Нехай $ A $ є точкою на березі, яка знаходиться найближче до маяка. Коли маяк обертається зі швидкістю 10 об / хв, промінь світла проноситься вниз по берегу один раз кожного разу, коли він обертається. Припустимо, що берег прямий. Наскільки швидко точка, коли промінь потрапляє на берег, рухається в одну мить, коли промінь висвітлює точку в 2 милях вздовж берега від точки $ A $? (відповідь)

Приклад 6.2.6Бейсбольний діамант - це квадрат 90 футів збоку. Гравець біжить від першої бази до другої бази зі швидкістю 15 футів / сек. З якою швидкістю зменшується відстань гравця від третьої бази, коли вона знаходиться на половині шляху від першої до другої бази? (відповідь)

Приклад 6.2.7Пісок насипається на поверхню при 15 см $ {} ^ 3 $ / сек, утворюючи конічну купу, діаметр основи якої завжди дорівнює її висоті. З якою швидкістю зростає висота палі, коли купа заввишки 3 см? (відповідь)

Приклад 6.2.8Човен втягується в док за допомогою мотузки, один кінець якого прикріплений до передньої частини човна, а другий кінець проходить через кільце, прикріплене до доку, в точці на 5 футів вище, ніж передня частина човна. Канат протягують через кільце зі швидкістю 0,6 фута / сек. З якою швидкістю човен наближається до причалу, коли мотузка не перевищує 13 футів? (відповідь)

Приклад 6.2.9Аеростат знаходиться на висоті 50 метрів і піднімається з постійною швидкістю 5 м / сек. Під ним проїжджає велосипедист, рухаючись прямолінійно з постійною швидкістю 10 м / с. Наскільки швидко збільшується відстань між велосипедистом та аеростатом через 2 секунди? (відповідь)

Приклад 6.2.10Чан у формі піраміди має квадратний переріз і стоїть на його кінчику. Розміри у верхній частині складають 2 м $ помножені на 2 м, а глибина - 5 м. Якщо вода вливається в чан зі швидкістю 3 м $ {} ^ 3 $ / хв, наскільки швидко зростає рівень води, коли глибина води (у найглибшій точці) становить 4 м? Примітка: обсяг будь-якої "конічної" форми (включаючи піраміди) становить $ (1/3) ( hbox {висота}) ( hbox {область основи}) $. (відповідь)

Приклад 6.2.11Сонце сходить зі швидкістю $ 1/4 $ град / хв і, схоже, піднімається в небо перпендикулярно горизонту, як зображено на малюнку 6.2.5. Наскільки швидко зменшується тінь 200-метрової будівлі в той момент, коли тінь має довжину 500 метрів? (відповідь)

Приклад 6.2.12Сонце заходить зі швидкістю $ 1/4 $ град / хв і, здається, падає перпендикулярно горизонту, як показано на малюнку 6.2.5. Наскільки швидко подовжується тінь 25-метрової стіни в той момент, коли тінь має довжину 50 метрів? (відповідь)

Малюнок 6.2.5. Схід чи захід сонця.

Приклад 6.2.13Корито, показано на малюнку 6.2.6споруджується кріпленням між собою трьох плит деревини розмірами 10 футів $ разів $ 1 фута, а потім кріпленням конструкції до дерев'яної стіни на кожному кінці. Спочатку кут $ theta $ становив $ ds 30 ^ circ $, але через погану конструкцію борти руйнуються. Корито повно води. З якою швидкістю (у футах $ {} ^ 3 $ / сек) вода виливається на вершину жолоба, якщо сторони упали під кутом $ ds 45 ^ circ $ і руйнуються на швидкість $ ds 1 ^ circ $ в секунду? (відповідь)

Малюнок 6.2.6. Корито.

Приклад 6.2.14Жінка висотою 5 футів йде зі швидкістю 3,5 фута / сек від вуличного ліхтаря, що знаходиться на висоті 12 футів над землею. З якою швидкістю рухається кінчик її тіні? З якою швидкістю подовжується її тінь? (відповідь)

Приклад 6.2.15Чоловік заввишки 1,8 метра рухається зі швидкістю 1 метр в секунду до вуличного ліхтаря, що знаходиться на висоті 4 метрів над землею. З якою швидкістю рухається кінчик його тіні? З якою швидкістю скорочується його тінь? (відповідь)

Приклад 6.2.16Поліцейський вертоліт летить зі швидкістю 150 миль / год на постійній висоті 0,5 милі над прямою дорогою. Пілот використовує радар, щоб визначити, що зустрічний автомобіль знаходиться на відстані рівно 1 милі від вертольота, і що ця відстань зменшується на 190 миль / год. Знайдіть швидкість автомобіля. (відповідь)

Приклад 6.2.17Поліцейський вертоліт летить зі швидкістю 200 кілометрів на годину на постійній висоті 1 км над прямою дорогою. Пілот використовує радар, щоб визначити, що зустрічна машина знаходиться на відстані рівно 2 кілометрів від вертольота, і що ця відстань зменшується на 250 км / год. (відповідь)

Приклад 6.2.18З вершини стовпа висотою 20 м світить світло. М'яч падає в 10 метрах від стовпа, кидаючи тінь на будівлю за 30 метрів, як показано на малюнку 6.2.7. Коли м’яч знаходиться на відстані 25 метрів від землі, він падає зі швидкістю 6 метрів на секунду. Наскільки швидко рухається його тінь? (відповідь)

Малюнок 6.2.7. Падіння кулі.

Приклад 6.2.19Зробіть приклад 6.2.6 припускаючи, що кут між двома дорогами дорівнює 120 $ {} ^ circ $ замість 90 $ {} ^ circ $ (тобто дорога "північ - південь" насправді йде в дещо північно-західному напрямку від $ P Згадаймо закон косинусів: $ ds c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos theta $. (відповідь)

Приклад 6.2.20Зробіть приклад 6.2.6 припускаючи, що автомобіль A знаходиться на відстані 300 метрів на північ від $ P $, автомобіль B - на 400 метрів на схід від $ P $, обидва автомобілі рухаються з постійною швидкістю до $ P $, і два автомобілі зіткнуться за 10 секунд. (відповідь)

Приклад 6.2.21Зробіть приклад 6.2.6 припускаючи, що 8 секунд тому автомобіль A стартував з відпочинку на рівні $ P $ і набирав швидкість зі стабільною швидкістю 5 м / сек $ {} ^ 2 $, і через 6 секунд після того, як машина A, заведена машина B, проїхала $ P $ в русі на схід при постійній швидкості 60 м / сек. (відповідь)

Приклад 6.2.22Знову звертаючись до прикладу 6.2.6припустимо, що замість машини В літак летить зі швидкістю $ 200 $ км / год на схід від $ P $ на висоті 2 км, як показано на малюнку 6.2.8. Наскільки швидко змінюється відстань між автомобілем і літаком? (відповідь)

Ось деякий код Sage, який створить 3D-версію малюнка. Результат відображатиметься лише у тому випадку, якщо у вашому браузері є плагін Java.

Малюнок 6.2.8. Автомобіль і літак.

Приклад 6.2.23Знову звертаючись до прикладу 6.2.6, припустимо, що замість машини В літак летить зі швидкістю $ 200 $ км / год на схід від $ P $ на висоті 2 км, і що він набирає висоту на рівні 10 км / год. Наскільки швидко змінюється відстань між автомобілем і літаком? (відповідь)

Приклад 6.2.24З вершини стовпа висотою 20 м світить світло. Об'єкт скидається з тієї ж висоти з точки, що знаходиться на відстані 10 м, так що його висота в момент $ ds t $ секунд становить $ ds h (t) = 20-9,8t ^ 2/2 $. Наскільки швидко тінь об’єкта рухається по землі через секунду? (відповідь)

Приклад 6.2.25 Два леза ножиць закріплені в точці $ A $, як показано на малюнку 6.2.9. Нехай $ a $ позначає відстань від $ A $ до кінчика клинка (точка $ B $). Нехай $ beta $ позначає кут на кінчику леза, утворений лінією $ ds overline {AB} $ і нижнім краєм леза, лінією $ ds overline {BC} $, і нехай $ theta $ позначає кут між $ ds overline {AB} $ і горизонталлю. Припустимо, що аркуш паперу вирізаний таким чином, що центр ножиць у $ A $ фіксується, і папір також фіксується. Коли леза закриваються (тобто кут $ theta $ на діаграмі зменшується), відстань $ x $ між $ A $ і $ C $ збільшується, різаючи папір.

