Статті

5.1: Сфери та відстані - математика

5.1: Сфери та відстані - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Мета навчання

  • Використовуйте нотацію сигма (підсумовування) для обчислення сум і степенів цілих чисел.
  • Використовуйте суму прямокутних площ, щоб наблизити площу під кривою.
  • Використовуйте суми Рімана для приблизної площі.

Архімед був захоплений обчисленням площ різних форм - іншими словами, обсягу простору, закритого фігурою. Він використав процес, який став відомим як метод виснаження, який використовував дедалі менші фігури, площі яких можна було точно розрахувати, щоб заповнити неправильну область і тим самим отримувати все ближчі наближення до загальної площі. У цьому процесі площа, обмежена кривими, заповнюється прямокутниками, трикутниками та фігурами з точними формулами площі. Потім ці області підсумовуються, щоб наблизити площу кривої області.

У цьому розділі ми розробляємо методи наближення площі між кривою, визначеною функцією (f (x), ), та віссю х на замкненому інтервалі ([a, b]. ) Як і Архімед, спочатку ми апроксимуємо площу під кривою, використовуючи фігури відомої площі (а саме прямокутники). Використовуючи все менші та менші прямокутники, ми наближаємося все ближче та ближче до апроксимації. Прийом обмеження дозволяє нам розрахувати точну площу під кривою.

Почнемо із введення деяких позначень, щоб полегшити обчислення. Потім ми розглянемо випадок, коли (f (x) ) неперервний і невід'ємний. Далі в цьому розділі ми послаблюємо деякі з цих обмежень і розробляємо методи, які застосовуються в більш загальних випадках.

Позначення сигми (підсумовування)

Як уже згадувалося, ми будемо використовувати форми відомої області для наближення площі неправильної області, обмеженої кривими. Цей процес часто вимагає додавання довгих рядків чисел. Щоб було легше записати ці великі суми, ми розглянемо деякі нові позначення, що називаються позначення сигма (також відомий як підсумовування). Грецька велика літера (Σ ), сигма, використовується для вираження великих сум значень у компактній формі. Наприклад, якщо ми хочемо додати всі цілі числа від 1 до 20 без позначення сигма, нам доведеться писати

[1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20.]

Можливо, ми могли б пропустити написання декількох термінів і написати

[1+2+3+4+⋯+19+20,]

що краще, але все одно громіздке. З позначенням сигми ми записуємо цю суму як

[ sum_ {i = 1} ^ {20} i ]

що набагато компактніше. Як правило, позначення сигми подається у формі

[ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i ]

де (a_i ) описує додані терміни, а (i ) називається (індекс ). Кожен термін обчислюється, тоді ми підсумовуємо всі значення, починаючи зі значення, коли (i = 1 ), і закінчуючи значенням, коли (i = n. ) Наприклад, такий вираз, як ( displaystyle sum_ {i = 2} ^ {7} s_i ) інтерпретується як (s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6 + s_7 ). Зверніть увагу, що індекс використовується лише для відстеження доданих термінів; це не враховує сам розрахунок суми. Тому індекс називається a фіктивна змінна. Для покажчика ми можемо використовувати будь-яку вподобану нам букву. Зазвичай математики використовують для індексів (i, , j, , k, , m ) та (n ).

Спробуємо кілька прикладів використання позначення сигма.

Приклад ( PageIndex {1} ): Використання позначення Sigma

  1. Запишіть у сигма-нотації та обчисліть суму доданків (3 ^ i ) для (i = 1,2,3,4,5. )
  2. Запишіть суму в сигма-позначеннях:

[1+ dfrac {1} {4} + dfrac {1} {9} + dfrac {1} {16} + dfrac {1} {25}. нечисельний ]

Рішення

  1. Запишіть [ sum_ {i = 1} ^ {5} 3 ^ i = 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4 + 3 ^ 5 = 363. нечисельний ]
  2. Знаменник кожного доданка - ідеальний квадрат. Використовуючи позначення сигма, цю суму можна записати як ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ 5 dfrac {1} {i ^ 2} ).

Вправа ( PageIndex {1} )

Запишіть у сигма-нотації та обчисліть суму доданків (2 ^ i ) для (i = 3,4,5,6. )

Підказка

Використовуйте кроки вирішення в прикладі ( PageIndex {1} ) як керівництво.

Відповідь

( displaystyle sum_ {i = 3} ^ {6} 2 ^ i = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 = 120 )

Властивості, пов'язані з процесом підсумовування, наведені в наступному правилі.

Правило: Властивості позначення Sigma

Нехай (a_1, a_2,…, a_n ) та (b_1, b_2,…, b_n ) представляють дві послідовності термінів і нехай (c ) буде константою. Наступні властивості виконуються для всіх натуральних чисел (n ) та цілих чисел (m ), з (1≤m≤n. )

  1. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n c = nc )
  2. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n ca_i = c sum_ {i = 1} ^ na_i )
  3. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  4. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i )
  5. ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i )

Доказ

Ми доводимо тут властивості 2. та 3., а інші властивості залишаємо за вправами.

2. Маємо

[ sum_ {i = 1} ^ nca_i = ca_1 + ca_2 + ca_3 + ⋯ + ca_n = c (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) = c sum_ {i = 1} ^ na_i. ]

3. Маємо

[ begin {align} sum_ {i = 1} ^ {n} (a_i + b_i) & = (a_1 + b_1) + (a_2 + b_2) + (a_3 + b_3) + ⋯ + (a_n + b_n) [4pt] & = (a_1 + a_2 + a_3 + ⋯ + a_n) + (b_1 + b_2 + b_3 + ⋯ + b_n) [4pt] & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1 } ^ nb_i. end {вирівнювання} ]

Ще кілька формул для часто знайдених функцій спрощують процес підсумовування. Вони показані в наступному правилі, для суми та степені цілих чисел, і ми використовуємо їх у наступному наборі прикладів.

Правило: Суми та повноваження цілих чисел

1. Сума цілих чисел (n ) дається формулою

[ sum_ {i = 1} ^ n i = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2}. label {сума1} ]

2. Сума послідовних цілих чисел у квадраті дається як

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}. label {сума2} ]

3. Сума послідовних цілих чисел у кубах дається формулою

[ sum_ {i = 1} ^ n i ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4}. label {сума3} ]

Приклад ( PageIndex {2} ): Оцінка за допомогою позначення Sigma

Напишіть, використовуючи позначення сигма, і оцініть:

  1. Сума доданків ((i − 3) ^ 2 ) для (i = 1,2,…, 200. )
  2. Сума доданків ((i ^ 3 − i ^ 2) ) для (i = 1,2,3,4,5,6 )

Рішення

а. Помноживши ((i − 3) ^ 2 ), ми можемо розбити вираз на три члени.

