Статті

13.6.5: Вирішення рівномірних програм руху

13.6.5: Вирішення рівномірних програм руху



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Мета навчання

Наприкінці цього розділу ви зможете:

  • Розв’язуйте програми рівномірного руху

Примітка

Перш ніж почати, пройдіть цю вікторину щодо готовності.

  1. Знайдіть відстань, яку проїхав автомобіль, що рухався 70 миль на годину за 3 години.
    Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте вправу 2.6.1.
  2. Розв’язати (x + 1,2 (x − 10) = 98 ).
    Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте вправу 2.4.7.
  3. Перевести 90 хвилин у години.
    Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте вправу 1.11.1.

Вирішуйте уніфіковані програми для руху

Плануючи дорожню поїздку, часто допомагає знати, скільки часу знадобиться для того, щоб дістатися до пункту призначення, або як далеко їхати щодня. Ми використали б формулу відстані, швидкості та часу, D = rt, яку ми вже бачили.

У цьому розділі ми будемо використовувати цю формулу в ситуаціях, для вирішення яких потрібно трохи більше алгебри, ніж ті, що ми бачили раніше. Як правило, ми розглянемо порівняння двох сценаріїв, таких як два автомобілі, які їдуть із різними тарифами або в протилежних напрямках. Коли швидкість кожного автомобіля є постійною, ми називаємо такі програми проблеми рівномірного руху.

Тут все ще застосовуватимуться наші стратегії вирішення проблем, але ми додамо до першого кроку. Перший крок включатиме малювання схеми, яка показує, що відбувається у прикладі. Малювання схеми допомагає нам зрозуміти, що відбувається, щоб ми написали відповідне рівняння. Тоді ми складемо таблицю для упорядкування інформації, як це було зроблено для грошових заявок.

Кроки перелічені тут для зручності:

ВИКОРИСТОВУЙТЕ СТРАТЕГІЮ РОЗВ'ЯЗАННЯ ПРОБЛЕМ У ЗАСТОСУВАННІ НА ДИСТАНЦІЮ, СКОРОСТЬ ТА ЧАС.

  1. Прочитайте проблема. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.
    • Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається.
    • Створіть таблицю для упорядкування інформації.
    • Позначте швидкість, час, відстань стовпців.
    • Перелічіть два сценарії.
    • Напишіть відомості, які вам відомі.
  2. Визначте що ми шукаємо.
  3. Ім'я що ми шукаємо. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.
    • Завершити діаграму.
    • Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.
    • Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.
  4. Перекласти у рівняння.
    • Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією.
    • Потім перекладіть речення у рівняння.
  5. Вирішити рівняння з використанням хороших методів алгебри.
  6. Перевірте відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс.
  7. Відповідь питання з повним реченням.

Вправа ( PageIndex {1} )

Експрес-поїзд та місцевий поїзд відправляються з Пітсбурга, щоб доїхати до Вашингтона, округ Колумбія. Експрес-поїзд може здійснити поїздку за 4 години, а місцевий поїзд - 5 годин. Швидкість швидкісного поїзда на 12 миль на годину швидша за швидкість місцевого поїзда. Знайдіть швидкість обох поїздів.

Відповідь

Крок 1. Прочитайте проблема. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.

Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається. Нижче наведено ескіз того, що відбувається у прикладі.


Створіть таблицю для упорядкування інформації. Позначте стовпці "Оцінка", "Час" та "Відстань". Перелічіть два сценарії. Напишіть відомості, які вам відомі.

Крок 2. Визначте що ми шукаємо.

Нас просять знайти швидкість обох поїздів. Зверніть увагу, що у формулі відстані використовується слово “тариф”, але частіше використовується “швидкість”, коли ми говоримо про транспортні засоби щоденною англійською мовою.

Крок 3. Ім'я що ми шукаємо. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.

Заповніть діаграму Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку. Ми шукаємо швидкість поїздів. Давайте р представляють швидкість місцевого поїзда. Оскільки швидкість швидкісного поїзда на 12 миль / год швидша, ми представляємо це як r + 12.

[ початок {вирівняно} r & = text {швидкість місцевого поїзда} r + 12 & = text {швидкість швидкісного поїзда} end {вирівняно} ]

Введіть швидкість у графік.

Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.

Крок 4. Перекладіть у рівняння.

Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією. Потім перекладіть речення у рівняння.
  • Рівняння для моделювання цієї ситуації буде виходити із співвідношення між відстанями. Подивіться на схему, яку ми намалювали вище. Як пов’язана відстань, пройдена експрес-поїздом, з відстанею, пройденою місцевим поїздом?
  • Оскільки обидва поїзди відправляються з Пітсбурга і їдуть до Вашингтона, округ Колумбія, вони проїжджають однакову відстань. Отже, ми пишемо:

Крок 5. Розв’яжіть рівняння з використанням хороших методів алгебри.

Тепер розв’яжіть це рівняння.



Тож швидкість місцевого поїзда становить 48 миль / год.

Знайдіть швидкість швидкісного поїзда.



швидкість швидкісного поїзда - 60 миль / год.

Крок 6. Перевірка відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс. [ begin {масив} {ll} { text {експрес-поїзд}} & {60 mathrm {mph} (4 text {години}) = 240 mathrm {милі}} { text {місцевий поїзд }} & {48 mathrm {mph} (5 text {годин}) = 240 mathrm {миль} галочка end {масив} ]

Крок 7. Відповідь питання з повним реченням.

Швидкість місцевого поїзда - 48 миль / год, а швидкісний - 60 миль / год.

Вправа ( PageIndex {2} )

Уейн і Денніс люблять їздити на велосипедній доріжці від парку Ріверсайд до пляжу. Швидкість Денніса на сім миль на годину швидша за швидкість Вейна, тому Уейну потрібно 2 години їзди до пляжу, тоді як Деннісу на це потрібно 1,5 години. Знайдіть швидкість обох байкерів.

Відповідь

Уейн 21 милі / год, Денніс 28 миль / год

Вправа ( PageIndex {3} )

Джеромі може доїхати від свого будинку в Клівленді до свого коледжу в Чикаго за 4,5 години. Його матері потрібно 6 годин, щоб зробити той самий драйв. Джеромі їде на 20 миль на годину швидше, ніж його мати. Знайдіть швидкість Джеромія та швидкість його матері.

Відповідь

Джеромі 80 миль / год, мати 60 миль / год

У вправі ( PageIndex {4} ), останньому прикладі, у нас було два поїзди, які їхали однакову відстань. Діаграма та діаграма допомогли нам написати рівняння, яке ми розв’язали. Подивимось, як це працює в іншому випадку.

Вправа ( PageIndex {4} )

Крістофер та його батьки живуть на відстані 115 миль. Вони зустрілися в ресторані між своїми будинками, щоб відсвяткувати день народження його матері. Крістофер їхав 1,5 години, тоді як батьки їхали 1 годину, щоб дістатися до ресторану. Середня швидкість Крістофера була на 10 миль на годину вищою, ніж середня швидкість його батьків. Якими були середні швидкості руху Крістофера та його батьків, коли вони їхали до ресторану?

Відповідь

Крок 1. Нижче наведено ескіз того, що відбувається на прикладі.

Створіть таблицю для упорядкування інформації.

Позначте швидкість, час, відстань стовпців.

Перелічіть два сценарії.

Напишіть відомості, які вам відомі.

Крок 2. Визначте що ми шукаємо.

Нас просять знайти середні швидкості руху Крістофера та його батьків.

Крок 3. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.

Завершити діаграму.

Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.
Ми шукаємо їх середні швидкості. Давайте р представляють середню швидкість батьків. Оскільки швидкість Крістофера на 10 миль / год швидша, ми представляємо це як r + 10.

Введіть швидкість у графік.

Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.

Крок 4. Потім перекладіть речення у рівняння. Знову ж таки, нам потрібно визначити залежність між відстанями, щоб написати рівняння. Подивіться на схему, яку ми створили вище, і зауважте взаємозв’язок між відстанею, яку пройшов Крістофер, і відстанью, яку пройшли його батьки.

Відстань, яку пройшов Крістофер, плюс відстань, яку подорожували його батьки, повинна складати 115 миль. Отже, ми пишемо:

Крок 5. Розв’яжіть рівняння з використанням хороших методів алгебри.

( begin {масив} {cc} {} & {1,5 (r + 10) + r = 115} {} & {1,5r + 15 + r = 115} { text {Тепер розв’яжіть це рівняння .}} & {2.5r + 15 = 115} {} & {2.5r = 100} {} & {r = 40} {} & { text {так швидкість батьків становила 40 миль / год. .}} {} & {r + 10} { text {Швидкість Крістофера r + 10}} & {40 + 10} {} & {50} {} & { text { Швидкість Крістофера становила 50 миль / год.}} {} & {} end {array} )

Крок 6. Перевірка відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс.

( begin {array} {llll} { text {Крістофер їхав}} & {50 text {mph (1,5 години)}} & {=} & {75 text {миль}} { text { Його батьки їхали}} & {40 text {mph (1 година)}} & {=} & { underline {40 text {miles}}} {} & {} & {} & {115 text {миль}} кінець {масив} )

( begin {array} {ll} { textbf {Крок 7. Відповідь} text {на запитання з повним реченням.}} & {} {} & { text {Швидкість Крістофера становила 50 миль / год.} } {} & { text {Швидкість його батьків становила 40 миль / год.}} end {array} )

Вправа ( PageIndex {5} )

Каріна їде з дому в Анахаймі до Берклі того ж дня, коли її брат їде з Берклі до Анахайму, тому вони вирішують зустрітися на обід по дорозі в Баттонвіллоу. Відстань від Анахайму до Берклі становить 410 миль. Каріні потрібно 3 години, щоб дістатися до Баттонвіллоу, тоді як її брат їде 4 години. Середня швидкість, яку їхав брат Каріни, була на 15 миль на годину вищою за середню швидкість. Знайдіть середні швидкості руху Каріни та її брата.

Відповідь

Каріна 50 миль / год, брат 65 миль / год

Вправа ( PageIndex {6} )

Ешлі навчається в коледжі в Міннеаполісі, за 234 милі від її будинку в Су-Фоллз. Вона хоче, щоб батьки принесли їй більше зимового одягу, тому вони вирішили зустрітися в ресторані на дорозі між Міннеаполісом та Су-Фолсом. Ешлі та її батьки їхали 2 години до ресторану. Середня швидкість Ешлі була на сім миль на годину вищою, ніж середня швидкість її батьків. Знайдіть середню швидкість руху Ешлі та її батьків.

Відповідь

батьки 55 миль / год, Ешлі 62 милі / год

Читаючи наступний приклад, подумайте про співвідношення пройдених відстаней. Який із попередніх двох прикладів більше схожий на цю ситуацію?

Вправа ( PageIndex {7} )

Двоє водіїв вантажівок одночасно залишають зону відпочинку на міждержавному рівні. Одна вантажівка їде на схід, а інша - на захід. Вантажівка, що їде на захід, рухається зі швидкістю 70 км / год, а вантажівка, що їде на схід, має середню швидкість 60 миль / год. Як довго вони подорожуватимуть, поки їх не буде 325 миль один від одного?

Відповідь

Крок 1. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.

Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається.

