Статті

Подвійні інтеграли в полярних координатах (вправи) - математика

Подвійні інтеграли в полярних координатах (вправи) - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Умови та поняття

1. При обчисленні ( displaystyle int int_R f (x, y) , dA ) з використанням полярних координат, (f (x, y) ) замінюється на _______, а (dA ) замінюється на _______.

Відповідь:
(f (x, y) ) замінено на (f (r cos theta, r sin theta) ) і (dA ) замінено на (r , dr , d theta ).

2. Чому цікавить оцінка подвійного інтегралу з полярними координатами?

Визначення полярних регіонів

У вправах 3 - 6 виразіть область (R ) у полярних координатах.

3) (R ) - область диска радіусом 2 із центром у початку координат, що лежить у першому квадранті.

Відповідь:
(R = великий {(r, theta) , | , 0 leq r leq 2, пробіл 0 leq theta leq frac { pi} {2} big } )

4) (R ) - область диска радіусом 3 з центром у початку координат.

5) (R ) - область між колами радіуса 4 і радіусом 5 з центром у початку координат, що лежить у другому квадранті.

Відповідь:
(R = big {(r, theta) , | , 4 leq r leq 5, space frac { pi} {2} leq theta leq pi big } )

6) (R ) - область, обмежена віссю (y ) - та (x = sqrt {1 - y ^ 2} ).

7) (R ) - область, обмежена віссю (x ) - та (y = sqrt {2 - x ^ 2} ).

Відповідь:
(R = великий {(r, theta) , | , 0 leq r leq sqrt {2}, пробіл 0 leq theta leq pi big } )

8) (R = великий {(x, y) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 4x big } )

9) (R = великий {(x, y) , | , x ^ 2 + y ^ 2 leq 4y big } )

Відповідь:
(R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq 4 space sin theta, space 0 leq theta leq pi big } )

У вправах 10 - 15 подано графік полярної прямокутної області (D ). Виразіть (D ) у полярних координатах.

10)

11)

Відповідь:
(D = великий {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, пробіл frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {2} великий } )

12)

13)

Відповідь:
(D = великий {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, space frac {3 pi} {4} leq theta leq frac {5 pi} {4} великий } )

14) На наступному графіку область (D ) розташована нижче (y = x ) і обмежена (x = 1, пробіл x = 5 ) та (y = 0 ) .

15) На наступному графіку область (D ) обмежена (y = x ) та (y = x ^ 2 ).

Відповідь:
(D = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq tan theta space sec theta, space 0 leq theta leq frac { pi } {4} великий } )

Оцінка полярних подвійних інтегралів

У вправах 16-25 обчисліть подвійний інтеграл ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA ) над полярною прямокутною областю (R ).

16) (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 ), (R = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, пробіл 0 leq theta leq 2 pi big } )

17) (f (x, y) = x + y ), (R = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 5, пробіл 0 leq theta leq 2 pi big } )

Відповідь:
(0)

18) (f (x, y) = x ^ 2 + xy, пробіл R = великий {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space pi leq theta leq 2 pi big } )

19) (f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 4, пробіл R = великий {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac {3 pi} {2} leq theta leq 2 pi big } )

Відповідь:
( frac {63 pi} {16} )

20) (f (x, y) = sqrt [3] {x ^ 2 + y ^ 2} ), де (R = big {(r, theta) , | , 0 leq r leq 1, space frac { pi} {2} leq theta leq pi big } ).

21) (f (x, y) = x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4 ), де (R = big {(r, theta) , | , 3 leq r leq 4, space frac { pi} {3} leq theta leq frac {2 pi} {3} big } ).

Відповідь:
( frac {3367 pi} {18} )

22) (f (x, y) = sin ( arctan frac {y} {x}) ), де (R = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {6} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

23) (f (x, y) = arctan left ( frac {y} {x} right) ), де (R = big {(r, theta) , | , 2 leq r leq 3, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

Відповідь:
( frac {35 pi ^ 2} {576} )

24) ( displaystyle iint_R e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} ліворуч [1 + 2 пробіл arctan ліворуч ( frac {y} {x} праворуч) право] , дА, пробіл R = великий {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, пробіл frac { pi} {6} leq theta frac { pi} {3 } великий } )

25) ( displaystyle iint_R ліворуч (e ^ {x ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2 + y ^ 4 праворуч) arctan left ( frac {y} { x} праворуч) , dA, пробіл R = великий {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } )

Відповідь:
( frac {7} {576} pi ^ 2 (21 - e + e ^ 4) )

Перетворення подвійних інтегралів у полярну форму

У вправах 26 - 29 інтеграли були перетворені в полярні координати. Переконайтеся, що тотожності істинні, і виберіть найпростіший спосіб оцінки інтегралів у прямокутних або полярних координатах.