[ початок {вирівнювання *} сума_ {i = 1} ^ {200} (i − 3) ^ 2 & = sum_ {i = 1} ^ {200} (i ^ 2−6i + 9) [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2− sum_ {i = 1} ^ {200} 6i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ {200} i ^ 2−6 sum_ {i = 1} ^ {200} i + sum_ {i = 1} ^ {200} 9 [4pt]
& = dfrac {200 (200 + 1) (400 + 1)} {6} −6 ліворуч [ dfrac {200 (200 + 1)} {2} право] +9 (200) [4pt ]
& = 2 686 700-120 600 + 1800 [4pt]
& = 2 567 900 end {вирівнювання *} ]

b. Використовуйте властивість позначення sigma iv. і правила щодо суми квадратних доданків і суми кубічних доданків.

[ begin {вирівнювання *} sum_ {i = 1} ^ {6} (i ^ 3 − i ^ 2) & = sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 3− sum_ {i = 1} ^ 6 i ^ 2 [4pt]
& = dfrac {6 ^ 2 (6 + 1) ^ 2} {4} - dfrac {6 (6 + 1) (2 (6) +1)} {6} [4pt]
& = dfrac {1764} {4} - dfrac {546} {6} [4pt]
& = 350 end {вирівнювання *} ]

Вправа ( PageIndex {2} )

Знайдіть суму значень (4 + 3i ) для (i = 1,2,…, 100. )

Підказка

Використовуйте властивості позначення сигми для розв’язання задачі.

Відповідь

(15,550)

Приклад ( PageIndex {3} ): Пошук суми значень функції

Знайдіть суму значень (f (x) = x ^ 3 ) над цілими числами (1,2,3,…, 10. )

Рішення

Використовуючи рівняння ref {sum3}, маємо

[ sum_ {i = 0} ^ {10} i ^ 3 = dfrac {(10) ^ 2 (10 + 1) ^ 2} {4} = dfrac {100 (121)} {4} = 3025 нечисельний ]

Вправа ( PageIndex {3} )

Обчисліть суму, позначену позначенням ( displaystyle sum_ {k = 1} ^ {20} (2k + 1) ).

Підказка

Використовуйте правило щодо суми та степенів цілих чисел (Рівняння ref {sum1} - ref {sum3}).

Відповідь

(440)

Приблизна площа

Тепер, коли ми маємо необхідні позначення, ми повертаємося до проблеми: апроксимація площі під кривою. Нехай (f (x) ) - неперервна, невід'ємна функція, визначена на замкнутому інтервалі ([a, b] ). Ми хочемо наблизити площу (A ), обмежену (f (x) ) зверху, вісь (x ) - знизу, лінію (x = a ) зліва та лінію (x = b ) праворуч (Малюнок ( PageIndex {1} )).

Як ми можемо наблизити площу під цією кривою? Підхід геометричний. Поділивши область на безліч дрібних фігур, які мають відомі формули площ, ми можемо підсумувати ці області і отримати обґрунтовану оцінку справжньої площі. Почнемо з розділення інтервалу ([a, b] ) на (n ) подинтервали однакової ширини, ( dfrac {b − a} {n} ). Ми робимо це, вибираючи однаково розташовані точки (x_0, x_1, x_2,…, x_n ) з (x_0 = a, x_n = b, ) та

[x_i − x_ {i − 1} = dfrac {b − a} {n} ]

для (i = 1,2,3,…, n. )

Позначаємо ширину кожного подинтервалу позначенням (Δx, ), так (Δx = frac {b − a} {n} ) і

[x_i = x_0 + iΔx ]

для (i = 1,2,3, ..., n. ) Це поняття поділу інтервалу ([a, b] ) на подинтервали шляхом вибору точок з інтервалу досить часто використовується для наближення площі під крива, тож давайте визначимо відповідну термінологію.

Визначення: Розділи

Набір точок (P = {x_i} ) для (i = 0,1,2,…, n ) з (a = x_0 розділ з ([a, b] ). Якщо всі подинтервали мають однакову ширину, набір точок утворює a звичайний розділ (або рівномірний розділ) інтервалу ([a, b]. )

Ми можемо використовувати цей регулярний розділ як основу методу оцінки площі під кривою. Далі ми розглянемо два методи: апроксимацію лівої кінцевої точки та апроксимацію правої кінцевої точки.

Правило: апроксимація лівої кінцевої точки

На кожному подинтервалі ([x_ {i − 1}, x_i] ) (для (i = 1,2,3,…, n )) побудуйте прямокутник із шириною (Δx ) і висотою, рівною (f (x_ {i − 1}) ), яке є значенням функції в лівій кінцевій точці підінтервалу. Тоді площа цього прямокутника дорівнює (f (x_ {i − 1}) Δx ). Додаючи площі всіх цих прямокутників, ми отримуємо приблизне значення для (A ) (Рисунок ( PageIndex {2} )). Ми використовуємо позначення (L_n ) для позначення того, що це a апроксимація лівої кінцевої точки з (A ) з використанням (n ) подинтервалів.

[A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (xn − 1) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx ]

Другим методом апроксимації площі під кривою є наближення правої кінцевої точки. Це майже те саме, що наближення лівої кінцевої точки, але тепер висоти прямокутників визначаються значеннями функції праворуч від кожного подинтервалу.

Правило: наближення правої кінцевої точки

Побудуйте прямокутник на кожному подинтервалі ([x_ {i − 1}, x_i] ), лише цього разу висота прямокутника визначається значенням функції (f (x_i) ) у правій кінцевій точці подинтервалу . Тоді площа кожного прямокутника дорівнює (f (x_i) , Δx ), а наближення для (A ) визначається як

[A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx. ]

Позначення (R_n ) означає, що це a наближення правої кінцевої точки для (A ) (Малюнок ( PageIndex {3} )).