а. Виразіть $ x $ через $ a $, $ theta $ та $ beta $.

b. Виразіть $ dx / dt $ через $ a $, $ theta $, $ beta $ та $ d theta / dt $.

c. Припустимо, що відстань $ a $ дорівнює 20 см, а кут $ beta $ дорівнює $ ds 5 ^ circ $. Далі припустимо, що $ theta $ зменшується при 50 град / сек. У той момент, коли $ ds theta = 30 ^ circ $, знайдіть швидкість (у см / с), з якою вирізається папір. (відповідь)

6.3: Метод Ньютона

Приклад 6.3.1 Приблизьте п’ятий корінь із 7, використовуючи (x_0 = 1,5 ) як першу здогадку. Використовуйте метод Ньютона, щоб знайти (x_3 ) як наближення. (відповідь)

Приклад 6.3.2 Використовуйте метод Ньютона, щоб наблизити корінь куба з 10 до двох знаків після коми. (відповідь)

Приклад 6.3.3 Функція (f (x) = x ^ 3-3x ^ 2-3x + 6 ) має корінь між 3 і 4, оскільки (f (3) = - 3 ) та (f (4) = 10 ). Приблизьте корінь до двох знаків після коми. (відповідь)

Приклад 6.3.4 Прямокутний шматок картону розмірів (8 раз 17 ) використовується для виготовлення коробки з відкритим верхом, вирізаючи з кожного кута невеликий квадрат бічної сторони (x ) і згинаючи боки. (Див. Вправу 20 в 6.1.) Якщо (x = 2 ), то обсяг вікна дорівнює (2 cdot 4 cdot 13 = 104 ). Використовуйте метод Ньютона, щоб знайти значення (x ), для якого поле має обсяг 100, з точністю до 3 значущих цифр. (відповідь)

6.4: Лінійні наближення

Приклад 6.4.1 Нехай (f (x) = x ^ 4 ). Якщо (a = 1 ) та (dx = Delta x = 1/2 ), що таке ( Delta y ) та (dy )? (відповідь)

Приклад 6.4.2 Нехай (f (x) = sqrt {x} ). Якщо (a = 1 ) та (dx = Delta x = 1/10 ), що таке ( Delta y ) та (dy )? (відповідь)

Приклад 6.4.3 Нехай (f (x) = sin (2x) ). Якщо (a = pi ) та (dx = Delta x = pi / 100 ), що таке ( Delta y ) та (dy )? (відповідь)

Приклад 6.4.4 Використовуйте диференціали, щоб оцінити кількість фарби, необхідної для нанесення шару фарби товщиною 0,02 см на сферу діаметром (40 ) метрів. (Згадайте, що об’єм кулі радіуса (r ) дорівнює (V = (4/3) pi r ^ 3 ). Зверніть увагу, що вам дано (dr = 0,02 ).) (відповідь)

Приклад 6.4.5 Детально покажіть, що лінійне наближення ( sin x ) при (x = 0 ) дорівнює (L (x) = x ), а лінійне наближення ( cos x ) при (x = 0 ) дорівнює (L (x) = 1 ).

6.5: Теорема про середнє значення

Приклад 6.5.1Нехай $ ds f (x) = x ^ 2 $. Знайдіть значення $ c in (-1,2) $ так, щоб $ f '(c) $ дорівнювало нахилу між кінцевими точками $ f (x) $ на $ [- 1,2] $. (відповідь)

Приклад 6.5.2Переконайтеся, що $ f (x) = x / (x + 2) $ задовольняє гіпотезам теореми про середнє значення на інтервалі $ [1,4] $, а потім знайдіть усі значення, $ c $, які задовольняють висновку теореми. (відповідь)

Приклад 6.5.3Переконайтеся, що $ f (x) = 3x / (x + 7) $ задовольняє гіпотезам теореми середнього значення на інтервалі $ [- 2, 6] $, а потім знайдіть усі значення, $ c $, які задовольняють висновок теореми.

Приклад 6.5.4Нехай $ f (x) = tan x $. Покажіть, що $ f ( pi) = f (2 pi) = 0 $, але немає числа $ c in ( pi, 2 pi) $ такого, щоб $ f '(c) = 0 $. Чому це не суперечить теоремі Ролле?

Приклад 6.5.5Нехай $ ds f (x) = (x-3) ^ {- 2} $. Покажіть, що немає значення $ c in (1,4) $ такого, що $ f '(c) = (f (4) -f (1)) / (4-1) $. Чому це не суперечить теоремі про середні значення?

Приклад 6.5.6Опишіть усі функції з похідною $ ds x ^ 2 + 47x-5 $. (відповідь)

Приклад 6.5.7Опишіть усі функції з похідною $ ds {1 over 1 + x ^ 2} $. (відповідь)

Приклад 6.5.8Опишіть усі функції з похідною $ ds x ^ 3- {1 over x} $. (відповідь)

Приклад 6.5.9Опишіть усі функції з похідною $ sin (2x) $. (відповідь)

Приклад 6.5.10Покажіть, що рівняння $ ds 6x ^ 4 -7x + 1 = 0 $ не має більше двох різних реальних коренів.

Приклад 6.5.11Нехай $ f $ диференціюється на $ R $. Припустимо, що $ f '(x) neq 0 $ для кожного $ x $. Доведіть, що $ f $ має щонайменше один справжній корінь.

Приклад 6.5.12Доведіть, що для всіх дійсних $ x $ і $ y $ $ | cos x - cos y | leq | x-y | $. Сформулюйте та доведіть аналогічний результат із синусом.

Приклад 6.5.13Покажіть, що $ ds sqrt {1 + x} le 1 + (x / 2) $, якщо $ -1

Рішення NCERT для математики класу 12 Застосування похідних

Привіт студенти, ласкаво просимо до Блоги Amans Maths (AMB) . У цій публікації ви отримаєте Рішення NCERT для математики класу 12 Застосування похідної вправи 6.4 .

Рішення NCERT для математики класу 12 - це не лише рішення вправи з математики, але це створює основу для інших важливих предметів. Отримання знань про глибину концепції CBSE 12-го класу математики як алгебра, числення, тригонометрія, координатна геометрія допомагають зрозуміти поняття фізики та фізичної хімії.

Як ми знаємо, що всі школи, що входять до складу CBSE, дотримуються книг NCERT з усіх предметів. Ви можете перевірити Програма CBSE NCERT . Таким чином, Рішення NCERT допомагає студентам вирішити питання вправи, як зазначено в Книги NCERT.

Книги у форматі PDF Рішення NCERT для класу 12 є першим кроком на шляху вивчення та розуміння кожного розділу математики, фізики, хімії, біології, оскільки це все допомагає у вступних іспитах з медичної техніки. Для його вирішення потрібно просто натиснути на посилання для завантаження Рішення NCERT для класу 12.

Рішення NCERT для класу 12 настійно рекомендується досвідченим викладачем студентам, які збираються з’являтися в CBSE Клас 12 і JEE Mains і Розширений та іспити на рівні NEET. Тут Ви отримаєте Рішення NCERT для математики класу 12 Застосування похідної вправи 6.2 усіх питань, наведених у підручниках NCERT класу 12, детально з покроковим процесом.

CBSE Клас 12-го є важливим шкільним класом у вашому житті, оскільки ви приймаєте серйозне рішення щодо своєї кар’єри. І з усіх предметів математика є важливою та основною темою. Так Рішення CBSE NCERT для математики 12-го класу є головною роллю у вашій підготовці до іспиту, оскільки в ній містяться деталізовані розділи для всіх вправ. Це Рішення NCERT можна завантажити у файлі PDF. Посилання для завантаження надано нарешті.


Інші ВПРАВИ для класу 12 Розділ 6 Застосування похідних розчинів NCERT

Питання 1:Знайдіть нахил дотичної до кривої y = 3x4 - 4x при x = 4.

Питання 2:Знайдіть нахил дотичної до кривої 1, 2 2 x y x x - = ¹ - при x = 10.

Ncert клас 12 математика глава 6 Застосування похідних

Питання 3:Знайдіть нахил дотичної до кривої y = x3 - x + 1 у точці, координата якої x дорівнює 2.

Питання 4:Знайдіть нахил дотичної до кривої y = x3 –3x + 2 у точці, координата якої x дорівнює 3.

Вправа 6.3 математика клас 12 Розділ 6 Застосування похідних

Питання 5:Знайдіть нахил нормалі до кривої 3 3 x = acos q, y = asin q at. 4 р q =

Запитання 6:Знайдіть нахил нормалі до кривої 2 x = 1− asinq, y = bcos q при. 2 p q =

Cbse class 12 maths ncert solutions Глава 6

Питання 7:Знайдіть точки, в яких дотична до кривої y = x3 - 3x2 - 9x + 7 паралельна осі x.

Запитання 8:Знайдіть точку на кривій y = (x - 2) 2, у якій дотична паралельна хорді, що з’єднує точки (2, 0) і (4, 4).

Запитання 10:Знайдіть рівняння всіх прямих, що мають нахил –1, які є дотичними до кривої 1 1 y x = -, x ¹ 1.

Ncert клас 12 хімія розділ 6 розв’язувальні вправи

Питання 11:Знайдіть рівняння всіх прямих, що мають нахил 2, які є дотичними до кривої 1 3 y x = -, x ¹ 3.

Питання 12:Знайдіть рівняння всіх прямих, що мають нахил 0, які стосуються кривої 2 1. 2 3 y x x = - +

Застосування похідних розчинів ncert класу 12

Питання 13:Знайдіть точки на кривій 2 2 1 9 16 x y + =, при яких дотичні знаходяться (i) паралельно осі x (ii) паралельно осі y.