26) ( displaystyle int_1 ^ 2 int_0 ^ x (x ^ 2 + y ^ 2) , dy space dx = int_0 ^ { frac { pi} {4}} int _ { sec theta} ^ {2 пробіл sec theta} r ^ 3 , dr пробіл d theta )

27) ( displaystyle int_2 ^ 3 int_0 ^ x frac {x} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} int_0 ^ { tan theta space sec theta} , r space cos theta space dr space d theta )

Відповідь:
( frac {5} {4} ln (3 + 2 sqrt {2}) )

28) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 2} ^ x frac {1} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} displaystyle int_0 ^ { tan theta space sec theta} space dr space d theta )

29) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_ {x ^ 2} ^ x frac {y} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dy space dx = int_0 ^ { pi / 4} displaystyle int_0 ^ { tan theta space sec theta} , r space sin theta space dr space d theta )

Відповідь:
( frac {1} {6} (2 - sqrt {2}) )

У вправах 30 - 37 намалюйте область інтегрування, (R ), позначивши всі межі інтегрування, перетворіть інтеграли в полярні координати та оцініть їх.

30) ( displaystyle int_0 ^ 3 int_0 ^ { sqrt {9-y ^ 2}} , dx space dy )

31) ( displaystyle int_0 ^ 2 int _ {- sqrt {4-y ^ 2}} ^ { sqrt {4-y ^ 2}} , dx space dy )

Відповідь:
( displaystyle int_0 ^ { pi} int_0 ^ 2 r ^ 5 , dr space d theta quad = quad frac {32 pi} {3} )

32) ( displaystyle int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} (x + y) space dy space dx )

33) ( displaystyle int_0 ^ 4 int _ {- sqrt {16-x ^ 2}} ^ { sqrt {16-x ^ 2}} sin (x ^ 2 + y ^ 2) space dy пробіл dx )

Відповідь:
( displaystyle int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ 4 , r space sin (r ^ 2) space dr space d theta quad = quad pi space sin ^ 2 8 )

34) ( displaystyle int_0 ^ 5 int _ {- sqrt {25-x ^ 2}} ^ { sqrt {25-x ^ 2}} sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , dy , dx )

35) ( displaystyle int _ {- 4} ^ 4 int _ {- sqrt {16-y ^ 2}} ^ {0} (2y-x) , dx , dy )

Відповідь:
( displaystyle int _ { frac { pi} {2}} ^ { frac {3 pi} {2}} int_0 ^ {4} big (2r sin theta - r cos theta великий) , r , dr пробіл d theta quad = quad frac {128} {3} )

36) ( displaystyle int_0 ^ 2 int_ {y} ^ { sqrt {8-y ^ 2}} (x + y) , dx , dy )

37) ( displaystyle int _ {- 2} ^ {- 1} int_ {0} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx + int _ {- 1 } ^ 1 int _ { sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx + int_1 ^ 2 int_0 ^ { sqrt { 4-x ^ 2}} (x + 5) , dy , dx )

Відповідь:
( displaystyle int_ {0} ^ { pi} int_1 ^ {2} big (r cos theta + 5 big) , r , dr space d theta quad = quad frac {15 pi} {2} )

38) Оцініть інтеграл ( displaystyle iint_D r , dA ), де (D ) - область, обмежена полярною віссю і верхньою половиною кардіоїда (r = 1 + cos theta ) .

39) Знайдіть площу області (D ), обмежену полярною віссю і верхньою половиною кардіоїда (r = 1 + cos theta ).

Відповідь:
( frac {3 pi} {4} )

40) Оцініть інтеграл ( displaystyle iint_D r , dA, ), де (D ) - область, обмежена частиною чотирилистої троянди (r = sin 2 theta ), розташованої в перший квадрант (див. наступний малюнок).

41) Знайдіть загальну площу області, укладеної чотирилистою трояндою (r = sin 2 theta ) (див. Малюнок у попередній вправі).

Відповідь:
( frac { pi} {2} )

42) Знайдіть область області (D ), яка є областю, обмеженою (y = sqrt {4 - x ^ 2} ), (x = sqrt {3} ), (x = 2 ) та (y = 0 ).

43) Знайдіть область області (D ), яка є областю всередині диска (x ^ 2 + y ^ 2 leq 4 ) і праворуч від рядка (x = 1 ).

Відповідь:
( frac {1} {3} (4 pi - 3 sqrt {3}) )

44) Визначити середнє значення функції (f (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2 ) за областю (D ), обмеженою полярною кривою (r = cos 2 theta ), де (- frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {4} ) (див. наступний графік).

45) Визначити середнє значення функції (f (x, y) = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ) за областю (D ), обмеженою полярною кривою (r = 3 sin 2 theta ), де (0 leq theta leq frac { pi} {2} ) (див. наступний графік).

Відповідь:
( frac {16} {3 pi} )

46) Знайдіть об'єм твердої речовини, що знаходиться в першому октанті і обмежений параболоїдом (z = 1 - 4x ^ 2 - 4y ^ 2 ) та площинами (x = 0, пробіл y = 0 ), та (z = 0 ).

47) Знайдіть об’єм твердого тіла, обмеженого параболоїдом (z = 2 - 9x ^ 2 - 9y ^ 2 ) та площиною (z = 1 ).

