Статті

14.8: Зміна змінних у множинних інтегралах (якобіанці) - Математика

14.8: Зміна змінних у множинних інтегралах (якобіанці) - Математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Мета навчання

  • Визначте зображення регіону при заданому перетворенні змінних.
  • Обчисліть якобіян даного перетворення.
  • Оцініть подвійний інтеграл, використовуючи зміну змінних.
  • Оцініть потрійний інтеграл, використовуючи зміну змінних.

Нагадаємо із правила заміщення метод інтегрування шляхом заміщення. При оцінці інтегралу, такого як

[ int_2 ^ 3 x (x ^ 2 - 4) ^ 5 dx, ]

підставляємо (u = g (x) = x ^ 2 - 4 ). Тоді (du = 2x , dx ) або (x , dx = frac {1} {2} du ) і обмеження змінюються на (u = g (2) = 2 ^ 2 - 4 = 0 ) та (u = g (3) = 9 - 4 = 5 ). Таким чином інтеграл стає

[ int_0 ^ 5 frac {1} {2} u ^ 5 du ]

і цей інтеграл набагато простіше оцінити. Іншими словами, розв'язуючи задачі інтеграції, ми робимо відповідні підстановки, щоб отримати інтеграл, який стає набагато простішим за вихідний інтеграл.

Ми також використали цю ідею, коли перетворили подвійні інтеграли в прямокутних координатах на полярні координати, а потрійні інтеграли в прямокутних координатах перетворили на циліндричні або сферичні координати, щоб спростити обчислення. Більш загально,

[ int_a ^ b f (x) dx = int_c ^ d f (g (u)) g '(u) du, ]

Де (x = g (u), , dx = g '(u) du ) та (u = c ) та (u = d ) задовольняють (c = g (a) ) та (d = g (b) ).

Подібний результат відбувається у подвійних інтегралах, коли ми підставляємо

  • (x = f (r, theta) = r , cos , theta )
  • (y = g (r, theta) = r , sin , theta ) та
  • (dA = dx , dy = r , dr , d theta ).

Тоді ми отримуємо

[ iint_R f (x, y) dA = iint_S (r , cos , theta, , r , sin , theta) r , dr , d theta ]

де домен (R ) замінюється доменом (S ) у полярних координатах. Як правило, функція, яку ми використовуємо для зміни змінних для спрощення інтеграції, називається перетворенням або відображенням.

Планарні перетворення

Планарне перетворення (T ) - це функція, яка перетворює область (G ) в одній площині в область (R ) в іншій площині шляхом зміни змінних. І (G ), і (R ) є підмножинами (R ^ 2 ). Наприклад, на рисунку ( PageIndex {1} ) показано область (G ) у площині (uv ) - перетворена в область (R ) у площині (xy ) - зміна змінних (x = g (u, v) ) та (y = h (u, v) ), або іноді ми пишемо (x = x (u, v) ) та (y = y (u, v) ). Зазвичай ми вважатимемо, що кожна з цих функцій має первинні первинні часткові похідні, що означає, що (g_u, , g_v, , h_u, ) та (h_v ) існують і є також безперервними. Необхідність цієї вимоги стане зрозумілою незабаром.

Визначення: індивідуальне перетворення

Перетворення (T: , G rightarrow R ), яке визначається як (T (u, v) = (x, y) ), називається перетворенням "один на один", якщо немає двох точок до тієї самої точки зображення.

Щоб показати, що (T ) є перетворенням "один на один", припустимо (T (u_1, v_1) = T (u_2, v_2) ) і покажемо, що як наслідок отримуємо ((u_1, v_1) = (u_2, v_2) ). Якщо перетворення (T ) є єдиним у домені (G ), тоді обернене (T ^ {- 1} ) існує з доменом (R ) таким, що (T ^ {- 1} circ T ) та (T circ T ^ {- 1} ) є функціями ідентичності.

На рисунку ( PageIndex {2} ) показано відображення (T (u, v) = (x, y) ), де (x ) та (y ) пов'язані з (u ) та (v ) за рівняннями (x = g (u, v) ) та (y = h (u, v) ). Область (G ) - область (T ), а область (R ) - область (T ), також відома як зображення з (G ) під перетворенням (T ).

Приклад ( PageIndex {1A} ): Визначення того, як працює трансформація

Припустимо, перетворення (T ) визначається як (T (r, theta) = (x, y) ) де (x = r , cos , theta, , y = r , sin , theta ). Знайдіть зображення полярного прямокутника (G = {(r, theta) | 0 leq r leq 1, , 0 leq theta leq pi / 2 } ) у (r theta ) - площина до області (R ) у площині (xy ) -. Покажіть, що (T ) - це однозначне перетворення в (G ) та знайдіть (T ^ {- 1} (x, y) ).

Рішення

Оскільки (r ) змінюється від 0 до 1 у площині (r theta ) -, то ми маємо круговий диск радіусом 0 до 1 у площині (xy ) -. Оскільки ( theta ) змінюється від 0 до ( pi / 2 ) у площині (r theta ), ми в підсумку отримуємо чверть кола радіуса (1 ) у першому квадранті площина (xy ) - (Малюнок ( PageIndex {2} )). Отже, (R ) - це чвертне коло, обмежене (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) у першому квадранті.

Для того, щоб показати, що (T ) - це перетворення "один на один", припустимо (T (r_1, theta_1) = T (r_2, theta_2) ) і покажемо як наслідок, що ((r_1, theta_1) = (r_2, theta_2) ). У цьому випадку ми маємо

[T (r_1, theta_1) = T (r_2, theta_2), ]

[(x_1, y_1) = (x_1, y_1), ]

[(r_1 cos , theta_1, r_1 sin , theta_1) = (r_2 cos , theta_2, r_2 sin , theta_2), ]

[r_1 cos , theta_1 = r_2 cos , theta_2, , r_1 sin , theta_1 = r_2 sin , theta_2. ]

Ділячи, отримуємо

[ frac {r_1 cos , theta_1} {r_1 sin , theta_1} = frac {r_2 cos , theta_2} {r_2 sin , theta_2} ]

[ frac { cos , theta_1} { sin , theta_1} = frac { cos , theta_2} { sin , theta_2} ]

[ tan , theta_1 = tan , theta_2 ]

[ theta_1 = theta_2 ]

оскільки дотична функція - це одна-одна функція в інтервалі (0 leq theta leq pi / 2 ). Крім того, оскільки (0 leq r leq 1 ), маємо (r_1 = r_2, , theta_1 = theta_2 ). Отже, ((r_1, theta_1) = (r_2, theta_2) ) і (T ) - це однозначне перетворення з (G ) в (R ).

