Статті

3.6: Перетворення функцій - математика

3.6: Перетворення функцій - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Мета навчання

  • Графічні функції з використанням вертикальних і горизонтальних зсувів.
  • Графічні функції з використанням відображень навколо осі х та осі у.
  • Визначте, є функція парною, непарною чи жодною з її графіків.
  • Графічні функції з використанням стиснення та розтягування.
  • Об'єднати перетворення.

Ми всі знаємо, що плоске дзеркало дозволяє нам бачити точне зображення себе і того, що є за нами. Коли ми нахиляємо дзеркало, зображення, які ми бачимо, можуть зміщуватися по горизонталі або вертикалі. Але що відбувається, коли ми згинаємо гнучке дзеркало? Подібно дзеркалу карнавального веселого будинку, воно представляє нам спотворене зображення нас самих, розтягнутих або стиснених по горизонталі чи вертикалі. Подібним чином ми можемо спотворити або перетворити математичні функції, щоб краще адаптувати їх до опису об’єктів або процесів у реальному світі. У цьому розділі ми розглянемо кілька видів трансформацій.

Часто, коли дається проблема, ми намагаємося змоделювати сценарій, використовуючи математику у вигляді слів, таблиць, графіків та рівнянь. Одним із методів, який ми можемо застосувати, є адаптація основних графіків функцій набору інструментів для побудови нових моделей для даного сценарію. Існують систематичні способи зміни функцій для побудови відповідних моделей для проблем, які ми намагаємось вирішити.

Визначення вертикальних зрушень

Один простий вид перетворення передбачає зміщення всього графіку функції вгору, вниз, вправо або вліво. Найпростіший зсув - це вертикальний зсув, переміщення графіка вгору або вниз, оскільки це перетворення передбачає додавання додатної або від’ємної сталої до функції. Іншими словами, ми додаємо ту саму константу до вихідного значення функції незалежно від вхідних даних. Для функції (g (x) = f (x) + k ) функція (f (x) ) зсувається по вертикалі (k ) одиниць. Для прикладу див. Рисунок ( PageIndex {2} ).

Щоб допомогти вам наочно уявити поняття вертикального зсуву, врахуйте, що (y = f (x) ). Отже, (f (x) + k ) еквівалентно (y + k ). Кожна одиниця (у ) замінюється на (у + к ), тому значення (у ) - збільшується або зменшується залежно від значення (к ). Результатом є зміщення вгору або вниз.

Визначення: вертикальний зсув

Враховуючи функцію (f (x) ), нова функція (g (x) = f (x) + k ), де (k ) - константа, є вертикальний зсув функції (f (x) ). Всі вихідні значення змінюються на (k ) одиниць. Якщо (k ) додатне, графік зміщується вгору. Якщо (k ) від’ємне, графік зміщується вниз.

Приклад ( PageIndex {1} ): Додавання константи до функції

Для регулювання температури в зеленій будівлі вентиляційні отвори біля даху відкриваються і закриваються протягом дня. На малюнку ( PageIndex {3} ) показана площа відкритих вентиляційних отворів (V ) (у квадратних футах) протягом дня в годинах після півночі, (t ). Влітку керівник закладу вирішує спробувати краще регулювати температуру, збільшуючи кількість відкритих вентиляційних отворів на 20 квадратних футів протягом дня та ночі. Намалюйте графік цієї нової функції.

Рішення

Ми можемо намалювати графік цієї нової функції, додавши 20 до кожного з вихідних значень вихідної функції. Це призведе до зміщення графіка вертикально вгору, як показано на малюнку ( PageIndex {4} ).

Зверніть увагу, що на рисунку ( PageIndex {4} ) для кожного вхідного значення вихідне значення збільшилось на 20, тому, якщо ми викликаємо нову функцію (S (t) ), ми могли б написати

[S (t) = V (t) +20 ]

Цей запис говорить нам, що для будь-якого значення (t ) можна знайти (S (t) ), обчислюючи функцію (V ) на тому самому вході, а потім додаючи до результату 20. Це визначає (S ) як перетворення функції (V ), у цьому випадку вертикальний зсув вгору на 20 одиниць. Зверніть увагу, що при вертикальному зсуві вхідні значення залишаються незмінними і змінюються лише вихідні значення. Див. Таблицю ( PageIndex {1} ).

Таблиця ( PageIndex {1} )

(t )

0810171924

(V (t) )

0022022000

(S (t) )

20202402402020

Як...

Отримавши табличну функцію, створіть новий рядок, який представлятиме вертикальний зсув.

  1. Визначте вихідний рядок або стовпець.
  2. Визначте величини зміни.
  3. Додайте зсув до значення в кожній вихідній комірці. Додайте додатне значення для вгору або від’ємне значення для вниз.

Приклад ( PageIndex {2} ): Зміщення табличної функції вертикально

Функція (f (x) ) подана в таблиці ( PageIndex {2} ). Створіть таблицю для функції (g (x) = f (x) −3 ).

Таблиця ( PageIndex {2} )

(х )

2468

(f (x) )

13711

Рішення

Формула (g (x) = f (x) −3 ) говорить нам, що ми можемо знайти вихідні значення (g ), віднімаючи 3 з вихідних значень (f ). Наприклад:

[ begin {вирівнювання *} f (x) & = 1 & text {Дано} [4pt] g (x) & = f (x) -3 & text {Дано перетворення} [4pt] g (2) & = f (2) −3 & = 1-3 & = - 2 end {вирівнювання *} ]

Віднімаючи від кожного значення (f (x) ) 3, ми можемо заповнити таблицю значень для (g (x) ), як показано в таблиці ( PageIndex {3} ).

Таблиця ( PageIndex {3} )

(х )

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

-2048

Аналіз

Як і при попередньому вертикальному зсуві, зауважте, що вхідні значення залишаються незмінними і змінюються лише вихідні значення.

Вправа ( PageIndex {1} )

Функція (h (t) = - 4,9t ^ 2 + 30t ) дає висоту (h ) кулі (у метрах), кинутої вгору від землі через (t ) секунд. Припустимо, натомість м’яч було кинуто з вершини 10-метрової будівлі. Зв’яжіть цю нову функцію висоти (b (t) ) з (h (t) ), а потім знайдіть формулу для (b (t) ).

Відповідь

(b (t) = h (t) + 10 = -4,9t ^ 2 + 30t + 10 )

Визначення горизонтальних зсувів

Ми щойно побачили, що вертикальний зсув - це зміна вихідного чи зовнішнього значення функції. Зараз ми розглянемо, як зміни у введенні на внутрішній стороні функції змінюють її графік та значення. Зсув до введення призводить до руху графіка функції вліво або вправо у тому, що називається a горизонтальний зсув, показано на малюнку ( PageIndex {4} ).

Наприклад, якщо (f (x) = x ^ 2 ), то (g (x) = (x − 2) ^ 2 ) є новою функцією. Кожен вхід зменшується на 2 перед квадратурою функції. Результат полягає в тому, що графік зміщується на 2 одиниці вправо, тому що нам потрібно було б збільшити попереднє введення на 2 одиниці, щоб отримати те саме вихідне значення, що вказане в (f ).

Визначення: горизонтальний зсув

Враховуючи функцію (f ), нова функція (g (x) = f (x − h) ), де (h ) - константа, є горизонтальний зсув функції (f ). Якщо (h ) додатне, графік зміститься вправо. Якщо (h ) від’ємне, графік зміститься вліво.

Приклад ( PageIndex {4} ): Додавання константи до вводу

Повертаючись до нашого прикладу повітряного потоку в будівлі з рисунка ( PageIndex {2} ), припустимо, що восени менеджер установ вирішує, що початковий план вентиляції починається занадто пізно, і хоче розпочати всю програму вентиляції на 2 години раніше. Накресліть графік нової функції.

Рішення

Ми можемо встановити (V (t) ) як оригінальну програму, а (F (t) ) - як переглянуту програму.

[V (t) = text {оригінальний план вентиляції} nonumber ]

[F (t) = текст {починається на 2 години раніше} нечисельний ]

На новому графіку кожен раз потік повітря такий же, як вихідна функція (V ) була через 2 години. Наприклад, у вихідній функції (V ) потік повітря починає змінюватися о 8 ранку, тоді як для функції (F ) потік повітря починає змінюватися о 6 ранку. Порівняні значення функції - (V (8 ) = F (6) ). Див. Малюнок ( PageIndex {5} ). Зауважте також, що вентиляційні отвори вперше відкрились до (220 text {ft} ^ 2 ) о 10 ранку за початковим планом, тоді як за новим планом вентиляційні отвори досягають (220 text {ft} ^ 2 ) о 8 am, значить (V (10) = F (8) ).

В обох випадках ми бачимо це, оскільки (F (t) ) починається на 2 години раніше, (h = −2 ). Це означає, що однакові вихідні значення досягаються, коли (F (t) = V (t - (- 2)) = V (t + 2) ).

Аналіз

Зверніть увагу, що (V (t + 2) ) впливає на зміщення графіку вліво.

Горизонтальні зміни або “внутрішні зміни” впливають на область функції (вхід) замість діапазону і часто здаються неінтуїтивними. Нова функція (F (t) ) використовує ті самі результати, що і (V (t) ), але збігає ці виходи з входами на 2 години раніше, ніж з (V (t) ). Зазначений інший спосіб, ми повинні додати 2 години на вхід (V ), щоб знайти відповідний результат для (F: F (t) = V (t + 2) ).

Як...

Отримавши табличну функцію, створіть новий рядок, який представляє горизонтальний зсув.

  1. Визначте вхідний рядок або стовпець.
  2. Визначте величину зсуву.
  3. Додайте зсув до значення в кожній вхідній комірці.

Приклад ( PageIndex {5} ): Зміщення табличної функції по горизонталі

Функція (f (x) ) подана в таблиці ( PageIndex {4} ). Створіть таблицю для функції (g (x) = f (x − 3) ).

Таблиця ( PageIndex {4} )

(х )

2468

(f (x) )

13711

Рішення

Формула (g (x) = f (x − 3) ) говорить нам, що вихідні значення (g ) однакові з вихідними значеннями (f ), коли вхідне значення на 3 менше, ніж вихідне значення. Наприклад, ми знаємо, що (f (2) = 1 ). Щоб отримати той самий результат з функції (g ), нам знадобиться вхідне значення, яке на 3 більше. Ми вводимо значення, яке на 3 більше для (g (x) ), оскільки функція віднімає 3, перш ніж оцінювати функцію (f ).

[ початок {вирівнювання *} g (5) & = f (5-3) & = f (2) & = 1 кінець {вирівнювання *} ]

Ми продовжуємо інші значення для створення таблиці ( PageIndex {5} ).

Таблиця ( PageIndex {5} )

(х )

57911

(х-3 )

2468

(f (x) )

13711

(g (x) )

13711

Результатом є те, що функція (g (x) ) була зміщена вправо на 3. Зверніть увагу, що вихідні значення для (g (x) ) залишаються такими ж, як вихідні значення для (f (x) ), але відповідні вхідні значення, (x ), змістилися вправо на 3. Зокрема, 2 змістилися на 5, 4 - на 7, 6 - на 9, а 8 - на 11.

Аналіз

Рисунок ( PageIndex {6} ) представляє обидві функції. Ми бачимо горизонтальний зсув у кожній точці.