Відповідь:
( frac { pi} {18} )

48)

  1. Знайдіть об'єм твердого тіла (S_1 ), обмеженого циліндром (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) та площинами (z = 0 ) та (z = 1 ).
  2. Знайдіть об'єм твердої речовини (S_2 ) поза подвійним конусом (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) всередині циліндра (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) і вище площина (z = 0 ).
  3. Знайдіть об’єм твердого тіла всередині конуса (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) і нижче площини (z = 1 ), віднявши обсяги твердих тіл (S_1 ) та ( S_2 ).

49)

  1. Знайдіть об’єм твердого тіла (S_1 ) усередині одиничної сфери (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) та над площиною (z = 0 ).
  2. Знайдіть об’єм твердого тіла (S_2 ) усередині подвійного конуса ((z - 1) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) і над площиною (z = 0 ).
  3. Знайдіть об’єм твердого тіла поза подвійним конусом ((z - 1) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) і всередині сфери (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 ) .
Відповідь:
а. ( frac {2 pi} {3} ); b. ( frac { pi} {2} ); c. ( frac { pi} {6} )

У вправах 50-51 представлені спеціальні подвійні інтеграли, які особливо добре підходять для оцінки в полярних координатах.

50) Поверхня правильного кругового конуса з висотою (h ) та радіусом основи (a ) може бути описана рівнянням (f (x, y) = hh sqrt { frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2}} ), де кінчик конуса лежить в точці ((0,0, h) ), а кругова основа лежить в ( xy ) - площина, центрована в початку координат.
Переконайтесь, що об’єм правильного кругового конуса з висотою (h ) та базовим радіусом (a ) дорівнює (V = frac {1} {3} pi a ^ 2h ), обчислюючи ( displaystyle int int_R f (x, y) , dA ) у полярних координатах.

51) Розглянемо ( displaystyle int int_R e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} , dA. )
(а) Чому цей інтеграл важко оцінити в прямокутних координатах, незалежно від області (R )?
(b) Нехай (R ) - область, обмежена колом радіуса (a ) з центром у початку координат. Оцініть подвійний інтеграл, використовуючи полярні координати.
(c) Візьміть межу вашої відповіді з (b), як (a до infty ). Що це означає з обсягом під поверхнею (e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} ) по всій площині (xy ) -?

Для наступних двох вправ розгляньте сферичне кільце, яке являє собою сферу з циліндричним отвором, вирізаним так, щоб вісь циліндра проходила через центр сфери (див. Наступну рисунку).

52) Якщо сфера має радіус 4, а циліндр - радіус 2, знайдіть об’єм сферичного кільця.

53) Циліндричний отвір діаметром 6 см просвердлюється через сферу радіусом 5 см, така що вісь циліндра проходить через центр сфери. Знайдіть об’єм отриманого сферичного кільця.

Відповідь:
( frac {256 pi} {3} пробіл текст {см} ^ 3 )

54) Знайдіть об’єм твердої речовини, що лежить під подвійним конусом (z ^ 2 = 4x ^ 2 + 4y ^ 2 ), всередині циліндра (x ^ 2 + y ^ 2 = x ) і над площина (z = 0 ).

55) Знайдіть об’єм твердого тіла, який лежить під параболоїдом (z = x ^ 2 + y ^ 2 ), усередині циліндра (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) і над площиною (z = 0 ).

Відповідь:
( frac {3 pi} {32} )

56) Знайдіть об’єм твердого тіла, який лежить під площиною (x + y + z = 10 ) та над диском (x ^ 2 + y ^ 2 = 4x ).

57) Знайдіть об’єм твердого тіла, який лежить під площиною (2x + y + 2z = 8 ) і над одиничним диском (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Відповідь:
(4 pi )

58) Радіальна функція (f ) - це функція, значення якої в кожній точці залежить лише від відстані між цією точкою та початком системи координат; тобто (f (x, y) = g (r) ), де (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ). Покажіть, що якщо (f ) - неперервна радіальна функція, то

[ iint_D f (x, y) dA = ( theta_2 - theta_1) [G (R_2) - G (R_1)], пробіл, де пробіл G '(r) = rg (r) ] та ((x, y) в D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, пробіл 0 leq theta leq 2 pi} ), з (0 leq R_1 < R_2 ) та (0 leq theta_1 < theta_2 leq 2 pi ).

59) Використовуйте інформацію з попередньої вправи для обчислення інтегралу ( displaystyle iint_D (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 3 дА, ) де (D ) - одиничний диск.

Відповідь:
( frac { pi} {4} )

60) Нехай (f (x, y) = frac {F '(r)} {r} ) - неперервна радіальна функція, визначена на кільцевій області (D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, пробіл 0 leq theta 2 pi} ), де (r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} ), (0

Покажіть, що ( displaystyle iint_D f (x, y) , dA = 2 pi [F (R_2) - F (R_1)]. )

61) Застосуйте попередню вправу для обчислення інтеграла ( displaystyle iint_D frac {e ^ { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}} , dx space dy ) де (D ) - кільцева область між колами радіусів 1 і 2, розташованих у третьому квадранті.