Щоб знайти (T ^ {- 1} (x, y) ) розв'яжіть для (r, theta ) в термінах (x, y ). Ми вже знаємо, що (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) та ( tan , theta = frac {y} {x} ). Таким чином, (T ^ {- 1} (x, y) = (r, theta) ) визначається як (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) та ( tan ^ { -1} ліворуч ( frac {y} {x} праворуч) ).

Приклад ( PageIndex {1B} ): Пошук зображення під (T )

Нехай перетворення (T ) визначається (T (u, v) = (x, y) ) де (x = u ^ 2 - v ^ 2 ) та (y = uv ). Знайдіть зображення трикутника в площині (uv ) - з вершинами ((0,0), , (0,1) ) та ((1,1) ).

Рішення

Трикутник та його зображення показані на рисунку ( PageIndex {3} ). Щоб зрозуміти, як перетворюються сторони трикутника, назвемо сторону, яка з'єднує ((0,0) ) та ((0,1) ) сторону (A ), сторону, яка з'єднується ((0, 0) ) та ((1,1) ) сторона (B ), а також сторона, яка приєднується до ((1,1) ) та ((0,1) ) сторона (C ).

  • Для сторони (A: , u = 0, , 0 leq v leq 1 ) перетворюється на (x = -v ^ 2, , y = 0 ), тому це сторона (A '), що об'єднує ((- 1,0) ) та ((0,0) ).
  • Для сторони (B: , u = v, , 0 leq u leq 1 ) перетворюється на (x = 0, , y = u ^ 2 ), отже це сторона (B ' ), що об'єднує ((0,0) ) та ((0,1) ).
  • Для сторони (C: , 0 leq u leq 1, , v = 1 ) перетворюється на (x = u ^ 2 - 1, , y = u ) (отже, (x = y ^ 2 - 1 ), отже, це сторона (C '), яка робить верхню половину параболічної дуги з'єднанням ((- 1,0) ) та ((0,1) ).

Усі точки у всій області трикутника на площині (uv ) - відображаються всередині параболічної області на площині (xy ) -.

Вправа ( PageIndex {1} )

Нехай перетворення (T ) визначається як (T (u, v) = (x, y) ) де (x = u + v, , y = 3v ). Знайдіть зображення прямокутника (G = {(u, v): , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2 } ) із площини (uv ) після перетворення в область (R ) в площині (xy ). Покажіть, що (T ) - це перетворення один на один, і знайдіть (T ^ {- 1} (x, y) ).

Підказка

Виконайте кроки з прикладу ( PageIndex {1B} ).

Відповідь

(T ^ {- 1} (x, y) = (u, v) ) де (u = frac {3x-y} {3} ) та (v = frac {y} {3 } )

Використовуючи визначення, маємо

[ Дельта А приблизно J (u, v) Дельта u Дельта v = ліворуч | frac { частково (x, y)} { частково (u, v)} праворуч | Delta u Delta v. ]

Зауважимо, що якобіян часто позначається просто

[J (u, v) = frac { частковий (x, y)} { частковий (u, v)}. ]

Зауважте також це

[ begin {vmatrix} dfrac { частково x} { частково u} & dfrac { частково y} { частково u} нечислово dfrac { частково x} { частково v} & dfrac { частковий y} { частковий v} кінець {vmatrix} = лівий ( frac { частковий x} { частковий u} frac { частковий y} { частковий v} - frac { частковий x} { частково v} frac { частково y} { частково u} праворуч) = початок {vmatrix} dfrac { частково x} { частково u} & dfrac { частково x} { частковий v} нечисловий dfrac { частковий y} { частковий u} & dfrac { частковий y} { частковий v} кінець {vmatrix}. ]

Звідси позначення (J (u, v) = frac { часткове (x, y)} { часткове (u, v)} ) передбачає, що ми можемо записати детермінант Якобія з частками (x ) у першому рядку та часткові частини (y ) у другому рядку.

Приклад ( PageIndex {2A} ): Пошук якобіяна

Знайдіть якобіан перетворення, наведеного в Прикладі ( PageIndex {1A} ).

Рішення

У прикладі перетворенням є (T (r, theta) = (r , cos , theta, , r , sin , theta) ) де (x = r , cos , theta ) та (y = r , sin , theta ). Отже, якобіян є

[J (r, theta) = frac { частковий (x, y)} { частковий (r, theta)} = початок {vmatrix} dfrac { частковий x} { частковий r} & dfrac { частково x} { частково theta} dfrac { частково y} { частково r} & dfrac { частково y} { частково theta} end {vmatrix} = початок { vmatrix} cos theta & -r sin theta sin theta & r cos theta end {vmatrix} = r , cos ^ 2 theta + r , sin ^ 2 theta = r ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r. нечисельний ]

Приклад ( PageIndex {2B} ): Пошук якобіяна

Знайдіть якобіян перетворення, наведеного в Прикладі ( PageIndex {1B} ).

Рішення

Перетворенням у прикладі є (T (u, v) = (u ^ 2 - v ^ 2, uv) ) де (x = u ^ 2 - v ^ 2 ) та (y = uv ) . Отже, якобіян є

[J (u, v) = frac { частковий (x, y)} { частковий (u, v)} = початок {vmatrix} dfrac { частковий x} { частковий u} & dfrac { частково x} { частково v} dfrac { частково y} { частково u} & dfrac { частково y} { частково v} end {vmatrix} = початок {vmatrix} 2u & -2v v & u end {vmatrix} = 2u ^ 2 + 2v ^ 2. нечисельний ]

Вправа ( PageIndex {2} )

Знайдіть якобіян перетворення, поданого в попередній контрольній точці: (T (u, v) = (u + v, 2v) ).

Підказка

Виконайте дії, описані в попередніх двох прикладах.

Відповідь

[J (u, v) = frac { частковий (x, y)} { частковий (u, v)} = початок {vmatrix} dfrac { частковий x} { частковий u} & dfrac { частковий x} { частковий v} нечисловий dfrac { частковий y} { частковий u} & dfrac { частковий y} { частковий v} кінець {vmatrix} = початок {vmatrix} 1 & 1 нечисловий 0 & 2 end {vmatrix} = 2 ]

Вправа ( PageIndex {3} )

Враховуючи інтеграл ( int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} (x ^ 2 + y ^ 2) dy , dx, ) використовуйте зміну змінних (x = r , cos , theta ) та (y = r , sin , theta ) та знайдіть отриманий інтеграл.