Приклад ( PageIndex {6} ): Визначення горизонтального зсуву функції набору інструментів

Рисунок ( PageIndex {7} ) представляє перетворення функції набору інструментів (f (x) = x ^ 2 ). Зв’яжіть цю нову функцію (g (x) ) з (f (x) ), а потім знайдіть формулу для (g (x) ).

Рішення

Зверніть увагу, що графік ідентичний за формою функції (f (x) = x ^ 2 ), але значення (x ) - зміщені вправо на 2 одиниці. Колись вершина знаходилася в ((0,0) ), а тепер вершина знаходиться в ((2,0) ). Графік - це основна квадратична функція, зміщена на 2 одиниці вправо, отже

[g (x) = f (x − 2) нечисельне ]

Зверніть увагу, як ми повинні ввести значення (x = 2 ), щоб отримати вихідне значення (y = 0 ); значення (x ) - повинні бути на 2 одиниці більшими через зміщення вправо на 2 одиниці. Потім ми можемо використовувати визначення функції (f (x) ) для написання формули для (g (x) ), обчислюючи (f (x − 2) ).

[ begin {вирівнювання *} f (x) & = x ^ 2 g (x) & = f (x-2) g (x) & = f (x-2) = (x-2 ) ^ 2 кінець {вирівнювання *} ]

Аналіз

Щоб визначити, чи є зсув (+ 2 ) чи (- 2 ), розглянемо одну орієнтирну точку на графіку. Для квадратичного зручний огляд точки вершини. У вихідній функції (f (0) = 0 ). У нашій зрушеній функції (g (2) = 0 ). Щоб отримати вихідне значення 0 з функції (f ), нам потрібно вирішити, чи буде знак плюса чи мінуса працювати, щоб задовольнити (g (2) = f (x − 2) = f (0) = 0 ). Щоб це працювало, нам потрібно буде відняти 2 одиниці з наших вхідних значень.

Приклад ( PageIndex {7} ): Інтерпретація горизонтальних та вертикальних зсувів

Функція (G (m) ) визначає кількість галонів газу, необхідного для проїзду (m ) миль. Інтерпретувати (G (m) +10 ) та (G (m + 10) )

Рішення

(G (m) +10 ) можна інтерпретувати як додавання 10 до виходу, галони. Це газ, необхідний для проїзду (м ) миль, плюс ще 10 галонів газу. Графік означав би вертикальний зсув.

(G (m + 10) ) можна інтерпретувати як додавання 10 до входу, миль. Отже, це кількість галонів газу, необхідна для проїзду на 10 миль більше, ніж (м ) миль. Графік означав би горизонтальний зсув.

Вправа ( PageIndex {7} )

Враховуючи функцію (f (x) = sqrt {x} ), графікуйте вихідну функцію (f (x) ) та перетворення (g (x) = f (x + 2) ) на однакові сокири. Це горизонтальний чи вертикальний зсув? Яким шляхом зміщений графік і на скільки одиниць?

Відповідь

Графіки (f (x) ) та (g (x) ) показані нижче. Перетворення - це горизонтальний зсув. Функція зміщена вліво на 2 одиниці.

Поєднання вертикальних і горизонтальних зсувів

Тепер, коли ми маємо дві трансформації, ми можемо поєднати їх разом. Вертикальні зсуви - це зовнішні зміни, які впливають на вихідні значення ((у -) ) осі та зміщують функцію вгору або вниз. Горизонтальні зсуви - це внутрішні зміни, які впливають на значення вхідної ((х -) ) осі та зміщують функцію вліво або вправо. Поєднання двох типів зсувів призведе до того, що графік функції зміщуватиметься вгору чи вниз та вправо чи вліво.

Як...

Враховуючи функцію і вертикальний, і горизонтальний зсув, накидайте графік.

  1. Визначте вертикальний та горизонтальний зсуви з формули.
  2. Вертикальний зсув є результатом константи, доданої до результату. Перемістіть графік вгору для позитивної константи та вниз для від’ємної константи.
  3. Горизонтальний зсув є результатом константи, доданої на вхід. Перемістіть графік вліво для позитивної константи та вправо для від’ємної константи.
  4. Застосовуйте зсуви до графіку в будь-якому порядку.

Приклад ( PageIndex {8} ): Графічне поєднання вертикальних і горизонтальних зсувів

Дано (f (x) = | x | ), накресліть графік (h (x) = f (x + 1) −3 ).

Рішення

Функція (f ) - це наша функція абсолютного значення набору інструментів. Ми знаємо, що цей графік має форму V, з точкою у початку координат. Графік (h ) перетворив (f ) двома способами: (f (x + 1) ) - це зміна внутрішньої частини функції, що дає горизонтальний зсув, залишений на 1, і віднімання на 3 в (f (x + 1) −3 ) - це зміна зовнішньої частини функції, що дає вертикальний зсув вниз на 3. Перетворення графіка показано на малюнку ( PageIndex {9} ).

Будемо слідувати одній точці графіка (f (x) = | x | ).

  • Точка ((0,0) ) перетворюється спочатку шляхом зміщення вліво на 1 одиницю: ((0,0) rightarrow (−1,0) )
  • Точка ((- - 1,0) ) перетворюється далі, зміщуючи вниз 3 одиниці: ((- 1,0) rightarrow (−1, −3) )

На рисунку ( PageIndex {10} ) показано графік (h ).

Вправа ( PageIndex {8} )

Дано (f (x) = | x | ), накресліть графік (h (x) = f (x − 2) +4 ).

Відповідь

Приклад ( PageIndex {9} ): Визначення комбінованих вертикальних та горизонтальних зсувів

Напишіть формулу для графіку, показаного на малюнку ( PageIndex {12} ), який є перетворенням функції квадратного кореня набору інструментів.

Рішення

Графік функції набору інструментів починається з початку координат, тому цей графік зміщений на 1 вправо та вгору на 2. У позначенні функції ми могли б записати це як

[h (x) = f (x − 1) +2 нечисло ]

Використовуючи формулу функції квадратного кореня, ми можемо писати

[h (x) = sqrt {x − 1} +2 нечисло ]

Аналіз

Зверніть увагу, що це перетворення змінило область і діапазон функції. Цей новий графік має домен ( ліворуч [1, infty праворуч) ) та діапазон ( ліворуч [2, infty праворуч) ).

Вправа ( PageIndex {9} )

Напишіть формулу для перетворення взаємної функції набору інструментів (f (x) = frac {1} {x} ), яка зміщує графік функції на одну одиницю вправо та на одну одиницю вгору.

Відповідь

[g (x) = dfrac {1} {x-1} +1 нечисло ]

Графічні функції з використанням роздумів про осі

Іншим перетворенням, яке можна застосувати до функції, є відображення над віссю x або y. A вертикальне відбиття відображає графік вертикально по осі х, тоді як a горизонтальне відображення відображає графік горизонтально по осі y. Відображення показано на малюнку ( PageIndex {13} ).

.

Зверніть увагу, що вертикальне відбиття створює новий графік, який є дзеркальним відображенням основи або вихідного графіка щодо осі х. Горизонтальне відбиття створює новий графік, який є дзеркальним відображенням основи або вихідного графіка щодо осі y.

Визначення: Роздуми

Враховуючи функцію (f (x) ), новою функцією (g (x) = - f (x) ) є вертикальне відбиття функції (f (x) ), яку іноді називають відображенням щодо (або над, або через) вісь x.

Враховуючи функцію (f (x) ), новою функцією (g (x) = f (−x) ) є горизонтальне відбиття функції (f (x) ), яку іноді називають відображенням щодо осі y.

Як...

Дана функція відображає графік як вертикально, так і горизонтально.

  1. Помножте всі виходи на –1 для вертикального відбиття. Новий графік є відображенням вихідного графіка щодо осі х.
  2. Помножте всі входи на –1 для горизонтального відбиття. Новий графік є відображенням вихідного графіка щодо осі y.

Приклад ( PageIndex {10} ): Відображення графіку по горизонталі та вертикалі

Відобразіть графік (s (t) = sqrt {t} ) (a) по вертикалі та (b) по горизонталі.

Рішення

а. Відображення графіка вертикально означає, що кожне вихідне значення буде відображено над горизонтальною віссю t, як показано на малюнку ( PageIndex {14} ).

Оскільки кожне вихідне значення протилежне вихідному вихідному значенню, ми можемо писати

[V (t) = - s (t) text {або} V (t) = - sqrt {t} nonumber ]

Зверніть увагу, що це зовнішня зміна або вертикальний зсув, що впливає на вихідні значення (s (t) ), тому негативний знак належить поза функцією.

b. Відбиття по горизонталі означає, що кожне вхідне значення буде відображено над вертикальною віссю, як показано на малюнку ( PageIndex {15} ).

Оскільки кожне вхідне значення протилежне вихідному вхідному значенню, ми можемо писати

[H (t) = s (−t) text {або} H (t) = sqrt {−t} нечисло ]

Зверніть увагу, що це внутрішня зміна або горизонтальна зміна, яка впливає на вхідні значення, тому від’ємний знак знаходиться всередині функції.

Зверніть увагу, що ці перетворення можуть впливати на область і діапазон функцій. Хоча вихідна функція квадратного кореня має домен ( ліворуч [0, infty праворуч) ) та діапазон ( ліворуч [0, infty праворуч) ), вертикальне відбиття дає (V (t) ) функція діапазону ( ліворуч (- infty, 0 right] ), а горизонтальне відображення надає функції (H (t) ) домен ( left (- infty, 0 right] ).

Вправа ( PageIndex {5} )

Відобразіть графік (f (x) = | x − 1 | ) (a) по вертикалі та (b) по горизонталі.

Відповідь

а.

b.

Приклад ( PageIndex {11} ): Відображення табличної функції по горизонталі та вертикалі

Функція (f (x) ) задана як Таблиця ( PageIndex {6} ). Створіть таблицю для функцій нижче.

а. (g (x) = - f (x) )
b. (h (x) = f (−x) )

Таблиця ( PageIndex {6} )

(х )

2468

(f (x) )

13711

а. Для (g (x) ) від'ємний знак поза функцією вказує на вертикальне відбиття, тому значення x залишаються незмінними, і кожне вихідне значення буде протилежним вихідному вихідному значенню. Див. Таблицю ( PageIndex {7} ).

Таблиця ( PageIndex {7} )

(х )

2468

(g (x) )

-1-3-7-11

b. Для (h (x) ) від'ємний знак усередині функції позначає горизонтальне відбиття, тому кожне вхідне значення буде протилежним початковому вхідному значенню, а значення (h (x) ) залишатимуться однаковими як (f (x) ) значення. Див. Таблицю ( PageIndex {8} ).

Таблиця ( PageIndex {8} )

(х )

-2-4-6-8

(h (x) )

13711

Вправа ( PageIndex {6} )

Функція (f (x) ) задана як Таблиця ( PageIndex {9} ). (h (x) = f (−x) )

Таблиця ( PageIndex {9} )

(х )

-2024

(f (x) )

5101520
Відповідь

а. (g (x) = - f (x) )

Таблиця ( PageIndex {10} )

(х )

-2024

(g (x) )

-5-10-15-20

b. (h (x) = f (−x) )

Таблиця ( PageIndex {11} )

(х )

-202-4

(h (x) )

1510520

Приклад ( PageIndex {12} ): Застосування рівняння моделі навчання

Типова модель навчання має рівняння, подібне до (k (t) = - 2 ^ {- t} +1 ), де (k ) - відсоток засвоєння, якого можна досягти після (t ) практичні заняття. Це перетворення функції (f (t) = 2 ^ t ), показаної на малюнку ( PageIndex {18} ). Накресліть графік (k (t) ).