Відповідь:
( frac {1} {2} pi e (e - 1) )

62) Нехай (f ) - неперервна функція, яка може бути виражена в полярних координатах як функція лише від ( theta ); тобто (f (x, y) = h ( theta) ), де ((x, y) in D = {(r, theta) | R_1 leq r leq R_2, пробіл theta_1 leq theta leq theta_2} ), з (0 leq R_1

Покажіть, що ( displaystyle iint_D f (x, y) , dA = frac {1} {2} (R_2 ^ 2 - R_1 ^ 2) [H ( theta_2) - H ( theta_1)] ) , де (H ) є похідним від (h ).

63) Застосуйте попередню вправу для обчислення інтеграла ( displaystyle iint_D frac {y ^ 2} {x ^ 2} , dA, ) де (D = big {(r, theta) , | , 1 leq r leq 2, space frac { pi} {6} leq theta leq frac { pi} {3} big }. )

Відповідь:
( sqrt {3} - frac { pi} {4} )

64) Нехай (f ) - неперервна функція, яка може бути виражена в полярних координатах як функція лише від ( theta ); тобто (f (x, y) = g (r) h ( theta) ), де ((x, y) in big {(r, theta) , | , R_1 leq r leq R_2, space theta_1 leq theta leq theta_2 big } ) з (0 leq R_1

65) Оцініть ( displaystyle iint_D arctan left ( frac {y} {x} right) sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} , dA, ) де (D = big {(r, theta) , | , 2 leq r leq 3, space frac { pi} {4} leq theta leq frac { pi} {3} big } ).

Відповідь:
( frac {133 pi ^ 3} {864} )

66) Сферична шапка - це область сфери, яка лежить вище або нижче заданої площини.

а. Покажіть, що об’єм сферичної кришки на малюнку нижче дорівнює ( frac {1} {6} pi h (3a ^ 2 + h ^ 2) ).

b. Сферичний відрізок - це тверде тіло, яке визначається перетином кулі з двома паралельними площинами. Якщо відстань між площинами дорівнює (h ), покажіть, що об'єм сферичного відрізка на малюнку нижче дорівнює ( frac {1} {6} pi h (3a ^ 2 + 3b ^ 2 + h ^ 2 ) ).

67) У статистиці спільна щільність для двох незалежних, нормально розподілених подій із середнім значенням ( mu = 0 ) та стандартним розподілом ( sigma ) визначається як (p (x, y) = frac {1} {2 pi sigma ^ 2} e ^ {- frac {x ^ 2 + y ^ 2} {2 sigma ^ 2}} ). Розглянемо ((X, Y) ), декартові координати м'яча в положенні спокою після його звільнення з положення на z-ось до площини (xy ) -. Припустимо, що координати кулі незалежно нормально розподіляються із середнім значенням ( mu = 0 ) та стандартним відхиленням ( sigma ) (у футах). Імовірність того, що кулька зупиниться не більше ніж на ((а)) футах від початку координат, дається P [X ^ 2 + Y ^ 2 leq a ^ 2] = iint_D p (x, y) dy пробіл dx, ] де (D ) - диск радіуса (a ) з центром у початку координат. Покажіть, що [P [X ^ 2 + Y ^ 2 leq a ^ 2] = 1 - e ^ {- a ^ 2/2 sigma ^ 2}. ]

68) Подвійний неправильний інтеграл [ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx ] може бути визначено як граничне значення подвійних інтегралів ( displaystyle iint_D e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dA ) над дисками (D_a ) радіусів (a ) з центром у початку координат, оскільки (a ) збільшується без обмеження; це,

[ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} dy space dx = lim_ {a rightarrow infty} iint_ {D_a} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , дА. ]

Використовуйте полярні координати, щоб показати, що ( displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx = 2 pi. )

69) Покажіть, що ( displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2/2} , dx = sqrt {2 pi} ), використовуючи відношення

[ int _ {- infty} ^ { infty} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2 + y ^ 2/2} , dy , dx = left ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ 2/2} dx праворуч) ліворуч ( int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- y ^ 2/2 } dy праворуч). ]

Вкладачі

  • Гілберт Стренг (MIT) та Едвін "Джед" Герман (Харві Мадд) з багатьма авторами-авторами. Цей вміст OpenStax ліцензовано за ліцензією CC-BY-SA-NC 4.0. Завантажте безкоштовно на http://cnx.org.

  • Задачі 1, 2, 34 - 37 та 50 - 51 наведені в Apex Calculus, глава 13.3
  • За редакцією Пола Сібергера (Громадський коледж Монро)

Сесія 50: Подвійні інтеграли в полярних координатах

На наступних зображеннях показано вміст дошки з цих уривків із відео. Клацніть кожне зображення, щоб збільшити.



