Статті

5.4: Метод невизначених коефіцієнтів I - Математика

5.4: Метод невизначених коефіцієнтів I - Математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

У цьому розділі ми розглянемо рівняння постійного коефіцієнта

[ label {eq: 5.4.1} ay '' + by '+ cy = e ^ { alpha x} G (x), ]

де ( alpha ) - константа, а (G ) - поліном.

З теореми 5.3.2 загальним рішенням рівняння ref {eq: 5.4.1} є (y = y_p + c_1y_1 + c_2y_2 ), де (y_p ) - окреме рішення рівняння ref {eq: 5.4.1} і ( {y_1, y_2 } ) - основний набір розв’язків додаткового рівняння

[ay '' + by '+ cy = 0. нечисельний ]

У розділі 5.2 ми показали, як знайти ( {y_1, y_2 } ). У цьому розділі ми покажемо, як знайти (y_p ). Процедура, яку ми будемо використовувати, називається метод невизначених коефіцієнтів. Наш перший приклад подібний до Вправи 5.3.16-5.3.21.

Приклад ( PageIndex {1} ):

Знайдіть конкретне рішення

[ label {eq: 5.4.2} y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}. ]

Тоді знайдіть загальне рішення.

Рішення

Підставивши (y_p = Ae ^ {2x} ) на (y ) у Рівнянні ref {eq: 5.4.2} вийде постійна кратна (Ae ^ {2x} ) у лівій частині Рівняння ref {eq: 5.4.2}, тож можна вибрати (A ) так, щоб (y_p ) був рішенням рівняння ref {eq: 5.4.2}. Давайте спробуємо; якщо (y_p = Ae ^ {2x} ), то

[y_p '' - 7y_p '+ 12y_p = 4Ae ^ {2x} -14Ae ^ {2x} + 12Ae ^ {2x} = 2Ae ^ {2x} = 4e ^ {2x} nonumber ]

якщо (A = 2 ). Тому (y_p = 2e ^ {2x} ) є особливим рішенням рівняння ref {eq: 5.4.2}. Щоб знайти загальне рішення, зауважимо, що характерний многочлен комплементарного рівняння

[ label {eq: 5.4.3} y '' - 7y '+ 12y = 0 ]

є (p (r) = r ^ 2-7r + 12 = (r-3) (r-4) ), отже ( {e ^ {3x}, e ^ {4x} } ) є фундаментальний набір рішень рівняння ref {eq: 5.4.3}. Тому загальним рішенням рівняння ref {eq: 5.4.2} є

[y = 2e ^ {2x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x}. нечисельний ]

Приклад ( PageIndex {2} )

Знайдіть конкретне рішення

[ label {eq: 5.4.4} y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. ]

Тоді знайдіть загальне рішення.

Рішення

Свіжий наш успіх у пошуку конкретного рішення рівняння ref {eq: 5.4.2} - де ми вибрали (y_p = Ae ^ {2x} ), оскільки права частина рівняння ref {eq: 5.4.2} є константою, кратною (e ^ {2x} ) - може здатися розумним спробувати (y_p = Ae ^ {4x} ) як конкретне рішення рівняння ref {eq: 5.4.4}. Однак це не спрацює, оскільки ми бачили в Прикладі ( PageIndex {1} ), що (e ^ {4x} ) є рішенням додаткового рівняння Рівняння ref {eq: 5.4.3}, тому підставляючи (y_p = Ae ^ {4x} ) у ліву частину рівняння ref {eq: 5.4.4}), ліворуч вийде нуль, як би ми не вибрали (A ). Щоб знайти відповідну форму для (y_p ), ми використовуємо той самий підхід, що і в Розділі 5.2, щоб знайти друге рішення

[ay '' + by '+ cy = 0 nonumber ]

у випадку, коли характеристичне рівняння має повторний дійсний корінь: ми шукаємо рішення рівняння ref {eq: 5.4.4} у вигляді (y = ue ^ {4x} ), де (u ) функція, яку слід визначити. Підмінюючи

[ label {eq: 5.4.5} y = ue ^ {4x}, quad y '= u'e ^ {4x} + 4ue ^ {4x}, quad text {і} quad y' ' = u''e ^ {4x} + 8u'e ^ {4x} + 16ue ^ {4x} ]