Рішення

Це рівняння поєднує три перетворення в одне рівняння.

  • Горизонтальне відбиття: (f (−t) = 2 ^ {- t} )
  • Вертикальне відбиття: (- f (−t) = - 2 ^ {- t} )
  • Вертикальний зсув: (- f (−t) + 1 = −2 ^ {- t} +1 )

Ми можемо намалювати графік, застосовуючи ці перетворення по черзі до вихідної функції. Прослідкуємо за двома пунктами через кожну з трьох трансформацій. Виберемо точки ((0, 1) ) та ((1, 2) ).

  • Спочатку застосовуємо горизонтальне відображення: ((0, 1) ; (–1, 2) ).
  • Потім ми застосовуємо вертикальне відбиття: ((0, -1) ; (-1, –2) ).
  • Нарешті, ми застосовуємо вертикальний зсув: ((0, 0) ; (-1, -1) ).

Це означає, що початкові точки, ((0,1) ) та ((1,2) ) стають ((0,0) ) та ((- 1, -1) ) після того, як ми застосовувати перетворення.

На рисунку ( PageIndex {19} ) перший графік є результатом горизонтального відображення. Другий результат - вертикальне відображення. Третій результат - вертикальний зсув вгору на 1 одиницю.

Аналіз

Як модель для навчання ця функція буде обмежена доменом (t geq0 ) з відповідним діапазоном ( ліворуч [0,1 праворуч] ).

Вправа ( PageIndex {7} )

Враховуючи функцію набору інструментів (f (x) = x ^ 2 ), графік (g (x) = - f (x) ) та (h (x) = f (−x) ). Зверніть увагу на будь-яку дивовижну поведінку цих функцій.

Відповідь

Зверніть увагу: (g (x) = f (−x) ) виглядає так само, як (f (x) ).

Визначення парних і непарних функцій

Деякі функції демонструють симетрію, так що відображення призводять до вихідного графіка. Наприклад, горизонтальне відображення функцій набору інструментів (f (x) = x ^ 2 ) або (f (x) = | x | ) призведе до вихідного графіку. Ми говоримо, що ці типи графіків симетричні відносно осі y. Викликаються функції, графіки яких симетричні відносно осі y навіть функції.

Якби графіки (f (x) = x ^ 3 ) або (f (x) = frac {1} {x} ) відображалися по обох осях, результатом був би вихідний графік, як показано на малюнку ( PageIndex {21} ).

Ми говоримо, що ці графіки симетричні щодо початку координат. Функція з графіком, яка симетрична відносно початку координат, називається an непарна функція.

Примітка: Функція не може бути ні парною, ні непарною, якщо вона не має жодної симетрії. Наприклад, (f (x) = 2 ^ x ) не є ні парним, ні непарним. Крім того, єдиною функцією, яка є парною і непарною, є постійна функція (f (x) = 0 ).

Визначення: парні та непарні функції

Функція називається навіть функція якщо для кожного вводу (x )

(f (x) = f (−x) )

Графік парної функції симетричний відносно осі y.

Функція називається непарна функція якщо для кожного вводу (x )

(f (x) = - f (−x) )

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Як...

Враховуючи формулу функції, визначте, є функція парною, непарною чи жодною.

  1. Визначте, чи задовольняє функція (f (x) = f (−x) ). Якщо так, то навіть.
  2. Визначте, чи задовольняє функція (f (x) = - f (−x) ). Якщо так, це дивно.
  3. Якщо функція не задовольняє жодне правило, вона не є ні парною, ні непарною.

Приклад ( PageIndex {13} ): Визначення парної, непарної чи жодної функції

Чи є функція (f (x) = x ^ 3 + 2x ) парною, непарною чи жодною?

Рішення

Не дивлячись на графік, ми можемо визначити, є функція парною чи непарною, знаходячи формули для відображень та визначаючи, чи повертають вони нас до початкової функції. Почнемо з правила для парних функцій.

[f (−x) = (- x) ^ 3 + 2 (−x) = - x ^ 3−2x нечисло ]

Це не повертає нас до початкової функції, тому ця функція навіть не є рівною. Тепер ми можемо перевірити правило на непарні функції.

[- f (−x) = - (- x ^ 3−2x) = x ^ 3 + 2x нечисло ]

Оскільки (- f (−x) = f (x) ), це непарна функція.

Аналіз

Розглянемо графік (f ) на рисунку ( PageIndex {22} ). Зверніть увагу, що графік симетричний щодо початку координат. Для кожної точки ((x, y) ) на графіку відповідна точка ((- x, −y) ) також знаходиться на графіку. Наприклад, ((1, 3) ) знаходиться на графіку (f ), а відповідна точка ((- 1, −3) ) також знаходиться на графіку.

Вправа ( PageIndex {8} )

Функція (f (s) = s ^ 4 + 3s ^ 2 + 7 ) є парною, непарною чи жодною?

Відповідь

навіть

Графічні функції з використанням розтяжок та стиснення

Додавання константи до входів або виходів функції змінило положення графіка відносно осей, але це не вплинуло на форму графіка. Тепер ми досліджуємо ефекти множення вхідних чи вихідних даних на деяку кількість.

Ми можемо перетворити внутрішню частину (вхідні значення) функції або ми можемо перетворити зовнішню (вихідні значення) функції. Кожна зміна має певний ефект, який можна побачити графічно.

Вертикальні розтяжки та стиснення

Помноживши функцію на додатну константу, ми отримуємо функцію, графік якої розтягується або стискається вертикально по відношенню до графіка вихідної функції. Якщо константа більша за 1, ми отримуємо a вертикальна розтяжка; якщо константа знаходиться між 0 і 1, ми отримуємо a вертикальне стиснення. На рисунку ( PageIndex {23} ) показана функція, помножена на постійні коефіцієнти 2 і 0,5, і результуюче вертикальне розтягнення та стиснення.

Визначення: вертикальні розтяжки та стиснення

Дано функцію (f (x) ), нова функція (g (x) = af (x) ), де (a ) - константа, є вертикальна розтяжка або вертикальне стиснення функції (f (x) ).

Як...

Дана функція, графік її вертикального розтягування.

  1. Визначте значення (а ).
  2. Помножте всі значення діапазону на (a )
  3. Якщо (a> 1 ), графік розтягується на коефіцієнт (a ).
  4. Якщо (0
  5. Якщо (a <0 ), графік або розтягується, або стискається, а також відображається навколо осі х.

Приклад 1.5.14: Графік вертикального розтягування

Функція (P (t) ) моделює популяцію плодових мушок. Графік показаний на малюнку ( PageIndex {24} ).

Вчений порівнює цю популяцію з іншою популяцією, (Q ), чий зріст відбувається за тією ж схемою, але вдвічі більший. Накресліть графік цієї сукупності.

Рішення

Оскільки сукупність завжди вдвічі більша, вихідні значення нової сукупності завжди вдвічі перевищують вихідні значення вихідної функції. Графічно це показано на малюнку ( PageIndex {25} ).

Якщо ми виберемо чотири опорні точки, ((0, 1) ), ((3, 3) ), ((6, 2) ) та ((7, 0) ) ми перемножимо всі виходів на 2.

Далі показано, де будуть розташовані нові точки для нового графіку.

[(0, 1) rightarrow (0, 2) ]

[(3, 3) rightarrow (3, 6) ]

[(6, 2) rightarrow (6, 4) ]

[(7, 0) rightarrow (7, 0) ]

Символічно відносини записуються як

[Q (t) = 2P (t) нечисельне ]

Це означає, що для будь-якого вводу (t ) значення функції (Q ) вдвічі перевищує значення функції (P ). Зверніть увагу, що ефект на графіку полягає у вертикальному розтягуванні графіка, де кожна точка подвоює свою відстань від горизонтальної осі. Вхідні значення, (t ), залишаються незмінними, тоді як вихідні значення вдвічі більші, ніж раніше.

Як...

Враховуючи табличну функцію та припускаючи, що перетворення є вертикальним розтягуванням або стисненням, створіть таблицю для вертикального стиснення.

  1. Визначте значення (а ).
  2. Помножте всі вихідні значення на (a ).

Приклад ( PageIndex {15} ): Пошук вертикального стиснення табличної функції

Функція (f ) задана як Таблиця ( PageIndex {12} ). Створіть таблицю для функції (g (x) = frac {1} {2} f (x) ).

Таблиця ( PageIndex {12} )

(х )

2468

(f (x) )

13711

Рішення

Формула (g (x) = frac {1} {2} f (x) ) говорить нам, що вихідні значення (g ) складають половину вихідних значень (f ) з однаковими входи. Наприклад, ми знаємо, що (f (4) = 3 ). Тоді

[g (4) = frac {1} {2} f (4) = frac {1} {2} (3) = frac {3} {2} nonumber ]

Ми робимо те ж саме для інших значень для створення таблиці ( PageIndex {13} ).

Таблиця ( PageIndex {13} )

(х )

2468

(g (x) )

( dfrac {1} {2} ) ( dfrac {3} {2} ) ( dfrac {7} {2} ) ( dfrac {11} {2} )

Аналіз

Результатом є те, що функція (g (x) ) стиснута вертикально ( frac {1} {2} ). Кожне вихідне значення ділиться навпіл, тому графік дорівнює половині вихідної висоти.

Вправа ( PageIndex {9} )

Функція (f ) задана як Таблиця ( PageIndex {14} ). Створіть таблицю для функції (g (x) = frac {3} {4} f (x) ).

Таблиця ( PageIndex {14} )

(х )

2468

(f (x) )

1216200
Відповідь
Таблиця ( PageIndex {15} )

(х )

2468

(g (x) )

912150

Приклад ( PageIndex {16} ): Розпізнавання вертикальної розтяжки

Графік на рисунку ( PageIndex {26} ) - це перетворення функції набору інструментів (f (x) = x ^ 3 ). Зв’яжіть цю нову функцію (g (x) ) з (f (x) ), а потім знайдіть формулу для (g (x) ).

При спробі визначити вертикальний розтяг чи зсув корисно шукати на графіку точку, яка є відносно чіткою. На цьому графіку видно, що (g (2) = 2 ). З основною кубічною функцією на тому самому вході, (f (2) = 2 ^ 3 = 8 ). Виходячи з цього, виявляється, що виходи (g ) є ( frac {1} {4} ) виходами функції (f ), оскільки (g (2) = frac {1 } {4} f (2) ). З цього можна досить впевнено зробити висновок, що (g (x) = frac {1} {4} f (x) ).

Ми можемо написати формулу для (g ), використовуючи визначення функції (f ).

[g (x) = frac {1} {4} f (x) = frac {1} {4} x ^ 3. ]

Вправа ( PageIndex {1} )

Напишіть формулу функції, яку ми отримуємо, коли розтягуємо функцію ідентифікаційного інструментарію в 3 рази, а потім зміщуємо її на 2 одиниці.