Вправа 2 ДВОЙНИЙ ІНТЕГРАЛ У ПОЛЯРНИХ КООРДИНАЦІЯХ. V1-y² dædy V2 / 2 V2 / 2 міжгалузевий & quot dydx + Розглянемо (i) Використовуйте полярні координати для об'єднання інтегралів в єдиний подвійний інтеграл. (ii) Оцініть інтеграл. (Припустимо -T & lt0 & lt1)

Використовуйте полярні координати, щоб об’єднати інтеграли в один подвійний інтеграл.

help_outline

Транскрипція зображеньзакрити

Вправа 2 ДВОЙНИЙ ІНТЕГРАЛ У ПОЛЯРНИХ КООРДИНАЦІЯХ. V1-y² dædy V2 / 2 V2 / 2 міжгалузевий & quot dydx + Розглянемо (i) Використовуйте полярні координати для об'єднання інтегралів в єдиний подвійний інтеграл. (ii) Оцініть інтеграл. (Припустимо -T & lt0 & lt1)


Багатовимірне числення

Завдання

Після заповнення цього розділу вам слід.

Вміти змінювати координати подвійного інтеграла між декартовими та полярними координатами

Тепер ми хочемо дослідити, як виконати заміну (u ) - у великих розмірах. Почнемо з огляду з обчислення першого семестру.

Огляд 11.3.1

Розглянемо інтеграл ( ds int_ <-1> ^ 4 e ^ <-3x> dx text <.> )

Нехай (u = -3x text <.> ) Вирішити для (x ), а потім обчислити (dx text <.> )

Поясніть, чому ( ds int_ <-1> ^ 4 e ^ <-3x> dx = int_ <3> ^ <-12> e ^ u ліворуч (- frac <1> <3> праворуч) du text <.> )

Поясніть, чому ( ds int_ <-1> ^ 4 e ^ <-3x> dx = int_ <-12> ^ <3> e ^ u left | - frac <1> <3> right | du text <.> )

Якщо значення (u ) - знаходяться між (- 3 ) та (2 text <,> ), між якими значеннями будуть (x ) -? Як довжина інтервалу (u ) ([- 3,2] ) відноситься до довжини відповідного інтервалу (x )?

У вправі вище ми використовували зміну координат (u = -3x text <,> ) або (x = -1 / 3 u text <.> ). Беручи похідні, ми виявили, що ( dx = - frac <1> <3> du text <.> ) Негатив означає, що орієнтація інтервалу була змінена. Дріб ( frac13 ) говорить нам, що довжини (dx ) з використанням координат (x ) будуть (1/3 ) rd до тих пір, поки довжини (du ) з використанням координат (u ) . Коли ми пишемо (dx = fracdu text <,> ) число ( frac) називається якобіаном (x ) щодо (u text <.> ) Якобіан повідомляє нам, як змінюються довжини, коли ми змінюємо системи координат. Тепер ми узагальнюємо це на полярні координати. Перш ніж ми закінчимо з цим розділом, ми узагальнимо якобіян до будь-якої зміни координат.

Вправа 11.3.2

Розглянемо полярну зміну координат (x = r cos theta ) та (y = r sin theta text <,> ), яку ми могли б просто записати як

Якщо вам потрібне нагадування про те, як обчислювати детермінанти, зверніться до розділу 2.3.1

Обчисліть похідну (D vec T (r, theta) text <.> ) У вас повинна бути матриця 2 на 2.

Нам потрібно одне число з цієї матриці, яке повідомляє нам щось про площу. Визначники пов’язані з площею.

Обчисліть визначник (D vec T (r, theta) ) і спростіть.

Визначник, який ви знайшли вище, називається якобіаном перетворення полярних координат. Узагальнимо ці результати у теоремі.

Теорема 11.3.1

Якщо ми використовуємо перетворення полярних координат (x = r cos theta, y = r sin theta text <,> ), тоді ми можемо переключитися з координат ((x, y) ) на (( r, theta) ) координує, якщо ми використовуємо

Попросіть мене на уроці дати вам неформальний підхід до картини, який пояснює, чому (dxdy = rdrd theta text <.> )

Число (| r | ) називається якобіяном (x ) та (y ) щодо (r ) та ( theta text <.> ) Якщо нам потрібні всі межі щоб (r ) був невід'ємним, ми можемо ігнорувати абсолютне значення. Якщо (R_) - область у площині (xy ), яка відповідає області (R_) в площині (r theta ) (де (r geq 0 )), тоді ми можемо записати

почати iint_<>> f (x, y) dxdy = iint_<>> f (r cos theta, r sin theta) r drd theta. кінець

Підрозділ 11.3.1 Практика зміни координат

Нам потрібна певна практика використання цієї ідеї. Почнемо з опису регіонів з використанням нерівностей на (r ) та ( theta text <.> )

Вправа 11.3.3

Для кожної області (R ) нижче намалюйте область у площині (xy ). Потім даємо набір нерівностей виду (a leq r leq b, alpha (r) leq theta leq beta (r) ) або ( alpha lt theta lt beta , a ( theta) leq r leq b ( theta) text <.> ) Наприклад, якщо область знаходиться всередині кола (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 text <, > ) тоді ми могли б написати (0 leq theta leq 2 pi text <,> ) (0 leq r leq 3 text <.> )

Область (R ) - коло чверті в першому квадранті всередині кола (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 text <.> )