Графіки на рисунку ( PageIndex {4} ) представляють криву (f (x) = dfrac {x ^ 2} {2} ). На рисунку ( PageIndex {4b} ) ми ділимо область, представлену інтервалом ([0,3] ), на шість подинтервалів, кожен із шириною (0,5 ). Таким чином, (Δx = 0,5 ). Потім ми формуємо шість прямокутників, малюючи вертикальні лінії, перпендикулярні (x_ {i − 1} ), лівій кінцевій точці кожного підінтервалу. Визначаємо висоту кожного прямокутника, обчислюючи (f (x_ {i − 1}) ) для (i = 1,2,3,4,5,6. ) Інтервали дорівнюють ([0,0,5 ], [0,5,1], [1,1,5], [1,5,2], [2,2,5], [2,5,3] ). Знаходимо площу кожного прямокутника, множивши висоту на ширину. Тоді сума прямокутних площ наближається до площі між (f (x) ) та віссю (x ) -. Коли ліві кінцеві точки використовуються для обчислення висоти, ми маємо наближення лівої кінцевої точки. Таким чином,

[ begin {align *} A≈L_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_ {i − 1}) Δx = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx [4pt]
& = f (0) 0,5 + f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + f (1,5) 0,5 + f (2) 0,5 + f (2,5) 0,5 [4pt]
& = (0) 0,5+ (0,125) 0,5+ (0,5) 0,5+ (1,125) 0,5+ (2) 0,5+ (3,125) 0,5 [4pt]
& = 0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 [4pt]
& = 3,4375 , текст {одиниці} ^ 2 кінець {вирівнювання *} ]

На рисунку ( PageIndex {4b} ) ми проводимо вертикальні лінії, перпендикулярні (x_i ), такі що (x_i ) є правою кінцевою точкою кожного подинтервалу, і обчислюємо (f (x_i) ) для (i = 1,2,3,4,5,6 ). Кожне (f (x_i) ) множимо на (Δx ), щоб знайти прямокутні області, а потім додаємо їх. Це наближення правої кінцевої точки площі під (f (x) ). Таким чином,

[ begin {align *} A≈R_6 & = sum_ {i = 1} ^ 6f (x_i) Δx = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx + f (x_5) Δx + f (x_6) Δx [4pt]
& = f (0,5) 0,5 + f (1) 0,5 + f (1,5) 0,5 + f (2) 0,5 + f (2,5) 0,5 + f (3) 0,5 [4pt]
& = (0,125) 0,5+ (0,5) 0,5+ (1,125) 0,5+ (2) 0,5+ (3,125) 0,5+ (4,5) 0,5 [4pt]
& = 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 [4pt]
& = 5.6875 , text {одиниці} ^ 2. End {вирівнювання *} ]

Приклад ( PageIndex {4} ): апроксимація площі під кривою

Використовуйте наближення як лівої, так і правої кінцевої точки, щоб наблизити площу під кривою (f (x) = x ^ 2 ) на інтервалі ([0,2] ); використовувати (n = 4 ).

Рішення

Спочатку розділіть інтервал ([0,2] ) на (n ) рівні подинтервали. Використовуючи (n = 4, , Δx = dfrac {(2−0)} {4} = 0,5 ). Це ширина кожного прямокутника. Інтервали ([0,0,5], [0,5,1], [1,1,5], [1,5,2] ) показані на малюнку ( PageIndex {5} ). За допомогою наближення лівої кінцевої точки висоти складають (f (0) = 0, , f (0,5) = 0,25, , f (1) = 1, ) та (f (1,5) = 2,25. ) Тоді,

[ початок {вирівнювання *} L_4 & = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx [4pt] & = 0 (0.5) +0.25 (0.5) +1 (0,5) +2,25 (0,5) [4pt] & = 1,75 , text {одиниці} ^ 2 кінець {вирівнювання *} ]

Наближення правої кінцевої точки показано на рисунку ( PageIndex {6} ). Інтервали однакові, (Δx = 0,5, ), але тепер використовуйте праву кінцеву точку для обчислення висоти прямокутників. Ми маємо

[ початок {вирівнювання *} R_4 & = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + f (x_3) Δx + f (x_4) Δx [4pt] & = 0,25 (0,5) +1 (0,5) +2,25 (0,5) +4 (0,5) [4pt] & = 3,75 , текст {одиниці} ^ 2 кінець {вирівнювання *} ]

Апроксимація лівої кінцевої точки дорівнює (1,75 , text {одиниці} ^ 2 ); наближення правої кінцевої точки - (3,75 , text {одиниці} ^ 2 ).

Вправа ( PageIndex {4} )

Намалюйте наближення лівої та правої кінцевих точок для (f (x) = dfrac {1} {x} ) на ([1,2] ); використовувати (n = 4 ). Приблизьте площу, використовуючи обидва методи.

Підказка

Дотримуйтесь стратегії вирішення в прикладі ( PageIndex {4} ) поетапно.

Відповідь

Апроксимація лівої кінцевої точки дорівнює (0,7595 , text {одиниці} ^ 2 ). Наближення правої кінцевої точки дорівнює (0,6345 , text {одиниці} ^ 2 ). Див. Нижче ЗМІ.

Переглядаючи малюнок ( PageIndex {4} ) та графіки в Прикладі ( PageIndex {4} ), ми можемо побачити, що коли ми використовуємо невелику кількість інтервалів, ні апроксимація лівої кінцевої точки, ні права- наближення кінцевої точки - це особливо точна оцінка площі під кривою. Однак представляється логічним, що якщо ми збільшимо кількість точок у нашому розділі, наша оцінка (A ) покращиться. У нас буде більше прямокутників, але кожен прямокутник буде тоншим, тож ми зможемо більш точно підганяти прямокутники до кривої.

На прикладі ми можемо продемонструвати покращене наближення, отримане через менші інтервали. Давайте дослідимо ідею збільшення (n ), спочатку в наближенні лівої кінцевої точки з чотирма прямокутниками, потім вісьмома прямокутниками і, нарешті, (32 ) прямокутниками. Тоді давайте зробимо те саме в наближенні правої кінцевої точки, використовуючи ті самі набори інтервалів, тієї ж кривої області. На рисунку ( PageIndex {7} ) показано область області під кривою (f (x) = (x − 1) ^ 3 + 4 ) на інтервалі ([0,2] ), використовуючи апроксимація лівої кінцевої точки, де (n = 4. ) Ширина кожного прямокутника

[Δx = dfrac {2−0} {4} = dfrac {1} {2}. Нечисло ]

Площа апроксимується підсумованими площами прямокутників, або

[L_4 = f (0) (0,5) + f (0,5) (0,5) + f (1) (0,5) + f (1,5) 0,5 = 7,5 , текст {одиниці} ^ 2 нечисло ]