Створіть таблицю для упорядкування інформації.

Крок 2. Визначте що ми шукаємо.

Нас просять визначити, скільки часу вантажівки проїдуть, поки вони не будуть віддалені між собою на 325 миль.

Крок 3. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.

Ми шукаємо пройдений час. Обидві вантажівки їздитимуть однакову кількість часу. Давайте назвемо час т. Оскільки їх швидкості різні, вони проїдуть різну відстань. Завершити діаграму.

Крок 4. Перекладіть у рівняння.

Нам потрібно знайти співвідношення між відстанями, щоб написати рівняння. Дивлячись на схему, яка залежність між відстанню, яку пройде кожна з вантажівок? Відстань, пройдена вантажівкою, що їде на захід, плюс відстань, пройдена вантажівкою, що рухається на схід, повинна складати 325 миль. Отже, ми пишемо:

Крок 5. Розв’яжіть рівняння з використанням хороших методів алгебри.

[ begin {масив} {lrll} { text {Тепер розв’яжіть це рівняння. }} & {70 t + 60 t} & {=} & {325} {} & {130 t} & {=} & {325} {} & {t} & {=} & {2.5 } end {масив} ]

Крок 6. Перевірте відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс.

( begin {array} {llll} { text {Вантажівка їде на захід}} & {70 text {mph (2,5 години)}} & {=} & {175 text {милі}} { text {Вантажівка їде на схід}} & {60 text {mph (2,5 години)}} & {=} & { underline {150 text {miles}}} {} & {} & {} & {325 текст {милі}} кінець {масив} )

( begin {array} {ll} { textbf {Крок 7. Відповідь} text {на запитання з повним реченням.}} & { text {Візок піде на відстань між собою 325 миль за 2,5 години .}} end {масив} )

Вправа ( PageIndex {8} )

П’єр і Монік одночасно залишають свій будинок у Портленді. П'єр їде на північ по магістралі зі швидкістю 75 миль на годину, тоді як Монік їде на південь зі швидкістю 68 миль на годину. Скільки часу їм знадобиться, щоб бути на відстані 429 миль?

Відповідь

3 години

Вправа ( PageIndex {9} )

Тхан і Нхат одночасно залишають офіс у Сакраменто. Тхан їде на північ по I-5 зі швидкістю 72 милі на годину. Нхат їде на південь по I-5 зі швидкістю 76 миль на годину. Скільки часу їм знадобиться, щоб бути на відстані 330 миль?

Відповідь

2,2 години

ОРГАНИ ВІДПОВІДНОСТІ В ПРОБЛЕМАХ

Важливо переконатися, що одиниці збігаються, коли ми використовуємо формулу швидкості відстані та часу. Наприклад, якщо швидкість в милях на годину, то час повинен бути в годинах.

Вправа ( PageIndex {10} )

Коли Кеті Мей йде пішки до школи, їй потрібно 30 хвилин. Якщо вона їде на велосипеді, це займає 15 хвилин. Її швидкість на три милі на годину швидша, коли вона їде на велосипеді, ніж коли вона йде. Яка її швидкість ходьби та швидкість їзди на велосипеді?

Відповідь

Спочатку ми малюємо схему, яка представляє ситуацію, щоб допомогти нам побачити, що відбувається.

Нас просять знайти її швидкісну ходьбу та їзду на велосипеді. Давайте назвемо її швидкістю ходьби р. Оскільки її швидкість на велосипеді швидша на три милі на годину, ми будемо називати цю швидкість r + 3. Швидкості записуємо в діаграму.

Швидкість в милях на годину, тому нам також потрібно виражати час у годинах, щоб одиниці були однаковими. Пам’ятайте, одна година - це 60 хвилин. Так:

[ begin {масив} {l} {30 text {хвилин - це} frac {30} {60} text {або} frac {1} {2} text {година}} {15 текст {хвилин становить} frac {15} {60} text {або} frac {1} {4} text {година}} кінець {масив} ]

Далі ми множимо швидкість, помножену на час, щоб заповнити стовпець відстані.

Рівняння буде виходити з того, що відстань від будинку Кеті Мей до її школи однакова, незалежно від того, їде вона пішки чи їде на велосипеді.

Тож ми говоримо:

Перекладіть у рівняння.
Розв’яжіть це рівняння.
Очистіть частки, помноживши на РКД всі частки рівняння.
Спростіть.





6 миль / год
(Швидкість руху Кейті Мей)
Давайте перевіримо, чи це працює.
Ходьба 3 милі на годину (0,5 години) = 1,5 милі
Велосипед 6 миль / год (0,25 години) = 1,5 милі
Так, в будь-якому випадку Кеті Мей подорожує до школи 1,5 милі.Швидкість ходьби Кеті Мей становить 3 милі на годину.
Її швидкість на велосипеді становить 6 миль / год.

Вправа ( PageIndex {11} )

Сузі потрібно 50 хвилин, щоб піднятися вгору від стоянки до оглядової вежі. Їй потрібно 30 хвилин, щоб повернутися назад до стоянки. Її швидкість підйому вниз на 1,2 милі на годину швидша, ніж швидкість підйому. Знайдіть швидкості Сюзі на підйом і на спуск.

Відповідь

вгору 1,8 милі / год, вгору три милі / год

Вправа ( PageIndex {12} )

Ллевіну потрібно 45 хвилин, щоб проїхати на човні від причалу до улюбленого місця для риболовлі. Йому потрібно 30 хвилин, щоб повернути човен вниз за течією до доку. Швидкість човна, що рухається за течією, на чотири милі на годину швидша, ніж швидкість, що рухається за течією. Знайдіть швидкість човна за течією та за течією.

Відповідь

вище 8 миль / год, нижче 12 миль / год

У формулі відстані, швидкості та часу час представляє фактичну суму витрачений час (у годинах, хвилинах тощо). Якщо проблема дає нам час початку і закінчення як час годин, ми повинні знайти минулий час, щоб скористатися формулою.

Вправа ( PageIndex {13} )

Гамільтон любить їздити в Лас-Вегас, за 255 миль від свого будинку в окрузі Оріндж. Під час останньої поїздки він вийшов з дому о 14:00. Перша частина його поїздки була на перевантажених міських автострадах. О 16:00 рух транспорту очистився, і він зміг проїхати пустелю зі швидкістю 1,75 рази швидше, ніж коли він їхав у перевантаженому районі. Він прибув до Лас-Вегасу о 18:30. Наскільки швидко він їхав під час кожної частини подорожі?

Відповідь

Діаграма допоможе нам змоделювати цю подорож.

Далі ми створюємо таблицю для упорядкування інформації.

Ми знаємо, що загальна відстань становить 255 миль. Ми шукаємо норму швидкості для кожної частини поїздки. Тариф в пустелі в 1,75 рази перевищує показник у місті. Якщо дозволити r = швидкість в місті, то норма в пустелі 1,75r.

Час тут подано як годинник. Гамільтон вирушив з дому о 14:00 вечора, а в пустелю увійшов о 16:30. Тож він провів дві години за кермом у місті, що перевантажено. Потім він їхав швидше з 16:00 до 18:30 у пустелі. Тож він проїхав 2,5 години в пустелі.

Тепер ми множимо ставки в рази.

Подивившись на діаграму нижче, ми можемо побачити, що сума пройденої в місті відстані та пройденої в пустелі відстані становить 255 миль.

Перекладіть у рівняння.
Розв’яжіть це рівняння.





Перевірте.

Гамільтон їхав 40 км / год у місті та 70 миль / год у пустелі.

Вправа ( PageIndex {14} )

Круз тренується до змагань у триатлоні. Він вийшов з дому о 6:00 і біг до 7:30. Потім він їздив на велосипеді до 9:45. Загальну відстань він подолав 51 милю. Швидкість руху на велосипеді в 1,6 рази перевищувала швидкість бігу. Знайдіть швидкість їзди на велосипеді та бігу Круза.

Відповідь

їзда на велосипеді 16 миль / год, біг 10 миль / год

Вправа ( PageIndex {15} )

Фуонг виїхав з дому на велосипеді о 10:00. Він їхав рівною вулицею до 11:15, потім їхав вгору до 11:45. Загалом він проїхав 31 милю. Швидкість його їзди вгору в 0,6 раза перевищувала швидкість на рівній вулиці. Знайдіть його швидкісний велосипед на підйом і на рівну вулицю.

Відповідь

вгору 12 миль / год, рівна вулиця 20 миль / год

Ключові поняття

  • Відстань, швидкість та час
    • D = rt де D = відстань, р = ставка, т = час
  • Стратегія вирішення проблем - додатки на відстань, швидкість та час
    1. Прочитайте проблема. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.
      Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається.
      Створіть таблицю для упорядкування інформації: Позначте швидкість стовпців, час, відстань. Перелічіть два сценарії. Напишіть відомості, які вам відомі.
    2. Визначте що ми шукаємо.
    3. Ім'я що ми шукаємо. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.
      Завершити діаграму.
      Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.
      Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.
    4. Перекласти у рівняння.
      Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією.
      Потім перекладіть речення у рівняння.
    5. Вирішити рівняння з використанням хороших методів алгебри.
    6. Перевірте відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс.
    7. Відповідь питання з повним реченням.

Вирішення рівномірних програм руху

Ми вирішували задачі рівномірного руху, використовуючи формулу (D = rt ) у попередніх підручниках. Для упорядкування інформації та підведення до рівняння ми використали таблицю, подібну до наведеної нижче.

Формула (D = rt ) передбачає, що ми знаємо р і т і використовувати їх для пошуку D. Якщо ми знаємо D і р і потрібно знайти т, ми б вирішили рівняння для т і отримаємо формулу (t = frac) .

Ми також пояснили, як політ зі струмом чи проти нього впливає на швидкість транспортного засобу. Ми переглянемо цю ідею в наступному прикладі.


Приклад

Експрес-поїзд та місцевий поїзд відправляються з Пітсбурга, щоб доїхати до Вашингтона, округ Колумбія. Експрес-поїзд може здійснити поїздку за 4 години, а місцевий поїзд - 5 годин. Швидкість швидкісного поїзда на 12 миль на годину швидша за швидкість місцевого поїзда. Знайдіть швидкість обох поїздів.

Рішення

Крок 1. Прочитайте проблема. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.

    Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається. Нижче наведено ескіз того, що відбувається у прикладі.

Крок 2. Визначте що ми шукаємо.

  • Нас просять знайти швидкість обох поїздів.
  • Зверніть увагу, що у формулі відстані використовується слово “тариф”, але частіше використовується “швидкість”, коли ми говоримо про транспортні засоби щоденною англійською мовою.

Крок 3. Ім'я що ми шукаємо. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.

  • Завершити діаграму
  • Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.
  • Ми шукаємо швидкість поїздів. Давайте р представляють швидкість місцевого поїзда. Оскільки швидкість швидкісного поїзда швидше на 12 миль / год, ми представляємо це як (r + 12. )

Введіть швидкість у графік.

Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.

Крок 4. Перекладіть у рівняння.

  • Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією.
  • Потім перекладіть речення у рівняння.
  • Рівняння для моделювання цієї ситуації буде виходити із співвідношення між відстанями. Подивіться на схему, яку ми намалювали вище. Як пов’язана відстань, пройдена експрес-поїздом, з відстанею, пройденою місцевим поїздом?
  • Оскільки обидва поїзди відправляються з Пітсбурга і їдуть до Вашингтона, округ Колумбія, вони проїжджають однакову відстань. Отже, ми пишемо:

Крок 5. Розв’яжіть рівняння з використанням хороших методів алгебри.

Тепер розв’яжіть це рівняння.

Тож швидкість місцевого поїзда становить 48 миль / год.
Знайдіть швидкість швидкісного поїзда.Швидкість швидкісного поїзда - 60 миль / год.

Крок 6. Перевірка відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс.

Крок 7. Відповідь питання з повним реченням.

У наведеному вище прикладі, в останньому прикладі, у нас було два поїзди, які їхали на однакову відстань. Діаграма та діаграма допомогли нам написати рівняння, яке ми розв’язали. Подивимось, як це працює в іншому випадку.


Приклад

Перекладіть на систему рівнянь, а потім розв’яжіть:

Річковий круїзний корабель пропливав 60 миль за течією протягом 4 годин, а потім пішов 5 годин, пливучи вгору за течією, щоб повернутися до доку. Знайдіть швидкість корабля в нерухомій воді та швидкість річкової течії.

Рішення

Прочитайте проблема.

Це рівномірна проблема руху, і картинка допоможе нам уявити ситуацію.

Визначте що ми шукаємо.Ми шукаємо швидкість корабля в нерухомій воді і швидкість течії.
Ім'я що ми шукаємо.Нехай (s = ) швидкість судна в нерухомій воді.
( phantom < rule <1.5em> <0ex>> c = ) швидкість струму
Діаграма допоможе нам упорядкувати інформацію.
Корабель прямує за течією, а потім за течією.
Спускаючись по течії, струм допомагає кораблю, отже, фактична швидкість судна становить s + c .
Піднімаючись вгору за течією, течія уповільнює судно, отже, фактична швидкість становить sc.
За течією це займає 4 години.
Вище за течією це займає 5 годин.
Кожен шлях - 60 миль.
Перекласти в систему рівнянь.
Оскільки швидкість в рази час - це відстань, ми можемо записати систему рівнянь.
Вирішити система рівнянь.
Розподіліть, щоб обидва рівняння поставити у стандартну форму, а потім розв’яжіть шляхом виключення.
Помножте верхнє рівняння на 5, а нижнє рівняння на 4.
Складіть рівняння, а потім розв’яжіть для s.
Замінник s = 13,5 в одне з вихідних рівнянь.
Перевірте відповідь у задачі.
Нижня ставка буде
13,5 + 1,5 = 15 миль / год.
Через 4 години корабель мандрував
15 · 4 = 60 миль.
Вища швидкість буде
13,5 - 1,5 = 12 миль / год.
Через 5 годин корабель мандрував
12 · 5 = 60 миль.
Відповідь питання.Швидкість корабля становить 13,5 милі / год, а швидкість течії - 1,5 милі / год.

Струми вітру впливають на швидкість літака так само, як потоки води впливають на швидкість човна. Це ми побачимо у прикладі нижче. Струм вітру в тому ж напрямку, в якому летить літак, називається а попутний вітер. Струм вітру, що дме проти напрямку літака, називається а зустрічний вітер.


Вирішуйте суміші та рівномірні програми руху

Використання алгебри для визначення кількості нікелів та копійок у скарбничці може здатися безглуздим. Ви можете здивуватися, чому ми просто не відкриваємо банк і не підраховуємо їх. Але цей тип задач знайомить нас із деякими прийомами, які будуть корисними у процесі просування вперед у процесі вивчення математики.

Якби ми мали купу копійок, як би ми визначили її вартість? Якщо підрахувати кількість копійок, ми дізнаємось, скільки їх у нас - номер копійок. Але це не говорить нам про значення всіх копійок. Скажімо, ми нарахували 23 копійки, скільки вони коштують? Кожна копійка коштує .10 - тобто значення одного копійки. Щоб знайти загальне значення купи 23 копійки, помножте 23 на .10, щоб отримати $ 2.30.

Кількість копійок, помножена на значення кожного копійки, дорівнює загальній вартості копійок.

Цей метод призводить до наступної моделі.

Для того ж типу монет за допомогою моделі визначається загальна вартість ряду монет

  • номер - кількість монет
  • значення - вартість кожної монети
  • Загальна вартість - загальна вартість усіх монет

Якби у нас було кілька типів монет, ми могли б продовжити цей процес для кожного типу монет, і тоді б ми знали загальну вартість кожного типу монет. Щоб отримати загальне значення всі монети, додайте загальну вартість кожного типу монет.

У скарбничці у Джессі є копійки та нікелі на суму 3,02 долари. Кількість нікелів утричі перевищує кількість копійок. Скільки нікелів і скільки копійок у Джессі?

Крок 1. Прочитайте проблема. Визначте типи задіяних монет. Створіть таблицю. Впишіть вартість кожного типу монет. копійки та нікелі Пенні коштують, 10. Нікелі коштують, 0,05.
Крок 2. Визначте що ми шукаємо. кількість копійок і нікелів
Крок 3. Ім'я. Уявіть номер кожного типу монет за допомогою змінних. Кількість нікелів визначається з точки зору кількості копійок, тому починайте з копійок. Кількість нікелів утричі перевищує кількість копійок. Нехай p = кількість копійок. 8 р + 3 = кількість нікелів
На графіку помножте число та значення, щоб отримати загальну вартість кожного типу монет.
Крок 4. Перекладіть. Напишіть рівняння, додавши загальну вартість усіх видів монет.
Крок 5. Розв’яжіть рівняння.
Скільки нікелів?
Крок 6. Перевірка відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс. У Джессі 7 копійок і 59 нікелів. Чи загальна вартість $ 3,02? 7 (0,01) + 59 (0,05) =? 3,02 3,02 = 3,02 ✓

У кишені Джессі є чверті та нікелі на суму 6,55 доларів. Кількість нікелів у п’ять більше, ніж удвічі перевищує кількість кварталів. Скільки нікелів і скільки чвертей у Джессі?

У Джес 41 нікель і 18 чвертей.

У банку з монетами Елейн становить 7 доларів в копійках і нікелях. Кількість копійок, які має Елейн, у сім разів менше, ніж у три рази, ніж кількість нікелів. Скільки у кожної монети є у Елейн?

У Елейн 22 нікелі та 59 копійок.

Етапи вирішення проблеми монетичного слова наведені нижче.

  1. Прочитайте проблема. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.
    • Визначте типи задіяних монет.
    • Створіть таблицю для упорядкування інформації.
      • Позначте стовпці "типом", "числом", "значенням" і "загальним значенням".
      • Перелічіть типи монет.
      • Впишіть вартість кожного типу монет.
      • Впишіть загальну вартість усіх монет.
  2. Визначте що ви шукаєте.
  3. Ім'я що ви шукаєте. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.
    • Використовуйте змінні вирази, щоб представити номер кожного типу монет і записати їх у таблицю.
    • Помножте число, помножене на значення, щоб отримати загальну вартість кожного типу монет.
  4. Перекласти у рівняння.
    • Може бути корисним повторити проблему одним реченням із усією важливою інформацією. Потім перекладіть речення у рівняння.
    • Напишіть рівняння, додавши загальні значення всіх типів монет.
  5. Вирішити рівняння з використанням хороших методів алгебри.
  6. Перевірте відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс.
  7. Відповідь питання з повним реченням.

Вирішити проблеми із квитками та марками

Проблеми, пов’язані з квитками або марками, дуже нагадують проблеми з монетами. Кожен тип квитка та марки має значення, як і кожен тип монети. Отже, щоб вирішити ці проблеми, ми будемо виконувати ті самі кроки, які ми використовували для вирішення проблем з монетами.

Денні заплатив 15,75 доларів за марки. Кількість марок у 49 центів була в п’ять менше, ніж утричі перевищувала кількість марок у 35 центів. Скільки марок 49 центів і скільки марок 35 центів купив Денні?

Крок 1. Визначте типи задіяних марок. Марки 49 центів і марки 35 центів
Крок 2. Визначте ми шукаємо. кількість марок 49 центів і кількість марок 35 центів
Крок 3. Напишіть змінні вирази, щоб представити номер кожного типу штампа. Дозволяє х = кількість марок на 35 центів.
"Кількість марок у 49 центів була в п’ять менше, ніж утричі перевищує кількість марок у 35 центів". 3 х - 5 = кількість марок 49 центів
Крок 4. Запишіть рівняння із загальних значень.
Крок 5. Розв’яжіть рівняння.
Скільки марок у 49 центів?
Крок 6. Перевірка. 10 ( 0.35 ) + 25 ( 0.49 ) = ? 15.75 3.50 + 12.25 = ? 15.75 15.75 = 15.75 ✓
Крок 7. Відповідь питання з повним реченням. Денні придбав десять марок по 35 центів і двадцять п'ять марок по 49 центів.

Ерік заплатив 19,88 доларів за марки. Кількість марок у 49 центів була у вісім більше, ніж удвічі від кількості марок у 35 центів. Скільки марок 49 центів і скільки марок 35 центів купив Ерік?

Ерік придбав тридцять дві марки по 49 центів і дванадцять по 35 центів.

Кейлі заплатила 14,74 доларів за марки. Кількість марок у 49 центів була в чотири рази менше, ніж у 20 центів. Скільки марок 49 центів і скільки марок 20 центів придбала Кейлі?

Кейлі придбав двадцять шість марок по 49 центів і десять марок по 20 центів.

У більшості наших прикладів до цього часу нам казали, що одна величина в чотири рази більше, ніж вдвічі інша, або щось подібне. У нашому наступному прикладі ми повинні співвідносити величини по-іншому.

Припустимо, Aniket продав загалом 100 квитків. Кожен квиток був або дорослим, або дитячим. Якщо він продав 20 дитячих квитків, скільки дорослих він продав?

Ви сказали “80”? Як ти це зрозумів? Ви відняли 20 із 100?

Якщо він продав 45 дитячих квитків, скільки дорослих він продав?

Ви сказали "55"? Як ти це знайшов? Віднімаючи від 100 45?

А припустимо, Aniket проданий х дитячі квитки. Тоді скільки дорослих квитків він продав? Щоб з’ясувати це, ми дотримувалися б тієї самої логіки, яку використовували вище. У кожному випадку ми відняли кількість дитячих квитків зі 100, щоб отримати кількість квитків для дорослих. Зараз ми робимо те саме з х.

Ми узагальнили це в таблиці.

Ми застосуємо цю техніку в наступному прикладі.

На борту корабля, який спостерігав за китами, було 40 пасажирів, що платять. Загальний дохід, зібраний від квитків, склав 1196 доларів. Пасажири за повним тарифом платили 32 долари за кожного, а пасажири за зниженим тарифом - за 26 доларів. Скільки пасажирів із повним тарифом та скільки пасажирів із зниженими тарифами було на судні?