Відповідь

(g (x) = 3x-2 )

Горизонтальні розтяжки та стиснення

Тепер ми розглянемо зміни внутрішньої частини функції. Коли ми множимо вхідні дані функції на додатну константу, ми отримуємо функцію, графік якої розтягується або стискається горизонтально по відношенню до графіка вихідної функції. Якщо константа знаходиться між 0 і 1, ми отримуємо a горизонтальна розтяжка; якщо константа більше 1, ми отримуємо a горизонтальне стиснення функції.

Враховуючи функцію (y = f (x) ), форма (y = f (bx) ) призводить до горизонтального розтягування або стиснення. Розглянемо функцію (y = x ^ 2 ). Дотримуйтесь малюнка ( PageIndex {27} ). Графік (y = (0,5x) ^ 2 ) - це горизонтальний розріз графіку функції (y = x ^ 2 ) у 2 рази. Графік (y = (2x) ^ 2 ) - це горизонтальне стиснення графіку функції (y = x ^ 2 ) у 2 рази.

Визначення: горизонтальні розтяжки та стиснення

Враховуючи функцію (f (x) ), нова функція (g (x) = f (bx) ), де (b ) - константа, є горизонтальна розтяжка або горизонтальне стиснення функції (f (x) ).

  • Якщо (b> 1 ), то графік буде стиснуто ( frac {1} {b} ).
  • Якщо (0
  • Якщо (b <0 ), то буде поєднання горизонтального розтягування або стиснення з горизонтальним відбиттям.

Як...

Дано опис функції, накресліть горизонтальне стиснення або розтягування.

  1. Напишіть формулу для представлення функції.
  2. Встановіть (g (x) = f (bx) ) де (b> 1 ) для стиснення або (0

Приклад ( PageIndex {17} ): Графічне зображення горизонтального стиснення

Припустимо, вчений порівнює популяцію плодових мушок із популяцією, яка прогресує за весь час життя вдвічі швидше, ніж вихідна популяція. Іншими словами, ця нова популяція, (R ), прогресуватиме за 1 годину стільки ж, скільки робить вихідна популяція за 2 години, а за 2 години - так само, як і початкова популяція за 4 години. Накресліть графік цієї сукупності.

Рішення

Символічно, що ми могли б писати

( begin {align} R (1) & = P (2), R (2) & = P (4), & text {і загалом,} R (t) & = P ( 2т). End {вирівнювання} )

Див. Малюнок ( PageIndex {28} ) для графічного порівняння вихідної та стиснутої сукупності.

Аналіз

Зверніть увагу, що ефект на графіку - це горизонтальне стиснення, де всі вхідні значення складають половину початкової відстані від вертикальної осі.

Приклад ( PageIndex {18} ): Пошук горизонтального розтягування для табличної функції

Функція (f (x) ) задана як Таблиця ( PageIndex {16} ). Створіть таблицю для функції (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ).

Таблиця ( PageIndex {16} )

(х )

2468

(f (x) )

13711

Формула (g (x) = f ( frac {1} {2} x) ) говорить нам, що вихідні значення для (g ) збігаються з вихідними значеннями для функції (f ) на вході вдвічі менший. Зверніть увагу, що у нас недостатньо інформації для визначення (g (2) ), оскільки (g (2) = f ( frac {1} {2} ⋅2) = f (1) ), і ми маємо не мати значення для (f (1) ) у нашій таблиці. Наші введені значення (g ) повинні бути вдвічі більшими, щоб отримати вхідні дані для (f ), які ми можемо оцінити. Наприклад, ми можемо визначити (g (4) ).

[g (4) = f ( dfrac {1} {2} ⋅4) = f (2) = 1 ]

Ми робимо те ж саме для інших значень для створення таблиці ( PageIndex {17} ).

Таблиця ( PageIndex {17} )

(х )

481216

(g (x) )

13711

На рисунку ( PageIndex {29} ) показано графіки обох цих наборів точок.

Аналіз

Оскільки кожне вхідне значення було подвоєне, результатом є те, що функція (g (x) ) була розтягнута горизонтально в 2 рази.

Приклад ( PageIndex {19} ): Розпізнавання горизонтального стиснення на графіку

Зв’яжіть функцію (g (x) ) з (f (x) ) на малюнку ( PageIndex {30} ).

Рішення

Графік (g (x) ) виглядає як графік (f (x) ) горизонтально стисненого. Оскільки (f (x) ) закінчується на (6,4), а (g (x) ) закінчується на (2,4), ми можемо бачити, що значення x були стиснуті ( frac { 1} {3} ), оскільки (6 ( frac {1} {3}) = 2 ). Ми також можемо помітити, що (g (2) = f (6) ) та (g (1) = f (3) ). У будь-якому випадку, ми можемо описати це відношення як (g (x) = f (3x) ). Це горизонтальне стиснення за ( frac {1} {3} ).

Аналіз

Зверніть увагу, що коефіцієнт, необхідний для горизонтального розтягування або стиснення, є зворотним значенням розтягування або стиснення. Отже, щоб розтягнути графік горизонтально на масштабний коефіцієнт 4, нам потрібен коефіцієнт ( frac {1} {4} ) у нашій функції: (f ( frac {1} {4} x) ) . Це означає, що вхідні значення повинні бути в чотири рази більшими, щоб отримати однаковий результат, вимагаючи, щоб вхідні дані були більшими, що спричиняє горизонтальне розтягнення.

Вправа ( PageIndex {11} )

Напишіть формулу для набору інструментів квадратного кореня, горизонтально розтягнутого в 3 рази.

Відповідь

(g (x) = f ( frac {1} {3} x) ), тому за допомогою функції квадратного кореня отримуємо (g (x) = sqrt { frac {1} {3} x} )

Виконання послідовності перетворень

Комбінуючи перетворення, дуже важливо враховувати порядок перетворень. Наприклад, вертикальний зсув на 3, а потім вертикальне розтягнення на 2 не створює такого самого графіка, як вертикальне розтягування на 2, а потім вертикальне зсув на 3, тому що коли ми переносимо спочатку, і вихідна функція, і зсув розтягуються, тоді як оригінальна функція розтягується, коли ми розтягуємось першими.

Коли ми бачимо такий вираз, як (2f (x) +3 ), з якого перетворення слід починати? Відповідь тут випливає з порядку операцій. Враховуючи вихідне значення (f (x) ), ми спочатку множимо на 2, викликаючи вертикальне розтягнення, а потім додаємо 3, викликаючи вертикальний зсув. Іншими словами, множення перед додаванням.

Горизонтальні трансформації трохи складніше задуматися. Наприклад, коли ми пишемо (g (x) = f (2x + 3) ), ми повинні думати про те, як входи у функцію (g ) співвідносяться із входами у функцію (f ) . Припустимо, ми знаємо (f (7) = 12 ). Який вхід у (g ) дасть цей результат? Іншими словами, яке значення (x ) дозволить (g (x) = f (2x + 3) = 12? ) Нам знадобиться (2x + 3 = 7 ). Щоб вирішити для (x ), ми спочатку віднімаємо 3, в результаті чого відбувається горизонтальний зсув, а потім ділимо на 2, викликаючи горизонтальне стиснення.

З цим форматом дуже важко працювати, оскільки, як правило, набагато простіше горизонтально розтягнути графік перед зсувом. Ми можемо обійти це, врахувавши фактори всередині функції.

[f (bx + p) = f (b (x + frac {p} {b})) нечисельне ]

Давайте попрацюємо на прикладі.

[f (x) = (2x + 4) ^ 2 нечисельне ]

Ми можемо вирахувати 2.

[f (x) = (2 (x + 2)) ^ 2 нечисельне ]

Тепер ми можемо чіткіше спостерігати горизонтальний зсув вліво на 2 одиниці та горизонтальне стиснення. Факторинг таким чином дозволяє нам спочатку горизонтально розтягуватися, а потім зсуватися горизонтально.

Поєднання трансформацій

  • При поєднанні вертикальних перетворень, записаних у формі (af (x) + k ), спочатку вертикально розтягніть на (a ), а потім вертикально змістіть на (k ).
  • При поєднанні горизонтальних перетворень, записаних у формі (f (bx + h) ), спочатку горизонтально зсуньте на (h ), а потім горизонтально розтягніть на ( frac {1} {b} ).
  • При поєднанні горизонтальних перетворень, записаних у формі (f (b (x + h)) ), спочатку горизонтально розтягніть на ( frac {1} {b} ), а потім горизонтально змістіть на (h ).
  • Горизонтальні та вертикальні перетворення незалежні. Не має значення, чи виконуються спочатку горизонтальні чи вертикальні перетворення.

Приклад ( PageIndex {20} ): Пошук потрійного перетворення табличної функції

Враховуючи таблицю ( PageIndex {18} ) для функції (f (x) ), створіть таблицю значень для функції (g (x) = 2f (3x) +1 ).

Таблиця ( PageIndex {18} )

(х )

6121824

(f (x) )

10141517

Рішення

Є три кроки до цієї трансформації, і ми будемо працювати зсередини. Починаючи з горизонтальних перетворень, (f (3x) ) - це горизонтальне стиснення на ( frac {1} {3} ), що означає, що ми множимо кожне (x ) - значення на ( frac { 1} {3} ). Див. Таблицю ( PageIndex {19} ).

Таблиця ( PageIndex {19} )

(х )

2468

(f (3x) )

10141517

Переглядаючи тепер вертикальні перетворення, ми починаємо з вертикального розтягування, яке помножить вихідні значення на 2. Ми застосовуємо це до попереднього перетворення. Див. Таблицю ( PageIndex {20} ).

Таблиця ( PageIndex {20} )

(х )

2468

(2f (3x) )

20283034

Нарешті, ми можемо застосувати вертикальний зсув, який додасть 1 до всіх вихідних значень. Див. Таблицю ( PageIndex {21} ).

Таблиця ( PageIndex {21} )

(х )

2468

(g (x) = 2f (3x) + 1 + 1 )

21293135

Приклад ( PageIndex {21} ): Пошук потрійного перетворення графіка

Використовуйте графік (f (x) ) на малюнку ( PageIndex {31} ), щоб накреслити графік (k (x) = f Big ( frac {1} {2} x + 1 Великий) −3 ).

Для спрощення давайте почнемо з факторизації внутрішньої частини функції.

[f Великий ( dfrac {1} {2} x + 1 Big) −3 = f Великий ( dfrac {1} {2} (x + 2) Великий) −3 ]

Розділяючи фактори всередину, ми можемо спочатку розтягнути горизонтально на 2, як показано ( frac {1} {2} ) на внутрішній стороні функції. Пам'ятайте, що подвійний розмір 0 все ще дорівнює 0, тому точка ((0,2) ) залишається рівною ((0,2) ), тоді як точка ((2,0) ) тягнеться до ((4,0) ). Див. Малюнок ( PageIndex {32} ).

Далі ми горизонтально зміщуємо ліворуч на 2 одиниці, як позначено (x + 2 ). Див. Малюнок ( PageIndex {33} ).

Нарешті, ми вертикально зміщуємо вниз на 3, щоб завершити наш ескіз, як показано −3 на зовнішній стороні функції. Див. Малюнок ( PageIndex {34} ).