На рисунку ( PageIndex {8} ) показана однакова крива, розділена на вісім подинтервалів. Порівнюючи графік з чотирма прямокутниками на малюнку ( PageIndex {7} ) з цим графіком з вісьмома прямокутниками, ми бачимо, що, здається, менше пробілу під кривою, коли (n = 8. ) Цей пробіл площа під кривою, яку ми не можемо включити, використовуючи наше наближення. Площа прямокутників становить

[L_8 = f (0) (0,25) + f (0,25) (0,25) + f (0,5) (0,25) + f (0,75) (0,25) + f (1) (0,25) + f (1,25) (0,25 ) + f (1,5) (0,25) + f (1,75) (0,25) = 7,75 , text {одиниці} ^ 2 нечисло ]

Графік на рисунку ( PageIndex {9} ) показує ту саму функцію з прямокутниками (32 ), вписаними під кривою. Здається, залишається мало вільного місця. Площа, зайнята прямокутниками, становить

[L_ {32} = f (0) (0,0625) + f (0,0625) (0,0625) + f (0,125) (0,0625) + ⋯ + f (1,9375) (0,0625) = 7,9375 , текст {одиниці} ^ 2. нечисельний ]

Ми можемо провести подібний процес для методу наближення правої кінцевої точки. Наближення правої кінцевої точки тієї ж кривої, використовуючи чотири прямокутники (Рисунок ( PageIndex {10} )), дає площу

[R_4 = f (0,5) (0,5) + f (1) (0,5) + f (1,5) (0,5) + f (2) (0,5) = 8,5 , text {одиниці} ^ 2. Нечисло ]

Ділення області на інтервал ([0,2] ) на вісім прямокутників призводить до (Δx = dfrac {2−0} {8} = 0,25. ) Графік показаний на рисунку ( PageIndex { 11} ). Площа є

[R_8 = f (0,25) (0,25) + f (0,5) (0,25) + f (0,75) (0,25) + f (1) (0,25) + f (1,25) (0,25) + f (1,5) (0,25 ) + f (1,75) (0,25) + f (2) (0,25) = 8,25 , text {одиниці} ^ 2 нечисло ]

Нарешті, наближення правої кінцевої точки з (n = 32 ) наближається до фактичної площі (рисунок ( PageIndex {12} )). Площа приблизно

[R_ {32} = f (0,0625) (0,0625) + f (0,125) (0,0625) + f (0,1875) (0,0625) + ⋯ + f (2) (0,0625) = 8,0625 , текст {одиниці} ^ 2 нечисельний ]

Виходячи з цих цифр та розрахунків, виявляється, що ми на правильному шляху; здається, прямокутники наближають площу під кривою краще, коли (n ) стає більшим. Крім того, із збільшенням (n ) наближення лівої та правої кінцевих точок наближаються до площі (8 ) квадратних одиниць. У таблиці ( PageIndex {15} ) показано числове порівняння методів лівої та правої кінцевих точок. Думка про те, що апроксимації площі під кривою стають все кращими та кращими, коли (n ) стає все більшою та більшою, дуже важлива, і тепер ми досліджуємо цю ідею більш докладно.

Таблиця ( PageIndex {15} ): Збіжні значення наближень лівої та правої кінцевих точок при збільшенні (n )
Значення (n )Приблизна площа (L_n )Приблизна площа (R_n )
(n = 4 )(7.5)(8.5)
(n = 8 )(7.75)(8.25)
(n = 32 )(7.94)(8.06)

Формування Рімана Сум

Дотепер ми використовували прямокутники для наближення площі під кривою. Висоти цих прямокутників були визначені шляхом обчислення функції в правій або лівій кінцевій точці субінтервалу ([x_ {i − 1}, x_i] ). Насправді немає підстав обмежувати оцінку функції лише одним із цих двох пунктів. Ми могли б оцінити функцію в будь-якій точці (x ^ ∗ _ i ) субінтервалу ([x_ {i − 1}, x_i] ) і використовувати (f (x ^ ∗ _ i) ) як висоту нашого прямокутника. Це дає нам оцінку площі форми

[A≈ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx. ]

Сума цієї форми називається сумою Рімана, названою на честь математика 19 століття Бернарда Рімана, який розвинув цю ідею.

Визначення: сума Рімана

Нехай (f (x) ) визначається на замкненому інтервалі ([a, b] ) і нехай (P ) - будь-який розділ ([a, b] ). Нехай (Δx_i ) - ширина кожного подинтервалу ([x_ {i − 1}, x_i] ) і для кожного (i ), нехай (x ^ ∗ _ i ) - будь-яка точка в ([x_ {i − 1}, , x_i] ). Сума Рімана для (f (x) ) визначена як

[ sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx_i. ]

На цьому етапі ми виберемо звичайний розділ (P ), як у наведених вище прикладах. Це змушує всі (Δx_i ) дорівнювати (Δx = dfrac {b-a} {n} ) для будь-якої природної кількості інтервалів (n ).

Нагадаємо, що з наближеннями лівої та правої кінцевих точок оцінки, здається, стають кращими та кращими, коли (n ) стають все більшими та більшими. Те саме відбувається із сумами Рімана. Суми Рімана дають кращі наближення для більших значень (n ). Тепер ми готові визначити площу під кривою через суми Рімана.

Визначення: Площа під кривою

Нехай (f (x) ) - неперервна, невід'ємна функція на інтервалі ([a, b] ), і нехай ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx ) - сума Рімана для (f (x) ) з регулярним розділом (P ). Потім, площа під кривою (y = f (x) ) на ([a, b] ) задано як

[A = lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) , Δx. ]

Дивіться графічну демонстрацію побудови суми Рімана.

Деякі тонкощі тут варто обговорити. По-перше, зверніть увагу, що прийняття межі суми дещо відрізняється від прийняття межі функції (f (x) ), оскільки (x ) йде до нескінченності. Обмеження сум детально обговорюються в главі про Послідовності та Серії; однак наразі ми можемо припустити, що обчислювальні методи, які ми використовували для обчислення меж функцій, також можуть бути використані для обчислення меж сум.

По-друге, ми повинні розглянути, що робити, якщо вираз сходиться до різних меж для різних варіантів ({x ^ ∗ _ i}. ) На щастя, цього не відбувається. Незважаючи на те, що доказ виходить за рамки цього тексту, можна показати, що якщо (f (x) ) безперервний на замкненому інтервалі ([a, b] ), то ( displaystyle lim_ {n → ∞} sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) існує і є унікальним (іншими словами, це не залежить від вибору ({x ^ ∗ _ i} )).