Питання 14:Знайдіть рівняння дотичної та нормалі до заданих кривих у зазначених точках: (i) y = x4 - 6x3 + 13x2 - 10x + 5 при (0, 5) (ii) y = x4 - 6x3 + 13x2 - 10x + 5 при (1, 3) (iii) y = x3 при (1, 1) (iv) y = x2 при (0, 0) (v) x = cos t, y = sint при 4 tp =


Застосування похідних ML Aggarwal ISC Class-12 Maths APC Ch-7

Клас: 12-й
Тема: Математика
Розділ: Ch-7 Застосування похідних Сторінки-533 - 652
Дошка ISC
Письменник ML Aggarwal ISC Розуміння Vol-I
Публікації Публікації APC Arya

Застосування похідних ML Aggarwal ISC Class-12 Maths APC Ch-7

Темпи змін

Суть цього розділу полягає в тому, щоб нагадати нам про застосування / інтерпретацію похідних, з якими ми мали справу в попередньому розділі. А саме, темпи змін.

Критичні точки

У цьому розділі ми визначимо критичні точки. Критичні моменти будуть показані у багатьох розділах цього розділу, тому буде важливо їх розуміти.

Мінімальні та максимальні значення :

У цьому розділі ми розглянемо деякі основні визначення та факти, що стосуються мінімальних і максимальних значень функцій.

Пошук абсолютної крайності:

Ось перше застосування похідних, яке ми розглянемо в цьому розділі. Ми визначатимемо найбільше і найменше значення функції на інтервалі.

Форма графіка, частина I:

Ми почнемо розглядати інформацію, яку перші похідні можуть розповісти нам про графік функції. Ми розглянемо функції збільшення чи зменшення, а також Перший похідний тест.

Форма графіка, частина II :

У цьому розділі ми розглянемо інформацію про графік функції, яку нам можуть сказати другі похідні. Ми розглянемо точки перегину, увігнутість та Другий похідний тест.

Лінійні наближення:

Тут ми будемо використовувати похідні для обчислення лінійного наближення до функції. Однак, як ми побачимо, ми це вже зробили.

Диференціали:

Ми розглянемо диференціали в цьому розділі, а також їх застосування.

ПОХІДНИЙ ЯК ВИМІРЮВАЧ РОБОТИ: -

Похідні можуть бути використані для розрахунку миттєвих темпів змін. Швидкість зміни положення щодо часу є швидкістю, а швидкість зміни швидкості відносно часу - прискоренням. Використовуючи ці ідеї, ми зможемо проаналізувати одновимірний рух частинок у заданому положенні як функцію часу.

ТАНГЕНТИ І НОРМАЛЬНІ.

Похідну в точці кривої можна розглядати як нахил прямої, дотичної до цієї кривої в цій точці. З огляду на це, природним наступним питанням є те, що таке рівняння цієї дотичної лінії. Чи можна використовувати числення для з’ясування того, коли функція набуває локального або глобального максимального значення? Абсолютно. Мало того, але похідні та другі похідні також можуть допомогти нам зрозуміти форму функції (увігнуті вони вгору чи вниз). Якщо у вас є базове концептуальне розуміння похідних, тоді ви можете почати застосовувати ці знання тут для виявлення критичних точок, екстремумів, точок перегину і навіть для графічних функцій


6.E: Застосування похідної (вправи)

Базовий математичний рівень розроблений для тих, хто нічого не знає про похідні функцій. Незалежно від того, скільки тобі років, незалежно від того, навчаєшся ти у середній школі, коледжі чи університеті, цей математичний метод створений для того, щоб швидко та легко навчити тебе розраховувати похідну від математичної функції. Спочатку ви дізнаєтеся, як виводити основні функції, а потім дізнаєтесь, як боротися з більш складними та хитрими функціями.

Середній математичний рівень

Проміжний математичний рівень написаний для тих, хто вже знає, як користуватися 18 правилами похідних / похідними формулами. Ці вправи застосовують похідні до фізики та аналітичної геометрії.

Розширений математичний рівень

Розширений математичний рівень НЕ рівень для математичного генія. Немає! Цей просунутий математичний рівень складається з більш складних вправ, але він також містить більше практичних математичних вправ, адаптованих до реальних випадків наукового світу. Ви побачите на цьому вдосконаленому рівні вправи, що застосовуються до різних областей науки, таких як: біологія, фізика, ліки, промисловості і економіка. Цей рівень дозволить вам краще зрозуміти використання похідних у реальному науковому всесвіті.


Проблеми

6.1 Розв’язання проблем із законами Ньютона та Ріско

  1. 30-кілограмову дівчинку в гойдалках штовхають убік і утримують у спокої горизонтальною силою ( vec) так, щоб маятникові мотузки мали 30,0 & deg відносно вертикалі. (а) Обчисліть натяг на кожному з двох канатів, що підтримують гойдалку, за цих умов. (b) Обчислити величину ( vec).
  2. Знайдіть натяг у кожному з трьох кабелів, що підтримують світлофор, якщо він важить 2,00 х 10 2 Н.
  1. На об'єкт, який вважається частинкою, яка рухається з постійною швидкістю v = (3 ( капелюх), діють три сили) & мінус 2 ( капелюх)) РС. Дві сили - ( vec_ <1> ) = (3 ( капелюх) + 5 ( капелюх) & мінус 6k ( капелюх)) N та ( vec_ <2> ) = (4 ( капелюх) & мінус 7 ( капелюх) + 2 ( капелюх)) Н. Знайдіть третю силу.
  2. Блоха стрибає, застосовуючи силу 1,20 х 10 і мінус5 Н прямо на землю. Вітерець, що дме на блоху паралельно землі, надає на блоху сили 0,500 х 10 & мінус6 Н, поки блоха все ще контактує з землею. Знайдіть напрямок і величину прискорення блохи, якщо її маса 6,00 х 10 & мінус7 кг. Не нехтуйте гравітаційною силою.
  3. Два м’язи в задній частині ноги тягнуться вгору на ахілловому сухожиллі, як показано нижче. (Ці м’язи називаються медіальною та бічною головками черевно-м’язового м’яза.) Знайдіть величину та напрямок загальної сили на ахіллове сухожилля. Який тип руху може бути викликаний цією силою?
  1. Після нещастя 76-кілограмовий цирковик чіпляється за трапецію, яку інший артист цирку відтягує в сторону, як показано тут. Обчисліть напругу двох мотузок, якщо людина на мить нерухома. Включіть у своє рішення схему вільного тіла.
  1. Дельфін вагою 35,0 кг уповільнюється з 12,0 до 7,50 м / с за 2,30 с, щоб приєднатися до іншого дельфіна у грі. Яка середня сила діяла, щоб уповільнити перший дельфін, якщо він рухався горизонтально? (Гравітаційна сила збалансована плавучою силою води.)
  2. Під час старту в пішій гонці спринтер 70,0-кг робить середню силу 650 Н назад на землю протягом 0 800 с. (а) Яка його кінцева швидкість? (б) Як далеко він подорожує?
  3. Велика ракета має масу 2,00 х 10 6 кг при зльоті, а її двигуни створюють тягу 3,50 х 10 7 Н. (а) Знайдіть початкове прискорення, якщо вона злітає вертикально. (b) Скільки часу потрібно, щоб досягти швидкості 120 км / год прямо вгору, припускаючи постійну масу та тягу?
  4. Баскетболіст стрибає прямо за м'ячем. Для цього він опускає своє тіло на 0,300 м, а потім розганяється через цю відстань, насилу випрямляючи ноги. Цей гравець залишає паркет з вертикальною швидкістю, достатньою для того, щоб перенести його на 0 900 м над підлогою. (а) Обчисліть його швидкість, коли він залишає підлогу. (б) Обчисліть його прискорення, коли він випрямляє ноги. Він рухається від нуля до швидкості, знайденої в (а), на відстані 0,300 м. (в) Обчисліть силу, яку він чинить на підлогу для цього, враховуючи, що його маса становить 110,0 кг.
  5. Стрілець феєрверків вагою 2,50 кг вистрілюється прямо з міномета і досягає висоти 110,0 м. (а) Нехтуючи опором повітря (погане припущення, але ми зробимо це для цього прикладу), обчислимо швидкість оболонки та rsquos, коли вона покине розчин. (b) Сам розчин являє собою трубку довжиною 0,450 м. Обчисліть середнє прискорення оболонки в трубці, коли воно переходить від нуля до швидкості, знайденої в (а). (в) Яка середня сила сили на снаряд у мінометі? Висловіть свою відповідь у ньютонах і як відношення до ваги оболонки.
  6. Картопля вагою 0,500 кг стріляється під кутом 80,0 & deg над горизонталлю з труби з ПВХ, що використовується як & ldquopotato gun & rdquo, і досягає висоти 110,0 м. (а) Нехтуючи опором повітря, обчисліть швидкість картоплі та rsquos, коли він покине пістолет. (b) Сам пістолет являє собою трубку довжиною 0,450 м. Обчисліть середнє прискорення картоплі в трубці, коли воно переходить від нуля до швидкості, знайденої в (а). (в) Яка середня сила сили на картоплю в пістолеті? Висловіть свою відповідь у ньютонах і як відношення до ваги картоплі.
  7. Ліфт, заповнений пасажирами, має масу 1,70 х 10 3 кг. (а) Ліфт прискорюється вгору від відпочинку зі швидкістю 1,20 м / с 2 протягом 1,50 с. Обчисліть натяг кабелю, що підтримує ліфт. (b) Ліфт продовжує рухатися вгору з постійною швидкістю протягом 8,50 с. Яка напруга в кабелі протягом цього часу? (c) Ліфт уповільнює швидкість 0,600 м / с 2 протягом 3,00 с. Яке натяг кабелю під час уповільнення? (г) Наскільки високо ліфт перемістився вище вихідної точки та яка його кінцева швидкість?
  8. Куля 20,0 г звисає з даху вантажного вагона струною. Коли вантажний вагон починає рухатися, струна робить кут 35,0 & deg з вертикаллю. (а) Яке прискорення вантажного вагона? (б) Яка напруга струни?
  9. Студентський рюкзак & rsquos, повний підручників, підвішений до пружинної ваги, прикріпленої до стелі ліфта. Коли ліфт прискорюється вниз зі швидкістю 3,8 м / с 2, шкала показує 60 Н. (а) Яка маса рюкзака? (b) Що читає шкала, якщо ліфт рухається вгору, уповільнюючи швидкість 3,8 м / с 2? (в) Що читає шкала, якщо ліфт рухається вгору з постійною швидкістю? (г) Якби ліфт не мав гальм, а кабель, що його підтримує, повинен був би зіпсуватися, щоб ліфт міг вільно падати, що б читала пружинна шкала?
  10. Службовий ліфт приймає вантаж сміття масою 10,0 кг з підлоги хмарочоса, що будується, до рівня землі, прискорюючись вниз зі швидкістю 1,2 м / с 2. Знайдіть величину сили, яку сміття чинить на підлогу службового ліфта?
  11. Автомобіль на американських гірках стартує з місця відпочинку на вершині колії довжиною 30,0 м і нахиленою на 20,0 ° град до горизонталі. Припустимо, що тертям можна ігнорувати. (а) Яке прискорення автомобіля? (b) Скільки часу проходить, перш ніж він досягне дна доріжки?
  12. Нижче показано пристрій Atwood & rsquos, розглянутий у прикладі 6.5. Якщо припустити, що маси струни та шківа без тертя незначні, (а) знайдіть рівняння прискорення двох блоків (б) знайдіть рівняння натягу в струні та (в) знайдіть як прискорення, так і натяг, коли блок 1 має масу 2,00 кг, а блок 2 - масу 4,00 кг.
  1. Два блоки з'єднані безмасовою мотузкою, як показано нижче. Маса блоку на столі - 4,0 кг, а підвісної - 1,0 кг. Стіл і шків без тертя. (а) Знайдіть прискорення системи. (б) Знайдіть натяг мотузки. (c) Знайдіть швидкість, з якою звисаюча маса вдаряється про підлогу, якщо вона починається із спокою і спочатку знаходиться в 1,0 м від підлоги.
  1. Нижче показано дві візки, з’єднані між собою шнуром, який проходить через невеликий безфрикційний шків. Кожна візок вільно котиться із незначним тертям. Обчисліть прискорення візків і натяг шнура.
  1. Блок вагою 2,00 кг (маса 1) та блок вагою 4,00 кг (маса 2) з'єднані світловою струною, як показано нахил пандуса 40,0 & deg. Тертя незначне. Що таке (а) прискорення кожного блоку та (б) натяг у струні?