Ключові рівняння

Ключові поняття

Глосарій

навіть функція

функція, графік якої не змінюється при горизонтальному відбитті, (f (x) = f (−x) ) і симетрична відносно осі y

горизонтальне стиснення
перетворення, яке стискає графік функції по горизонталі, помноживши вхід на константу b> 1

горизонтальне відбиття
перетворення, яке відображає графік функції по осі y шляхом множення вхідних даних на -1

горизонтальний зсув
перетворення, яке зміщує графік функції вліво або вправо, додаючи додаткову або від’ємну константу до вхідних даних

горизонтальна розтяжка
перетворення, яке розтягує графік функції по горизонталі, помноживши вхід на константу 0

непарна функція
функція, графік якої не змінюється в результаті комбінованого горизонтального та вертикального відбиття, (f (x) = - f (−x) ) і симетрична відносно початку координат

вертикальне стиснення
перетворення функції, яке стискає графік функції по вертикалі, помножуючи вихід на константу 0

вертикальне відбиття
перетворення, яке відображає графік функції по осі х, помноживши вихід на -1

вертикальний зсув
перетворення, яке зміщує графік функції вгору або вниз, додаючи позитивну чи негативну константу до результату

вертикальна розтяжка
перетворення, яке розтягує графік функції вертикально, помноживши вихід на константу a> 1


3.5 Перетворення функцій

Ми всі знаємо, що плоске дзеркало дозволяє нам бачити точне зображення себе і того, що є за нами. Коли ми нахиляємо дзеркало, зображення, які ми бачимо, можуть зміщуватися по горизонталі або вертикалі. Але що відбувається, коли ми згинаємо гнучке дзеркало? Подібно дзеркалу карнавального веселого будинку, воно представляє нам спотворене зображення нас самих, розтягнутих або стиснених по горизонталі чи вертикалі. Подібним чином ми можемо спотворити або перетворити математичні функції, щоб краще адаптувати їх до опису об’єктів або процесів у реальному світі. У цьому розділі ми розглянемо кілька видів трансформацій.

Графічні функції з використанням вертикальних та горизонтальних зсувів

Часто, коли дається проблема, ми намагаємося змоделювати сценарій, використовуючи математику у вигляді слів, таблиць, графіків та рівнянь. Одним із методів, який ми можемо застосувати, є адаптація основних графіків функцій набору інструментів для побудови нових моделей для даного сценарію. Існують систематичні способи зміни функцій для побудови відповідних моделей для проблем, які ми намагаємось вирішити.

Визначення вертикальних зрушень

Один простий вид перетворення передбачає зміщення всього графіку функції вгору, вниз, вправо або вліво. Найпростіший зсув - a вертикальний зсув, рухаючи графік вгору або вниз, оскільки це перетворення передбачає додавання додатної або від’ємної сталої до функції. Іншими словами, ми додаємо ту саму константу до вихідного значення функції незалежно від вхідних даних. Для функції g (x) = f (x) + k, g (x) = f (x) + k, функція f (x) f (x) зрушена вертикально k k одиниць. Для прикладу див. Малюнок 2.


Графічне відображення вертикального зсуву [латекс] y = тексту_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс]

Коли константа d додається до батьківської функції [латекс] f left (x right) = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс], результат a вертикальний зсув d одиниць у напрямку вказівника на d. Для візуалізації вертикальних зсувів ми можемо спостерігати загальний графік батьківської функції [латекс] f left (x right) = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс] поряд зі зрушенням вгору, [латекс] g ліворуч (x праворуч) = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) + d [/ латекс] і зсув вниз, [латекс] h ліворуч (x праворуч) = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) -d [/ латекс].

Загальна примітка: вертикальні зсуви батьківської функції [латекс] y = текст_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс]

Для будь-якої константи d, функція [латекс] f ліворуч (x праворуч) = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) + d [/ латекс]

  • зміщує батьківську функцію [латекс] y = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс] вгору d одиниць, якщо d & gt 0.
  • зміщує батьківську функцію [латекс] y = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс] вниз d одиниць, якщо d & lt 0.
  • має вертикальну асимптоту х = 0.
  • має домен [латекс] ліворуч (0, infty праворуч) [/ латекс].
  • має діапазон [латекс] ліворуч (- infty, infty right) [/ латекс].

Як: Дана логарифмічна функція у вигляді [латекс] f left (x right) = >_ ліворуч (x праворуч) + d [/ латекс], графік перекладу.

  1. Визначте вертикальний зсув:
    1. Якщо d & gt 0, змістити графік [латекс] f ліворуч (x праворуч) = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс] вгору d од.
    2. Якщо d & lt 0, змістити графік [латекс] f ліворуч (x праворуч) = < mathrm>_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс] вниз d од.

    Приклад 5: Графічний зсув вертикалі батьківської функції [латекс] y = текст_ ліворуч (x праворуч) [/ латекс]

    Намалюйте графік [латексу] f ліворуч (x праворуч) = < mathrm> _ <3> ліворуч (x праворуч) -2 [/ латекс] поряд із батьківською функцією. Включіть ключові моменти та асимптоти на графік. Вкажіть домен, діапазон та асимптоту.

    Рішення

    Оскільки функцією є [латекс] f ліворуч (x праворуч) = < mathrm> _ <3> ліворуч (x праворуч) -2 [/ латекс], ми помітимо d = –2. Таким чином d & lt 0.

    Це означає, що ми змістимо функцію [латекс] f ліворуч (x праворуч) = < mathrm> _ <3> ліворуч (x праворуч) [/ латекс] вниз на 2 одиниці.

    Вертикальна асимптота є х = 0.

    Розглянемо три ключові точки з батьківської функції: [латекс] ліворуч ( frac <1> <3>, -1 праворуч) [/ латекс], [латекс] ліворуч (1,0 праворуч) [/ латекс] та [латекс] ліворуч (3,1 праворуч) [/ латекс].

    Нові координати знаходять, віднімаючи 2 з р координати.

    Позначте точки [латекс] ліворуч ( frac <1> <3>, -3 праворуч) [/ латекс], [латекс] ліворуч (1, -2 праворуч) [/ латекс], та [латекс] ліворуч (3, -1 праворуч) [/ латекс].

    Домен [latex] left (0, infty right) [/ latex], діапазон [latex] left (- infty, infty right) [/ latex], а вертикальна асимптота є х = 0.

    Малюнок 9. Домен [latex] left (0, infty right) [/ latex], діапазон [latex] left (- infty, infty right) [/ latex], а вертикальна асимптота є х = 0.

    Спробуйте 5

    Намалюйте графік [латексу] f ліворуч (x праворуч) = < mathrm> _ <2> ліворуч (x праворуч) +2 [/ латекс] поряд із батьківською функцією. Включіть ключові моменти та асимптоти на графік. Вкажіть домен, діапазон та асимптоту.


    3.6: Перетворення функцій - математика

    TypeScript 3.6 запроваджує більш сувору перевірку ітераторів та функцій генератора. У попередніх версіях користувачі генераторів не мали можливості розрізнити, чи було значення передано чи повернуто з генератора.

    Крім того, генератори просто припускали, що тип врожаю завжди був будь-яким.

    У TypeScript 3.6 програма перевірки тепер знає, що правильним типом curr.value має бути рядок у нашому першому прикладі, і він буде правильно помилятися під час нашого виклику next () у нашому останньому прикладі. Це завдяки деяким змінам у деклараціях типу Iterator та IteratorResult, що включають кілька нових параметрів типу, та новому типу, який TypeScript використовує для представлення генераторів, що називається типом Генератор.

    Тип Iterator тепер дозволяє користувачам вказувати тип, що видається, тип, що повертається, і тип, який наступний може прийняти.

    Спираючись на цю роботу, новий тип генератора - це ітератор, який завжди має як методи return, так і throw, а також є ітерабельним.

    Щоб дозволити диференціацію між повернутими значеннями та отриманими значеннями, TypeScript 3.6 перетворює тип IteratorResult на дискримінований тип об'єднання:

    Коротше кажучи, це означає, що ви зможете відповідно звузити значення від ітераторів, маючи безпосередню справу з ними.

    Для правильного представлення типів, які можна передавати генератору від викликів до next (), TypeScript 3.6 також передбачає певне використання yield у тілі функції генератора.

    Якщо ви бажаєте бути явним, ви також можете застосувати тип значень, які можна повернути, отримати та обчислити з виразів yield, використовуючи явний тип повернення. Внизу, next () можна викликати лише з логічними s, і залежно від значення виконаного значення є або рядком, або числом.

    Детальніше про зміни див. Тут.

    Більш точний розподіл масиву

    У цілях до ES2015 найбільш вірне випромінювання для таких конструкцій, як for / of петлі та розвороти масивів, може бути трохи важким. З цієї причини TypeScript за замовчуванням використовує простіший випромінювач, який підтримує лише типи масивів та підтримує ітерацію для інших типів, використовуючи прапор --downlevelIteration. Більш вільне за замовчуванням без --downlevelIteration працює досить добре, однак, були деякі загальні випадки, коли перетворення розповсюдження масивів мало помітні відмінності. Наприклад, наступний масив, що містить спред

    можна переписати як такий літерал масиву

    Однак TypeScript замість цього перетворить вихідний код у такий код:

    який дещо відрізняється. Масив (5) створює масив довжиною 5, але без визначених слотів властивостей.

    TypeScript 3.6 представляє новий помічник __spreadArrays для точного моделювання того, що відбувається в ECMAScript 2015 у старих цілях поза --downlevelIteration. __spreadArrays також доступний у tslib.

    Покращений UX навколо обіцянок

    TypeScript 3.6 вносить деякі вдосконалення, коли неправильно обробляються Promise.

    Наприклад, часто дуже часто забувають .then () або чекають вмісту Промісії, перш ніж передати його іншій функції. Повідомлення про помилки TypeScript тепер спеціалізовані, і повідомляють користувачеві, що, можливо, їм слід розглянути можливість використання ключового слова await.

    Також звичайно намагаються отримати доступ до методу перед тим, як очікувати -ing або .then () -ing Promise. Це ще один приклад, серед багатьох інших, де ми можемо зробити краще.

    Щоб отримати докладнішу інформацію, див. Проблему, що походить, а також запити на витяг, що посилаються на неї.

    Краща підтримка Unicode для ідентифікаторів

    TypeScript 3.6 містить кращу підтримку символів Unicode в ідентифікаторах під час випуску до ES2015 та пізніших цілей.

    Підтримка import.meta в SystemJS

    TypeScript 3.6 підтримує перетворення import.meta у context.meta, коли для вашого цільового модуля встановлено систему.

    отримати та встановити Аксесуари дозволено в оточуючих контекстах

    У попередніх версіях TypeScript мова не дозволяла отримувати та встановлювати засоби доступу в оточуючих контекстах (як, наприклад, у класах оголошення -d або взагалі у файлах .d.ts). Обґрунтуванням було те, що засоби доступу не відрізнялися від властивостей, що стосується запису та читання цих властивостей, однак, оскільки пропозиція полів класу ECMAScript може відрізнятися від поведінки у існуючих версіях TypeScript, ми зрозуміли, що нам потрібен спосіб повідомити цю різну поведінку для надати відповідні помилки в підкласах.

    Як результат, користувачі можуть писати геттери та сетери в навколишньому контексті в TypeScript 3.6.

    У TypeScript 3.7 компілятор сам скористається цією функцією, завдяки чому згенеровані файли .d.ts також видаватимуть get / set доступ.