у рівняння ref {eq: 5.4.4} та скасування загального множника (e ^ {4x} ) дає

[(u '' + 8u '+ 16u) -7 (u' + 4u) + 12u = 5, нечисло ]

або

[u '' + u '= 5. нечисельний ]

Перевіряючи, ми бачимо, що (u_p = 5x ) є окремим рішенням цього рівняння, тому (y_p = 5xe ^ {4x} ) - особливим рішенням рівняння ref {eq: 5.4.4}. Тому

[y = 5xe ^ {4x} + c_1e ^ {3x} + c_2e ^ {4x} nonumber ]

є загальним рішенням.

Приклад ( PageIndex {3} )

Знайдіть конкретне рішення

[ label {eq: 5.4.6} y '' - 8y '+ 16y = 2e ^ {4x}. ]

Рішення

Оскільки характеристичний многочлен комплементарного рівняння

[ label {eq: 5.4.7} y '' - 8y '+ 16y = 0 ]

є (p (r) = r ^ 2-8r + 16 = (r-4) ^ 2 ), обидва (y_1 = e ^ {4x} ) та (y_2 = xe ^ {4x} ) є рішеннями рівняння ref {eq: 5.4.7}. Тому рівняння ref {eq: 5.4.6}) не має рішення у формі (y_p = Ae ^ {4x} ) або (y_p = Ax ^ {4x} ). Як і в Прикладі ( PageIndex {2} ), ми шукаємо рішення рівняння ref {eq: 5.4.6} у вигляді (y = ue ^ {4x} ), де (u ) функція, яку слід визначити. Підставивши рівняння ref {eq: 5.4.5} у рівняння ref {eq: 5.4.6} і скасувавши загальний коефіцієнт (e ^ {4x} ), вийде

[(u '' + 8u '+ 16u) -8 (u' + 4u) + 16u = 2, нечисло ]

або

[u '' = 2. нечисельний ]

Інтегрування двічі та прийняття констант інтегрування за нуль показує, що (u_p = x ^ 2 ) є певним рішенням цього рівняння, тому (y_p = x ^ 2e ^ {4x} ) є особливим рішенням рівняння ref {рівняння: 5.4.4}. Тому

[y = e ^ {4x} (x ^ 2 + c_1 + c_2x) нечисло ]

є загальним рішенням.

Попередні приклади ілюструють наступні факти щодо форми конкретного розв'язку (y_p ) рівняння з постійним коефіцієнтом

[ay '' + by '+ cy = ke ^ { alpha x}, nonumber ]

де (k ) - ненульова константа:

  1. Якщо (e ^ { alpha x} ) не є рішенням додаткового рівняння [ label {eq: 5.4.8} ay '' + by '+ cy = 0, ], тоді (y_p = Ae ^ { alpha x} ), де (A ) - константа. (Див. Приклад ( PageIndex {1} )).
  2. Якщо (e ^ { alpha x} ) є рішенням рівняння ref {eq: 5.4.8}, але (xe ^ { alpha x} ) немає, тоді (y_p = Ax ^ { альфа x} ), де (A ) - константа. (Див. Приклад ( PageIndex {2} ).)
  3. Якщо обидва (e ^ { alpha x} ) та (xe ^ { alpha x} ) є рішеннями рівняння ref {eq: 5.4.8}, то (y_p = Ax ^ 2e ^ { альфа x} ), де (A ) - константа. (Див. Приклад ( PageIndex {3} ).)

Побачити Вправа 5.4.30 для доказів цих фактів.