Підказка

Виконайте дії, описані в попередньому прикладі.

Відповідь

[ int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 1 r ^ 3 dr , d theta ]

У наступному прикладі зауважте, що регіон, над яким ми маємо інтегруватися, може запропонувати відповідне перетворення для інтеграції. Це звичайна і важлива ситуація.

Приклад ( PageIndex {4} ): Зміна змінних

Розглянемо інтеграл [ iint_R (x - y) dy , dx, ] де (R ) - паралелограм, що з'єднує точки ((1,2), , (3,4), , ( 4,3) ) та ((6,5) ) (Рисунок ( PageIndex {7} )). Внесіть відповідні зміни змінних та запишіть отриманий інтеграл.

Рішення

По-перше, нам слід зрозуміти регіон, в який ми маємо інтегруватися. Сторони паралелограма: (x - y + 1, , x - y - 1 = 0, , x - 3y + 5 = 0 ) та (x - 3y + 9 = 0 ) (Рисунок ( PageIndex {8} )). Інший спосіб їх розгляду - (x - y = -1, , x - y = 1, , x - 3y = -5 ) та (x - 3y = 9 ).

Очевидно, що паралелограм обмежений прямими (y = x + 1, , y = x - 1, , y = frac {1} {3} (x + 5) ) та (y = frac {1} {3} (x + 9) ).

Зверніть увагу, що якби ми зробили (u = x - y ) та (v = x - 3y ), тоді межі інтегралу були б (- 1 leq u leq 1 ) та ( -9 leq v leq -5 ).

Щоб вирішити для (x ) та (y ), помножимо перше рівняння на (3 ) і віднімемо друге рівняння, (3u - v = (3x - 3y) - (x - 3y) = 2x ). Тоді маємо (x = frac {3u-v} {2} ). Більше того, якщо ми просто віднімемо друге рівняння від першого, то отримаємо (u - v = (x - y) - (x - 3y) = 2y ) та (y = frac {uv} {2} ).

Таким чином, ми можемо вибрати трансформацію

[T (u, v) = ліворуч ( frac {3u - v} {2}, , frac {u - v} {2} праворуч) ] і обчислити якобіян (J (u, v) ). Ми маємо

[J (u, v) = frac { частковий (x, y)} { частковий (u, v)} = початок {vmatrix} dfrac { частковий x} { частковий u} & dfrac { частково x} { частково v} dfrac { частково y} { частково u} & dfrac { частково y} { частково v} end {vmatrix} = початок {vmatrix} 3 / 2 & -1/2 nonumber 1/2 & -1/2 end {vmatrix} = - frac {3} {4} + frac {1} {4} = - frac {1} { 2} нечисельний ]

Отже, (| J (u, v) | = frac {1} {2} ). Також оригінальним інтегралом стає

[x - y = frac {1} {2} [3u - v - u + v] = frac {1} {2} [3u - u] = frac {1} {2} [2u] = u. нечисельний ]

Отже, за допомогою перетворення (T ) інтеграл змінюється на

[ iint_R (x - y) dy , dx = int _ {- 9} ^ {- 5} int _ {- 1} ^ 1 J (u, v) u , du , dv = int_ { -9} ^ {- 5} int _ {- 1} ^ 1 left ( frac {1} {2} right) u , du , dv, nonumber ], що набагато простіше для обчислення.

Вправа ( PageIndex {4} )

Внесіть відповідні зміни змінних в інтеграл [ iint_R frac {4} {(x - y) ^ 2} dy , dx, nonumber ] де (R ) - трапеція, обмежена лініями ( x - y = 2, , x - y = 4, , x = 0 ) та (y = 0 ). Запишіть отриманий інтеграл.

Підказка

Виконайте дії, описані в попередньому прикладі.

Відповідь

(x = frac {1} {2} (v + u) ) та (y = frac {1} {2} (v - u) )

і

[ int_ {2} ^ 4 int _ {- u} ^ u ліворуч ( frac {1} {2} праворуч) cdot frac {4} {u ^ 2} , dv , du. нечисельний ]

Ми готові дати стратегію вирішення проблем для змінних.

У наступному прикладі ми знаходимо підстановку, яка робить інтеграл набагато простішим для обчислення.

Приклад ( PageIndex {5} ): Оцінка інтегралу

Використовуючи зміну змінних (u = x - y ) та (v = x + y ), обчисліть інтеграл [ iint_R (x - y) e ^ {x ^ 2-y ^ 2} dA, ] де (R ) - область, обмежена лініями (x + y = 1 ) та (x + y = 3 ) та кривими (x ^ 2 - y ^ 2 = -1 ) та (x ^ 2 - y ^ 2 = 1 ) (див. першу область на рисунку ( PageIndex {9} )).

Рішення

Як і раніше, спочатку знайдіть область (R ) і зображте трансформацію, щоб легше було отримати межі інтегрування після здійснення перетворень (Рисунок ( PageIndex {9} )).

Дано (u = x - y ) та (v = x + y ), маємо (x = frac {u + v} {2} ) та (y = frac {vu} { 2} ), а отже, перетворення для використання має значення (T (u, v) = ліворуч ( frac {u + v} {2}, , frac {vu} {2} праворуч) ). Рядки (x + y = 1 ) та (x + y = 3 ) стають (v = 1 ) та (v = 3 ) відповідно. Криві (x ^ 2 - y ^ 2 = 1 ) та (x ^ 2 - y ^ 2 = -1 ) стають (uv = 1 ) та (uv = -1 ) відповідно.

Таким чином, ми можемо описати область (S ) (див. Малюнок другої області ( PageIndex {9} )) як

[S = ліворуч {(u, v) | 1 leq v leq 3, , frac {-1} {v} leq u leq frac {1} {v} right }. нечисельний ]

Якобіан для цього перетворення є

[J (u, v) = frac { частковий (x, y)} { частковий (u, v)} = початок {vmatrix} dfrac { частковий x} { частковий u} & dfrac { частково x} { частково v} dfrac { частково y} { частково u} & dfrac { частково y} { частково v} end {vmatrix} = початок {vmatrix} 1 / 2 & 1/2 -1/2 & 1/2 end {vmatrix} = frac {1} {2}. нечисельний ]

Отже, використовуючи перетворення (T ), інтеграл змінюється на

[ iint_R (x - y) e ^ {x ^ 2-y ^ 2} dA = frac {1} {2} int_1 ^ 3 int _ {- 1 / v} ^ {1 / v} ue ^ {uv} du , dv. нечисельний ]

Роблячи оцінку, ми маємо

[ frac {1} {2} int_1 ^ 3 int _ {- 1 / v} ^ {1 / v} ue ^ {uv} du , dv = frac {2} {3e} приблизно 0,245. нечисельний ]

Вправа ( PageIndex {5} )

Використовуючи підстановки (x = v ) та (y = sqrt {u + v} ), обчисліть інтеграл ( displaystyle iint_R y , sin (y ^ 2 - x) , dA, ) де (R ) - область, обмежена лініями (y = sqrt {x}, , x = 2 ) та (y = 0 ).