Область (R ) знаходиться нижче (y = sqrt <9-x ^ 2> text <,> ) над (y = x text <,> ) і праворуч від (x = 0 text <.> )

Область (R ) - трикутна область під (y = sqrt 3 x text <,> ) над віссю (x ) і ліворуч від (x = 1 text < .> )

Вправа 11.3.4

Розгляньте вступну вправу для цього блоку. Ми хочемо знайти обсяг під (f (x, y) = 9-x ^ 2-y ^ 2 ) де (x geq0 ) та (z geq 0 text <.> ) We отримали інтегральну формулу

Запишіть межі для області (R ), задавши межі для (r ) та ( theta text <.> )

Перепишіть подвійний інтеграл як ітераційний інтеграл, використовуючи межі для (r ) та ( theta text <.> ) Не забувайте якобіяни (як (dxdy = rdrd theta )).

Обчисліть інтеграл у попередній частині від руки. [Пропозиція: вам потрібно буде спростити (9-x ^ 2-y ^ 2 ) до (9-r ^ 2 ) перед інтеграцією.]

Вправа 11.3.5

Знайдіть центроїд напівкругового диска радіуса (а ) ( (у geq 0 )). Фактично обчислити будь-які інтеграли.

Вправа 11.3.6

спробуйте переключити системи координат на полярні координати. Для цього потрібно спочатку намалювати область інтеграції, а потім отримати межі області в полярних координатах.

Тепер ми готові визначити якобіян будь-якого перетворення.

Підрозділ 11.3.2 Обчислювальна практика

Вони надаються, щоб допомогти вам досягти кращих навичок у базових обчислювальних відповідях.


З: Якщо нам потрібно знайти рівняння площини, коли задано точку в 3-мірності та дві площини, що в.

В: Клацніть, щоб побачити відповідь

Q: Знайдіть похідну від напрямку (f, x, y) = 3x2 - 2y2 в точці (−3 / 4, 0) у напрямку від P (−3/4, 0).

В: Похідна спрямованості - це скалярний добуток похідної функції на вектор alo.

З: Для вправ 17 і 18 знайдіть гострий кут між даними прямими, використовуючи вектори, паралельні t.

В: Оскільки ви задали кілька запитань, ми вирішимо для вас перше запитання. Якщо вам потрібні будь-які s.

З: Покажіть, що серед усіх прямокутників із 8-метровим периметром квадрат із найбільшою площею.

В: Клацніть, щоб побачити відповідь

Q: Визначте нахил 3 (x2 + y2) 2 = 100xy У точці (3,1)

В: Клацніть, щоб побачити відповідь

З: Точки перегину Чи має ƒ (x) = 2x5 - 10x4 + 20x3 + x + 1 точки перегину? Якщо так, визначте т.

В: Клацніть, щоб побачити відповідь

З: А. Розв’яжіть і перевірте кожне лінійне рівняння. 6x - 7 3x - 5 5x - 78% 3D a 7 28

В: Клацніть, щоб побачити відповідь

З: Визначте межу послідовності або покажіть, що послідовність розходиться, використовуючи відповідну Лімі.

В: Клацніть, щоб побачити відповідь

Q: Поясніть, чому похідний y1 = ex + C1 еквівалентний похідному y2 = Cex


7.4 Площа та довжина дуги в полярних координатах

Ми вивчили формули площі під кривою, визначеною прямокутними координатами та параметрично визначеними кривими. Тепер ми звернемо нашу увагу на виведення формули площі області, обмеженої полярною кривою. Нагадаємо, що в доказі основоположної теореми обчислення використовувалося поняття суми Рімана для апроксимації площі під кривою за допомогою прямокутників. Для полярних кривих ми знову використовуємо суму Рімана, але прямокутники замінюються секторами кола.

Відрізки лінії з’єднані дугами постійного радіуса. Це визначає сектори, площі яких можна обчислити за допомогою геометричної формули. Потім площа кожного сектора використовується для апроксимації площі між послідовними відрізками ліній. Потім ми підсумовуємо площі секторів, щоб наблизити загальну площу. Цей підхід дає наближення суми Рімана для загальної площі. Формула площі сектора кола зображена на наступному малюнку.

Оскільки радіус типового сектора на малюнку 7.39 заданий r i = f (θ i), r i = f (θ i), площа iй сектор задано


Багатовимірне числення

Завдання

Після закінчення цього розділу вам слід.

Умійте переходити між стандартними системами координат для потрійних інтегралів:

Так само, як ми це зробили з полярними координатами у двох вимірах, ми можемо обчислити якобіан для будь-якої зміни координат у трьох вимірах. Ми зупинимось на циліндричній та сферичній системах координат.

Пам'ятайте, що якобіан перетворення знаходить спочатку беручи похідну від перетворення, потім знаходячи детермінанту і, нарешті, обчислюючи абсолютне значення.