    Класи та функції навколишнього середовища можуть зливатися

    У попередніх версіях TypeScript помилка об’єднувати класи та функції за будь-яких обставин. Тепер навколишні класи та функції (класи / функції з модифікатором оголошення або у файлах .d.ts) можуть об’єднуватися. Це означає, що тепер ви можете написати наступне:

    замість необхідності використовувати

    Однією з переваг цього є те, що викличний шаблон конструктора можна легко виразити, одночасно дозволяючи просторам імен об'єднуватися з цими оголошеннями (оскільки декларації var не можуть об'єднуватися з просторами імен).

    У TypeScript 3.7 компілятор скористається цією функцією, щоб файли .d.ts, створені з файлів .js, могли належним чином фіксувати як викличність, так і конструктивність функції, подібної до класу.

    API для підтримки - build та --incremental

    TypeScript 3.0 представив підтримку посилань на інші та їх нарощування за допомогою прапора --build. Крім того, TypeScript 3.4 представив прапорець --incremental для збереження інформації про попередні компіляції лише для відновлення певних файлів. Ці прапори були неймовірно корисними для більш гнучкого структурування проектів та прискорення нарощування. На жаль, використання цих прапорів не працювало з такими сторонніми інструментами збірки, як Gulp та Webpack. Тепер TypeScript 3.6 надає два набори API для роботи з посиланнями на проекти та додатковою побудовою програми.

    Для створення --інкрементальних збірок користувачі можуть використовувати API createIncrementalProgram і createIncrementalCompilerHost. Користувачі можуть також регідратати старі екземпляри програм із файлів .tsbuildinfo, створених цим API, за допомогою нещодавно відкритої функції readBuilderProgram, яка призначена лише для створення нових програм (тобто ви не можете змінити повернутий екземпляр - це лише мається на увазі для використання для параметра oldProgram в інших функціях створення * програми).

    Для використання посилань на проекти була виставлена ​​нова функція createSolutionBuilder, яка повертає екземпляр нового типу SolutionBuilder.

    Щоб отримати докладнішу інформацію про ці API, ви можете побачити оригінальний запит на витягування.

    Зміни коду з урахуванням крапки з комою

    Такі редактори, як Visual Studio та Visual Studio Code, можуть автоматично застосовувати швидкі виправлення, рефакторинг та інші перетворення, такі як автоматичний імпорт значень з інших модулів. Ці перетворення забезпечуються TypeScript, і старіші версії TypeScript беззастережно додавали крапки з комою до кінця кожного висловлювання, на жаль, це не погоджувалося з правилами стилю багатьох користувачів, і багато користувачів були незадоволені тим, що редактор вставляв крапку з комою.

    TypeScript тепер досить розумний, щоб визначити, чи використовує ваш файл крапку з комою під час застосування таких видів редагувань. Якщо у вашому файлі зазвичай відсутні крапки з комою, TypeScript їх не додасть.

    Розумніший синтаксис автоматичного імпорту

    JavaScript має безліч різних синтаксисів та домовленостей модулів: той, що відповідає стандарту ECMAScript, той, який вже підтримує Node (CommonJS), AMD, System.js та багато іншого! Здебільшого TypeScript за замовчуванням автоматично імпортує за допомогою синтаксису модуля ECMAScript, що часто є недоречним у певних проектах TypeScript з різними налаштуваннями компілятора, або в проектах Node з простим JavaScript і вимагає викликів.

    TypeScript 3.6 тепер трохи розумніший у перегляді наявного імпорту, перш ніж вирішити, як автоматично імпортувати інші модулі. Ви можете побачити більше деталей в оригінальному запиті на витяг тут.

    Новий майданчик TypeScript

    Дитячий майданчик TypeScript отримав вкрай необхідне оновлення завдяки новому функціоналу! Новий ігровий майданчик є значною мірою розвилкою майданчика TypeScript Артема Тюріна, який учасники спільноти використовують все більше і більше. Ми висловлюємо Артему велику подяку за допомогу тут!

    Новий дитячий майданчик тепер підтримує безліч нових опцій, включаючи:

    • Цільовий варіант (дозволяє користувачам перейти з es5 на es3, es2015, esnext тощо)
    • Усі прапори суворості (у тому числі просто суворі)
    • Підтримка простих файлів JavaScript (з використанням allowJS та додатково checkJs)

    Ці параметри також зберігаються під час спільного використання посилань на зразки дитячих майданчиків, що дозволяє користувачам більш надійно ділитися прикладами, не маючи необхідності говорити одержувачу "о, не забудьте включити опцію noImplicitAny!".

    Найближчим часом ми збираємося оновити зразки дитячих майданчиків, додати підтримку JSX та полірувати автоматичне отримання типу, що означає, що ви зможете побачити той самий досвід на дитячому майданчику, який ви отримали б у своєму особистому редакторі .

    Покращуючи дитячий майданчик та веб-сайт, ми вітаємо відгуки та запити на GitHub!

    Документи TypeScript - це проект з відкритим кодом. Допоможіть нам покращити ці сторінки, надіславши запит на витяг ❤


    Роздуми

    Іншим перетворенням, яке можна застосувати до функції, є відображення над [латексною] x [/ латексною] & # 8211 або [латексною] y [/ латексною] віссю. A вертикальне відбиття відображає графік вертикально по [латексній] х [/ латексній] осі, тоді як a горизонтальне відбиття відображає графік по горизонталі по [латексній] у [/ латексній] осі. Відбиття показані на малюнку 9.

    Вертикальне та горизонтальне відбиття функції.

    Зверніть увагу, що вертикальне відображення створює новий графік, який є дзеркальним відображенням основи або оригінального графіка щодо [латексної] х [/ латексної] осі. Горизонтальне відбиття створює новий графік, який є дзеркальним відображенням основи або вихідного графіка щодо [латексної] у [/ латексної] осі.

    Загальна примітка: Роздуми

    Враховуючи функцію [латекс] f ліворуч (x праворуч) [/ латекс], новою функцією [латекс] g ліворуч (x праворуч) = - f ліворуч (x праворуч) [/ латекс] є вертикальне відбиття функції [латекс] f ліворуч (x праворуч) [/ латекс], яку іноді називають відображенням про (або над, або наскрізь) [латекс] x [/ латекс] -осі.

    Враховуючи функцію [латекс] f ліворуч (x праворуч) [/ латекс], новою функцією [латекс] g ліворуч (x праворуч) = f ліворуч (-x праворуч) [/ латекс] є горизонтальне відбиття функції [латекс] f ліворуч (x праворуч) [/ латекс], іноді називається роздумом про [латекс] у [/ латекс] -осі.

    Як це зробити: Дана функція відображає графік як вертикально, так і горизонтально.

    1. Помножте всі виходи на –1 для вертикального відбиття. Новий графік є відображенням вихідного графіка щодо [латексної] х [/ латексної] осі.
    2. Помножте всі входи на –1 для горизонтального відбиття. Новий графік є відображенням вихідного графіка щодо [латексної] у [/ латексної] осі.

    Приклад: Відображення графіку по горизонталі та вертикалі

    Відобразіть графік [латекс] s left (t right) = sqrt[/ латекс] (а) вертикально та (б) горизонтально.

    а. Відображення графіка вертикально означає, що кожне вихідне значення буде відображатися по горизонталі [латекс] t [/ латекс]вісь, як показано нижче.

    Вертикальне відбиття функції квадратного кореня

    Оскільки кожне вихідне значення протилежне вихідному вихідному значенню, ми можемо писати

    Зверніть увагу, що це зовнішня зміна або вертикальний зсув, що впливає на вихідні значення [латекс] s вліво (t праворуч) [/ латекс], тому негативний знак належить поза функцією.

    b. Відбиття по горизонталі означає, що кожне вхідне значення буде відображено над вертикальною віссю, як показано нижче.

    Горизонтальне відбиття функції квадратного кореня

    Оскільки кожне вхідне значення протилежне вихідному введеному значенню, ми можемо писати

    Зверніть увагу, що це внутрішня зміна або горизонтальна зміна, яка впливає на вхідні значення, тому від’ємний знак знаходиться всередині функції.

    Зверніть увагу, що ці перетворення можуть впливати на область і діапазон функцій. Хоча вихідна функція квадратного кореня має домен [латекс] ліворуч [0, infty праворуч] [/ латекс] та діапазон [латекс] ліворуч [0, infty праворуч] [/ латекс], вертикальне відбивання дає [латекс] V зліва (t праворуч) [/ латекс] функція діапазон [латекс] зліва (- infty, 0 справа] [/ латекс], а горизонтальне відбиття дає [латекс] H зліва (t right) [/ latex] функціонує домен [latex] left (- infty, 0 right] [/ latex].

    Спробуй це

    Відобразіть графік [латексу] f ліворуч (x праворуч) = | x - 1 | [/ латекс] (a) по вертикалі та (b) по горизонталі.

    Приклад: Відображення табличної функції по горизонталі та вертикалі

    Дана функція [латекс] f ліворуч (x праворуч) [/ латекс]. Створіть таблицю для функцій нижче.

    1. Для [латекс] g ліворуч (x праворуч) [/ латекс] від’ємний знак поза функцією вказує вертикальне відбиття, тому значення [латекс] x [/ латекс] залишаються незмінними, і кожне вихідне значення буде протилежне вихідному вихідному значенню.
      [латекс] х [/ латекс]2468
      [латекс] g ліворуч (x праворуч) [/ латекс]–1–3–7–11
    2. Для [латекс] h ліворуч (x праворуч) [/ латекс] від’ємний знак всередині функції позначає горизонтальне відбиття, тому кожне вхідне значення буде протилежним початковому вхідному значенню, а [латекс] h left ( x right) [/ latex] значення залишаються такими ж, як значення [latex] f left (x right) [/ latex].
      [латекс] х [/ латекс]−2−4−6−8
      [латекс] h ліворуч (x праворуч) [/ латекс]13711

    Спробуй це

    Використовуючи функцію [латекс] f left (x right) [/ латекс], наведену в таблиці вище, створіть таблицю для функцій нижче.

    1. [латекс] g ліворуч (x праворуч) = - f ліворуч (x праворуч) [/ латекс]
      [латекс] х [/ латекс]-2024
      [латекс] g ліворуч (x праворуч) [/ латекс][латекс] -5 [/ латекс][латекс] -10 [/ латекс][латекс] -15 [/ латекс][латекс] -20 [/ латекс]
    2. [латекс] h ліворуч (x праворуч) = f ліворуч (-x праворуч) [/ латекс]
      [латекс] х [/ латекс]-2024
      [латекс] h ліворуч (x праворуч) [/ латекс]15105невідомо

    Зміст

    Хоча зазвичай використовується термін перетворення для будь-якої функції множини в собі (особливо таких термінів, як "напівгрупа перетворення" тощо) існує альтернативна форма термінологічної конвенції, в якій термін "перетворення" зарезервований лише для бієкцій. Коли таке вузьке поняття перетворення узагальнено на часткові функції, тоді a часткове перетворення є функцією f: AB, де обидва A і B є підмножинами деякого набору X. [8]

    Сукупність усіх перетворень на даному базовому наборі разом із функціональним складом утворює правильну напівгрупу.

    Для кінцевого набору потужності п, там є п п перетворення і (п+1) п часткові перетворення. [9]


    3.6: Перетворення функцій - математика

    Ми обговоримо два типи відображень: відображення по всьому х-ось і роздуми по всьому р-вісь.