6.2 Тертя

  1. (а) Під час відновлення двигуна автомобіля та rsquos фахівець фізики повинен докласти зусилля 3,00 х 10 2 Н, щоб вставити сухий сталевий поршень у сталевий циліндр. Яка нормальна сила між поршнем і циліндром? (б) Яку силу він повинен був би застосовувати, якби сталеві деталі були змащені маслом?
  2. (а) Яка максимальна сила тертя в колінному суглобі людини, яка підтримує 66,0 кг своєї маси на цьому коліні? (b) Під час напружених фізичних навантажень можна прикладати зусилля до суглобів, які легко в 10 разів перевищують вагу, яку підтримують. Яка максимальна сила тертя за таких умов? Сили тертя в суглобах відносно незначні за будь-яких обставин, за винятком випадків, коли суглоби погіршуються, наприклад, від травми або артриту. Збільшення сили тертя може спричинити подальші пошкодження та біль.
  3. Припустимо, у вас є 120-кг дерев'яний ящик, що спирається на дерев’яну підлогу, з коефіцієнтом статичного тертя 0,500 між цими дерев’яними поверхнями. (а) Яку максимальну силу ви можете надавати горизонтально на ящик, не рухаючи його? (б) Якщо ви продовжуватимете застосовувати цю силу, коли ящик почне ковзати, яким буде його прискорення? Відомо, що для цієї ситуації коефіцієнт тертя ковзання становить 0,300.
  4. (а) Якщо половина ваги невеликого вантажного автомобіля вагою 1,00 х 10 3 кг підтримується двома ведучими колесами, яке максимальне прискорення воно може досягти на сухому бетоні? (б) Чи ковзне металева шафа, що лежить на дерев’яному ліжку вантажівки, якщо вона прискорюється з такою швидкістю? (c) Вирішити обидві проблеми, припустивши, що вантажівка має повний привід.
  5. Команда з восьми собак тягне сани з вощеними бігунами по мокрому снігу (каша!). Собаки мають середню масу 19,0 кг, а навантажені санки з вершником - 210 кг. (а) Обчисліть прискорення собак, починаючи з відпочинку, якщо кожна собака надає на сніг середню силу 185 Н назад. (b) Обчисліть силу зчеплення між собаками та санками.
  6. Розглянемо, як 65,0-кілограмового фігуриста штовхали два інші, показані нижче. (а) Знайдіть напрямок і величину Fтот, загальна сила, що надається на неї іншими, враховуючи, що величини F1 та F2 становлять 26,4 Н і 18,6 Н відповідно. (b) Яке її початкове прискорення, якщо вона спочатку нерухома і носить ковзани зі сталевими лопатями, які вказують у напрямку Fтот? (c) Яке її прискорення, якщо припустити, що вона вже рухається у напрямку Fтот? (Пам’ятайте, що тертя завжди діє у напрямку, протилежному руху або спроби руху між поверхнями, що контактують.)
  1. Покажіть, що прискорення будь-якого предмета вниз по нахилу без тертя, що робить кут ( theta ) з горизонталлю, дорівнює a = g sin ( theta ). (Зверніть увагу, що це прискорення не залежить від маси.)
  1. Покажіть, що прискорення будь-якого предмета вниз по нахилу, де тертя поводиться просто (тобто де fk = ( mu_) N) є a = g (sin ( theta ) & мінус ( mu_) cos ( theta )). Зверніть увагу, що прискорення не залежить від маси і зводиться до виразу, знайденого в попередній задачі, коли тертя стає незначно малим ( ( mu_) = 0).
  1. Обчисліть уповільнення сноубордиста, що піднімається на 5,00 & deg у схил, припускаючи коефіцієнт тертя для вощеної деревини на мокрому снігу. Результат попередньої проблеми може бути корисним, але будьте обережні, враховуючи той факт, що сноубордист йде вгору.
  2. Машина на пошті відправляє пакети з жолоба та вниз по пандусу, щоб завантажити їх у транспортні засоби доставки. (а) Обчисліть прискорення коробки, що рухається вниз по схилу 10,0 °, припускаючи, що коефіцієнт тертя для посилки на вощеній деревині дорівнює 0,100. (б) Знайдіть кут нахилу, під яким цей ящик міг би рухатися з постійною швидкістю. Ви можете нехтувати опором повітря в обох частинах.
  3. Якщо предмет повинен спиратися на нахил без ковзання, тоді тертя має дорівнювати складовій ваги предмета, паралельному нахилу. Це вимагає все більшого і більшого тертя для більш крутих схилів. Покажіть, що максимальний кут нахилу над горизонталлю, для якого об’єкт не буде ковзати вниз, дорівнює ( theta ) = tan & minus1 ( mu_). Ви можете використовувати результат попередньої проблеми. Припустимо, що a = 0 і що статичне тертя досягло максимального значення.
  1. Розрахуйте максимальне прискорення автомобіля, який рухається вниз по схилу 6,00 & deg (той, який робить кут 6,00 & deg з горизонталлю) за таких дорожніх умов. Можна припустити, що вага автомобіля рівномірно розподілена на всіх чотирьох шинах і що коефіцієнт статичного тертя задіяний, і, тобто, шинам не дозволяється ковзати під час уповільнення. (Ігнорувати кочення.) Розрахуйте для автомобіля: (а) На сухому бетоні. (b) На мокрому бетоні. (c) На льоду, припускаючи, що ( mu_) = 0,100, те саме, що для взуття на льоду.
  2. Розрахуйте максимальне прискорення автомобіля, який рухається вгору по нахилу 4,00 & deg (той, що робить кут 4,00 & deg з горизонталлю) за таких дорожніх умов. Припустимо, що лише половина ваги автомобіля підтримується двома ведучими колесами і що коефіцієнт статичного тертя задіяний & mdash, тобто шини не можуть ковзати під час розгону. (Проігноруйте кочення.) (А) На сухому бетоні. (b) На мокрому бетоні. (c) На льоду, припускаючи, що ( mu_) = 0,100, те саме, що для взуття на льоду.
  3. Повторіть попередню проблему для автомобіля з повним приводом.
  4. Вантажний поїзд складається з двох двигунів 8,00 х 10 5-кг та 45 вагонів із середньою масою 5,50 х 10 5 кг. (а) Яку силу кожен двигун повинен надавати назад на колії, щоб розігнати поїзд зі швидкістю 5,00 х 10 і мінус2 м / с 2, якщо сила тертя дорівнює 7,50 х 10 5 Н, якщо припустити, що двигуни діють однакові сили? Це не велика сила тертя для такої масивної системи. Тертя кочення для поїздів невелике, а отже, поїзди є дуже енергоефективними транспортними системами. (б) Яка сила в зчепленні між 37-м та 38-м автомобілями (це сила, яку кожен діє на інший), припускаючи, що всі машини мають однакову масу і тертя рівномірно розподіляється між усіма автомобілями та двигунами?
  5. Розглянемо 52-кілограмового альпініста, показаного нижче. (а) Знайдіть натяг мотузки та силу, яку альпініст повинен докласти ногами на вертикальну скелю, щоб залишатися нерухомим. Припустимо, що сила докладається паралельно її ногам. Крім того, припустимо незначну силу, яку чинять її руки. (б) Який мінімальний коефіцієнт тертя між її взуттям та скелею?
  1. Учасник зимових спортивних змагань штовхає 45,0-кілограмовий лід через замерзле озеро, як показано нижче. (а) Обчисліть мінімальну силу F, яку він повинен докласти, щоб рухати блок. (б) Яке його прискорення, коли воно починає рухатися, якщо ця сила зберігається?
  1. Тепер учасник натягує брилу льоду мотузкою через плече під тим самим кутом над горизонталлю, як показано нижче. Обчисліть мінімальну силу F, яку він повинен докласти, щоб рухати блок. (б) Яке його прискорення, коли воно починає рухатися, якщо ця сила зберігається?
  1. На поштовому відділенні посилка, яка становить 20,0-кілограмову коробку, ковзає по пандусу, нахиленому на 30,0 & deg, з горизонталлю. Коефіцієнт кінетичного тертя між коробом і площиною становить 0,0300. (а) Знайдіть прискорення коробки. (b) Знайдіть швидкість коробки, коли вона досягає кінця площини, якщо довжина літака дорівнює 2 м, і коробка починається в стані спокою.