Крок 1. Визначте типи задіяних квитків. квитки за повним тарифом та за зниженими тарифами
Крок 2. Визначте що ми шукаємо. кількість квитків за повним тарифом
Крок 3. Ім'я. Уявіть номер кожного типу квитка за допомогою змінних. Дозволяє f = кількість повноцінних квитків. 40 - f = кількість пільгових квитків
Ми знаємо, що загальна кількість проданих квитків склала 40. Це означає, що кількість пільгових квитків на 40 менше, ніж повна вартість проїзду. Помножте число, помножене на значення, щоб отримати загальну вартість кожного виду квитка.
Крок 4. Перекладіть. Напишіть рівняння, додавши загальні значення кожного виду квитків.
Крок 5. Розв’яжіть рівняння.
Скільки пільгових тарифів?
Крок 6. Перевірка відповідь. Було 26 повноцінних квитків по 32 долари кожен та 14 пільгових квитків по 26 доларів кожен. Чи загальна вартість $ 116? 26 · 32 = 832 14 · 26 = 364 —— 1196 ✓
Крок 7. Відповідь питання. Вони продали 26 повноцінних та 14 пільгових квитків.

Під час своєї зміни в касі музею Лія продала 115 квитків на загальну суму 1163 долари. Квитки для дорослих коштують 12 доларів, а студентські - 5 доларів. Скільки квитків для дорослих і скільки студентських квитків продала Лія?

84 квитки для дорослих, 31 квиток для студентів

Гален продав 810 квитків на карнавал своєї церкви на загальний дохід 2820 доларів. Вартість дитячих квитків - 3 долари, а дорослих - 5 доларів. Скільки дитячих квитків і скільки дорослих він продав?

615 дитячих та 195 дорослих квитків

Розв’яжіть завдання із суміші слів

Тепер ми вирішимо деякі загальні застосування моделі суміші. У проблемах із сумішшю ми часто змішуємо дві кількості, такі як родзинки та горіхи, щоб створити суміш, наприклад суміш слідів. У наших таблицях ми матимемо рядок для кожного елемента, який потрібно змішати, а також рядок для кінцевої суміші.

Хеннінг змішує родзинки та горіхи, щоб отримати 25 фунтів суміші слідів. Родзинки коштують 4,50 долара за фунт, а горіхи - 8 доларів за фунт. Якщо Хеннінг хоче, щоб його вартість для слідової суміші становила 6,60 доларів за фунт, скільки фунтів родзинок і скільки фунтів горіхів він повинен використовувати?

Крок 1. Визначте, що змішується. 25 фунтів суміші слідів отримають із змішування родзинок та горіхів.
Крок 2. Визначте, що ми шукаємо. кількість кілограмів родзинок і горіхів
Крок 3. Уявіть номер кожного типу квитка за допомогою змінних. Як і раніше, ми заповнюємо діаграму, щоб упорядкувати нашу інформацію. Ми вводимо ціну за фунт для кожного товару. Множимо число, помножене на значення, щоб отримати загальне значення. Нехай х = кількість фунтів ізюму. 25 - х = кількість фунтів горіхів
Зверніть увагу, що в останньому стовпці таблиці подається інформація про загальну кількість суміші.
Крок 4. Перекладіть у рівняння. Цінність родзинок плюс вартість горіхів буде цінністю суміші слідів.
Крок 5. Розв’яжіть рівняння.
Знайдіть кількість кілограмів горіхів.
Крок 6. Перевірка. 4.5 ( 10 ) + 8 ( 15 ) = ? 25 ( 6.60 ) 45 + 120 = ? 165 165 = 165 ✓
Крок 7. Відповідь питання. Хеннінг змішав десять фунтів родзинок з 15 фунтами горіхів.

Орландо змішує горіхи та квасоляні квадрати, щоб зробити вечірку. Горіхи продаються за 7 доларів за фунт, а квасолі - за 4 долари за фунт. Орландо хоче зробити 30 фунтів партійної суміші вартістю 6,50 доларів за фунт, скільки фунтів горіхів і скільки фунтів зернових квадратів він повинен використовувати?

Орландо змішав п’ять фунтів зернових квадратів і 25 фунтів горіхів.

Бекка хоче змішати фруктовий сік і соду, щоб зробити удар. Вона може купити фруктовий сік за $ 3 за галон, а газовану воду за $ 4 за галон. Якщо вона хоче виготовити 28 галонів пуншу вартістю 3,25 долара за галон, скільки галонів фруктового соку і скільки галонд газованої води їй слід купити?

Бекка змішала 21 галон фруктового пуншу і сім галонів соди.

Вирішуйте уніфіковані програми для руху

Коли ви їдете по міждержаві за допомогою круїз-контролю, швидкість вашого автомобіля залишається незмінною - вона рівномірна. Ми називаємо проблему, при якій швидкість об’єкта є постійною a рівномірний рух застосування. Ми будемо використовувати формулу відстані, швидкості та часу, D = r t,

порівняти два сценарії, наприклад, два автомобілі, які їдуть із різною швидкістю або в протилежних напрямках.

Тут все ще застосовуватимуться наші стратегії вирішення проблем, але ми додамо до першого кроку. Перший крок включатиме малювання схеми, яка показує, що відбувається у прикладі. Малювання схеми допомагає нам зрозуміти, що відбувається, щоб ми написали відповідне рівняння. Потім ми складемо таблицю для упорядкування інформації, як це було зроблено для заявок на монети, квитки та марки.

Кроки перелічені тут для зручності:

  1. Прочитайте проблема. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.
    • Накресліть схему, щоб проілюструвати, що відбувається.
    • Створіть таблицю для упорядкування інформації.
      • Позначте швидкість, час, відстань стовпців.
      • Перелічіть два сценарії.
      • Напишіть відомості, які вам відомі.

  • Завершити діаграму.
  • Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.
  • Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.
  • Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією.
  • Потім перекладіть речення у рівняння.

Уейн і Денніс люблять їздити на велосипедній доріжці від парку Ріверсайд до пляжу. Швидкість Денніса на сім миль на годину швидша за швидкість Вейна, тому Уейну потрібно дві години їзди до пляжу, тоді як Деннісу на це потрібно 1,5 години. Знайдіть швидкість обох байкерів.

Крок 1. Прочитайте проблема. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.

  • Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається. Нижче наведено ескіз того, що відбувається у прикладі.

  • Створіть таблицю для упорядкування інформації.
    • Позначте стовпці "Оцінка", "Час" та "Відстань".
    • Перелічіть два сценарії.
    • Напишіть відомості, які вам відомі.

    Крок 2. Визначте що ви шукаєте.

    Вас просять знайти швидкість обох байкерів.

    Зверніть увагу, що формула відстані використовує слово "швидкість", але частіше використовується "швидкість"

    коли ми говоримо про транспортні засоби щоденною англійською мовою.

    Крок 3. Ім'я що ми шукаємо. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.

    • Завершити діаграму
    • Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.

    Ми шукаємо швидкість руху байкерів. Давайте р представляють швидкість Вейна. Оскільки швидкість Денніса на 7 миль / год швидша, ми представляємо це як

    Введіть швидкість у графік.

      Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.

    Крок 4. Перекладіть у рівняння.

    • Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією.
    • Потім перекладіть речення у рівняння.

    Рівняння для моделювання цієї ситуації буде виходити із співвідношення між відстанями. Подивіться на схему, яку ми намалювали вище. Як співвідношення пройденої Деннісом відстані відстані, пройденої Вейном?

    Оскільки обидва байкери виїжджають з Ріверсайду і їдуть на пляж, вони проїжджають однакову відстань. Отже, ми пишемо:

    Крок 5. Розв’яжіть рівняння з використанням методів алгебри.

    Тепер розв’яжіть це рівняння. Тож швидкість Вейна 21 милі на годину.
    Знайдіть швидкість Денніса. Швидкість Денніса 28 миль / год.

    Крок 6. Перевірка відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс.

    Денніс 28 миль / год (1,5 години) = 42 милі Уейн 21 милі / год (2 години) = 42 милі ✓

    Крок 7. Відповідь питання з повним реченням.

    Уейн їхав із швидкістю 21 миль / год, а Денніс - 28 миль / год.

    Експрес та місцевий поїзд відправляються з Пітсбурга, щоб поїхати до Вашингтона, округ Колумбія. Експрес може поїхати за чотири години, а місцевий поїзд займає п’ять годин. Швидкість швидкісного поїзда на 12 миль на годину швидша за швидкість місцевого поїзда. Знайдіть швидкість обох поїздів.

    Швидкість місцевого поїзда - 48 миль / год, а швидкісний - 60 миль / год.

    Джеромі може доїхати від свого будинку в Клівленді до свого коледжу в Чикаго за 4,5 години. Його матері потрібно шість годин, щоб зробити той самий драйв. Джеромі їде на 20 миль на годину швидше, ніж його мати. Знайдіть швидкість Джеромія та швидкість його матері.

    Джеромі їхав зі швидкістю 80 миль / год, а його мати - 60 миль / год.

    У [посилання] у нас було два байкери, які подорожували однакову відстань. У наступному прикладі двоє людей їдуть назустріч один одному, поки не зустрінуться.

    Каріна їде з дому в Анахаймі до Берклі того ж дня, коли її брат їде з Берклі до Анахайму, тому вони вирішують зустрітися на обід по дорозі в Баттонвіллоу. Відстань від Анахайму до Берклі становить 395 миль. Каріні потрібно три години, щоб дістатися до Баттонвіллоу, тоді як її брат їде чотири години. Середня швидкість Каріни на 15 миль на годину швидша за середню швидкість її брата. Знайдіть середні швидкості руху Каріни та її брата.

    Крок 1. Прочитайте проблема. Переконайтеся, що всі слова та ідеї зрозумілі.

      Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається. Нижче наведено ескіз того, що відбувається на прикладі.

    • Позначте швидкість, час, відстань стовпців.
    • Перелічіть два сценарії.
    • Напишіть відомості, які вам відомі.

    Крок 2. Визначте що ми шукаємо.

    Нас просять знайти середні швидкості руху Каріни та її брата.

    Крок 3. Ім'я що ми шукаємо. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.

    • Завершити діаграму.
    • Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.

    Ми шукаємо їх середні швидкості. Давайте р представляють середню швидкість Каріни. Оскільки швидкість брата на 15 миль / год швидша, ми представляємо це як

    Введіть швидкість у графік.

    • Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.

    Крок 4. Перекладіть у рівняння.

    • Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією.
    • Потім перекладіть речення у рівняння.

    Знову ж таки, нам потрібно визначити залежність між відстанями, щоб написати рівняння. Подивіться на схему, яку ми створили вище, і помітьте зв’язок між відстанею, яку проїхала Каріна, та відстань, яку пройшов її брат.

    Відстань, яку проїхала Каріна, плюс відстань, яку пройшов її брат, повинна складати 410 миль. Отже, ми пишемо:

    Крок 5. Розв’яжіть рівняння з використанням методів алгебри.

    Тепер розв’яжіть це рівняння. Тож швидкість брата Каріни становила 50 миль / год.
    Швидкість Каріни r + 15. Швидкість її брата становила 65 миль / год.

    Крок 6. Перевірка відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс. * * *

    Карина їхала 65 миль / год (3 години) = 195 миль Її брат їхав 4 милі / милі = 200 миль ————— 395 миль ✓

    Крок 7. Відповідь питання з повним реченням.

    Каріна їхала 65 миль на годину, а її брат 50 миль на годину.