    Роздуми через х-Ось

    Візуалізувати відображення через х-ось, уявіть графік, який буде результатом згортання базового графіка вздовж х-вісь. Символічно, ми визначаємо відображення по всьому х-ось наступним чином:

    Для базової функції f (х), функція, задана

    Іншими словами, усі частини графіку над х-ось відображатиметься у відповідному положенні нижче х-ось, тоді як усі частини графіку під х-ось буде відображено над х-вісь. Звичайно, х-перехоплення залишатимуться незмінними під час цього типу відображення

    Приклади роздумів через х-Вісь

    Розглянемо такі базові функції,

    Графічне представлення функції (1), f (х), - парабола, зміщена на 9 одиниць вниз щодо базової функції р = х 2. Що ви вважаєте графіком

    виглядає наче? Використовуючи визначення f (х), ми можемо писати р1(х) як,

    Виходячи з визначення відображення в х-ось, графік р1(х) має виглядати як графік f (х), що відображається по всьому х-вісь. Погляньте на графіки f (х) і р1(х).

    Функція (2), g(х), є функцією абсолютного значення. Який би графік

    виглядає як? Використовуючи наші знання про роздуми по всьому х-ось, графік р2(х) повинен виглядати як базовий графік g(х), відображених у х-вісь. Щоб перевірити це, ми можемо написати р2(х) як,

    побудуйте таблицю значень та побудуйте графік нової функції. Як бачите, графік р2(х) насправді є базовим графіком g(х), відображених у х-вісь.

    Роздуми через р-Ось

    Ви можете візуалізувати відображення по всьому р-ось, уявляючи графік, який буде результатом складання базового графіка вздовж р-вісь. Символічно, ми визначаємо відображення по всьому р-ось наступним чином:

    Для базової функції f (х), функція, задана

    Іншими словами, усі частини графіку зліва від р-ось відображатиметься у відповідному положенні праворуч від р-ось, тоді як усі частини графіка праворуч від р-ось відображатиметься у відповідних положеннях ліворуч від р-вісь. Звичайно, р-перехоплення залишатимуться незмінними під час цього типу відображення.

    Приклади роздумів через у-Вісь

    Розглянемо такі базові функції,

    Графічне представлення функції (1), f (х), - парабола, зміщена на 1 одиницю вправо. Що ви вважаєте графіком

    виглядає наче? Використовуючи визначення f (х), ми можемо писати р1(х) як,

    Виходячи з визначення відображення в р-ось, графік р1(х) має виглядати як графік f (х), що відображається по всьому р-вісь. Погляньте на графіки f (х) і р1(х).

    Функція (2), g(х), є кубічною функцією. Який би графік

    виглядає як? Використовуючи наші знання про роздуми по всьому р-ось, графік р2(х) повинен виглядати як базовий графік g(х), відображених у р-вісь. Щоб перевірити це, ми можемо написати р2(х) як,

    побудуйте таблицю значень та побудуйте графік нової функції. Як бачите, графік р2(х) насправді є базовим графіком g(х), відображених у р-вісь.

    А тепер спробуйте кілька задач, які перевіряють ваші знання графічних перетворень


    Переклад Трансформація

    При перекладацькому перетворенні всі точки в об'єкті переміщуються по прямій лінії в одному напрямку. Розмір, форма та орієнтація зображення однакові з оригінальним об'єктом. Однакова орієнтація означає, що об'єкт і зображення спрямовані в одному напрямку.

    Приклад:

    Ми описуємо переклад з точки зору кількості одиниць, переміщених праворуч або ліворуч, та кількості одиниць, переміщених вгору або вниз.

    Приклад:
    Перемістіть об’єкт на 2 одиниці вправо і на 4 одиниці вгору.

    Переклад представлений векторним стовпцем або матрицею

    Переклад може бути представлений вектором стовпця як.

    Верхнє число відображає рух вправо та вліво. Позитивне число означає рух вправо, а від’ємне число - рух вліво.

    Нижнє число відображає рух вгору і вниз. Позитивне число означає рух вгору, а негативне - рух вниз.

    На наступному малюнку трикутник ABC переводиться у трикутник A & rsquoB & rsquoC '

    Переклад представлений вектором стовпця.

    Загалом, переклад може бути представлений символом матриця стовпця або вектор стовпця де a - кількість одиниць, що рухаються вправо або вліво вздовж осі x, а b - кількість одиниць, що рухаються вгору або вниз по осі y.

    Матричним рівнянням, що представляє переклад, є:

    де - матриця перекладу і - зображення.

    Приклад 1:
    Трикутник P перекладається на трикутник Q.

    а) Знайдіть координати трикутника Q.
    б) На схемі намалюйте та позначте трикутник Q.

    Рішення:
    а)

    Як математичне позначення ми можемо записати: T (A) = B, що означає об'єкт A, який відображається на B при перетворенні T.

    Опис перекладів простих фігур у площині з використанням векторних позначень стовпців

    Як перетворити фігуру за допомогою заданого вектора?

    Переклад на координатній площині

    Переклад геометрії
    Переклад геометрії - це ізометричне перетворення, що означає, що вихідна фігура та зображення є конгруентними. Переклад малюнка можна сприймати як & ldquosliding & rdquo оригінал. Якщо зображення переміщається вліво та вниз, правило буде (x - __, y - __), де пробілами є відстані, переміщені вздовж кожної осі для перекладу вліво та вгору: (x - __, y + __), для правої та вниз (x + __, y - __), праворуч і вгору (x + __, y + __).

    Як перекласти багатокутник на координатній площині?

    Спробуйте безкоштовний калькулятор математики та вирішувач проблем нижче, щоб практикувати різні теми з математики. Спробуйте подати приклади або введіть власну проблему та перевірте свою відповідь покроковими поясненнями.

    Ми вітаємо ваші відгуки, коментарі та запитання щодо цього сайту чи сторінки. Будь ласка, надішліть свої відгуки або запити на нашій сторінці зворотного зв'язку.


    3.6: Перетворення функцій - математика

    Повернувшись до I Обчислення, у нас було правило заміщення, яке говорило нам, що

    По суті, це беруть інтеграл з точки зору (x ) і змінюють його на терміни (u ). Ми хочемо зробити щось подібне для подвійних та потрійних інтегралів. Насправді ми вже робили це певною мірою, коли перетворювали подвійні інтеграли в полярні координати і коли перетворювали потрійні інтеграли в циліндричні або сферичні координати. Головна відмінність полягає в тому, що ми насправді не переглядали деталі, звідки взялися формули. Якщо ви пам’ятаєте, у кожному з цих випадків ми прокоментували, що з часом обґрунтуємо формули (dA ) та (dV ). Настав час зробити це виправдання.

    Хоча часто причина зміни змінних полягає в тому, щоб отримати інтеграл, який ми можемо зробити з новими змінними, іншою причиною зміни змінних є перетворення регіону в більш приємний регіон для роботи. Коли ми перетворювали полярні, циліндричні або сферичні координати, ми не турбувались про цю зміну, оскільки було досить легко визначити нові межі на основі даної області. Однак це не завжди так. Отже, перед тим, як ми переходимо до змінних змінних з кількома інтегралами, нам спочатку потрібно побачити, як область може змінюватися зі зміною змінних.

    По-перше, нам потрібна невелика термінологія / позначення. Рівняння, що визначають зміну змінних, ми називаємо a перетворення. Крім того, ми, як правило, починаємо з регіону, (R ), в (xy ) - координати і перетворюємо його в область в (uv ) - координати.

    1. (R ) - еліпс ( + frac <<>> <<36>> = 1 ) і перетворенням є (x = frac<2> ), (y = 3v ).
    2. (R ) - область, обмежена (y = - x + 4 ), (y = x + 1 ) та ( displaystyle y = frac<3> - frac <4> <3> ) і перетворенням є ( displaystyle x = frac <1> <2> left ( праворуч)), ( displaystyle y = frac <1> <2> ліворуч ( праворуч) ).

    Насправді з цим не можна зробити занадто багато, крім як підключити перетворення до рівняння еліпса і подивитися, що ми отримаємо.

    Отже, ми почали з еліпса, і після перетворення ми отримали диск радіусом 2.

    Як і в першій частині, нам потрібно буде підключити перетворення до рівняння, однак, у цьому випадку нам потрібно буде зробити це три рази, один раз для кожного рівняння. Перш ніж це зробити, давайте скреслимо графік регіону і подивимось, що ми отримали.

    Отже, у нас є трикутник. Тепер давайте пройдемо трансформацію. Ми застосуємо перетворення до кожного краю трикутника і побачимо, куди дійдемо.

    Давайте спочатку зробимо (y = - x + 4 ). Підключення трансформації дає,

    [ почати frac <1> <2> ліворуч ( вправо) & = - frac <1> <2> вліво ( праворуч) + 4 u - v & = - u - v + 8 2u & = 8 u & = 4 end]

    Перша межа дуже красиво перетворюється на набагато простіше рівняння.

    Тепер давайте подивимось на (y = x + 1 ),

    [ почати frac <1> <2> ліворуч ( вправо) & = frac <1> <2> вліво ( праворуч) + 1 u - v & = u + v + 2 - 2v & = 2 v & = - 1 end]

    Знову ж таки, набагато приємніше рівняння з того, з чого ми починали.

    Нарешті, перетворимо (y = frac <3> - frac <4> <3> ).

    [ почати frac <1> <2> ліворуч ( праворуч & = frac <1> <3> ліворуч ( <2> ліво ( праворуч)> праворуч) - frac <4> <3> 3u - 3v & = u + v - 8 4v & = 2u + 8 v & = frac <2> + 2 кінець]

    Отже, знову ж таки, ми отримали дещо простіше рівняння, хоч і не настільки приємне, як перші два.

    Давайте подивимось на новий регіон, який ми отримуємо під час трансформації.

    Ми все ще отримуємо трикутник, але набагато приємніший.

    Зауважте, що ми не завжди можемо розраховувати на перетворення певного типу регіону (наприклад, трикутник) в такий самий тип регіону. Повністю можливе перетворення трикутника в область, в якій кожен з ребер вигнутий і жодним чином не нагадує трикутник.

    Зверніть увагу, що в кожному з наведених прикладів ми взяли двовимірну область, яку було б дещо складно інтегрувати, і перетворили її в область, яка була б набагато приємнішою в інтегруванні. Як ми зазначали на початку цього набору прикладів, це часто є одним із моментів перетворення. На додаток до перетворення інтегралу в щось простіше, він часто також перетворює регіон на регіон, з яким набагато простіше мати справу.

    Перш ніж перейти до наступної теми, давайте розглянемо ще один момент. Іноді нам також потрібно буде знати діапазон (u ) та / або (v ) для кожного з нових рівнянь, які ми отримуємо в результаті перетворення. Нам не потрібно було це для двох наведених вище прикладів, і це не те, що нам часто потрібно. Однак це може іноді допомогти у визначенні нового регіону.

    Отже, давайте наведемо короткий приклад, щоб побачити, як ми це робимо.

    Добре, ми вже знаємо, як виглядає новий регіон, і які нові рівняння з попереднього прикладу. Отже, ось короткий огляд перетворення кожного з вихідних рівнянь.

    Ось новий регіон, який ми отримуємо під час трансформації.