Підказка

Намалюйте малюнок і знайдіть межі інтеграції.

Відповідь

( frac {1} {2} ( sin 2 - 2) )

Спробуємо ще один приклад з іншою заміною.

Приклад ( PageIndex {6B} ): Оцінка потрійного інтеграла зі зміною змінних

Оцініть потрійний інтеграл

[ int_0 ^ 3 int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ {(y / 2) +1} ліворуч (x + frac {z} {3} праворуч) dx , dy , dz ]

У (xyz ) - пробіл за допомогою перетворення

(u = (2x - y) / 2, , v = y / 2 ) та (w = z / 3 ).

Потім інтегруйте у відповідну область у просторі (uvw ).

Рішення

Як і раніше, якийсь ескіз області (G ) у (xyz ) - простір, над яким ми повинні виконати інтеграцію, може допомогти визначити регіон (D ) у (uvw ) - простір ( Рисунок ( PageIndex {13} )). Очевидно, що (G ) в (xyz ) - простір обмежений площинами (x = y / 2, , x = (y / 2) + 1, , y = 0, , y = 4 , , z = 0 ) та (z = 4 ). Ми також знаємо, що нам потрібно використовувати (u = (2x - y) / 2, , v = y / 2 ) та (w = z / 3 ) для перетворень. Нам потрібно вирішити для (x, y ) та (z ). Тут ми знаходимо, що (x = u + v, , y = 2v ) та (z = 3w ).

Використовуючи елементарну алгебру, ми можемо знайти відповідні поверхні для області (G ) та меж інтегрування в (uvw ) - просторі. Ці рівняння зручно перерахувати в таблиці.

Рівняння в (xyz ) для області (D )Відповідні рівняння в (uvw ) для області (G )Обмеження для інтеграції в (uvw )
(х = у / 2 ) (u + v = 2v / 2 = v ) (u = 0 )
(х = у / 2 ) (u + v = (2v / 2) + 1 = v + 1 ) (u = 1 )
(у = 0 ) (2v = 0 ) (v = 0 )
(у = 4 ) (2v = 4 ) (v = 2 )
(z = 0 ) (3w = 0 ) (w = 0 )
(z = 3 ) (3w = 3 ) (w = 1 )

Тепер ми можемо розрахувати якобіан для перетворення:

[J (u, v, w) = початок {vmatrix} dfrac { частково x} { частково u} & dfrac { частково x} { частково v} & dfrac { частково x} { частково w} dfrac { частково y} { частково u} & dfrac { частково y} { частково v} & dfrac { частково y} { частково w} dfrac { частково z} { частково u} & dfrac { частково z} { частково v} & dfrac { частково z} { частково w} кінець {vmatrix} = початок {vmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end {vmatrix} = 6. nonumber ]

Функція, яку потрібно інтегрувати, стає

[f (x, y, z) = x + frac {z} {3} = u + v + frac {3w} {3} = u + v + w. ]

Зараз ми готові скласти все разом і вирішити проблему.

[ початок {вирівнювання *} int_0 ^ 3 int_0 ^ 4 int_ {у / 2} ^ {(у / 2) +1} ліворуч (x + frac {z} {3} праворуч) dx , dy , dz & = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) | J (u, v, w) | du , dv , dw [4pt]
& = int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) | 6 | du , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 int_0 ^ 1 (u + v + w) , du , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 ліворуч [ frac {u ^ 2} {2} + vu + wu праворуч] _0 ^ 1 , dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 int_0 ^ 2 ліворуч ( frac {1} {2} + v + u праворуч) dv , dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 зліва [ frac {1} {2} v + frac {v ^ 2} {2} + wv right] _0 ^ 2 dw [4pt]
& = 6 int_0 ^ 1 (3 + 2w) , dw = 6 Big [3w + w ^ 2 Big] _0 ^ 1 = 24. end {вирівнювання *} ]

Вправа ( PageIndex {6} )

Нехай (D ) - область у (xyz ) - простір, визначений (1 leq x leq 2, , 0 leq xy leq 2 ) та (0 leq z leq 1 ).

Оцініть ( iiint_D (x ^ 2 y + 3xyz) , dx , dy , dz ), використовуючи перетворення (u = x, , v = xy ) та (w = 3z ) .

Підказка

Складіть таблицю для кожної поверхні регіонів і визначтеся з межами, як показано в прикладі.

Відповідь

[ int_0 ^ 3 int_0 ^ 2 int_1 ^ 2 ліворуч ( frac {v} {3} + frac {vw} {3u} праворуч) du , dv , dw = 2 + ln 8 ]

Ключові поняття

  • Перетворення (T ) - це функція, яка перетворює область (G ) в одній площині (пробіл) в область (R ). в іншій площині (просторі) шляхом зміни змінних.
  • Перетворення (T: G rightarrow R ), визначене як (T (u, v) = (x, y) ) (або (T (u, v, w) = (x, y, z) ) ) називають перетворенням "один на один", якщо жодна точка не відповідає одній точці зображення.
  • Якщо (f ) неперервна на (R ), то [ iint_R f (x, y) dA = iint_S f (g (u, v), , h (u, v)) ліворуч | frac { частково (x, y)} { частково (u, v)} праворуч | du , dv. ]
  • Якщо (F ) неперервний на (R ), то [ begin {align *} iiint_R F (x, y, z) , dV & = iiint_G F (g (u, v, w ), , h (u, v, w), , k (u, v, w) ліворуч | frac { частково (x, y, z)} { частково (u, v, w)} право | , du , dv , dw. [4pt] & = iint_G H (u, v, w) | J (u, v, w) | , du , dv , dw. end {вирівнювання *} ]

[T] Овали Ламе (або супереліпси) - це плоскі криві рівнянь ( ліворуч ( frac {x} {a} праворуч) ^ n + ліворуч ( frac {y} {b} праворуч) ^ n = 1 ), де а, b, і п є додатними дійсними числами.

a. Використовуйте CAS, щоб зобразити області (R ), обмежені овалами Ламе для (a = 1, , b = 2, , n = 4 ) та (n = 6 ) відповідно.

b. Знайдіть перетворення, які відображають область (R ), обмежену овалом Ламе (x ^ 4 + y ^ 4 = 1 ), яку також називають білкою та зображено на наступному малюнку на одиничному диску.

c. Використовуйте CAS, щоб знайти наближення площі (A (R) ) області (R ), обмеженої (x ^ 4 + y ^ 4 = 1 ). Округліть свою відповідь до двох знаків після коми.