    Крістофер та його батьки живуть на відстані 115 миль. Вони зустрілися в ресторані між своїми будинками, щоб відсвяткувати день народження його матері. Крістофер їхав півтори години, тоді як батьки їхали одну годину, щоб дістатися до ресторану. Середня швидкість Крістофера була на десять миль на годину вищою за середню швидкість його батьків. Якими були середні швидкості руху Крістофера та його батьків, коли вони їхали до ресторану?

    Швидкість Крістофера становила 50 миль / год, а швидкість батьків - 40 миль / год.

    Ешлі навчається в коледжі в Міннеаполісі, за 234 милі від її будинку в Су-Фоллз. Вона хоче, щоб батьки принесли їй більше зимового одягу, тому вони вирішили зустрітися в ресторані на дорозі між Міннеаполісом і Су-Фолсом. Ешлі та її батьки їхали дві години до ресторану. Середня швидкість Ешлі була на сім миль на годину вищою, ніж середня швидкість її батьків. Знайдіть середню швидкість руху Ешлі та її батьків.

    Батьки Ешлі їхали 55 миль / год, а Ешлі - 62 милі / год.

    Читаючи наступний приклад, подумайте про співвідношення пройдених відстаней. Який із попередніх двох прикладів більше схожий на цю ситуацію?

    Двоє водіїв вантажівок одночасно залишають зону відпочинку на міждержавному рівні. Одна вантажівка їде на схід, а інша - на захід. Вантажівка, що їде на захід, рухається зі швидкістю 70 миль / год, а вантажівка, що їде на схід, має середню швидкість 60 миль / год. Як довго вони подорожуватимуть, поки їх не буде 325 миль один від одного?

    Крок 1. Прочитайте проблема. Зробіть всі слова та ідеї зрозумілими.

      Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається.

    • Позначте швидкість, час, відстань стовпців.
    • Перелічіть два сценарії.
    • Напишіть відомості, які вам відомі.

    Крок 2. Визначте що ми шукаємо.

    Нас просять визначити, скільки часу вантажівки проїдуть, поки вони не будуть віддалені між собою на 325 миль.

    Крок 3. Ім'я що ми шукаємо. Виберіть змінну, яка представляє цю величину.

    • Завершити діаграму.
    • Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.

    Ми шукаємо пройдений час. Обидві вантажівки їздитимуть однакову кількість часу.

    Давайте назвемо час т. Оскільки їх швидкості різні, вони проїдуть різну відстань.

    • Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.

    Крок 4. Перекладіть у рівняння.

    • Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією.
    • Потім перекладіть речення у рівняння.

    Нам потрібно знайти співвідношення між відстанями, щоб написати рівняння. Дивлячись на схему, яка залежність між відстанями, які пройде кожна з вантажівок?

    Відстань, пройдена вантажівкою, що їде на захід, плюс відстань, пройдена вантажівкою, що рухається на схід, повинна складати 325 миль. Отже, ми пишемо:

    Крок 5. Розв’яжіть рівняння з використанням методів алгебри.

    Тепер розв’яжіть це рівняння 70 т + 60 т = 325 130 т = 325 т = 2,5

    Тож це займе вантажівки 2.5

    годин на відстані 325 миль.

    Крок 6. Перевірка відповідь у задачі та переконайтеся, що вона має сенс.

    Вантажівка рухається на захід 70 миль / год (2,5 години) = 175 миль Вантажівка рухається на схід 60 миль / год (2,5 години) = 150 миль ————— 325 миль ✓

    Крок 7. Відповідь питання з повним реченням. * * *

    Вантажівкам знадобиться 2,5 години, щоб пройти між собою 325 миль.

    П’єр і Монік одночасно залишають свій будинок у Портленді. П'єр їде на північ по магістралі зі швидкістю 75 миль на годину, тоді як Монік їде на південь зі швидкістю 68 миль на годину. Скільки часу їм знадобиться, щоб вони були на відстані 429 миль?

    За 3 години П’єр і Монік будуть на відстані 429 миль.

    Тхан і Нхат одночасно залишають офіс у Сакраменто. Тхан їде на північ по I-5 зі швидкістю 72 милі на годину. Нхат їде на південь по I-5 зі швидкістю 76 миль на годину. Скільки часу їм знадобиться, щоб бути на відстані 330 миль?

    Тхан та Нат будуть за 330 миль один від одного за 2,2 години.

    Важливо переконатися, що одиниці збігаються, коли ми використовуємо формулу швидкості відстані та часу. Наприклад, якщо швидкість в милях на годину, то час повинен бути в годинах.

    Коли Наоко йде пішки до школи, їй потрібно 30 хвилин. Якщо вона їде на велосипеді, це займає 15 хвилин. Її швидкість на три милі на годину швидша, коли вона їде на велосипеді, ніж коли вона йде. Яка її швидкість ходьби та швидкість їзди на велосипеді?

    Спочатку ми малюємо схему, яка представляє ситуацію, щоб допомогти нам побачити, що відбувається.

    Нас просять знайти її швидкісну ходьбу та їзду на велосипеді. Давайте назвемо її швидкістю ходьби р. Оскільки її швидкість на велосипеді швидша на три милі на годину, ми будемо називати цю швидкість r + 3.

    Швидкості записуємо в діаграму.

    Швидкість в милях на годину, тому нам також потрібно виражати час у годинах, щоб одиниці були однаковими. Пам’ятайте, 1 година - це 60 хвилин. Так:

    Час записуємо в діаграму.

    Далі ми множимо швидкість, помножену на час, щоб заповнити стовпець відстані.

    Рівняння буде виходити з того факту, що відстань від дому Наоко до її школи однакова, незалежно від того, йде вона пішки чи їде на велосипеді. * * *

    Перекладіть у рівняння.
    Розв’яжіть це рівняння.
    Очистіть частки, помноживши на РКД всі частки рівняння.
    Спростіть.
    6
    Давайте перевіримо, чи це працює. Ходьба 3 милі / год (0,5 години) = 1,5 милі Велосипед 6 миль / год (0,25 години) = 1,5 милі

    Так, в будь-якому випадку Наоко проходить 1,5 км до школи.

    Швидкість ходьби Наоко становить 3 милі / год, а швидкість їзди на велосипеді - 6 миль / год.

    Сузі потрібно 50 хвилин, щоб піднятися вгору від стоянки до оглядової вежі. Їй потрібно 30 хвилин, щоб повернутися назад до стоянки. Її швидкість підйому вниз на 1,2 милі на годину швидша, ніж швидкість підйому. Знайдіть швидкості Сюзі на підйом і на спуск.

    миль на годину і на спуск три милі на годину.

    Ллевіну потрібно 45 хвилин, щоб проїхати на човні від причалу до улюбленого місця для риболовлі. Йому потрібно 30 хвилин, щоб повернути човен вниз за течією до доку. Швидкість човна, що рухається за течією, на чотири милі на годину швидша, ніж швидкість, що рухається за течією. Знайдіть швидкість човна за течією та за течією.

    Швидкість човна вгору за течією досягає восьми миль / год, а нижче 12 миль / год.

    У формулі відстані, швидкості та часу час представляє фактичну кількість минулого часу (у годинах, хвилинах тощо). Якщо проблема дає нам час початку і закінчення як час годин, ми повинні знайти минулий час, щоб скористатися формулою.

    Круз тренується до змагань у триатлоні. Він вийшов з дому о 6:00 і біг до 7:30. Потім він їздив на велосипеді до 9:45. Загальну відстань він подолав 51 милю. Швидкість руху на велосипеді в 1,6 рази перевищувала швидкість бігу. Знайдіть швидкість їзди на велосипеді та бігу Круза.

    Діаграма допоможе нам змоделювати цю подорож. * * *

    Далі ми створюємо таблицю для упорядкування інформації. Ми знаємо, що загальна відстань становить 51 милю. Ми шукаємо норму швидкості для кожної частини поїздки. Швидкість руху на велосипеді в 1,6 рази перевищує швидкість бігу. Якщо ми дозволимо р = швидкість бігу, тоді ставка їзди на велосипеді дорівнює 1,6р.

    Час тут подано як годинник. Круз стартував з дому о 6:00 ранку і почав їздити на велосипеді о 7:30 ранку, тож він провів 1,5 години бігу. Потім він їздив на велосипеді з 7:30 до 9:45, тож він провів на велосипеді 2,25 години.

    Тепер ми множимо ставки в рази.

    Подивившись на схему, ми можемо побачити, що сума пробігу та дистанції на велосипеді складає 255 миль.

    Перекладіть у рівняння.
    Розв’яжіть це рівняння.
    Перевірте. Пробіг 10 миль / год (1,5 години) = 15 миль Велосипед 16 миль / год (2,25 години) = 36 миль — 51 миль

    Гамільтон любить їздити в Лас-Вегас, за 255 миль від свого будинку в окрузі Оріндж. В останню поїздку він вийшов з дому о 14:00. Перша частина його поїздки була на перевантажених міських автострадах. О 16:00 рух транспорту очистився, і він зміг проїхати пустелю зі швидкістю в 1,75 рази швидше, ніж коли він їхав у перевантаженому районі. Він прибув до Лас-Вегасу о 18:30. Наскільки швидко він їхав під час кожної частини подорожі?

    Гамільтон їхав 40 км / год у місті та 70 миль / год у пустелі.

    Фуонг виїхав з дому на велосипеді о 10:00. Він їхав рівною вулицею до 11:15, потім їхав вгору до 11:45. Загалом він проїхав 31 милю. Швидкість його їзди вгору в 0,6 раза перевищувала швидкість на рівній вулиці. Знайдіть його швидкісний велосипед на підйом і на рівну вулицю.

    Пхуонг їхав в гору зі швидкістю 12 миль / год, а по рівній вулиці - 20 миль / год.

    Ключові поняття

    Для того ж типу монет за допомогою моделі визначається загальна вартість ряду монет

    • номер - кількість монет
    • значення - вартість кожної монети
    • Загальна вартість - загальна вартість усіх монет

    Визначте типи задіяних монет.

    Створіть таблицю для упорядкування інформації.

    Позначте стовпці "типом", "числом", "значенням", "загальним значенням".

    Впишіть вартість кожного типу монет.

    Впишіть загальну вартість усіх монет.

    Використовуйте змінні вирази, щоб представити номер кожного типу монет і записати їх у таблицю.

    Помножте число, помножене на значення, щоб отримати загальну вартість кожного типу монет.

    Може бути корисним повторити проблему одним реченням із усією важливою інформацією. Потім перекладіть речення у рівняння.

    Напишіть рівняння, додавши загальні значення всіх типів монет.

    Намалюйте схему, щоб проілюструвати, що це відбувається.

    Створіть таблицю для упорядкування інформації.

    Позначте швидкість, час, відстань стовпців.

    Напишіть відомості, які вам відомі.

    Використовуйте змінні вирази, щоб представити цю кількість у кожному рядку.

    Помножте швидкість на час, щоб отримати відстань.

    Повторіть проблему одним реченням із усією важливою інформацією.

    Потім перекладіть речення у рівняння.

    Практика робить досконалим

    Розв’яжіть завдання із монетним словом

    У наступних вправах розв’яжіть задачу на кожне монетне слово.