Нещодавно ми розглянемо деякі приклади. Але перед тим, як це зробити, давайте трохи поговоримо про деякі конкретні варіанти для ({x ^ ∗ _ i} ). Хоча будь-який вибір для ({x ^ ∗ _ i} ) дає нам оцінку площі під кривою, ми не обов'язково знаємо, чи є ця оцінка занадто високою (завищеною) чи занадто низькою (недооціненою). Якщо важливо знати, висока чи низька наша оцінка, ми можемо вибрати наше значення для ({x ^ ∗ _ i} ), щоб гарантувати той чи інший результат.

Наприклад, якщо ми хочемо переоцінити, ми можемо вибрати ({x ^ ∗ _ i} ) таким, що для (i = 1,2,3,…, n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ≥f (x) ) для всіх (x∈ [x_i − 1, x_i] ). Іншими словами, ми вибираємо ({x ^ ∗ _ i} ) так, щоб для (i = 1,2,3,…, n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ) була максимальна функція значення на інтервалі ([x_ {i − 1}, x_i] ). Якщо ми виберемо ({x ^ ∗ _ i} ) таким чином, то сума Рімана ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx ) називається верхня сума. Подібним чином, якщо ми хочемо недооцінити, ми можемо вибрати ({x ∗ i} ) так, щоб для (i = 1,2,3,…, n, ) (f (x ^ ∗ _ i) ) - мінімальне значення функції на інтервалі ([x_ {i − 1}, x_i] ). У цьому випадку пов'язана сума Рімана називається a нижча сума. Зверніть увагу, що якщо (f (x) ) або збільшується, або зменшується протягом інтервалу ([a, b] ), тоді максимальні та мінімальні значення функції виникають у кінцевих точках субінтервалів, тому верхнє та нижнє нижчі суми точно такі ж, як наближення лівої та правої кінцевих точок.

Приклад ( PageIndex {5} ): Пошук нижньої та верхньої сум

Знайдіть нижчу суму для (f (x) = 10 − x ^ 2 ) на ([1,2] ); нехай (n = 4 ) підінтервали.

Рішення

З (n = 4 ) через проміжок ([1,2], , Δx = dfrac {1} {4} ). Ми можемо перерахувати інтервали як ([1,1,25], , [1,25,1,5], , [1,5,1,75], ) та ([1,75,2] ). Оскільки функція зменшується за інтервал ([1,2], ) На малюнку видно, що нижча сума отримується за допомогою правих кінцевих точок.

Сума Рімана становить

[ початок {вирівнювання *} sum_ {k = 1} ^ 4 (10 − x ^ 2) (0,25) & = 0,25 [10− (1,25) ^ 2 + 10− (1,5) ^ 2 + 10− ( 1,75) ^ 2 + 10− (2) ^ 2] [4pt]
& = 0,25 [8,4375 + 7,75 + 6,9375 + 6] [4pt]
& = 7,28 , текст {одиниці} ^ 2. Кінець {вирівнювання *} ]

Площа (7,28 ) ( text {одиниці} ^ 2 ) є нижчою сумою і заниженою.

Вправа ( PageIndex {5} )

  1. Знайдіть верхню суму для (f (x) = 10 − x ^ 2 ) на ([1,2] ); нехай (n = 4. )
  2. Намалюйте наближення.
Підказка

(f (x) ) зменшується на ([1,2] ), тому максимальні значення функції виникають у лівих кінцевих точках субінтервалів.

Відповідь

а. Верхня сума = (8.0313 , text {одиниці} ^ 2. )

b.

Приклад ( PageIndex {6} ): Пошук нижньої та верхньої сум для (f (x) = sin x )

Знайдіть нижчу суму для (f (x) = sin x ) за інтервал ([a, b] = зліва [0, frac {π} {2} право] ); нехай (n = 6. )

Рішення

Давайте спочатку розглянемо графік на рисунку ( PageIndex {14} ), щоб отримати краще уявлення про область, що цікавить.

Інтервали: ( left [0, frac {π} {12} right], , left [ frac {π} {12}, frac {π} {6} right], , ліворуч [ frac {π} {6}, frac {π} {4} праворуч], , ліворуч [ frac {π} {4}, frac {π} {3} праворуч], , ліворуч [ frac {π} {3}, frac {5π} {12} праворуч] ) та ( ліворуч [ frac {5π} {12}, frac {π} {2 } праворуч] ). Зверніть увагу, що (f (x) = sin x ) збільшується на інтервалі ( ліворуч [0, frac {π} {2} праворуч] ), тому наближення лівої кінцевої точки дає нам нижчий сума. Наближенням лівої кінцевої точки є сума Рімана ( sum_ {i = 0} ^ 5 sin x_i left ( tfrac {π} {12} right) ).

[A≈ sin (0) ліворуч ( tfrac {π} {12} праворуч) + sin ліворуч ( tfrac {π} {12} праворуч) ліворуч ( tfrac {π} {12 } праворуч + sin ліворуч ( tfrac {π} {6} праворуч) ліворуч ( tfrac {π} {12} праворуч) + sin ліворуч ( tfrac {π} {4} праворуч) ліворуч ( tfrac {π} {12} праворуч) + sin ліворуч ( tfrac {π} {3} праворуч) ліворуч ( tfrac {π} {12} праворуч) + sin ліворуч ( tfrac {5π} {12} праворуч) ліворуч ( tfrac {π} {12} праворуч) приблизно 0,863 , текст {одиниці} ^ 2. нечисельний ]

Вправа ( PageIndex {6} )

Використовуючи функцію (f (x) = sin x ) за інтервал ( ліворуч [0, frac {π} {2} праворуч], ) знаходимо верхню суму; нехай (n = 6. )

Підказка

Виконайте кроки з прикладу ( PageIndex {6} ).

Відповідь

(A≈1.125 , text {одиниці} ^ 2 )

Ключові поняття

  • Використання сигма (підсумовування) позначення форми ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ na_i ) корисно для вираження довгих сум значень у компактній формі.
  • Для неперервної функції, визначеної на інтервалі ([a, b], ), процес ділення інтервалу на (n ) рівних частин, розширення прямокутника до графіка функції, обчислення площ ряду прямокутників, а потім підсумовування площ дає апроксимацію площі цієї області.
  • При використанні звичайного розділу ширина кожного прямокутника дорівнює (Δx = dfrac {b − a} {n} ).
  • Суми Рімана є виразами форми ( displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx, ) і можуть бути використані для оцінки площі під кривою (y = f (x). ) Наближення лівої та правої кінцевих точок - це особливі види сум Рімана, де значення ({x ^ ∗ _ i} ) обрані відповідно лівою або правою кінцевими точками підінтервалів.
  • Суми Рімана дозволяють забезпечити велику гнучкість у виборі набору точок ({x ^ ∗ _ i} ), в яких оцінюється функція, часто з огляду на отримання нижчої суми або верхньої суми.