Вправа 13.2.1

Циліндрична зміна координат:

почати x amp = r cos theta, y = r sin theta, z = z text <або у векторній формі> amp vec C (r, theta, z) amp = (r cos theta, r sin theta, z) end

Сферична зміна координат:

почати x amp = rho sin phi cos theta, y = rho sin phi sin theta, z = rho cos phi text <або у векторній формі> amp vec S ( rho, phi, theta) amp = ( rho sin phi cos theta, rho sin phi sin theta, rho cos phi). кінець

Переконайтеся, що якобіан циліндричного перетворення дорівнює ( ds frac < частково (x, y, z)> < частково (r, theta, z)> = | r | text <.> )

Якщо ви хочете переконатися, що вам не потрібно використовувати абсолютні значення, що вам потрібно вимагати?

Переконайтеся, що якобіан сферичного перетворення дорівнює ( ds frac < частковий (x, y, z)> < частковий ( rho, phi, theta)> = | rho ^ 2 sin phi | text <.> )

Якщо ви хочете переконатися, що вам не потрібно використовувати абсолютні значення, що вам потрібно вимагати?

Попередня вправа показує нам, що за умови, що нам потрібні (r geq0 ) та (0 leq phi leq pi text <,> ), ми можемо написати:

почати dV = dxdydz = rdrd theta dz = rho ^ 2 sin phi d rho d phi d theta, end

Циліндричні координати надзвичайно корисні для проблем, які включають:

Сферичні координати надзвичайно корисні для проблем, які включають:

Підрозділ 13.2.1 Використання 3-D Якобіана

Вправа 13.2.2

Подвійний конус (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) має дві половини. Кожна половинка називається дрімотою. Встановіть інтеграл у системі координат за вашим вибором, який даватиме обсяг області, яка знаходиться між площиною (xy ) і верхнім вершиною подвійного конуса (z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <,> ) та між циліндрами (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) та (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 text <.> ) Потім обчислюють інтеграл.

Вправа 13.2.3

Встановіть інтеграл у системі координат на ваш вибір, який даватиме об’єм твердої кулі, що знаходиться всередині сфери (a ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 text <.> ) Обчислити інтеграл, який дає формулу обсягу кулі радіуса (a text <.> )

Вправа 13.2.4

Знайдіть об'єм суцільної області (D ) у просторі над конусом (z = sqrt) і нижче параболоїду (z = 6-x ^ 2-y ^ 2 text <.> ) Використовуйте циліндричні координати, щоб встановити, а потім оцініть інтеграл.

Вам потрібно буде знайти, де перетинаються поверхні, оскільки їх перетин допоможе визначити відповідні межі.

Для наступних кількох вправ обов’язково переконайтеся, що ви правильно поміняли місцями, встановивши, що Sage або WolframAlpha насправді обчислюють усі інтеграли.

Вправа 13.2.5

Розглянемо область (D ) у просторі, що знаходиться всередині сфери (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ) і циліндра (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 text < .> )

Встановіть повторюваний інтеграл у декартових (прямокутних) координатах, який даватиме обсяг (D text <.> )

Почніть з малювання регіону.

Встановіть повторюваний інтеграл у циліндричних координатах, який дасть обсяг (D text <.> )

Вправа 13.2.6

Розглянемо область (D ) у просторі, що знаходиться всередині сфери (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 9 ), але все-таки поза циліндром (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 текст <.> )

Встановіть два ітеративні інтеграли в циліндричних координатах, які дадуть обсяг (D text <.> )

Для першого інтеграла використовуйте порядок (dzdrd theta text <.> )

Для другого використовуйте порядок (d theta dr dz text <.> )

Встановіть повторюваний інтеграл у сферичних координатах, який даватиме обсяг (D text <.> )

Вправа 13.2.7

Інтеграл ( ds int_ <0> ^ < pi> int_ <0> ^ <1> int _ < sqrt <3> r> ^ < sqrt <4-r ^ 2 >> rdzdrd theta ) представляє об'єм суцільного домену (D ) у просторі. Встановіть інтеграли як у прямокутних координатах, так і у сферичних координатах, які дають обсяг точно тієї ж області.

Вправа 13.2.8

Температура в кожній точці простору твердого тіла, що займає область < (D )>, яка є верхньою частиною кулі радіусом 4 із центром у початку координат, визначається як (T (x, y, z) = sin (xy + z) text <.> ) Встановіть повторювану інтегральну формулу, яка даватиме середню температуру.

Підрозділ 13.2.2 Обчислювальна практика

Вони надаються, щоб допомогти вам досягти кращих навичок у базових обчислювальних відповідях.


Подвійні інтеграли в полярних координатах (вправи) - математика

Продовження MATH 140, включаючи більшість тем з розділів 6-10 в тому ж тексті, що і текст MATH 140. Примітка: Кредит буде наданий лише за одну з математики 141 та математики 121.

Передумови

МАТЕМАТИКА 140 з C- або вище, або Math130 з B- або краще.