[T] Овали Lamé постійно використовуються дизайнерами та архітекторами. Наприклад, канадський архітектор Джеральд Робінсон спроектував гараж у торговому центрі в Пітерборо, Онтаріо, у формі супереліпсу рівняння ( ліворуч ( frac {x} {a} праворуч) ^ n + ліворуч ( frac {y} {b} праворуч) ^ n = 1 ) з ( frac {a} {b} = frac {9} {7} ) та (n = e ). Використовуйте CAS, щоб знайти приблизну площу гаража для ярд (a = 900 ) ярдів, (b = 700 ) ярдів та (n = 2,72 ) ярдів.

[Приховати рішення]

(A (R) simeq 83 999,2 )

Вправи для огляду розділів

Правда чи неправда? Обґрунтуйте свою відповідь доказом або контраприкладом.

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dy , dx ]

Теорему Фубіні можна розширити до трьох вимірів, якщо (f ) безперервний у всіх змінних.

[Приховати рішення]

Правда.

Інтеграл [ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 dz , dr , d theta ] представляє обсяг правильного конуса.

Якобіан перетворення для (x = u ^ 2 - 2v, , y = 3v - 2uv ) задано (- 4u ^ 2 + 6u + 4v ).

[Приховати рішення]

Помилковий.

Оцініть наступні інтеграли.

[ iint_R (5x ^ 3y ^ 2 - y ^ 2) , dA, , R = {(x, y) | 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 4 } ]

[ iint_D frac {y} {3x ^ 2 + 1} dA, , D = {(x, y) | 0 leq x leq 1, , -x leq y leq x } ]

[Приховати рішення]

(0)

[ iint_D sin (x ^ 2 + y ^ 2) dA ] де (D ) - диск радіуса (2 ) з центром у початку координат [ int_0 ^ 1 int_0 ^ 1 xye ^ {x ^ 2} dx , dy ]

[Приховати рішення]

( frac {1} {4} )

[ int _ {- 1} ^ 1 int_0 ^ z int_0 ^ {x-z} 6dy , dx , dz ]

[ iiint_R 3y , dV, ] де (R = {(x, y, z) | 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x, , 0 leq z leq sqrt {9 - y ^ 2} } )

[Приховати рішення]

(1.475)

[ int_0 ^ 2 int_0 ^ {2 pi} int_r ^ 1 r , dz , d theta , dr ]

[ int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ { pi / 2} int_1 ^ 3 rho ^ 2 , sin ( varphi) d rho , d varphi, , d theta ]

[Приховати рішення]

( frac {52} {3} pi )

[ int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2}} int _ {- sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} dz , dy , sx ]

Для наступних проблем знайдіть вказану область або том.

Площа області, закрита однією пелюсткою (r = cos (4 theta) ).

[Приховати рішення]

( frac { pi} {16} )

Об’єм твердого тіла, який лежить між параболоїдом (z = 2x ^ 2 + 2y ^ 2 ) та площиною (z = 8 ).

Об'єм твердого тіла, обмежений циліндром (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ) і від (z = 1 ) до (z + x = 2 ).

[Приховати рішення]

(93.291)

Об'єм перетину між двома сферами радіуса 1, верхня частина якої має центр ((0,0,0,25) ) і нижня, яка центрована в точці ((0,0,0) ).

Для наступних проблем знайдіть центр маси регіону.

( rho (x, y) = xy ) на колі з радіусом (1 ) лише в першому квадранті.

[Приховати рішення]

( ліворуч ( frac {8} {15}, frac {8} {15} праворуч) )

( rho (x, y) = (y + 1) sqrt {x} ) в області, обмеженій (y = e ^ x, , y = 0 ) та (x = 1 ).

( rho (x, y, z) = z ) на оберненому конусі з радіусом (2 ) і висотою (2 ).

( ліворуч (0,0, frac {8} {5} праворуч) )

Об'єм конуса морозива, який задається твердим тілом зверху (z = sqrt {(x ^ 2 + y ^ 2)} ) і нижче (z ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = z ).

Наступні проблеми досліджують Гору Холлі в штаті Мічиган. Гора Холлі - це звалище, яке було перетворено на гірськолижний курорт. Форму гори Холлі можна наблизити за допомогою прямого кругового конуса висотою (1100 ) футів і радіусом (6000 ) футів.

Якщо ущільнений сміття, який використовувався для будівництва гори Холлі, в середньому має щільність (400 , lb / ft ^ 3 ), знайдіть обсяг робіт, необхідних для будівництва гори.

[Приховати рішення]

(1.452 pi разів 10 ^ {15} ) ft-lb

Насправді дуже ймовірно, що сміття на дні гори Холлі стало більш ущільненим з усією вагою вищезазначеного сміття. Розглянемо функцію щільності щодо висоти: щільність на вершині гори все ще залишається щільністю (400 , lb / ft ^ 3 ) і щільність зростає. На кожні 100 футів глибше щільність подвоюється. Яка загальна вага гори Холлі?

Наступні проблеми розглядають температуру та щільність шарів Землі.

[T] Температура шарів Землі представлена ​​в таблиці нижче. Використовуйте свій калькулятор, щоб підігнати багаточлен градуса (3 ) до температури вздовж радіуса Землі. Тоді знайдіть середню температуру Землі. (Підказка: починається з (0 ) у внутрішньому ядрі і збільшується назовні до поверхні)

ШарГлибина від центру (км)Температура (^ oC )
Скеляста кораВід 0 до 400
Верхня мантіяВід 40 до 150870
МантіяВід 400 до 650870
Внутрішня камінаВід 650 до 2700870
Розплавлене зовнішнє ядроВід 2890 до 51504300
Внутрішнє ядроВід 5150 до 63787200

Джерело: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

[Приховати рішення]

(y = -1,238 разів 10 ^ {- 7} x ^ 3 + 0,001196 x ^ 2 - 3,666x + 7208 ); середня температура приблизно (2800 ^ oC )

[T] Щільність шарів Землі відображається в таблиці нижче. За допомогою калькулятора або комп’ютерної програми знайдіть найкраще квадратне рівняння щільності. За допомогою цього рівняння знайдіть загальну масу Землі.