У всіх трьох випадках ви можете просто підставити відповідну форму (y_p ) та її похідні безпосередньо на

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = ke ^ { alpha x}, nonumber ]

і вирішити для константи (A ), як це було зроблено в Прикладі ( PageIndex {1} ). (Побачити Вправи 5.4.31-5.4.33.) Однак, якщо рівняння є

[ay '' + by '+ cy = k e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

де (G ) - поліном степеня, більший за нуль, ми рекомендуємо використовувати підстановку (y = ue ^ { alpha x} ), як це було зроблено в Прикладах ( PageIndex {2} ) і ( PageIndex {3} ). Рівняння для (u ) виявиться таким

[ label {eq: 5.4.9} au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x), ]

де (p (r) = ar ^ 2 + br + c ) - характерний багаточлен комплементарного рівняння і (p '(r) = 2ar + b ) (Вправа 5.4.30); однак вам не слід запам'ятовувати це, оскільки у будь-якому конкретному випадку легко отримати рівняння для (u ). Однак зауважте, що якщо (e ^ { alpha x} ) є рішенням додаткового рівняння, то (p ( alpha) = 0 ), тому Рівняння ref {eq: 5.4.9} зводиться до

[au '' + p '( alpha) u' = G (x), нечисло ]

тоді як якщо (e ^ { alpha x} ) та (xe ^ { alpha x} ) є рішеннями додаткового рівняння, тоді (p (r) = a (r- alpha) ^ 2 ) і (p '(r) = 2a (r- alpha) ), отже (p ( alpha) = p' ( alpha) = 0 ) та рівняння ref {eq: 5.4.9} ) зменшує до

[au '' = G (x). нечисельний ]

Приклад ( PageIndex {4} )

Знайдіть конкретне рішення

[ label {eq: 5.4.10} y '' - 3y '+ 2y = e ^ {3x} (- 1 + 2x + x ^ 2). ]

Рішення

Підмінюючи

[y = ue ^ {3x}, quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}, quad text {і} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

у рівняння ref {eq: 5.4.10}) та скасування (e ^ {3x} ) дає

[(u '' + 6u '+ 9u) -3 (u' + 3u) + 2u = -1 + 2x + x ^ 2, нечисло ]

або

[ label {eq: 5.4.11} u '' + 3u '+ 2u = -1 + 2x + x ^ 2. ]

Як і в прикладі 5.3.2, для того, щоб вгадати форму для конкретного рішення рівняння ref {eq: 5.4.11}), зауважимо, що підстановка полінома другого ступеня (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ) для (u ) у лівій частині рівняння ref {eq: 5.4.11}) отримує ще один багаточлен другого ступеня з коефіцієнтами, які залежать від (A ), (B ) та (C ); таким чином,

[ text {if} quad u_p = A + Bx + Cx ^ 2 quad text {тоді} quad u_p '= B + 2Cx quad text {і} quad u_p' '= 2C. нечисельний ]

Якщо (u_p ) має задовольнити рівняння ref {eq: 5.4.11}), ми повинні мати

[ begin {align} u_p '' + 3u_p '+ 2u_p & = 2C + 3 (B + 2Cx) +2 (A + Bx + Cx ^ 2) & = (2C + 3B + 2A) + (6C + 2B) x + 2Cx ^ 2 = -1 + 2x + x ^ 2. End {вирівнювання} нечисло ]

Рівняння коефіцієнтів однакових степенів (x ) з двох сторін останньої рівності дає

[ begin {масив} {rcr} 2C & = 1 phantom {.} 2B + 6C & = 2 phantom {.} 2A + 3B + 2C & = -1. end {масив} nonumber ]

Вирішення цих рівнянь для (C ), (B ) та (A ) (у такому порядку) дає (C = 1/2, B = -1 / 2, A = -1 / 4 ). Тому

[u_p = - {1 over4} (1 + 2x-2x ^ 2) нечисло ]

є особливим рішенням рівняння ref {eq: 5.4.11}, та

[y_p = u_pe ^ {3x} = - {e ^ {3x} over4} (1 + 2x-2x ^ 2) нечисло ]

є особливим рішенням рівняння ref {eq: 5.4.10}.