Ключові рівняння

  • Властивості позначення Sigma

[ початок {вирівнювання *} sum_ {i = 1} ^ nc & = nc [4pt]
sum_ {i = 1} ^ nca_i & = c sum_ {i = 1} ^ na_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i + b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i + sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ n (a_i − b_i) & = sum_ {i = 1} ^ na_i− sum_ {i = 1} ^ nb_i [4pt]
sum_ {i = 1} ^ na_i & = sum_ {i = 1} ^ ma_i + sum_ {i = m + 1} ^ na_i end {align *} ]

  • Суми та повноваження цілих чисел

[ sum_ {i = 1} ^ ni = 1 + 2 + ⋯ + n = dfrac {n (n + 1)} {2} nonumber ]

[ sum_ {i = 1} ^ ni ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + ⋯ + n ^ 2 = dfrac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} nonumber ]

[ sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + ⋯ + n ^ 3 = dfrac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2} {4} нечисло ]

  • Апроксимація лівої кінцевої точки

(A≈L_n = f (x_0) Δx + f (x_1) Δx + ⋯ + f (x_ {n − 1}) Δx = displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_ {i − 1}) Δx )

  • Наближення правої кінцевої точки

(A≈R_n = f (x_1) Δx + f (x_2) Δx + ⋯ + f (x_n) Δx = displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x_i) Δx )

Глосарій

апроксимація лівої кінцевої точки
апроксимація площі під кривою, обчислена за допомогою лівої кінцевої точки кожного подинтервалу для обчислення висоти вертикальних сторін кожного прямокутника
нижча сума
сума, отримана з використанням мінімального значення (f (x) ) для кожного подинтервалу
розділ
набір точок, що ділить інтервал на подинтервали
звичайний розділ
розділ, у якому всі подинтервали мають однакову ширину
сума Рімана
оцінка площі під кривою форми (A≈ displaystyle sum_ {i = 1} ^ nf (x ^ ∗ _ i) Δx )
наближення правої кінцевої точки
наближення правої кінцевої точки - це апроксимація площі прямокутників під кривою за допомогою правої кінцевої точки кожного подинтервалу для побудови вертикальних сторін кожного прямокутника
позначення сигма
(також, підсумовування) грецька буква сигма ( (Σ )) вказує на додавання значень; значення індексу над і під сигмою вказують, з чого починати підсумовування і де його закінчувати
верхня сума
сума, отримана з використанням максимального значення (f (x) ) для кожного подинтервалу

Співавтори та атрибуції

  • Гілберт Стренг (Массачусетський технологічний інститут) та Едвін "Джед" Герман (Харві Мадд) з багатьма авторами-авторами. Цей вміст OpenStax ліцензовано за ліцензією CC-BY-SA-NC 4.0. Завантажте безкоштовно на http://cnx.org.


Відстань

Відстань - це чисельне вимірювання відстані між собою предметів або точок. У фізиці чи повсякденному використанні відстань може стосуватися фізичної довжини або оцінки, заснованої на інших критеріях (наприклад, "над двома округами"). Відстань від точки A до точки B іноді позначають як | A B | < displaystyle | AB |>. [1] У більшості випадків "відстань від А до В" взаємозамінна з "відстань від В до А". У математиці функція відстані або метрика - це узагальнення поняття фізичної відстані, це спосіб описати, що означає для елементів деякого простору бути «близько» або «далеко» один від одного. У психології та соціальних науках відстань є нечисельним виміром. Психологічна відстань визначається як "різні способи, якими об'єкт може бути вилучений з" Я за такими розмірами, як "час, простір, соціальна відстань і гіпотетичність. [2 ]


Сірий багатокутник - це шестикутник.

Помаранчевий багатокутник - чотирикутник.

Зелений багатокутник - восьмикутник.

Коричневий багатокутник - трикутник.

Фіолетовий багатокутник - це квадрат.

Рожевий багатокутник - трикутник.

Синій багатокутник - це прямокутник.

Жовтий багатокутник - п’ятикутник.

Існує багато способів знайти площі багатокутників. Один із способів - розбити кожен на трикутники та прямокутники. Ось один із способів зробити це:

Сірий багатокутник має площу 7 квадратних одиниць.

Помаранчевий багатокутник має площу 28,5 квадратних одиниць.

Зелений багатокутник має площу 7 квадратних одиниць.

Коричневий багатокутник має площу 7 квадратних одиниць.

Фіолетовий багатокутник має площу 9 квадратних одиниць.

Рожевий багатокутник має площу 6 квадратних одиниць.

Блакитний багатокутник має площу 15 квадратних одиниць.

Жовтий багатокутник має площу 19,5 квадратних одиниць.