ШарГлибина від центру (км)Щільність ((г / см ^ 3) )
Внутрішнє ядро012.95
Зовнішнє ядро122811.05
Мантія34885.00
Верхня мантія63383.90
Кірка63782.55

Джерело: http: //hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Наступні проблеми стосуються теореми Паппа (див. Моменти та центри маси для оновлення), методу розрахунку об'єму за допомогою центроїдів. Якщо припустити область (R ), коли ви обертаєтесь навколо осі (x ) - обсяг задається (V_x = 2 pi A bar {y} ), а коли ви обертаєтесь навколо ( y ) - вісь обсяг задається (V_y = 2 pi A bar {x} ), де (A ) - площа (R ). Розглянемо область, обмежену (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) і вище (y = x + 1 ).

Знайдіть гучність, коли обертаєте область навколо осі (x ) -.

[Приховати рішення]

( frac { pi} {3} )

Знайдіть гучність, коли обертаєте область навколо осі (у ).

Глосарій

Якобіян

якобіан (J (u, v) ) у двох змінних є визначником (2 раз 2 ):

[J (u, v) = begin {vmatrix} frac { частково x} { частково u} frac { частково y} { частково u} нечисло frac { частково x} { частковий v} frac { частковий y} { частковий v} кінець {vmatrix}; ]

якобіан (J (u, v, w) ) у трьох змінних є визначником (3 раз 3 ):

[J (u, v, w) = початок {vmatrix} frac { частково x} { частково u} frac { частково y} { частково u} frac { частково z} { частково u} nonumber frac { частково x} { частково v} frac { частково y} { частково v} frac { частково z} { частково v} nonumber frac { частково x} { частково w} frac { частково y} { частково w} frac { частково z} { частково w} end {vmatrix} ]

індивідуальне перетворення
перетворення (T: G rightarrow R ), визначене як (T (u, v) = (x, y) ), називається однозначним, якщо немає двох точок, що відповідають одній і тій же точці зображення
площинне перетворення
функція (T ), яка перетворює область (G ) в одній площині в область (R ) в іншій площині шляхом зміни змінних
перетворення
функція, яка перетворює область GG в одній площині в область RR в іншій площині шляхом зміни змінних

Числення: пізня трансцендентальна, Версія, підготовлена ​​до 11-го видання прагне збільшити розуміння та концептуальне розуміння студентів за допомогою балансу між строгістю та чіткістю пояснень звукової математики та чудових вправ, додатків та прикладів. Антон педагогічно підходить до Калькуляції через Правило чотирьох, представляючи поняття з вербальної, алгебраїчної, наочної та числової точок зору.

Супутні товари

Говард Антон, Ірл К. Бівенс, Стівен Девіс

Говард Антон, Ірл К. Бівенс, Стівен Девіс


Доказ Рудіна про зміну теореми змінних

У мене проблеми з доказом Рудіна про зміну теореми змінних для множинних інтегралів. Теорема для 1-1 $ mathscr$ відображення з $ R ^ k $ в $ R ^ k $. У теоремі 10.7 безпосередньо перед зміною теореми змінної він доводить, що якщо $ mathbf( mathbf) $ - це $ mathscr$ відображення відкритого набору $ E підмножини$ в $ R ^ k $ за допомогою in$, з $ mathbf( mathbf <0>) = 0 $ і $ mathbf(0) $ обернене, тоді є околиця $ mathbf <0> $, в якій представлення $ mathbf( mathbf) = B_1 cdots B_ mathbf_n circ cdots mathbf_1 ( mathbf) $ дійсний, з кожним $ mathbf_i ( mathbf) $ є примітивним $ mathscr$ mapping у якомусь районі нуля, $ mathbf_i ( mathbf <0>) = 0 $, і $ mathbf_i (0) $ є зворотним, і кожен $ B_i $ є або перевертанням, або оператором ідентичності. Змінюючи теорему змінних, він стверджує, що ми можемо записати $ T ( mathbf) $, наш 1-1 $ mathscr$ на $ R ^ k $ відображення, як $ mathbf( mathbf) = mathbf( mathbf) + B_1 cdots B_ mathbf_k circ cdots mathbf_1 ( mathbf) $ Якщо $ mathbf( mathbf) $ лінійний, я розумію, як застосовується теорема 10.7, оскільки $ mathbf( mathbf <0>) = mathbf <0> $ для всіх лінійних перетворень, і ми можемо застосувати теорему до $ mathbf( mathbf) $. Але якщо Т не є лінійним, як він приходить до цього рівняння?

По-друге, навіть якщо рівняння справді виконується, явно $ mathbf( mathbf) $ - це склад примітивного $ mathscr$ зіставлення та перевертання, але чому це $ mathbf( mathbf) $. Не додає постійний доданок $ mathbf( mathbf) $ змінити речі?


14.8: Зміна змінних у множинних інтегралах (якобіанці) - Математика

включає розділи 12.1-12.7, 13.1, 13.2, 13.5: вектори, векторна алгебра, довжина, одиничні вектори, об'єднання, точковий добуток, кут між векторами, перпендикулярні вектори, скалярна проекція, векторна проекція, паралельні та перпендикулярні компоненти, відстань від прямої, відстань від площини, поперечний добуток, нормальні вектори, площа з використанням поперечного добутку, рівняння прямих у площинах та у просторі, рівняння площин, циліндричні та сферичні координати, векторні функції, похідні інтеграли векторних функцій, рух у просторі

Тест 2: вівторок 3/9

включає розділи 14.1-14.7: багатовимірювані функції, поверхні, дотичні площини, контурні графіки, межі, часткові похідні, функції від R ^ m до R ^ n, локальна лінеаризація, похідна, правило ланцюга, спрямовані похідні, градієнт, критичні точки, локальні екстремуми , друга похідна перевірка, глобальні екстремуми, оптимізація

Тест 3: понеділок 3/29

включає розділи 14.8-15.6: Множники Лагранжа, множинні інтеграли, ітераційні інтеграли, зміна порядку інтегрування, зміна змінних, інтегрування з використанням полярних циліндричних сферичних координат, додатки, об’єм, середнє значення, маса, центр ваги

Новий матеріал про фінал

Зошити Mathematica

Ви можете встановити його на свій комп’ютер, дотримуючись інструкцій.

Ви завжди можете зателефонувати до довідкової служби NAU ITS 928-523-9294 або [email protected] і запитати, як ви можете отримати доступ до Mathematica.