    Зверніть увагу, що в цьому випадку ми могли б визначити діапазон (u ) та (v ) для кожного рівняння з наведеного вище ескізу. Однак у випадках, коли нам насправді можуть знадобитися діапазони, що зазвичай не є варіантом, оскільки часто нам потрібні діапазони для (u ) та / або (v ), щоб отримати точний ескіз нового регіону.

    Отже, давайте зараз фактично почнемо працювати над проблемою.

    Почнемо з рівняння (u = 4 ). По-перше, нам не потрібен "діапазон" значень (u ) тут, оскільки рівняння дає зрозуміти, що у нас є одне значення (u ), а саме (u = 4 ). Отже, давайте визначимо діапазон (v ), який ми повинні отримати.

    Почнемо з перетворення (x ) та підключимо значуще значення (u ) для цього рівняння. Це дає,

    Тепер ми знаємо, що діапазон (x ) для вихідного рівняння, (y = - x + 4 ), є ( frac <3> <2> le x le 4 ) . Ми також знаємо згори, що таке (x ) з точки зору (v ), тому підключіть його до цього діапазону і зробіть невелику маніпуляцію наступним чином,

    [ почати displaystyle frac <3> <2> le x le 4 displaystyle frac <3> <2> le frac <1> <2> ліворуч (<4 + v> праворуч) le 4 3 le 4 + v le 8 - 1 le v le 4 end]

    Отже, діапазон (v ) 'для (u = 4 ) повинен бути (- 1 le v le 4 ), що чудово відповідає тому, що ми очікували б від графіка нового регіону .

    Зверніть увагу, що ми могли так само легко використовувати перетворення (y ) та діапазон (y ) для вихідного рівняння і отримати той самий результат.

    Добре, давайте перейдемо до (v = - 1 ), і ми не будемо давати стільки пояснень для цієї частини.

    По-перше, для цього нам не потрібен діапазон (v ), оскільки ми маємо лише одне значення (v ). Отже, щоб отримати діапазон (u ), давайте знову почнемо з перетворення (x ), підключіть (v = - 1 ) до цього, а потім використовуйте діапазон (x ) з вихідне рівняння, (y = x + 1 ).

    [ почати displaystyle - frac <7> <2> le x le frac <3> <2> displaystyle - frac <7> <2> le frac <1> <2> left ( праворуч) le frac <3> <2> - 7 le u - 1 le 3 - 6 le u le 4 end]

    Отже, діапазон (u ) для (v = - 1 ) дорівнює (- 6 le u le 4 ), що знову ж таки збігається з тим, що ми бачимо на графіку. Також зауважте, що ми ще раз могли використати діапазони (y ) для цієї роботи.

    Нарешті, знайдемо діапазон (u ) та (v ) для (v = frac <2> + 2 ). Цього разу давайте використаємо перетворення (y ), щоб ми могли сказати, що використовували це в одному з них. Отже, ми почнемо з діапазону (y ) для вихідного рівняння, (y = frac <3> - frac <4> <3> ), підключіть перетворення (y ), а потім підключіть для (v ). Це робить,

    [ почати displaystyle - frac <5> <2> le y le 0 displaystyle - frac <5> <2> le frac <1> <2> left ( <2> + 2> праворуч)> праворуч) le 0 displaystyle - 5 le frac <2> - 2 le 0 displaystyle - 3 le frac <2> le 2 - 6 le u le 4 end]

    Отже, знову ми отримуємо діапазон (u ), який ми очікуємо отримати з графіка. Отримавши їх, відповідний діапазон (v ) можна знайти з самого рівняння таким чином,

    [ почати displaystyle - 6 le u le 4 - 3 le frac <2> le 2 displaystyle - 1 le frac <2> + 2 le 4 - 1 le v le 4 end]

    В основному, починайте з діапазону (u ) і "складіть" рівняння для сторони, і ми отримаємо діапазон (v ) для цієї сторони.

    Отже, ми тепер знаємо, як отримати діапазони (u ) та / або (v ) для нових рівнянь під час перетворення. Однак це не те, що роблять надзвичайно часто, але корисно володіти навиком, якщо воно десь виникає.

    Тепер, коли ми побачили кілька прикладів трансформації регіонів, нам потрібно поговорити про те, як насправді відбувається зміна змінних в інтегралі. Ми почнемо з подвійних інтегралів. Для того, щоб змінити змінні в подвійному інтегралі, нам знадобиться Якобіян трансформації. Ось визначення якобіянця.

    Визначення

    Якобіян перетворення (x = g left ( праворуч)), (y = h ліворуч ( праворуч) ) є

    Якобіан визначається як детермінанта матриці 2х2, якщо вам це невідомо, це нормально. Ось як обчислити визначник.

    Отже, інша формула детермінанта:

    Тепер, коли Якобіан відхилений, ми можемо надати формулу зміни змінних для подвійного інтеграла.

    Зміна змінних для подвійного інтеграла

    Припустимо, що ми хочемо інтегрувати (f left ( праворуч)) над областю (R ). Під перетворенням (x = g left ( праворуч)), (y = h ліворуч ( праворуч) ) область стає (S ), а інтеграл стає,

    Також зауважте, що ми беремо абсолютне значення якобіянця.

    Якщо ми подивимось лише на диференціали у наведеній вище формулі, ми також можемо це сказати

    Отже, те, що ми робимо тут, є виправданням формули, яку ми використовували, коли інтегрували відносно полярних координат. Все, що нам потрібно зробити, це скористатися наведеною вище формулою для (dA ).

    Тут перетворенням є стандартні формули перетворення,

    [x = r cos theta hspace <0,25in> hspace <0,25in> y = r sin theta ]

    Якобіан для цього перетворення є,

    Отже, формула, яку ми використовували у розділі про полярні інтеграли, була правильною.

    Тепер давайте зробимо пару інтегралів.

    Спочатку спробуємо намалювати область (R ) та визначити рівняння для кожної зі сторін.

    Кожне з рівнянь було знайдено з використанням того факту, що ми знаємо дві точки на кожному прямому (тобто дві вершини, що утворюють ребро).

    Хоча ми могли б зробити цей інтеграл з точки зору (x ) та (y ), він би залучав два інтеграли, і це буде певна робота.

    Давайте скористаємось перетворенням і подивимось, що ми отримаємо. Ми зробимо це, підключивши перетворення до кожного з наведених вище рівнянь.

    Почнемо процес з (y = x ).

    [ почати2u - 3v & = 2u + 3v 6v & = 0 v & = 0 end]

    Перетворення (y = - x ) подібне.

    [ почати2u - 3v & = - ліва (<2u + 3v> права) 4u & = 0 u & = 0 end]

    Далі ми перетворимо (y = - x + 5 ).

    [ почати2u - 3v & = - лівий (<2u + 3v> правий) + 5 4u & = 5 u & = frac <5> <4> end]

    Нарешті, перетворимо (y = x - 5 ).

    [ почати2u - 3v & = 2u + 3v - 5 - 6v & = - 5 v & = frac <5> <6> end]

    Тоді область (S ) - це прямокутник, сторони якого задані (u = 0 ), (v = 0 ), (u = frac <5> <4> ) та (v = frac <5> <6> ) і тому діапазони (u ) та (v ) такі,

    [0 le u le frac <5> <4> hspace <0,25in> hspace <0,25in> 0 le v le frac <5> <6> ]

    Далі нам потрібен якобіян.

    Перш ніж ми продовжимо цю проблему. Давайте зробимо швидкий графік межі області (R ). Ми стверджували, що це еліпс, але він явно не у “стандартній” формі. Ось межа (R ).

    Отже, це еліпс, просто той, який знаходиться під кутом, а не симетрично відносно осі (x ) та (y ) - як ми звикли мати справу.

    Також зауважте, що ми використовували “ ( le 2 )” при “визначенні” (R ), щоб чітко пояснити, що ми використовуємо як власне сам еліпс, так і внутрішню частину еліпса для (R ).

    Добре, приступимо до вирішення проблеми.

    Перше, що потрібно зробити, це підключити перетворення до рівняння еліпса, щоб побачити, в що перетворюється область.

    Або, поділивши на 2, ми бачимо, що рівняння, що описує (R ), перетворюється на

    або одиничне коло. Знову ж таки, інтегрувати це буде набагато простіше, ніж вихідний регіон.

    Також зауважте, що ми показали, що функцією, яку ми інтегруємо, є

    з точки зору (u ) та (v ), тому нам не доведеться переробляти цю роботу, коли настане час робити інтеграл.

    Нарешті, нам потрібно знайти якобіянина.

    Перш ніж продовжувати, слід застерегти. Не робіть помилки, підставляючи ( - xy + = 2 ) або ( + = 1 ) в для інтегралу. Ці рівняння діють лише на межі області, і ми також розглядаємо всі точки, розташовані всередині межі, і для цих точок жодне з цих рівнянь не буде вірним!

    На цьому етапі ми зауважимо, що цей інтеграл буде набагато простішим з точки зору полярних координат, і тому закінчити інтеграл буде перетвореним у полярні координати.

    Давайте коротко розглянемо потрійні інтеграли. У цьому випадку ми знову почнемо з області (R ) і використаємо перетворення (x = g left ( праворуч)), (y = h ліворуч ( праворуч) ) та (z = k ліворуч ( праворуч))) для перетворення регіону в новий регіон (S ). Для того, щоб зробити інтеграл, нам знадобиться якобіан, як і з подвійними інтегралами. Ось визначення якобіянця для такого роду перетворень.

    У цьому випадку якобіян визначається через детермінанту матриці 3x3. Ми побачили, як їх оцінити, коли ми подивились на перехресні продукти ще в Обчисленні II. Якщо вам потрібна оновлена ​​інформація про їх обчислення, вам слід повернутися назад і переглянути цей розділ.

    Інтегралом цього перетворення є,

    Як і у випадку з подвійними інтегралами, ми використовували (d overline) в інтегралі (u ) / (v ) / (w ) вище, щоб нагадати собі, що нам потрібно буде використовувати (du ), (dv ) та (dw ), коли перетворення в одинарні інтеграли. Знову ж таки, це просто позначення і зазвичай пишеться як просто (dV ).

    Ми можемо поглянути лише на диференціали та зазначити, що ми повинні мати

    Ми не збираємося тут робити ніяких інтегралів, але давайте перевіримо формулу для (dV ) для сферичних координат.

    Тут перетворення - це лише стандартні формули перетворення.

    [x = rho sin varphi cos theta hspace <0,25in> y = rho sin varphi sin theta hspace <0,25in> z = rho cos varphi ]

    [дВ = ліворуч | <- < rho ^ 2> sin varphi> право | , d rho , d theta , d varphi = < rho ^ 2> sin varphi , d rho , d theta , d varphi ]

    Нагадаємо, що ми обмежили ( varphi ) діапазоном (0 le varphi le pi ) для сферичних координат, і тому ми знаємо, що ( sin varphi ge 0 ), і тому t потрібні смуги абсолютних значень на синусі.

    Якщо ви хочете, ми залишимо вам перевірити формулу (dV ) для циліндричних координат. Це набагато простіша формула для перевірки.


    Деталі

    Клацніть піктограму + біля будь-якого повзунка параметра, щоб ввести певне значення або створити анімацію. скинути прапорець скине значення параметрів до , , , , і .


    Перегляньте відео: Et eksempel på en lineær funktion (Найясніший 2022).