6.3 Доцентрова сила

  1. (а) 22,0-кілограмова дитина катається на ігровому майданчику, що обертається зі швидкістю 40,0 об / хв. Яка доцентрова сила діє, якщо він знаходиться на відстані 1,25 м від центру? (б) Яка доцентрова сила діє, якщо карусель обертається зі швидкістю 3,00 об / хв і він знаходиться на відстані 8,00 м від центру? (в) Порівняйте кожну силу з його вагою.
  2. Розрахуйте доцентрову силу на кінці лопаті вітрогенератора, що обертається зі швидкістю 0,5 об / с. Припустимо, маса становить 4 кг.
  3. Який ідеальний кут нахилу для плавного повороту радіусом 1,20 км на шосе з обмеженням швидкості 10 5 км / год (близько 65 миль / год), якщо припустити, що всі їдуть на обмеженні?
  4. Яка ідеальна швидкість для взяття кривої радіуса 100,0 м, нахиленої під кутом 20,0 & град?
  5. (а) Який радіус бобслейного повороту, нахиленого на 75,0 & deg, і прийнятого на 30,0 м / с, якщо припустити, що він ідеально нахилений? (b) Обчислити доцентрове прискорення. (в) Чи здається вам це прискорення великим?
  6. Частина їзди на велосипеді передбачає нахил під правильним кутом під час повороту, як показано нижче. Щоб бути стійким, сила, що діє на землю, повинна знаходитися на лінії, що проходить через центр ваги. Силу на велосипедному колесі можна розділити на дві перпендикулярні складові & mdashfriction, паралельні дорозі (це повинно забезпечувати доцентрову силу) і вертикальну нормальну силу (яка повинна дорівнювати системі & rsquos вазі). (a) Покажіть, що ( theta ) (як визначено, як показано на малюнку) пов'язане зі швидкістю v і радіусом кривизни r повороту так само, як для ідеально нахиленої дороги & mdash, тобто ( theta ) = загар & мінус1 ( лівий ( dfrac> праворуч) ). (b) Обчислити ( theta ) для повороту 12,0 м / с радіусом 30,0 м (як у гонці).
  1. Якщо автомобіль бере похилу криву з меншою ідеальною швидкістю, тертя потрібне, щоб воно не ковзало всередину кривої (проблема на крижаних гірських дорогах). (а) Обчисліть ідеальну швидкість, щоб взяти криву радіуса 100,0 м, складену на 15,0 & deg. (b) Який мінімальний коефіцієнт тертя, необхідний для переляканого водія, щоб взяти ту саму криву зі швидкістю 20,0 км / год?
  2. Сучасні американські гірки мають вертикальні петлі, як показано тут. Радіус кривизни вгорі менший, ніж з боків, так що донизу відцентрове прискорення зверху буде більшим, ніж прискорення під дією сили тяжіння, утримуючи пасажирів міцно притиснутими до своїх місць. Яка швидкість американських гірок у верхній частині петлі, якщо радіус кривизни там 15,0 м, а прискорення автомобіля вниз 1,50 г?
  1. Дитина вагою 40,0 кг перебуває в машині на американських гірочках, яка їде по петлі радіусом 7,00 м. У точці А швидкість автомобіля становить 10,0 м / с, а в точці В - 10,5 м / с. Припустимо, дитина не тримається і не пристібає ремінь безпеки. (а) Яка сила автокрісла на дитину в точці А? (б) Яка сила автокрісла на дитину в точці В? (в) Яка мінімальна швидкість необхідна, щоб утримувати дитину на своєму місці в точці А?
  1. У простій борівській моделі основного стану атома Гідрону електрон рухається по круговій орбіті навколо нерухомого протона. Радіус орбіти 5,28 х 10 і мінус 11 м, а швидкість електрона 2,18 х 10 6 м / с. Маса електрона 9,11 х 10 і мінус31 кг. Яка сила на електрон?
  2. Залізничні колії йдуть по круговій кривій радіусом 500,0 м і нахилені під кутом 5,0 & deg. Для поїздів якої швидкості призначені ці колії?
  3. Прискорювач частинок CERN круговий з колом 7,0 км. (а) Яке прискорення протонів (m = 1,67 х 10 і мінус27 кг), які рухаються навколо прискорювача з 5% швидкості світла? (Швидкість світла v = 3,00 х 10 8 м / с.) (Б) Яка сила на протони?
  4. Автомобіль об’їжджає безбанкову криву радіусом 65 м. Якщо коефіцієнт статичного тертя між дорогою та автомобілем дорівнює 0,70, якою є максимальна швидкість, з якою автомобіль проїжджає криву без ковзання?
  5. Нахилена автомагістраль призначена для руху, що рухається зі швидкістю 90,0 км / год. Радіус кривої 310 м. Який кут нахилу шосе?