Квадратичні поверхні: зошит pdf
Перетин поверхонь: зошит pdf
Градієнт: 2D-зошит pdf 3D-зошит pdf
Другий похідний тест: зошит pdf
Глобальні екстремуми: ноутбук pdf
Глобальні екстремуми: ноутбук pdf
Оптимізація: ноутбук pdf
Мультиплікатори Лагранжа з одним обмеженням: ноутбук pdf
Множники Лагранжа з двома обмеженнями: ноутбук pdf
Центроїд твердого параболоїду: ноутбук pdf
Потік і щільність циркуляції 2D: ноутбук pdf
div rot: зошит
Площа поверхні сфери: - прямокутний блокнот pdf - циліндричний блокнот pdf - сферичний блокнот pdf
Щільність потоку 3D: ноутбук pdf
Площа поверхні трикутника: блокнот pdf
Центроїд поверхні півкулі: ноутбук pdf
Потік через поверхню параболоїду: зошит pdf
Потік через поверхню конуса: зошит pdf
Зелений: зошит pdf
Стокс у півкулі: зошит pdf
Гаус на циліндрі: блокнот pdf


14.8: Зміна змінних у множинних інтегралах (якобіанці) - Математика

Functions of several variables, Lagrange multipliers, vector valued functions, directional derivatives, gradient, divergence, curl, transformations, Jacobians, inverse and implicit function theorems, multiple integration including change of variables using polar, cylindrical and spherical co-ordinates, Green's theorem, Stoke's theorem, divergence theorem, line integrals, arc length.

Mathematics 2000 and 2050

Students are expected to be able to learn various tools of vector calculus.

Outline of the course

  • Curves defined by parametric equations
  • Vector functions and space curves
  • Derivatives and integrals of vector functions
  • Arc length and curvature
  • Motion in space: velocity and acceleration
    10.1
    13.1
    13.2
    13.3
    13.4
    12.6,14.1
    14.3
    14.4
    14.6
    14.8
  • Double integral over general region
  • Double integral in polar coordinates
  • Applications of double integrals
  • Triple integrals
  • Change of variables in multiple integrals
    15.3
    15.4
    15.5
    15.6-15.8
    15.9
  • Vector fields
  • Line integrals
  • The fundamental theorem of line integrals
  • Green's Theorem
  • Curl and divergence
  • Parametric surfaces and their areas
  • Surface integrals
  • Stoke's theorem
  • Divergence theorem
    16.1
    16.2
    16.3
    16.4
    16.5
    16.6
    16.7
    16.8
    16.9

Calculus: Early Transcendentals (6E) by Stewart, J., Thomson Brooks/Coles


Should you choose Math 161/162 or Math 131/132?

Any questions about placement in calculus or other 100-level courses that remain after reading that section should be directed to John Houlihan, Mathematics Placement Director. Please e-mail him to set up an appointment.

Math 161/162 (Calculus I, Calculus II) is a традиційний calculus sequence covering all the basic topics of one-variable calculus. This sequence is a prerequisite for Multivariable Calculus (Math 263) as well as for almost all higher-level math courses. It is required for all students majoring in Chemistry, Engineering Science, Mathematics, Physics and Statistics. It is highly recommended, although not required, for students majoring in Biology, Computer Science and Economics.

Math 131/132 (Applied Calculus I, Applied Calculus II) is more of a опитування sequence covering many of the basic topics in one-variable calculus as well as some topics in multivariable calculus and differential equations. It is a terminal sequence in that it does not satisfy the prerequisites of upper-level mathematics and statistics courses. Students who enjoyed mathematics in high school and earned ACT math scores of 28 and higher or SAT math scores of 660 and higher are encouraged to choose the Math 161/162 sequence.

Installing Mathematica (free!)

Mathematica is a powerful computing environment that is designed for use in engineering, mathematics, finance, physics, chemistry, biology, and a wide range of other fields. Loyola students and faculty can download and install the latest copy of Mathematica for free. You must be logged on to Loyola VPN, and then visit the following ITS webpage, https://digitalmedia.luc.edu/News/NewsItem/View/4/mathematica-version-9-downloads-available.

Wolfram Demonstrations Project

From the Wolfram Demonstrations Project. ". . . the Wolfram Demonstrations Project is an open-code resource that uses dynamic computation to illuminate concepts in science, technology, mathematics, art, finance, and a remarkable range of other fields.

Its daily growing collection of interactive illustrations is created by Mathematica users from around the world who participate by contributing innovative Demonstrations."

Click on the link to go to the home page of the Wolfram Demonstrations Project.


Exercises 14.8

Ex 14.8.1 A six-sided rectangular box is to hold $1/2$ cubic meter what shape should the box be to minimize surface area? (answer)

Ex 14.8.2 The post office will accept packages whose combined length and girth are at most 130 inches (girth is the maximum distance around the package perpendicular to the length). What is the largest volume that can be sent in a rectangular box? (answer)

Ex 14.8.3 The bottom of a rectangular box costs twice as much per unit area as the sides and top. Find the shape for a given volume that will minimize cost. (answer)

Ex 14.8.4 Using Lagrange multipliers, find the shortest distance from the point $(x_0,y_0,z_0)$ to the plane $ax+by+cz=d$. (answer)

Ex 14.8.5 Find all points on the surface $xy-z^2+1=0$ that are closest to the origin. (answer)

Ex 14.8.6 The material for the bottom of an aquarium costs half as much as the high strength glass for the four sides. Find the shape of the cheapest aquarium that holds a given volume $V$. (answer)

Ex 14.8.7 The plane $x-y+z=2$ intersects the cylinder $x^2+y^2=4$ in an ellipse. Find the points on the ellipse closest to and farthest from the origin. (answer)

Ex 14.8.8 Find three positive numbers whose sum is 48 and whose product is as large as possible. (answer)

Ex 14.8.9 Find all points on the plane $x+y+z = 5$ in the first octant at which $ds f(x,y,z) = xy^2z^2$ has a maximum value. (answer)

Ex 14.8.10 Find the points on the surface $x^2 -yz = 5$ that are closest to the origin. (answer)

Ex 14.8.11 A manufacturer makes two models of an item, standard and deluxe. It costs $40 to manufacture the standard model and $60 for the deluxe. A market research firm estimates that if the standard model is priced at $x$ dollars and the deluxe at $y$ dollars, then the manufacturer will sell $500(y-x)$ of the standard items and $45,000+500(x-2y)$ of the deluxe each year. How should the items be priced to maximize profit? (answer)