    У міняльній сумці у Майклае 2,05 долара в копійках і нікелях. У неї на сім грошів більше нікелів. Скільки у неї монет кожного типу?

    У рюкзаку Ліліана - 2,10 долара нікелів і чверть. У неї на 12 нікелів більше, ніж у чверті. Скільки у неї монет кожного типу?

    У ящику готівки знаходиться 125 доларів у купюрах на 5 доларів та 10 доларів. Кількість купюр на 10 доларів перевищує кількість купюр на 5 доларів. Скільки кожного виду векселів знаходиться в ящику?

    десять купюр по 10 доларів, п’ять купюр по 5 доларів

    У Шуманті у шухляді 175 доларів за 5 доларів та 10 доларових купюр. Кількість купюр у 5 доларів втричі перевищує кількість купюр у 10 доларів. Скільки кожного з них у шухляді?

    Чі має 11,30 доларів за копійки та чверті. Кількість копійок втричі перевищує кількість кварталів. Скільки кожного з них?

    Елісон має 9,70 доларів за копійки та чверті. Кількість кварталів у вісім більше, ніж у чотири рази, ніж кількість копійок. Скільки у кожної монети у неї?

    У Мукула в кишені 3,75 долара, квартал, копійки та нікелі. У нього на п'ять більше копійок, ніж на чверті, і на дев'ять нікелів більше, ніж на чверті. Скільки кожної монети у його кишені?

    16 нікелів, 12 копійок, сім чвертей

    У сумочці Віни є 4,70 доларів на чверті, копійки та нікелі. У неї на вісім більше копійок, ніж на чверті, і на шість нікелів більше, ніж на чверті. Скільки кожної монети знаходиться в її сумочці?

    Вирішити проблеми із квитками та марками

    У наступних вправах розв’яжіть кожну проблему з квитком або маркою.

    У перший день турніру з водного поло загальна вартість проданих квитків склала 17610 доларів. Одноденні абонементи продаються за 20 доларів, а турнірні - за 30 доларів. Кількість проданих турнірних абонементів була на 37 більше, ніж кількість проданих денних абонементів. Скільки пропусків на день і скільки було продано турнірів?

    330 пропусків на день, 367 пропусків на турніри

    У кінотеатрі загальна вартість проданих квитків становила 2612,50 доларів. Квитки для дорослих продаються по 10 доларів за кожен, а квитки для дорослих та дітей продаються за 7,50 доларів за кожен. Кількість проданих квитків для дорослих та дітей було на 25 менше, ніж удвічі від кількості проданих квитків для дорослих. Скільки було продано квитків для дорослих / дітей та скільки квитків для дорослих?

    Джулі пішла на пошту і придбала як марок .41, так і поштових карток .26. Вона витратила 51,40 доларів. Кількість марок становила 20 більше, ніж удвічі більше, ніж кількість листівок. Скільки з кожного вона купила?

    Джейсон пішов на пошту, купив і марок .41, і поштових карток .26 і витратив $ 10,28. Кількість марок у чотири рази більше, ніж удвічі більше поштових листівок. Скільки з кожного він купив?

    У «Хільди» є акції на 10 і 12 доларів на суму 210 доларів. Кількість акцій 10 доларів у п’ять більше, ніж удвічі більше, ніж 12 акцій. Скільки у кожного з паїв у неї?

    15 акцій 10 доларів, п’ять 12 акцій

    Маріо вклав 475 доларів у 45 і 25 доларових акцій. Кількість акцій у 25 доларів у п’ять менше, ніж утричі перевищує кількість акцій у 45 доларів. Скільки з кожного типу акцій він придбав?

    На ковзанці продали 95 квитків на післяобідню сесію катання на загальну суму 828 доларів. Загальні вхідні квитки коштують 10 доларів за кожен, а молодіжні квитки коштують 8 доларів за кожен. Скільки загальних квитків та скільки було продано молодіжних квитків?

    За час показу в 7:30 було продано 140 квитків у кіно. Надходження від дорослих квитків на 13 доларів та старших квитків на 10 доларів склали 1664 долари. Скільки було продано квитків для дорослих і скільки квитків для старших?

    Каса продала 360 квитків на концерт у коледжі. Загальна сума надходжень склала 4170 доларів. Загальні вхідні квитки коштують 15 доларів, а студентські - 10 доларів. Скільки було продано кожного виду квитків?

    Минулої суботи каси музею продали 281 квиток на загальну суму 3954 долари. Квитки для дорослих коштують 15 доларів, а студентські - 12 доларів. Скільки було продано кожного виду квитків?

    Розв’яжіть завдання із суміші слів

    У наступних вправах розв’яжіть задачу щодо кожного слова-суміші.

    Макаріо виготовляє 12 фунтів горіхової суміші з горіхами макадамії та мигдалем. Горіхи макадамії коштують 9 доларів за фунт, а мигдаль - 5,25 доларів за фунт. Скільки фунтів горіхів макадамії і скільки фунтів мигдалю повинен використовувати Макаріо, щоб суміш коштувала $ 6,50 за фунт?

    Чотири фунти горіхів макадамії, вісім фунтів мигдалю

    Кармен хоче покрити плиткою підлогу свого будинку. Йому знадобиться 1000 квадратних футів плитки. Він зробить більшу частину підлоги кахлем, вартість якого 1,50 доларів за квадратний фут, але також хоче використовувати акцентну плитку, яка коштує 9,00 доларів за квадратний фут. Скільки квадратних футів кожної плитки він планує використовувати, якщо хоче, щоб загальна вартість становила 3 ​​долари за квадратний фут?

    Райлі планує посадити газон у своєму дворі. Йому знадобиться дев'ять фунтів насіння трави. Він хоче змішати насіння Бермудських островів, які коштують $ 4,80 за фунт, з насінням овсяниці, яке коштує $ 3,50 за фунт. Скільки кожного насіння він повинен купити, щоб загальна вартість склала 4,02 долари за фунт?

    Вартану заплатили 25 000 доларів за додаток для мобільного телефону, який він написав, і хоче вкласти його, щоб заощадити на освіту сина.Він хоче вкласти частину грошей в облігацію, яка сплачує 4% річних відсотків, а решту - в акції, які сплачують 9% річних відсотків. Якщо він хоче заробити 7,4% річних відсотків від загальної суми, скільки грошей він повинен вкласти в кожен рахунок?

    Верн продав свій Ford Mustang 1964 року за 55 000 доларів і хоче вкласти гроші, щоб заробити йому 5,8% відсотків на рік. Він вкладе частину грошей у Фонд А, який заробляє 3% на рік, а решту у Фонд В, який заробляє 10% на рік. Скільки він повинен вкласти в кожен фонд, якщо хоче заробляти 5,8% відсотків на рік від загальної суми?

    33 000 доларів у Фонді А, 22 000 доларів у Фонді В

    Домінік платить 7% відсотків за свою позику в коледжі в 15 000 доларів і 12% за свою позику в автомобілі в 11 000 доларів. Яку середню процентну ставку він сплачує із загальної суми 26 000 доларів, яку він повинен? (Округліть свою відповідь з точністю до десятої частки відсотка.)

    Ліам позичив загалом 35 000 доларів на оплату коледжу. Він платить батькам 3% відсотків за 8000 доларів, які він позичив у них, а решту платить банку 6.8%. Яку середню процентну ставку він платить із загальної суми $ 35000? (Округліть свою відповідь з точністю до десятої частки відсотка.)

    Вирішуйте уніфіковані програми для руху

    У наступних вправах розв’яжіть.

    Лайла переїжджає з Портленда в Сіетл. Їхати поїздом їй потрібно три години. Мейсон залишає залізничний вокзал у Портленді та їде до залізничного вокзалу в Сіетлі з усіма ящиками Лайли у своєму автомобілі. Йому потрібно доїхати до Сіетла за 2,4 години, їдучи зі швидкістю 15 миль на годину швидше, ніж швидкість поїзда. Знайдіть швидкість Мейсона та швидкість поїзда.

    Кеті та Шеріл ходять у зборі коштів. Кеті закінчує курс за 4,8 години, а Шеріл - за 8 годин. Кеті йде дві милі на годину швидше Шеріл. Знайдіть швидкість Кеті та швидкість Шеріл.

    Два автобуси їдуть з Сакраменто до Сан-Дієго. Експрес-автобус здійснює поїздку за 6,8 години, а місцевий автобус - за 10,2 години. Швидкість експрес-автобуса на 25 миль / год швидша, ніж швидкість місцевого автобуса. Знайдіть швидкість обох автобусів.

    Комерційний літак та приватний літак летять з Денвера до Фенікса. Для польоту комерційному літаку потрібно 1,6 години, а приватному літаку - 2,6 години. Швидкість комерційного літака на 210 миль на годину швидша, ніж швидкість приватного літака. Знайдіть швидкість обох літаків з точністю до 10 миль / год.

    комерційний 540 миль / год, приватний літак 330 миль / год

    Саул проїхав свою вантажівку за три години від Далласа до Канзас-Сіті і зупинився на зупинці вантажівки, щоб пообідати. На зупинці вантажівки він зустрів Ервіна, який їхав чотири години з Канзас-Сіті в напрямку Далласа. Відстань між Далласом і Канзас-Сіті становить 542 милі, а швидкість Ервіна була на вісім миль на годину меншою за швидкість Саула. Знайдіть швидкість двох далекобійників.

    Чарлі та Вайолет зустрілися на обід у ресторані між Мемфісом та Новим Орлеаном. Чарлі виїхав з Мемфіса і їхав 4,8 години до Нового Орлеана. Вайолет покинула Новий Орлеан і їхала дві години до Мемфіса зі швидкістю на 10 миль на годину швидшою, ніж швидкість Чарлі. Відстань між Мемфісом та Новим Орлеаном становить 394 милі. Знайдіть швидкість двох водіїв.

    Фіолетовий 65 миль / год, Чарлі 55 миль / год

    Сестри Хелен та Енн живуть на відстані 332 милі. На День Подяки вони зустрілися в будинку своєї другої сестри, посередині між їхніми будинками. Хелен їхала 3,2 години, а Енн - 2,8 години. Середня швидкість Хелен була на чотири милі на годину швидшою, ніж у Анни. Знайдіть середню швидкість Хелен та середню швидкість Анни.

    Ітан і Лео починають їздити на велосипедах на протилежних кінцях 65-мильної велосипедної доріжки. Після того, як Ітан проїхав 1,5 години, а Лео проїхав дві години, вони зустрічаються на стежці. Швидкість Ітана на шість миль на годину швидша за швидкість Лео. Знайдіть швидкість двох байкерів.

    Ельвіра та Алетея живуть на одній вулиці за 5 км від них. Вони перебувають у навчальній групі, яка зустрічається в кав’ярні між їхніми будинками. Ельвірі пішло півгодини, а Алетеї - дві третини години, щоб пройти до кав’ярні. Швидкість Алетеї на 0,6 милі на годину менша за швидкість Ельвіри. Знайдіть швидкість ходьби обох жінок.

    Дамаркус і Фабіан живуть на відстані 23 милі і грають у футбол у парку між своїми будинками. ДаМаркус їхав на велосипеді три чверті години, а Фабіан їхав на велосипеді півгодини, щоб дістатися до парку. Швидкість Фабіана на шість миль на годину перевищувала швидкість ДаМаркуса. Знайдіть швидкість обох футболістів.