  • Прості та складені числа (тематичні для Хеллоуїна)
  • Як фракції (тематичний CoVid-19)
  • Порівняння фракцій (Новий рік та тематичний день # 8217s) Робочі аркуші
  • Віднімання подібних дробів (Тематика китайського нового року)
  • Перетворення дробів у десяткові (на тему зими) робочі аркуші
  • Дроби в числовому рядку (літні тематичні) аркуші
  • Фактори та множники (вік 8-10) Робочі аркуші (космічна тематика)
  • Еквівалентні фракції (7-9 років) Робочі аркуші (тематичні закуски)
  • Додавання та віднімання подібних дробів та змішаних чисел із завданнями на слова (із знаменниками 8, 10, 12, 100)
  • Парні та непарні числа (6-8 років) Робочі аркуші (Тематичний день праці)
  • Віднімання багаточленів (вік 11–13) Робочі аркуші (Тема здоров’я)
  • Додавання радикалів (вік 12-14) Робочі аркуші (тематичний день Святого Валентина)
  • Додавання робочих аркушів радикальних виразів (12-14 років) (тематика Дня Святого Патріка & # 8217s)
  • Додаткові залучення грошей (7-8 років) Робочі аркуші (тематика супермаркету)
  • Додавання змішаних чисел (10-11 років) Робочі аркуші (авіаційна тематика)
  • Віднімання алгебраїчних виразів (12-14 років) Робочі аркуші (тематика 4 липня)
  • Додавання функцій (вік 12-14) Робочі аркуші (тематичні фестивалі)
  • Додавання неправильних фракцій (вік 9-10) Робочі аркуші (Тема Чорної п’ятниці)
  • Додавання багаточленів (вік 11-13) Робочі аркуші (Міжнародний тематичний день жінок & # 8217)
  • Додавання алгебраїчних виразів (12-14 років) Робочі аркуші (Тематичний день Землі)
  • Додавання правильних фракцій (вік 9-10) Робочі аркуші (Тематичний день виборів)
  • Застосування концепції довідкової статистики (оцінка параметрів) робочих аркушів
  • Порівняння вимірювань за допомогою робочих аркушів одиниць SI
  • Розв’язування багатоцифрових десяткових таблиць
  • Різні вимірювальні інструменти для робочих аркушів довжини
  • Вирішення проблем зі словом, що включає об’єм робочих аркушів циліндрів, конусів та сфер
  • Множення дробів на цілі числа із завданнями на слова (зі знаменниками від 2 до 6) Робочі аркуші
  • Масштабування робочих аркушів графічних графіків та гістограм
  • Визначення арифметичних зразків робочих аркушів чисел
  • Розв’язування проблем зі словом за допомогою робочих аркушів з раціональними числами

Helping with Math - один із найбільших постачальників робочих аркушів та генераторів математики в Інтернеті. Щороку ми надаємо якісні робочі аркуші з математики для понад 10 мільйонів вчителів та дошкільників.


Відстань між двома точками калькулятора

Відстань між двома точками на площині обчислюється за двома координатами (x1, y1) та (x2, y2). Просто введіть значення координат на цій відстані між двома точками калькулятора, щоб знайти її відстань.

Відстань між двома точками на площині обчислюється за двома координатами (x1, y1) та (x2, y2). Просто введіть значення координат на цій відстані між двома точками калькулятора, щоб знайти її відстань.

Формула:

Формула відстані є похідною від теореми Піфагора. Дане відстань між двома точками калькулятора is used to find the exact length between two points (x1, y1) and (x2, y2) in a 2d geographical coordinate system.

Draw a right-angled triangle with the line formed by the points, the distance between the two points can be calculated by finding the horizontal (x2 - x1) and vertical distances (y2 - y1).

The distance between two points calculation formula is similar to the right triangle rule, where the squared hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides. Provide the x1, y1, x2 and y2 values to find the distance using this distance between two points calculator.


1. Distance Formula

See more about Descartes in Functions and Graphs.

We have a right-angled triangle with hypotenuse length c, as shown:

Recall Pythagoras' Theorem, which tells us the length of the longest side (the hypotenuse) of a right triangle:

We use this to find the distance between any two points (х1, р1) та (х2, р2) on the cartesian (х-р) plane:

The point B (х2, р1) is at the right angle. We can see that:

  • The distance between the points A(х1, р1) і B(х2, р1) is simply х2 & мінус х1 і
  • The distance between the points C.(х2, р2) і B(х2, р1) is simply р2 & мінус р1.

Using Pythagoras' Theorem we can develop a formula for the distance d.


Математичне розуміння

Here's a quick sketch of how to calculate the distance from a point $P=(x_1,y_1,z_1)$ to a plane determined by normal vector $vc=(A,B,C)$ and point $Q=(x_0,y_0,z_0)$. The equation for the plane determined by $vc$ and $Q$ is $A(x-x_0)+B(y-y_0) +C(z-z_0) = 0$, which we could write as $Ax+By+Cz+D=0$, where $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$.

This applet demonstrates the setup of the problem and the method we will use to derive a formula for the distance from the plane to the point $P$.

Applet loading

Distance from point to plane. A sketch of a way to calculate the distance from point $color

$ (in red) to the plane. The vector $color>$ (in green) is a unit normal vector to the plane. You can drag point $color

$ as well as a second point $vc$ (in yellow) which is confined to be in the plane. Although the vector $color>$ does not change (as the plane is fixed), it moves with $color

$ to always be at the end of a gray line segment from $color

$ that is perpendicular to the plane. This distance from $color

$ to the plane is the length of this gray line segment. This distance is the length of the projection of the vector from $Q$ to $P$ (in purple) onto the normal vector $color>$.

The shortest distance from a point to a plane is along a line perpendicular to the plane. Therefore, the distance from point $P$ to the plane is along a line parallel to the normal vector, which is shown as a gray line segment. If we denote by $R$ the point where the gray line segment touches the plane, then $R$ is the point on the plane closest to $P$. The distance from $P$ to the plane is the distance from $P$ to $R$.

To calculate an expression for this distance in terms of the above quantities defining $P$ and the plane, we first calculate an expression for a unit normal vector $vc$, i.e., a normal vector of length one. It is simply $vc$ divided by its length: egin vc = frac><|vc|> = frac<(A,B,C)>>. кінець The unit normal vector $vc$ (in green) looks short because in the figure, the $x$, $y$, and $z$ axes each extend from $-5$ to 5.

Let $vc$ be the vector from $Q$ to $P$ (shown in blue). Since $P=(x_1,y_1,z_1)$ and $Q=(x_0,y_0,z_0)$, we calculate that $vc = (x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0)$. The length of the gray line, i.e., the distance from $P$ to the plane, is simply the length of the projection of $vc$ onto the unit normal vector $vc$. Since $vc$ is length one, this distance is simply the absolute value of the dot product $vc cdot vc$. We'll label the distance $d$ it is egin d &= | vc cdot vc | otag &= | (x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0) cdot vc | otag &= frac<| A(x_1-x_0) +B(y_1-y_0) +C(z_1-z_0)|>>. кінець This distance is shown on the cyan slider labeled by $d$ to the right of the figure.

Recall that we can also write the equation for the plane as $Ax+By+Cz+D=0$, with $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$. We'll substitute into the above formula, to arrive at the following expression for the distance from $P=(x_1,y_1,z_1)$ to the plane $Ax+By+Cz+D=0$: egin d = frac<|Ax_1+By_1+Cz_1 +D|>>. кінець From this final formula, you can see that the distance didn't depend on the point $Q=(x_0,y_0,z_0)$. As long as $Q$ is in the plane $Ax+By+Cz+D=0$, then we know that $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$. The two above formulas for $d$ are equivalent no matter where in the plane $Q$ is. It's clear from the figure how the distance $d$ shouldn't change as you move $Q$ around in the plane. The vector $vc$ changes, but its projection onto $vc$ is constant.