Ex 14.8.12 A length of sheet metal is to be made into a water trough by bending up two sides as shown in figure 14.8.3. Find $x$ and $phi$ so that the trapezoid&ndashshaped cross section has maximum area, when the width of the metal sheet is 27 inches (that is, $2x+y=27$). (answer)

Ex 14.8.13 Find the maximum and minimum values of $f(x,y,z)=6x+3y+2z$ subject to the constraint $ds g(x,y,z) = 4x^2+2y^2 + z^2 - 70 = 0$. (answer)

Ex 14.8.14 Find the maximum and minimum values of $f(x,y)=e^$ subject to the constraint $g(x,y) = x^3+y^3 - 16 = 0$. (answer)

Ex 14.8.15 Find the maximum and minimum values of $ds f(x,y) = xy + sqrt<9-x^2-y^2>$ when $ds x^2+y^2 leq 9$. (answer)

Ex 14.8.16 Find three real numbers whose sum is 9 and the sum of whose squares is a small as possible. (answer)

Ex 14.8.17 Find the dimensions of the closed rectangular box with maximum volume that can be inscribed in the unit sphere. (answer)


Purchase Options

Students, we’re committed to providing you with high-value course solutions backed by great service and a team that cares about your success. See tabs below to explore options and pricing. Don't forget, we accept financial aid and scholarship funds in the form of credit or debit cards.

Print/eBook

Loose-Leaf Purchase

  • Purchase un-bound 3-ring binder ready textbook
  • Flexibility and ease of selecting chapters to take where you want to go

ISBN10: 0077431391 | ISBN13: 9780077431396

Hardcopy

ISBN10: 0073532320 | ISBN13: 9780073532325

Цифрова

Підключіться

  • Personalize your learning, save time completing homework, and possibly earn a better grade
  • Access to eBook, homework and adaptive assignments, videos, and study resources
  • Download free ReadAnywhere App for offline access to eBook for anytime reading
  • Connect may be assigned as part of your grade. Check with your instructor to see if Connect is used in your course.

ISBN10: 0077235894 | ISBN13: 9780077235895

The estimated amount of time this product will be on the market is based on a number of factors, including faculty input to instructional design and the prior revision cycle and updates to academic research-which typically results in a revision cycle ranging from every two to four years for this product. Pricing subject to change at any time.

The estimated amount of time this product will be on the market is based on a number of factors, including faculty input to instructional design and the prior revision cycle and updates to academic research-which typically results in a revision cycle ranging from every two to four years for this product. Pricing subject to change at any time.


Exam 2 syllabus and checklist

Here is a detailed syllabus and a section-by-section checklist of topics, concepts, formulas and techniques that you should be familiar with. While this list contains the key points of the relevant sections in your textbook, it may not cover every detail of the course material. Also refer to the learning objectives at the beginning of each section, re-read the textbook and review your class notes and lecture slides, and review/redo the corresponding homework problems. Everything covered in class (with the few exceptions listed above) and the homework is relevant for the exam.

  • 14.6: Directional derivatives and the gradient vector
    • Gradient of a function of several variables
    • Geometric interpretation of the gradient vector in 2D and 3D, relation to level curves and level surfaces
    • Directional derivative: definition, rate-of-change interpretation, and dot product formula
    • Critical points (first derivatives test)
    • Classification of a critical point as local max, local min, or saddle point (second derivatives test)
    • Absolute maximum and minimum values on compact (closed and bounded) sets
    • Use Lagrange Multiplier to find critical points along some constraints
    • Definition of double integrals using Riemann sums
    • Relation to volume of solids lis above a given rectangle (or more general plane region) and below a given surface
    • Computation of double integrals over rectangles via (partial integration of) iterated integrals
    • Fubini's Theorem
    • Computation of volumes of solids
    • Estimating double integrals from below and above using properties of double integrals
    • Convert between Cartesian coordinates and polar coordinates
    • Area element dA in polar coordinates
    • Set up double integrals in polar coordinates
    • Jacobian determinant of a transformation and conversion factor in change of variables formula for multiple integrals
    • Change of variables formula for multiple integrals
    • Setting up a triple integral over a simple region

    Final exam

    In grading each of the problems, the following rules will be respected (Sorry for the negative tone I assure you my intention is positive).

    • Only a complete and correct solution with clear explanations will receive a full mark.
    • Careless errors and other simple mistakes will result in at least 20% deduction from your mark.
    • The following errors will be considered as serious, and will result in at least 50% deduction from your mark.
      • Incorrect application of the chain rule, the product rule, or the quotient rule for differentiation
      • Incorrect application of the п-th term test

      The exam is intended to test how you recognize the relevant techniques for the particular problem at hand, whether you can apply the learned techniques to solve concrete problems, and whether you can effectively communicate your solution. In what follows, we list some practice problems and other study material, that might be helpful in directing your preparation.

      Midterm topics (sequences, series, Taylor series, space/plane curves):

        for the midterm and hints to their solution with pointers to the practice problem set
    • Solutions to selected problems from the midterm exam
    • Feedback for the midterm
    • Written assignment 1
    • Webwork assignments 1&ndash3
    • Problems suggested by students (2 of these are in the exam). Thank you all for your contributions!
      • Corrections to some of the solutions. Please notify me if you find more errors.

      Minimization/maximization problems, and multiple integrals:

      • Solutions to the problems from Written assignment 2
      • Webwork assignments 4&ndash5
      • From Stewart's book:
        • §14.7: 30, 31, 33, 34, 40&ndash44, 46, 53
        • §14.8: 3, 4, 11, 12, 20, 21, 27, 28
        • §15.2: 5, 8, 9, 11, 12, 19, 20, 27, 28
        • §15.3: 5, 6, 15, 16, 20, 21, 49&ndash54
        • §15.4: 7&ndash14, 24&ndash27, 29&ndash32

        For reference, the relevant sections of the textbook (Stewart) are:

        • §11.1&ndash§11.10, §12.1&ndash§12.4, §13.1&ndash§13.4, §14.1&ndash§14.8, §15.2&ndash§15.4
        • Примітка: We did not cover §12.5 in class, but equations of lines and planes occur occasionally in other sections, so it may be a good idea to read it (although there isn't really much to it).
        • Примітка: Kepler's laws from §13.4 are not covered, and will not be tested in the exam.
        • Примітка: Linear approximations and differentials from §14.4 will not be tested in the exam.
        • Примітка: Some knowledge from §15.5&ndash§15.7 might be needed in Webwork assignment 5, but these sections will not be tested in the exam.

        For further reference, the following are some notable deviations from the textbook.


        Перегляньте відео: Заявление требование на отмену протокола по статье КоАП РФ! (Найясніший 2022).