Теми

КОМПЛЕКСНІ НОМЕРА І СЕРІЯ:

ПРОГРАМА СІМПСОНА ТРАПЕОЇДАЛЬНИХ ПРАВИЛ, ДЛЯ:

Р-СЕРІЯ ТА ПРОГРАМА ПІДБИТТЯ ДЛЯ:

Застосування інтегралу

Гучність
Довжина кривої
Площа поверхні
Робота
Моменти і центри ваги
Параметризовані криві та довжини кривих, задані параметрично

Обернені функції, правило l'Hôpital та диференціальні рівняння

Обернені функції
Експоненціальна та логарифмічна функції,
Правило L'Hôpital
Вступ до диференціальних рівнянь

Прийоми інтеграції

Методи інтеграції, включаючи інтеграцію за частинами, тригонометричні
заміни та часткові дроби
Правила трапеції та Симпсона
Неправильні інтеграли

Послідовності та серії

Послідовності та збіжність послідовностей
Нескінченні ряди та тести на збіжність для серій
Поліноми Тейлора та ряди Тейлора
Комплексні числа та ряди


Багатовимірне числення в Інтернеті

Багатовимірне числення в Інтернеті адаптовано з підручника Числення: сучасний підхід Кевін Ширлі та Джефф Кніслі.

Розвиток Багатовимірне числення в Інтернеті фінансувався частково грантом Національного наукового фонду DUE-9950600.

Багато аплетів та зображень були підготовлені за допомогою Javaview, чудового веб-інструменту візуалізації, який можна безкоштовно завантажити та використовувати з Maple 6 - 9.

Додаткові аплети були підготовлені з LiveGraphics3d, чудовим доповненням до Mathematica із параметризованою графікою.

Розділи, написані на LaTeX2e і перетворені в html за допомогою TTHGold. Остаточне редагування було виконано за допомогою Microsoft Frontpage та Eversoft 1stPage2000.

A special thanks to my wife, Debra, for all her support, suggestions, guidance, and encouragement.

Any opinions, findings, and conclusions or recommendations expressed in this material are those of the author and do not necessarily reflect the
views of the National Science Foundation.


Приклади

Arctangent

Let's plot the trapezoids for $displaystyle f(x)=frac<1><1 + x^2>$ on $[0,5]$ with $N=10$.

Let's compute the sum of areas of the trapezoids:

and we can compare the trapezoid rule to the value

Approximate ln(2)

Find a value $N$ which guarantees that the trapezoid rule approximation $T_N(f)$ of the integral

For $f(x) = frac<1>$, we compute $f''(x) = frac<2> leq 2$ for all $x in [1,2]$ therefore the error formula implies

$ left| , int_1^2 frac<1> , dx - T_N(f) , ight| leq frac<2> <12N^2>$

Then $E_N^T leq 10^<-8>$ is guaranteed if $frac<1> <6N^2>leq 10^<-8>$ which implies

We need 4083 subintervals to guarantee $E_N^T(f) leq 10^<-8>$. Compute the approximation using our own implementation of the trapezoid rule:

We could also use scipy.integrate.trapz to get the exact same result:

Let's verify that this is within $10^<-6>$:

Success! However, a natural question arises: what is the actual smallest $N$ such that the trapezoid rule gives the estimate of $ln (2)$ to within $10^<-8>$?

Fresnel Integral

Fresnel integrals are examples of nonelementary integrals: antiderivatives which cannot be written in terms of elementary functions. There are two types of Fresnel integrals:

$ S(t) = int_0^t sin(x^2) dx ext C(t) = int_0^t cos(x^2) dx $

Use the trapezoid rule to approximate the Fresnel integral

such that the error is less than $10^<-5>$.

Compute the derivatives of the integrand

$ f(x) = sin(x^2) , f'(x) = 2xcos(x^2) $

$ f''(x) = 2cos(x^2) - 4x^2sin(x^2) , f'''(x) = -12xsin(x^2) - 8x^3cos(x^2) $

Since $f'''(x) leq 0$ for $x in [0,1]$, we see that $f''(x)$ is decreasing on $[0,1]$. Values of $f''(x)$ at the endpoints of the interval are

Therefore $left| , f''(x) , ight| leq 2.2852793274953065$ for $x in [0,1]$. Use the error bound formula to find a good choice for $N$

Let's compute the integral using the trapezoid rule with $N=138$ subintervals

Therefore the Fresnel integral $S(1)$ is approximately

$ S(1) = int_0^1 sin(x^2) , dx approx 0.310273030322 $

Logarithmic Integral

The Eulerian logarithmic integral is another nonelementary integral

Let's compute $Li(10)$ such that the error is less than $10^<-4>$. Compute derivatives of the integrand

Plot $f''(x)$ on the interval $[2,10]$.

Clearly $f''(x)$ is decreasing on $[2,10]$ (and bounded below by 0) therefore the absolute maximum occurs at the left endpoint:

for $x in [2,10]$ and we compute

$ frac<(b-a)^3> <12 N^2>K_2 leq 10^ <-4>Rightarrow frac<8^3> <12 N^2>2.021732598829855 leq 10^ <-4>Rightarrow sqrt< frac<8^3 10^4> <12>2.021732598829855> leq N $

Compute the trapzoid rule with $N=929$

Therefore the Eulerian logarithmic integral is

such that the error is less than $10^<-4>$.


Перегляньте відео: Çift Katlı İntegral Kutupsal Koordinatlar (Найясніший 2022).