    ДаМаркус 16 миль / год, Фабіан 22 милі / год

    Сінді та Річард одночасно залишають свій гуртожиток у Чарльстоні. Сінді їде на велосипеді на північ зі швидкістю 18 миль на годину. Річард їде на велосипеді на південь зі швидкістю 14 миль на годину. Скільки часу їм знадобиться, щоб бути на відстані 96 миль?

    Метт і Кріс одночасно залишають будинок свого дядька у Феніксі. Метт їде на захід по I-60 зі швидкістю 76 миль на годину. Кріс їде на схід по I-60 зі швидкістю 82 милі на годину. Скільки годин їм знадобиться, щоб вони були на відстані 632 милі?

    Два автобуси виїжджають з Біллінгса одночасно. Автобус Сіетла рухається на захід по I-90 зі швидкістю 73 милі на годину, тоді як автобус Чикаго рухається на схід зі швидкістю 79 миль на годину. Скільки годин їм знадобиться, щоб їх відстань складала 532 милі?

    Два катери одночасно залишають один і той же причал у Каїрі. Один прямує на північ по річці Міссісіпі, а інший - на південь. Човен на північ рухається чотири милі на годину. Південний човен рухається вісім миль на годину. Скільки часу їм знадобиться, щоб бути на відстані 54 милі?

    Лорена проходить стежкою навколо парку за 30 хвилин. Якщо вона бігає, це займає 20 хвилин. Її швидкість бігу на 1,5 милі на годину швидша, ніж швидкість ходьби. Знайдіть швидкість ходьби та швидкість бігу.

    Джуліан їде на велосипеді в гору протягом 45 хвилин, потім розвертається і їде назад вниз. Йому потрібно 15 хвилин, щоб повернутися туди, з чого він почав. Швидкість його підйому на 3,2 милі на годину повільніша за швидкість спуску. Знайдіть швидкість підйому і спуску Джуліана.

    Кассій їде на човні вгору за течією протягом 45 хвилин. Для повернення вниз за течією йому потрібно 30 хвилин. Його швидкість, що рухається вгору за течією, на три милі на годину менша, ніж швидкість, що йде вниз за течією. Знайдіть його швидкості вище та нижче за течією.

    Дарлайн займає 20 хвилин їзди, щоб їхати на роботу в умовах слабкого руху. Щоб повернутися додому, коли інтенсивний рух, їй потрібно 36 хвилин. Її швидкість у слабкому русі на 24 милі на годину перевищує швидкість у інтенсивному русі. Знайдіть її швидкість у слабкому та інтенсивному русі.

    слабкий рух 54 милі / год, інтенсивний рух 30 миль / год

    О 1:30 Марлон покинув свій будинок і пішов на пляж на відстань 7,6 милі. Він катався на скейтборді до 2:15, а потім пройшов решту шляху. Він прибув на пляж о 3:00. Швидкість Марлона на скейтборді в 2,5 рази перевищує швидкість ходьби. Знайдіть його швидкість під час катання на скейтборді та під час ходьби.

    Аарон виїхав о 9:15, щоб доїхати до своєї гірської каюти за 108 миль. Він їхав автострадою до 10:45, а потім їхав гірською дорогою. Він прибув о 11:05. Швидкість на автостраді втричі перевищувала швидкість на гірській дорозі. Знайдіть швидкість Аарона на автостраді та гірській дорозі.

    автострада 72 милі / год, гірська дорога 24 милі / год

    Марісол виїхала з Лос-Анджелеса о 2:30, щоб доїхати до Санта-Барбари на відстані 95 миль. До 3:20 рух транспорту був інтенсивним. Решту шляху вона проїхала в дуже слабкому русі та прибула о 4:20. Її швидкість у інтенсивному русі була на 40 миль на годину меншою, ніж швидкість у слабкому русі. Знайдіть її швидкість у інтенсивному та слабкому русі.

    Лізетт тренується до марафону. О 7:00 вона вийшла з дому і бігала до 8:15, потім ходила до 11:15. Загальну відстань вона подолала 19 миль. Її швидкість бігу була на п’ять миль на годину вищою, ніж швидкість ходьби. Знайдіть її швидкість бігу та ходьби.

    біг вісім миль на годину, ходьба три милі на годину

    Повсякденна математика

    Джон покинув свій будинок в Ірваїні о 8:35 ранку, щоб поїхати на зустріч у Лос-Анджелес, що за 45 миль. Він прибув на засідання о 9:50 ранку. О 18:30. він залишив зустріч і поїхав додому. Він приїхав додому о 19:18.

    Ⓐ Якою була його середня швидкість при їзді з Ірвіна до Лос-Анджелеса?

    Ⓑ Якою була його середня швидкість при їзді з Лос-Анджелеса в Ірвін?

    Який загальний час він провів за кермом до цієї зустрічі та з неї?

    Сара хоче прибути на весілля своєї подруги о 3:00. Відстань від будинку Сари до весілля становить 95 миль. Заснована на звичних режимах руху, Сара прогнозує, що вона може проїхати перші 15 миль зі швидкістю 60 миль на годину, наступні 10 миль зі швидкістю 30 миль на годину, а решту їзди зі швидкістю 70 миль на годину.

    Ⓐ Скільки часу займе Сара, щоб проїхати перші 15 миль?

    Ⓑ Скільки часу знадобиться Сарі, щоб проїхати наступні 10 миль?

    Ⓒ Скільки часу займе Сара, щоб проїхати решту подорожі?

    О котрій годині Сара повинна вийти з дому?

    Ⓐ 15 хвилин ⓑ 20 хвилин ⓒ одна година (г) 1:25

    Письмові вправи

    Припустимо, у вас є шість чвертей, дев’ять копійок і чотири копійки. Поясніть, як ви знаходите загальну вартість усіх монет.

    Чи вважаєте ви корисним користуватися таблицею при вирішенні проблем з монетами? Чому чи чому б ні?

    У таблиці, що використовується для вирішення проблем з монетами, один стовпець має позначку «число», а інший стовпець «значення». У чому різниця між "числом" і "значенням"?

    Як вирішує задачу рівномірного руху, як вам допомагає складання схеми ситуації?

    Самоперевірка

    Ⓐ Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.

    Ⓑ Як би ви оцінили засвоєння цього розділу за шкалою від 1 до 10 у світлі ваших відповідей у ​​контрольному списку? Як ви можете це покращити?

    />
    Ця робота ліцензована відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International.


    13.6.5: Розв’язання рівномірних програм руху

    Човни, поїзди, велосипеди, каное, реактивні літаки, все рухається у різних напрямках.

    Хто там першим потрапить? Наскільки вони будуть віддалені через певний проміжок часу? Коли один наздожене іншого?

    ALGEBRA може відповісти на всі ці питання руху та багато іншого.

    EX1:
    Андреана та Хізер їздять на своїх тракторах якомога швидше в протилежних напрямках.

    Зараз Андреана їде на зеленому тракторі John Deere зі швидкістю 36 миль на годину. Її подруга Хізер мчить від неї на червоному міжнародному тракторі зі швидкістю 24 милі на годину.

    Скільки годин пройде, поки їх не буде 30 миль?

    EX2:
    Том і Джо мчать назустріч один одному у смертельній грі & quotchicken & quot. Кожен хлопчик катається на пластиковому каное. Вони знаходяться біля місцевого басейну YMCA і стартують на відстані 100 футів.

    Том здатний веслувати зі швидкістю 4 фути в секунду. Джо здатний прокрутити максимальну швидкість 6 футів на секунду.
    .

    Скільки секунд пройде, перш ніж вони або ПОТРИМАННЯ або КУРИЛИ?

    EX3:
    Лара та її мама посварилися. Лара знає, що якщо вона залишиться в будинку набагато довше, вона скаже щось, що їй не слід & # 39t. Тож вона стрибає у свій червоний кабріолет Mustang і їде на захід зі швидкістю 40 миль на годину.

    Через 2 години мама Лари вирішила, що їй краще піти за дочкою і розгладити справи. Тож вона стрибає у свій бордовий Порше і злітає зі швидкістю 90 миль на годину.

    Скільки часу після того, як Лара піде, буде, коли мама зловить її?

    Слимак Семмі починається біля каналізації та починає ковзати по дорозі через стоянку. Семмі знає, що його шанси вижити на стоянці залежать від максимальної швидкості ковзання. Він подорожує якомога швидше зі швидкістю 2 фути на хвилину.

    Зараз через 30 хвилин, починаючи з того ж каналізаційного отвору та входячи в ПРОТИВНО наш друг, жаба Фредді, починає стрибати через ту саму стоянку.

    Він стрибає зі швидкістю 50 футів на хвилину. Через скільки хвилин після того, як Фредді стартує, вони будуть розділятися на 424 фути?

    * підказка:
    Нехай кількість часу Фредді перескакує = & quotx & quot.
    Це означає, що проміжок часу, коли старі сліми Семмі становитимуть & quotx + 30 & quot.


    Інтегровані концепції

    Вправи з інтегрованих концепцій для цього модуля включають такі поняття, як електричні заряди, електричні поля та декілька інших тем. Фізика найцікавіша, коли застосовується до загальних ситуацій, що включають більш ніж вузький набір фізичних принципів. Наприклад, електричне поле чинить силу на заряди, а отже, і актуальність Dynamics: Force та закони руху Ньютона. У деяких або всіх проблемах із назвою «Інтегровані концепції» беруть участь такі теми:

    • Кінематика
    • Двовимірна кінематика
    • Динаміка: сила та закони руху Ньютона
    • Рівномірний круговий рух і гравітація
    • Статика і крутний момент
    • Статика рідини

    Наступний опрацьований приклад ілюструє, як ця стратегія застосовується до проблеми інтегрованої концепції:

    Приклад 1. Прискорення зарядженої краплі бензину

    Якщо не вжити заходів для заземлення бензонасоса, статична електрика може бути розміщена на бензині під час заповнення бака вашого автомобіля. Припустимо, крихітна крапля бензину має масу 4,00 × 10 −15 кг і отримує позитивний заряд 3,20 × 10 −19 C.

    1. Знайдіть вагу краплі.
    2. Обчисліть електричну силу на падіння, якщо вгору є електричне поле напруженістю 3,00 × 10 5 Н / С через іншу статичну електрику поблизу.
    3. Обчисліть прискорення краплі.

    Стратегія

    Щоб вирішити проблему інтегрованої концепції, ми повинні спочатку визначити фізичні принципи, що беруть участь, і визначити глави, в яких вони знаходяться. Частина 1 цього прикладу вимагає ваги. Це тема динаміки і визначається в Dynamics: Force та законах руху Ньютона. Частина 2 стосується електричної сили на заряді, тема електричного заряду та електричного поля. Частина 3 вимагає прискорення, знання сил та маси. Це частина законів Ньютона, також знайдених у „Динаміка: сила і закони руху Ньютона”.

    Наступні рішення кожної частини прикладу ілюструють, як застосовуються конкретні стратегії вирішення проблем. Сюди входить виявлення знань та невідомостей, перевірка того, чи є відповідь обґрунтованою тощо.