6.4 Сила перетягування та швидкість терміналу

  1. Кінцева швидкість падіння людини в повітрі залежить від ваги та площі людини, що стикається з рідиною. Знайдіть кінцеву швидкість (у метрах за секунду та кілометрах на годину) 80,0-кілограмового парашутиста, що падає у положенні щуки (вгору) з площею поверхні 0,140 м 2.
  2. Парашутист 60,0 кг та 90,0 кг стрибає з літака на висоті 6,00 х 10 3 м, обидва падають у положенні щуки. Зробіть припущення щодо їхніх лобових ділянок і обчисліть їх кінцеві швидкості. Скільки часу потрібно кожному парашутисту, щоб досягти землі (якщо припустити, що час досягнення кінцевої швидкості невеликий)? Припустимо, що всі значення мають точність до трьох значущих цифр.
  3. Білка 560 г площею 930 см 2 падає з 5,0-метрового дерева на землю. Оцініть його кінцеву швидкість. (Використовуйте коефіцієнт опору для горизонтального парашутиста.) Якою буде швидкість удару 56-кілограмової людини об землю, не беручи до уваги опору на такій короткій відстані?
  4. Щоб підтримувати постійну швидкість, сила, яку надає автомобільний двигун, повинна дорівнювати силі опору плюс силі тертя дороги (опору коченню). (а) Якими є сили опору при швидкості 70 км / год та 100 км / год для Toyota Camry? (Площа опору 0,70 м 2) (b) Яка сила опору при 70 км / год та 100 км / год для Hummer H2? (Площа перетягування становить 2,44 м 2). Припустимо, що всі значення мають точність до трьох значущих цифр.
  5. На який коефіцієнт збільшується сила опору на автомобілі, коли вона рухається з 65 до 110 км / год?
  6. Розрахуйте швидкість, яку сферична крапля дощу може досягти при падінні з 5,00 км (а) за відсутності повітряного опору (б) із повітряним опором. Візьмемо розмір поперек краплі 4 мм, щільність 1,00 х 10 3 кг / м 3 і площу поверхні ( pi ) r 2.
  7. Використовуючи закон Стокса та Ріско, переконайтеся, що одиницями в’язкості є кілограми на метр в секунду.
  8. Знайти кінцеву швидкість сферичної бактерії (діаметр 2,00 ( mu_)) падіння у воду. Спочатку потрібно зауважити, що сила опору дорівнює вазі з кінцевою швидкістю. Прийміть щільність бактерії 1,10 х 10 3 кг / м 3.
  9. Закон Стокса & Rsquo описує седиментацію частинок у рідинах і може бути використаний для вимірювання в'язкості. Частинки в рідинах швидко досягають кінцевої швидкості. Можна виміряти час, за який частинка впаде на певну відстань, а потім скористатися законом Стокса і Риско для розрахунку в’язкості рідини. Припустимо, сталевий кульковий підшипник (щільність 7,8 х 10 3 кг / м 3, діаметр 3,0 мм) опущений в ємність з моторним маслом. Щоб пройти відстань 0,60 м, потрібно 12 с. Обчисліть в’язкість олії.
  10. Припустимо, що резистивну силу повітря на парашутисті можна наблизити до f = & minusbv 2. Якщо кінцева швидкість парашутиста 50,0 кг становить 60,0 м / с, яке значення b?
  11. Маленький діамант масою 10,0 г падає із сережки плавця та rsquos і падає крізь воду, досягаючи кінцевої швидкості 2,0 м / с. (а) Якщо припустити, що сила тертя на алмазі підпорядковується f = & minusbv, що таке b? (б) Як далеко падає алмаз, перш ніж він досягне 90 відсотків своєї кінцевої швидкості?

Франческо Джанніно & raquo 9. Вищі деривативи замовлення. Застосування диференціації: локальні та абсолютні крайності функції

Похідні порядку двох або більше називаються вищими похідними і представлені такими позначеннями:

Останнє читається як & # 8220 n-та похідна від f відносно x. & # 8221
Визначення дається таким чином за допомогою індукції:

Вправи

Вправа 1. Обчисліть другу похідну для наступної функції:

Рішення. Спочатку обчислюємо першу похідну, а потім другу похідну для призначеної функції:

Вправи

Вправа 2. Обчисліть другу похідну для наступної функції:

Рішення. Обчислюємо першу похідну, а потім другу похідну для призначеної функції:

Вправи

Вправа 3. Обчисліть другу похідну для наступної функції:

Рішення. Обчислюємо першу похідну, а потім другу похідну для призначеної функції:

Вправи

Вправа 4. Обчисліть другу похідну для наступної функції:

Рішення. Ми обчислюємо перед першою похідною, а потім другою похідною для призначеної функції:

Застосування диференціації: локальні та абсолютні крайності функції

Визначення. Кажуть, що функція f з областю D має абсолютний максимум при c, якщо f (x) ≤ f (c) для всіх x D. Число f (c) називається абсолютний максимум від f на D. Функція f, як кажуть, має a місцеві максимум (або відносний максимум) при c, якщо є якийсь відкритий інтервал (a, b), що містить c, а f (c) - абсолютний максимум f на (a, b).
Визначення. Кажуть, що функція f з областю D має абсолютний мінімум при c, якщо f (x) ≥ f (c) для всіх x D. Число f (c) називається абсолютним мінімумом f на D. Функція f дорівнює сказано, що має локальний мінімум (або відносний мінімум) при c, якщо є якийсь відкритий інтервал (a, b), що містить c, а f (c) є абсолютним мінімумом f на (a, b).

Застосування диференціації: локальні та абсолютні крайності функції

Визначення. Абсолютний максимум або абсолютний мінімум f називається an абсолютний екстремум з ф. Локальний максимум або мінімум f називається локальним екстремум з ф.
Теорема 1. (Теорема крайніх значень). Якщо функція f неперервна на замкненому та обмеженому інтервалі [a, b], то існують дві точки, c1 та c2, в [a, b] такі, що f (c1) - абсолютний мінімум f на [a, b] та f (c2) - абсолютний максимум f на [a, b].

Теорема 2. Якщо f визначено на відкритому інтервалі (a, b), що містить c, f (c) є локальним екстремумом f і f & # 8217 (c) існує, то f & # 8217 (c) = 0.

Застосування диференціації: локальні та абсолютні крайності функції

Визначення. Якщо f диференціюється при c і f & # 8217 (c) = 0, тоді ми називаємо c a критична точка або нерухома точка з ф.

Визначення. Кажуть, що функція f зростає на відкритому інтервалі (a, b), якщо f (x1) & lt f (x2) для всіх x1 та х2 в (a, b) такий, що x1& lt x2. Функція f називається такою зменшується on (a, b), якщо f (x1) & gt f (x2) для всіх x1 та х2 в (a, b) такий, що x1& lt x2. Функція f називається такою не-зменшується on (a, b), якщо f (x1) ≤ f (x2) для всіх x1 та х2 в (a, b) такий, що x1& lt x2. Зазначено, що функція f не зростає на (a, b), якщо f (x1) ≥ f (x2) для всіх x1 та х2 в (a, b) такий, що x1& lt x2.

Застосування диференціації: локальні та абсолютні крайності функції

Теорема 3. Припустимо, що дві функції f і g є неперервними на замкненому та обмеженому інтервалі [a, b] і диференціюються на відкритому інтервалі (a, b). Тоді наступні твердження відповідають дійсності:

(i) Якщо f & # 8217 (x) & gt 0 для кожного x у (a, b), то f збільшується на (a, b).
(ii) Якщо f & # 8217 (x) & lt 0 для кожного x у (a, b), то f зменшується на (a, b).
(iii) Якщо f & # 8217 (x) ≥ 0 для кожного x у (a b), то f не зменшується на (a, b).
(iv) Якщо f & # 8217 (x) ≤ 0 для кожного x у (a, b), то f не збільшується на (a, b).
(v) Якщо f & # 8217 (x) = 0 для кожного x у (a, b), то f постійна на (a, b).

Застосування диференціації: локальні та абсолютні крайності функції

Теорема 4. (Перший похідний тест на екстремум). Нехай f є неперервним на відкритому інтервалі (a, b) і a & lt c & lt b.

(i) Якщо f & # 8217 (x) & gt 0 на (a, c) та f & # 8217 (x) & lt 0 на (c, b), то f (c) - це локальний максимум f на (a, b) ).
(ii) Якщо f & # 8217 (x) & lt 0 на (a, c) та f & # 8217 (x) & gt 0 на (c, b), то f (c) є локальним мінімумом f на (a, b) ).

Вправи

Вправа 5. Візьміть функцію

і знайдіть інтервали, де графік f збільшується або зменшується, локальні екстремуми та абсолютні екстремуми на [-3, 3].

Рішення. Функція f (x) визначена для всіх дійсних чисел. Отже, його домен: x [-3, 3]. Тепер ми обчислюємо першу похідну, щоб знайти нерухомі точки, а потім застосуємо перший похідний тест для екстремумів:

Вправи

Щоб застосувати перший похідний тест для екстремумів, вирішимо таку нерівність:

і оцінити знак f & # 8217.

Функція f зменшується і збільшується далі

Вправи

Потім, застосовуючи перший похідний тест на екстремуми, ми говоримо:

Тепер ми обчислюємо функцію f в кінцевих точках інтервалу [-3, 3]:

Вправи

Вправа 6. Візьміть функцію та знайдіть інтервали, де графік f збільшується або зменшується, локальні екстремуми та абсолютні екстремуми в домені функції & # 8217s.

Рішення. Функція f (x) визначена для всіх дійсних чисел. Отже, його домен: х ] & # 8211 ∞, + ∞ [. Тепер ми обчислюємо першу похідну, щоб знайти нерухомі точки, а потім застосуємо перший похідний тест для екстремумів:

Вправи

Отже, f & # 8217 (x) = 0, коли 1 & # 8211 x 2 = 0. Таким чином, функція f має дві критичні точки:

Тепер, щоб застосувати перший похідний тест для екстремумів, ми вирішимо таку нерівність:

і оцінити знак f & # 8217.

Вправи

Тепер, застосовуючи перший похідний тест на екстремуми, ми говоримо:

Вправи

Більше того, ми вивчаємо поведінку функції f у кінцевих точках її області] -, + [:

Показуючи, що вісь x - це горизонтальна асимптота для графіка f.