You can see an example of using this formula to calculate the distance from a point to a plane.


Select a starting unit for the Length or Distance conversion:

This table provides a summary of the Length or Distance units within their respective measurement systems.

Unit Symbol Measurement System Опис
inches in or " US Customary Units/Imperial System 36 inches = 1 yard
feet ft or ' US Customary Units/Imperial System 1 foot = 12 inches
yards yd US Customary Units/Imperial System 1 yard = 3 feet
миль mi US Customary Units/Imperial System 1 mile = 1760 yards or 5280 feet
picometers pm Metric System 1 m = 1,000,000,000,000 pm
nanometers nm Metric System 1 m = 1,000,000,000 nm
micrometers &mum Metric System 1 m = 1,000,000 &mum
millimeters mm Metric System 1 m = 1,000 mm
centimeters см Metric System 1 m = 100 cm
decimeters dm Metric System 1 m = 10 dm
метрів m Metric System base unit
decameters dam or dkm Metric System 1 dam = 10 m
hectometers hm Metric System 1 hm = 100 m
kilometers km Metric System 1 km = 1,000 m
megameters Mm Metric System 1 Mm = 1,000,000 m
gigameters Gm Metric System 1 Gm = 1,000,000,000 m
nautical miles M or NM or nmi Non-SI (International) 1 nmi = 1,852 meters
angstroms Å Non-SI (International) 10,000,000,000 Å = 1 m
rods rod Non-SI (International) 320 rods = 1 mile

Примітка: For Length and Distance conversions, US Customary Units and the Imperial System are equivalent.


Скарга DMCA

Якщо ви вважаєте, що вміст, доступний за допомогою Веб-сайту (як визначено в наших Умовах надання послуг), порушує одне або декілька ваших авторських прав, повідомте нас, надавши письмове повідомлення («Повідомлення про порушення»), що містить інформацію, описану нижче, до зазначеного агент, зазначений нижче. Якщо викладачі Varsity вживають заходів у відповідь на Повідомлення про порушення, вони добросовісно спробують зв’язатися зі стороною, яка надала такий вміст, за допомогою останньої електронної адреси, якщо така є, наданої такою стороною викладачам Varsity.

Ваше Повідомлення про порушення може бути передане стороні, яка надала вміст, або третім особам, таким як ChillingEffects.org.

Зверніть увагу, що ви будете нести відповідальність за збитки (включаючи витрати та винагороду адвокатів), якщо ви суттєво спотворюєте, що продукт чи діяльність порушує ваші авторські права. Таким чином, якщо ви не впевнені, що вміст, розміщений на веб-сайті або пов’язаний з ним, порушує ваші авторські права, вам слід заздалегідь звернутися до адвоката.

Виконайте ці кроки, щоб подати повідомлення:

Ви повинні включити наступне:

Фізичний або електронний підпис власника авторських прав або особи, уповноваженої діяти від їх імені Ідентифікація авторських прав, які, як стверджується, були порушені Опис природи та точного розташування вмісту, який, як ви стверджуєте, порушує ваші авторські права, не достатньо деталі, що дозволяють викладачам Varsity знаходити та позитивно ідентифікувати цей вміст, наприклад, нам потрібне посилання на конкретне запитання (а не тільки назва запитання), що містить зміст та опис конкретної частини запитання - зображення, посилання, текст тощо - ваша скарга стосується Вашого імені, адреси, номера телефону та адреси електронної пошти та Вашої заяви: (а) що ви сумлінно вірите в те, що використання вмісту, який, як ви стверджуєте, порушує ваші авторські права не уповноважений законом або власником авторських прав або агентом такого власника (b), що вся інформація, що міститься у Вашому Повідомленні про порушення, є точною, та (c) під страхом покарання за неправдиві свідчення, що Ви власник авторських прав або особа, уповноважена діяти від їх імені.

Надішліть свою скаргу нашому призначеному агенту за адресою:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луїс, Міссурі 63105


Projections and distances

We've now spent some time talking about projections and distances. This is an attempt to summarize that in some way or another. Recall how we found the vector projection of a vector b onto a vector а (figure 1, to the right): we said that the length of the projection is |b| cos(theta), and so, because

Next consider the other (unlabeled) vector in the figure. Це orthogonal projection з b на а, and its length is (hopefully obviously) |b| sin(theta). Recalling that

Points and Lines

Now, suppose we want to find the distance between a point and a line (top diagram in figure 2, below). That is, we want the distance d from the point P to the line L. The key thing to note is that, given some other point Питання on the line, the distance d is just the length of the orthogonal projection of the vector QP onto the vector v that points in the direction of the line! That is, we notice that the length d = |QP| sin(theta), where theta is the angle between QP і v. Так

Let's do an example. Suppose we want to know the distance between the point P = (1,3,8) and the line х(т) = -2 + т, р(т) = 1 - 2т, z(т) = -3 - т. We need some point ("Питання") on the line&mdashlet's take the point (-2, 1, -3). Then a vector from this point on the line to the point P is . This is the vector QP in the figure. We want the length d, який є

Points and Planes

Ok, how about the distance from a point to a plane? We'll do the same type of thing here. Consider the lower diagram in figure 2. Here we're trying to find the distance d between a point P and the given plane. Again, finding any point on the plane, Питання, we can form the vector QP, and what we want is the length of the projection of this vector onto the normal vector to the plane. But this is really easy, because given a plane we know what the normal vector is. So we can say

An example: find the distance from the point P = (1,3,8) to the plane х - 2р - z = 12. We need a point on the plane. Hmm. There sure are a lot of them to choose from. :) Let's pick something easy: I'll pick х = 3, р = -3 and z = -3. (Why? Just because they have to satisfy the equation х - 2р - z = 12, and I was picking numbers to try and keep х, р і z moderately small.) Then our point Питання = (3,-3,-3). A vector from the plane to P є QP = , so

Why did we use the angle theta opposite the component of the vector giving the distance in the case of the line, and the angle adjacent for the plane? It all has to do with what we know: in the case of the line, we already know the vector that points along the line, so if we start doing dot or cross products with this vector, the angle that's involved will be the angle we used. Similarly for a plane, the vector associated with the plane that we know is the normal, so we're interested in angles from this vector to other vectors.


Перегляньте відео: Задания с параметром 4 (Найясніший 2022).