    Рішення для частини 1

    Вага - це маса, помножена на прискорення, спричинене силою тяжіння, як вперше виражено в w = мг. Введення заданої маси та середнього прискорення за рахунок сили тяжіння дає

    w = (4,00 × 10 −15 кг) (9,80 м / с 2) = 3,92 × 10 −14 Н.

    Обговорення частини 1

    Це невелика вага, що відповідає малій масі краплі.

    Рішення для частини 2

    Сила, яку електричне поле чинить на заряд, отримується шляхом перестановки наступного рівняння:

    Тут ми отримуємо заряд (3,20 × 10 −19 С вдвічі більший за основну одиницю заряду) та напруженість електричного поля, і тому виявляється, що електрична сила дорівнює

    F = (3,20 × 10 −19 С) (3,00 × 10 5 Н / С) = 9,60 × 10 −14 Н.

    Обговорення частини 2

    Хоча це невелика сила, вона перевищує вагу краплі.

    Рішення для частини 3

    Прискорення можна знайти, використовуючи другий закон Ньютона, за умови, що ми можемо ідентифікувати всі зовнішні сили, що діють на краплю. Ми припускаємо, що важливі лише вага краплі та електрична сила. Оскільки падіння має позитивний заряд, а електричному полю дано вгору, електрична сила вгору. Таким чином, ми маємо одновимірну задачу (вертикальний напрямок), і ми можемо сформулювати другий закон Ньютона як

    Введення цього та відомих значень у вираз для другого закону Ньютона дає результат

    Обговорення частини 3

    Це прискорення вгору, досить велике, щоб перенести падіння туди, де ви, можливо, не хочете мати бензин.

    Цей працюючий приклад ілюструє, як застосовувати стратегії вирішення проблем до ситуацій, що включають теми в різних розділах. Першим кроком є ​​визначення фізичних принципів, що беруть участь у проблемі. Другий крок - вирішення невідомого за допомогою знайомих стратегій вирішення проблем. Вони містяться у всьому тексті, і багато працюючих прикладів показують, як використовувати їх для окремих тем. У цьому прикладі інтегрованих концепцій ви можете побачити, як застосовувати їх до кількох тем. Ви знайдете ці методики корисними у застосуванні фізики поза курсом фізики, наприклад, у вашій професії, в інших наукових дисциплінах та у повсякденному житті. Наступні проблеми допоможуть вам розвинути ваші навички в широкому застосуванні фізичних принципів.

    Нерозумні результати

    Вправи «Нерозумні результати» для цього модуля дають результати, які є нерозумними, оскільки певна передумова є нерозумною або тому, що деякі з приміщень несумісні між собою. Правильно застосовані фізичні принципи дають нерозумні результати. Метою цих проблем є надати практику в оцінці того, чи точно описується природа, і якщо не вдається простежити джерело труднощів.

    Стратегія вирішення проблем

    Щоб визначити, чи є відповідь обґрунтованою, і щоб визначити причину, якщо її немає, зробіть наступне.

    1. Розв’яжіть проблему, використовуючи стратегії, описані вище. Використовуйте формат, наведений у працюючих прикладах у тексті, щоб вирішити проблему, як зазвичай.
    2. Перевірте, чи відповідь обґрунтована. Він занадто великий чи замалий, або на ньому неправильний знак, неправильні одиниці тощо?
    3. Якщо відповідь необгрунтована, знайдіть, що саме може спричинити виявлену складність. Зазвичай те, як відповідь є необґрунтованою, є показником складності. Наприклад, надзвичайно велика кулонівська сила може бути зумовлена ​​припущенням про надмірно великий розділений заряд.

    Зміна одиниць

    Ми завжди повинні працювати в однакові одиниці. Ми не зобов’язані працювати з підрозділами міжнародної системи, але ми робимо це для того, щоб встановити критерії.

    Якщо у виписці вказано час у годинах та відстань у кілометрах, ви повинні врахувати, що кінцеве положення буде в кілометрах, а швидкість у км / год.

    Ви також повинні бути дуже обережними при змішуванні одиниць у виписці, наприклад, передавати дані за години, а результат, який ви запитуєте, за секунди.

    Ви повинні досконало оволодіти зміною одиниць.

    Що ви не можете зробити, за будь-яких обставин, це змішати одиниці часу та відстані. Ніколи!


    Що таке рух у фізиці?

    Околиці - це місця в околицях, де присутні різні предмети. Стан спокою або руху тіла відносний.

    Наприклад, пасажир, який сидить у автобусі, що рухається, перебуває в стані спокою, оскільки він не змінює свого положення щодо інших пасажирів або предметів в автобусі. Але спостерігачеві поза автобусом пасажири та предмети, що знаходяться всередині автобуса, рухаються.

    Тому ми можемо визначити відпочинок як & # 8220A тіло, як кажуть, перебуває в стані спокою, якщо воно не змінює свого положення щодо свого оточення.

    Ми живемо у всесвіті безперервного руху.У кожному шматочку речовини атоми перебувають у стані безперервного руху. Ми рухаємось навколо поверхні Землі, а Земля рухається по своїй орбіті навколо Сонця. Сонце і зірки теж рухаються.

    Все на просторі простору перебуває у стані постійного руху. Кожен фізичний процес передбачає певний рух. Через його значення у фізичному світі навколо нас. Логічно, що ми повинні приділяти належну увагу вивченню руху. Рух зазвичай описується термінами:


    Розв’язуйте додатки за допомогою раціональних рівнянь

    Коли два раціональні вирази рівні, рівняння, що зв’язує їх, називається а пропорція.

    A пропорція є рівнянням виду a b = c d,

    Пропорція читається “a є b як c є d.

    є пропорцією, оскільки дві частки рівні. Пропорція 1 2 = 4 8

    читається "1 до 2, як 4 до 8".

    Оскільки пропорція - це рівняння з раціональними виразами, ми будемо розв’язувати пропорції так само, як ми розв’язували раціональні рівняння. Ми помножимо обидві сторони рівняння на РКД, щоб очистити дроби, а потім розв’яжемо отримане рівняння.

    Помножте обидві сторони на РК-дисплей.
    Видаліть загальні фактори з кожного боку.
    Спростіть.
    Вирішити для п.
    Перевірте.
    Спростіть.
    Покажіть загальні фактори.
    Спростіть.

    Розв’яжіть пропорцію: y y + 55 = 3 8.

    Розв’яжіть пропорцію: z z - 84 = - 1 5.

    У останньому прикладі зауважте, що коли ми очищали дроби, множивши на РК, результат був таким самим, якби ми перемножували перехресне.

    Для будь-якої пропорції a b = c d,

    ми отримуємо той самий результат, коли очищаємо дроби, множачи на РК, як і коли перехресно множимо.

    Для розв’язання додатків із пропорціями ми дотримуватимемось звичної стратегії розв’язання додатків. Але коли ми встановлюємо пропорцію, ми повинні переконатися, що одиниці вимірювання правильні - одиниці в чисельниках повинні збігатися між собою, а одиниці в знаменниках також збігаються між собою.

    Коли педіатри призначають дітям ацетамінофен, вони призначають 5 мілілітрів (мл) ацетамінофену на кожні 25 фунтів ваги дитини. Якщо Зої важить 80 фунтів, скільки мілілітрів ацетамінофену призначить її лікар?

    Визначте, що нас просять знайти, і оберіть змінну, яка його представляє. Скільки мл ацетамінофену призначить лікар?
    Дозволяє a = мл ацетамінофену.
    Напишіть речення, яке дає інформацію, щоб знайти її. Якщо 5 мл призначено на кожні 25 фунтів, скільки буде призначено на 80 фунтів?
    Перекладіть пропорцію - будьте обережні з одиницями виміру.
    Помножте обидві сторони на РК-екран, 400.
    Видаліть загальні фактори з кожного боку.
    Спрощуйте, але не множте ліворуч. Зверніть увагу, яким буде наступний крок.
    Вирішити для a.
    Перевірте. Чи є відповідь обґрунтованою?
    Напишіть повне речення. Педіатр призначив Зої 16 мл ацетамінофену.

    Педіатри призначають 5 мілілітрів (мл) ацетамінофену на кожні 25 фунтів ваги дитини. Скільки мілілітрів ацетамінофену призначить лікар Емілії, яка важить 60 фунтів?

    Педіатр призначить Емілії 12 мл ацетамінофену.

    На кожен 1 кілограм (кг) ваги дитини педіатри призначають 15 міліграм (мг) знижувача температури. Якщо Ізабелла важить 12 кг, скільки міліграмів редуктора лихоманки призначить педіатр?

    Педіатр призначить Ізабеллі 180 мг знижувача температури.

    Розв’яжіть подібні програми для малювання

    Коли ви зменшуєте або збільшуєте фотографію на телефоні або планшеті, визначаєте відстань на карті або використовуєте візерунок для побудови книжкової шафи чи пошиття сукні, з яким ви працюєте подібні цифри. Якщо дві фігури мають абсолютно однакову форму, але різні розміри, вони кажуть схожі. Один - це зменшена модель іншого. Усі відповідні кути мають однакові міри, а відповідні сторони мають однакове відношення.

    Дві фігури подібні, якщо міри відповідних їм кутів рівні і відповідні їм сторони мають однакове відношення.

    Наприклад, два трикутники у [посиланні] схожі. Кожна сторона Δ A B C

    в чотири рази перевищує довжину відповідної сторони Δ X Y Z.

    Це підсумовано у властивості подібних трикутників.

    тоді їх відповідні міри кута рівні і відповідні сторони мають однакове відношення.

    Для вирішення застосунків із подібними малюнками ми дотримуватимемось стратегії вирішення проблем для геометричних додатків, яку ми використовували раніше.

    На карті Сан-Франциско, Лас-Вегас і Лос-Анджелес утворюють трикутник. Відстань між містами вимірюється в дюймах. Малюнок зліва внизу представляє трикутник, утворений містами на карті. Якщо фактична відстань від Лос-Анджелеса до Лас-Вегаса становить 270 миль, знайдіть відстань від Лос-Анджелеса до Сан-Франциско.

    Оскільки трикутники подібні, відповідні сторони пропорційні.

    Читайте проблема. Намалюйте малюнки та позначте їх поданою інформацією. Цифри наведені вище.
    Визначте що ми шукаємо. фактична відстань від Лос-Анджелеса до Сан-Франциско
    Ім'я змінних. Дозволяє х = відстань від Лос-Анджелеса до Сан-Франциско.
    Перекласти в рівняння. Оскільки трикутники подібні, відповідні сторони пропорційні. Ми зробимо чисельники «милі», а знаменники «дюйми».
    Вирішити рівняння.
    Перевірте. На карті відстань від Лос-Анджелеса до Сан-Франциско більше, ніж відстань від Лос-Анджелеса до Лас-Вегаса. Оскільки 351 - це більше 270, відповідь має сенс.
    Відповідь питання. Відстань від Лос-Анджелеса до Сан-Франциско становить 351 милю.

    На карті Сіетл, Портленд і Бойсе утворюють трикутник. Відстань між містами вимірюється в дюймах. Малюнок зліва внизу представляє трикутник, утворений містами на карті. Фактична відстань від Сіетла до Бойсе становить 400 миль.

    & ltdiv data-type = "note" & gt