Вправи

Тепер, складаючи ці спостереження, ми можемо сказати, що:

Вправи

Вправа 7. Візьміть функцію та знайдіть інтервали, де графік f збільшується або зменшується, локальні екстремуми та абсолютні екстремуми в домені функції & # 8217s.


Що таке аналогова модуляція?

Аналоговий сигнал - це безперервна хвиля, де змінна хвилі, що відрізняється за часом, представлена ​​у відношенні іншої різної в часі якості, яка є аналогічною іншим сигналам, що змінюються у часі. А аналогова модуляція - це процедура передачі низькочастотних сигналів, таких як телевізійні сигнали або аудіосигнали, із сигналами високочастотних несучих, таких як радіочастотні сигнали. При цьому типі модуляції потрібен смуговий канал, де він відповідає заданому діапазону частот. Ці частоти передаються через смуговий фільтр, який дозволяє певним частотам пропускати запобігаючі сигнали на небажаних частотах.

Коли несучий сигнал представлений рівнянням

Тут термін Ac представляє амплітуду, термін fc - частоту, а термін F - фазу несучого сигналу.


Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 1.
Знайдіть максимальне та мінімальне значення, якщо такі є, наступних функцій, заданих
(i) f (x) = (2x & # 8211 1) ² + 3
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
(iii) f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10
(iv) g (x) = x 3 + 1
Рішення:
(i) Мінімальне значення (2x & # 8211 1) ² дорівнює нулю.
Мінімальне значення (2x & # 8211 1) ² + 3 - 3
Очевидно, що він не має максимального значення,
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
⇒ f (x) = (3x + 2) ² & # 8211 2
Мінімальне значення (3 + 2) ² дорівнює нулю.
∴ Мінімальне значення (3x + 2) ² & # 8211 2 = 9x² + 12x + 2 є & # 8211 2
f (x) не має скінченного максимального значення
(iii) f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10
Максимальне значення & # 8211 (x & # 8211 1) ² дорівнює нулю
Максимальний оцінювач f f (x) = & # 8211 (x & # 8211 1) ² + 10 дорівнює 10
f (x) не має скінченного мінімального значення.
(iv) Як x— »∞, g (x) -» ∞ Також x - »- ∞, g (x) -» - ∞
Таким чином, не існує максимального чи мінімального значення f (x)

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 2.
Знайдіть максимальне та мінімальне значення, якщо такі є, наступних функцій, заданих
(i) f (x) = | x + 2 | & # 8211 1
(ii) g (x) = - | x + 1 | + 3
(iii) h (x) = sin 2x + 5
(iv) f (x) = | sin (4x + 3) |
(v) h (x) = x + 1, x∈ (-1,1)
Рішення:
(i) Маємо: f (x) = | x + 2 | -1 ∀x∈R
Тепер | x + 2 | ≥0∀x∈R
| х + 2 | & # 8211 1 ≥ & # 8211 1 ∀x∈R,
Отже, -1 - це мін. значення f (x)
тепер f (x) = -1
⇒ | x + 2 | -1
⇒ | x + 2 | = 0
⇒ x = & # 8211 2
(ii) Маємо g (x) = - | x + 1 | + 3 ∀x∈R
Зараз | x + 1 | ≥ 0 ∀x∈R
- | x + 1 | + 3 ≤3 ∀x∈R
Отже, 3 - мінімальне значення f (x).
Тепер f (x) = 3
⇒ - | x + 1 | + 3
⇒ | x + 1 | = 0
⇒ x = & # 8211 1.
(iii) Отже, максимальне значення f (x) дорівнює 6, а мінімальне - 4.
(iv) Нехай f (x) = | sin4x + 3 |
Максимальне значення гріха 4x - 1
∴ Максимальне значення | sin (4x + 3) | становить | 1 + 3 | = 4
Мінімальне значення гріха 4x - -1
∴ Мінімальне значення f (x) становить | -1 + 3 | = | 2 | = 2
(v) Найбільше значення f (x) - 2, а найменше - 0.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 3.
Знайдіть локальні максимуми та локальні мінімуми, якщо такі є, з наступних функцій. Знайдіть також локальний максимум та локальні мінімальні значення, залежно від ситуації:
(i) f (x) = x 2
(ii) g (x) = x 3 & # 8211 3x
(iii) h (x) = sinx + cosx, 0 & ltx & lt
(iv) f (x) = sin 4 x + cos 4 x, 0 & ltx & lt
(v) f (x) = x 3 & # 8211 6x 2 + 9x: +15
(vi) g (x) =, x & gt0
(vii) g (x) =, x & gt0
(viii) f (x) =, x & gt0
Рішення:
(i) Нехай f (x) = x² ⇒ f ’(x) = 2x
Тепер f '(x) = 0 ⇒ 2x = 0, тобто x = 0
При x = 0 Коли x трохи & lt 0, f & # 8217 (x) становить -ve Коли x трохи & gt 0, f (x) + ve
∴ f (x) змінює знак із -ve на + ve, коли x збільшується через 0.
⇒ f & # 8217 (x) має локальний мінімум при x = 0 локальний мінімум f (0) = 0.





Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 4.
Доведіть, що наступні функції не мають максимумів або мінімумів:
(i) f (x) = e x
(ii) f (x) = log x
(iii) h (x) = x 3 + x 2 + x + 1
Рішення:
(i) f '(x) = e x
Оскільки f & # 8217 (x) ≠ 0 для будь-якого значення x.
Отже, f (x) = e x не має макс. або хв.
(ii) f & # 8217 (x) = Очевидно f & # 8217 (x) ≠ 0 для будь-якого значення x.
Отже, f & # 8217 (x) = log x не має максимуму або мінімуму.
(iii) Маємо f (x) = x 3 + x 2 + x + 1
⇒f & # 8217 (x) = 3x 2 + 2x + 1
Тепер f & # 8217 (x) = 0 = & gt 3x 2 + 2x + 1 = 0

тобто f '(x) = 0 у уявних точках
тобто f '(x) ≠ 0 для будь-якого дійсного значення x
Отже, не існує ні макс. ні хв.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 5.
Знайдіть абсолютне максимальне значення та абсолютне мінімальне значення наступних функцій через задані інтервали:
(i) f (x) = x 3, x∈ [-2,2]
(ii) f (x) = sin x + cos x, x ∈ [0, π]
(iii) f (x) =
(iv) f (x) =
Рішення:
(i) Маємо f & # 8217 (x) = x 3 в [-2,2]
∴ f '(x) = 3x² Тепер f & # 8217 (x) = 0 при x = 0, f (0) = 0
Тепер f (-2) = (-2) 3 = & # 8211 8 f (0) = (0) ² = 0 і f (0) = (2) = 8
Отже, абсолютне максимальне значення f (x) дорівнює 8, яке воно досягло при x = 2, і абсолютне мінімальне значення f (x) = & # 8211 8, яке досягається при x = -2.
(ii) Маємо f (x) = sin x + cos x у [0, π]
f & # 8217 (x) = cos x & # 8211 sin x для екстремальних значень f & # 8217 (x) = 0

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 6.
Знайдіть максимальний прибуток, який може отримати компанія, якщо функція прибутку задана р (х) = 41 & # 8211 24x & # 8211 18x²
Рішення:
Функція прибутку в p (x) = 41 & # 8211 24x & # 8211 18x²
∴ p '(x) = & # 8211 24 & # 8211 36x = & # 8211 12 (2 + 3x)
для максимумів та мінімумів p '(x) = 0
Тепер p '(x) = 0
⇒ & # 8211 12 (2 + 3x) = 0
⇒ x =,
p '(x) змінює знак з + ve на -ve.
⇒ p (x) має максимальне значення при x =
Максимальний прибуток = 41 + 16 & # 8211 8 = 49.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 7.
Знайдіть як максимальне значення, так і мінімальне значення 3x 4 & # 8211 8x 3 + 12x 2 & # 8211 48x + 25 на інтервалі [0,3].
Рішення:
Нехай f (x) = 3x 4 & # 8211 8x 3 + 12x 2 & # 8211 48x + 25
∴f '(x) = 12x 3 & # 8211 24x 2 + 24x & # 8211 48
= 12 (x 2 + 2) (x & # 8211 2)
Для максимумів та мінімумів f '(x) = 0
⇒ 12 (x 2 + 2) (x & # 8211 2) = 0
⇒ x = 2
Тепер знаходимо f (x) при x = 0,2 і 3, f (0) = 25,
f (2) = 3 (2 4) & # 8211 8 (2 3) + 12 (2 2) & # 8211 48 (2) + 25 = & # 8211 39
і f (3) = (3 4) & # 8211 8 (3 3) + 12 (3 2) & # 8211 48 (3) + 25
= 243 – 216 + 108 – 144 + 25 = 16
Отже, при x = 0, максимальне значення = 25
при x = 2, мінімальне значення = & # 8211 39.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Запитання 8.
В яких точках інтервалу [0,2π] функція sin 2x досягає свого максимального значення?
Рішення:
Маємо f (x) = sin 2x в [0,2π], f & # 8217 (x) = 2 cos 2 x
Для максимумів та мінімумів f & # 8217 (x) = 0 = & gt cos 2 x = 0

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 9.
Яке максимальне значення функції sin x + cos x?
Рішення:
Розглянемо інтервал [0, 2π],
Нехай f (x) = sinx + cosx,
f & # 8217 (x) = cosx & # 8211 sinx
Для максимумів та мінімумів f & # 8217 (x) = 0

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 10.
Знайдіть максимальне значення 2x 3 & # 8211 24x + 107 в інтервалі [1,3]. Знайдіть максимальне значення тієї самої функції в [-3, -1].
Рішення:
∵ f (x) = 2x 3 & # 8211 24x + 107
∴f (x) = 6x 2 & # 8211 24,
Для максимумів та мінімумів f '(x) = 0⇒ x = ± 2
Для інтервалу [1,3] знаходимо значення f (x)
при x = 1,2,3 f (1) = 85, f (2) = 75, f (3) = 89
Отже, максимум f (x) = 89 при x = 3
Для інтервалу [-3, -1] знаходимо значення f (x) при x = & # 8211 3, & # 8211 2, & # 8211 1
f (-3) = 125
f (-2) = 139
f (-1) = 129
∴ макс. F (x) = 139 при x = & # 8211 2.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 11.
Дано, що при x = 1 функція x 4 & # 8211 62x 2 + ax + 9 досягає свого максимального значення на інтервалі [0,2]. Знайдіть значення a.
Рішення:
∵ f (x) = x 4 & # 8211 62x 2 + ax + 9
∴ f & # 8217 (x) = 4x 3 & # 8211 124x + a
Тепер f & # 8217 (x) = 0 при x = 1
⇒ 4 & # 8211 124 + a = 0
⇒ a = 120
Тепер f & # 8221 (x) = 12x 2 & # 8211 124:
При x = 1 f & # 8221 (1) = 12 & # 8211 124 = & # 8211 112 & lt 0
⇒ f (x) має максимум при x = 1, коли a = 120.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 12.
Знайдіть максимальне та мінімальне значення x + sin 2x на [0,2π]
Рішення:
∴f (x) = x + sin2x на [0,2π]
∴f & # 8217 (x) = 1 + 2 cos2x
Для максимумів та мінімумів f & # 8217 (x) = 0

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 13.
Знайдіть два числа, сума яких дорівнює 24, а добуток якомога більший.
Рішення:
Нехай потрібні числа шістнадцяткові та (24-x)
Їхній продукт, p = x (24 & # 8211 x) = 24x & # 8211 x²
Зараз = 0 ⇒24 & # 8211 2x = 0 ⇒ x = 12
Також = -2 & lt0: ⇒ p максимум при x = 12
Отже, потрібні числа 12 і (24-12), тобто. 12.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 14.
Знайдіть два додатні числа x та y такі, що x + y = 60, а xy 3 максимум.
Рішення:
Маємо x + y = 60
⇒ y = 60 & # 8211 x & # 8230 (i)

Звідси вимога числа 15 і (60-15), тобто 15 і 45.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 15.
Знайдіть два додатні числа x та y такі, що їх сума дорівнює 35, а добуток x 2 y 5 - максимум.
Рішення:
Маємо x + y = 35 ⇒ y = 35 & # 8211 x
Добуток p = x 2 y 5
= x 2 (35 & # 8211 x) 5

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 16.
Знайдіть два додатні числа, сума яких дорівнює 16, а сума кубів мінімальна.
Рішення:
Нехай два числа будуть x і 16 & # 8211 x

Отже, потрібні числа 8 і (16-8), тобто 8 і 8.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 17.
Квадратний шматок олова сторони 18 см потрібно зробити коробкою без верху, вирізавши квадрат з кожного кута і склавши стулки, щоб сформувати коробку. Якою має бути сторона квадрата, яку потрібно відрізати, щоб об’єм коробки був максимально можливим.
Рішення:
Нехай кожна відрізана сторона квадрата дорівнює х см.
∴ для довжини коробки = 18 & # 8211 2x: ширина = 18 & # 8211 2x і висота = x

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 18.
Прямокутний лист жерсті 45 см на 24 см потрібно зробити коробкою без верху, відрізавши квадрат від кожного заходу та склавши стулки. Якою має бути сторона квадрата, яку потрібно відрізати, щоб об’єм коробки був максимальним?
Рішення:
Нехай кожна сторона квадрата, відрізана від кожного заходу, дорівнює x см.
∴ Сторони прямокутної коробки: (45 & # 8211 2x), (24 & # 8211 2x) та x см.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 19.
Покажіть, що з усіх прямокутників, вписаних у дане фіксоване коло, квадрат має максимальну площу.
Рішення:
Нехай довжина та ширина прямокутника, вписаного в коло радіусом a, становлять x та y відповідно.
∴ x² + y² = (2a) ² = & gt x² + y² = 4a² & # 8230 (i)
∴ Периметр = 2 (x + y)

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 20.
Покажіть, що правильний круговий циліндр даної поверхні та максимальний об’єм такий, що його висота дорівнює діаметру основи.
Рішення:
Нехай S - задана площа поверхні закритого циліндра, радіус якого r і висота h, нехай v - його Об’єм. Тоді

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 21.
З усіх закритих циліндричних банок (права кругла) із заданим об’ємом 100 кубічних сантиметрів знайдіть розміри банки, яка має мінімальну площу поверхні?
Рішення:
Нехай r - радіус, а h - висота циліндричної бідони.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 22.
Дріт довжиною 28 м потрібно розрізати на дві частини. З одного шматка потрібно зробити квадрат, а з іншого - коло. Якою має бути довжина двох частин, щоб об’єднана площа квадрата та кола була мінімальною?
Рішення:
Нехай одна частина має довжину x, тоді інша частина = 28 & # 8211 x
Нехай частина довжини x перетвориться на коло радіусом r.


Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 23.
Доведіть, що об’єм найбільшого конуса, який можна записати в сферу радіусом R, становить об’єм кулі.
Рішення:
Нехай конус. VAB найбільшого обсягу буде вписаний у сферу, нехай AOC = θ
∴ AC, радіус основи конуса = R sin θ
і VC = VO + OC = R (1 + cosθ)
= R + Rcosθ
= висота конуса.,
V, об’єм конуса.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 24.
Покажіть, що правильний круговий конус найменш вигнутої поверхні та заданого об'єму має висоту, рівну √2 часу радіусу основи.
Рішення:
Нехай r і h - радіус і висота конуса.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 25.
Покажіть, що напіввертикальний кут конуса максимального об’єму та заданої висоти нахилу дорівнює tan -1 √2.
Рішення:
Нехай v - об’єм, l - висота нахилу, а 0 - напіввертикальний кут конуса.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 26.
Покажіть, що напіввертикальний кут прямого кругового конуса заданої площі поверхні та максимального об’єму становить
Рішення:
Нехай r - радіус, l - висота нахилу, h - висота конуса заданої площі поверхні с. Тоді

Виберіть правильну відповідь у вправах 27 та 29.

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 27.
Точка на кривій штампа x² = 2y, яка є найближчою до точки (0,5), дорівнює
(а) (2 √2,4)
(b) (2 √2,0)
(c) (0,0)
(d) (2,2)
Рішення:
(a) Нехай P (x, y) - точка на кривій Інша точка - A (0,5)
Z = PA² = x² + y² + 25 & # 8211 10y [∵ x² = 2y]

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 28.
Для всіх дійсних значень х - мінімальне значення
(а) 0
(b) 1
(c) 3
(d)
Рішення:
(г) Нехай

Приклад 6.5 Математика класу 12 Питання 29.
Максимальне значення є
(а)
(b)
(c) 1
(d) 0
Рішення:
(c) Нехай y =

Ми сподіваємось, що рішення NCERT для математики класу 12 Розділ 6 Застосування похідних Ex 6.5 допоможуть вам. Якщо у вас є запитання щодо рішень NCERT для математики класу 12 Розділ 6 Застосування похідних Випуск 6.5, залиште коментар нижче, і ми зв’яжемося з вами якомога раніше.


Вправи 4.1

Умови та поняття

T / F: неявна диференціація часто використовується при вирішенні проблем типу "пов'язаних ставок".

Т / Ж: Дослідження відповідних показників є частиною стандартного навчання поліцейських.

Проблеми

Площа квадрата збільшується зі швидкістю 42 футів 2 / хв. Наскільки швидко збільшується довжина сторони, коли довжина становить 7 футів?

Розглянемо дорожню ситуацію, представлену в прикладі 4.1.3. Наскільки швидко рухається «інший автомобіль», якщо офіцер та інший автомобіль знаходяться на відстані 1/2 милі від перехрестя, інший автомобіль їде на захід, офіцер їде на північ із швидкістю 50 миль / год, а радарні показники - 80 миль / год ?

Літак F-22 летить зі швидкістю 500 миль / год з висотою 10000 футів по прямолінійній трасі, яка переведе його прямо над зенітною гармати.


Перегляньте відео: Застосування похідної до дослідження функції та побудови графіків (Найясніший 2022).