Приклад ( PageIndex {5} )

Знайдіть конкретне рішення

[ label {eq: 5.4.12} y '' - 4y '+ 3y = e ^ {3x} (6 + 8x + 12x ^ 2). ]

Рішення

Підмінюючи

[y = ue ^ {3x}, quad y '= u'e ^ {3x} + 3ue ^ {3x}, quad text {і} y' '= u''e ^ {3x} + 6u 'e ^ {3x} + 9ue ^ {3x} nonumber ]

у рівняння ref {eq: 5.4.12}) та скасування (e ^ {3x} ) дає

[(u '' + 6u '+ 9u) -4 (u' + 3u) + 3u = 6 + 8x + 12x ^ 2, нечисло ]

або

[ label {eq: 5.4.13} u '' + 2u '= 6 + 8x + 12x ^ 2. ]

У цьому рівнянні немає терміна (u ), оскільки (e ^ {3x} ) є рішенням додаткового рівняння для рівняння ref {eq: 5.4.12}). (Побачити Вправа 5.4.30.) Отже, рівняння ref {eq: 5.4.13}) не має конкретного рішення виду (u_p = A + Bx + Cx ^ 2 ), яке ми успішно використали в Прикладі ( PageIndex {4} ), оскільки при цьому виборі (u_p ),

[u_p '' + 2u_p '= 2C + (B + 2Cx) нечисельне ]

не може містити останній доданок ( (12x ^ 2 )) у правій частині рівняння ref {eq: 5.4.13}). Натомість спробуємо (u_p = Ax + Bx ^ 2 + Cx ^ 3 ) на тій підставі, що

[u_p '= A + 2Bx + 3Cx ^ 2 quad text {і} quad u_p' '= 2B + 6Cx nonumber ]

разом містять усі повноваження (x ), що з'являються праворуч від рівняння ref {eq: 5.4.13}).

Підставивши ці вирази замість (u ') та (u' ') у рівнянні ref {eq: 5.4.13}), вийде

[(2B + 6Cx) +2 (A + 2Bx + 3Cx ^ 2) = (2B + 2A) + (6C + 4B) x + 6Cx ^ 2 = 6 + 8x + 12x ^ 2. нечисельний ]

Порівняння коефіцієнтів однакових степенів (x ) з двох сторін останньої рівності показує, що (u_p ) задовольняє рівняння ref {eq: 5.4.13})

[ begin {масив} {rcr} 6C & = 12 phantom {.} 4B + 6C & = 8 phantom {.} 2A + 2B phantom {+ 6u_2} & = 6. end {масив} nonumber ]

Вирішуючи ці рівняння послідовно, виходить (C = 2 ), (B = -1 ) та (A = 4 ). Тому

[u_p = x (4-x + 2x ^ 2) нечисельне ]

є особливим рішенням рівняння ref {eq: 5.4.13}), і

[y_p = u_pe ^ {3x} = xe ^ {3x} (4-x + 2x ^ 2) нечисло ]

є особливим рішенням рівняння ref {eq: 5.4.12}).

Приклад ( PageIndex {6} )

Знайдіть конкретне рішення

[ label {eq: 5.4.14} 4y '' + 4y '+ y = e ^ {- x / 2} (- 8 + 48x + 144x ^ 2). ]

Рішення

Підмінюючи

[y = ue ^ {- x / 2}, quad y '= u'e ^ {- x / 2} - {1 over2} ue ^ {- x / 2}, quad text {і} quad y '' = u''e ^ {- x / 2} -u'e ^ {- x / 2} + {1 over4} ue ^ {- x / 2} nonumber ]

у рівняння ref {eq: 5.4.14}) та скасування (e ^ {- x / 2} ) дає

[4 ліворуч (u '' - u '+ {u over4} праворуч) +4 ліворуч (u' - {u over2} праворуч) + u = 4u '' = - 8 + 48x + 144x ^ 2, нечисельне ]

або

[ label {eq: 5.4.15} u '' = - 2 + 12x + 36x ^ 2, ]

який не містить (u ) або (u '), оскільки (e ^ {- x / 2} ) та (xe ^ {- x / 2} ) є рішеннями додаткового рівняння. (Побачити Вправа 5.4.30.) Для отримання конкретного рішення рівняння ref {eq: 5.4.15}) ми інтегруємо двічі, приймаючи константи інтегрування рівними нулю; таким чином,

[u_p '= - 2x + 6x ^ 2 + 12x ^ 3 quad text {і} quad u_p = -x ^ 2 + 2x ^ 3 + 3x ^ 4 = x ^ 2 (-1 + 2x + 3x ^ 2). Нечисельне ]

Тому

[y_p = u_pe ^ {- x / 2} = x ^ 2e ^ {- x / 2} (- 1 + 2x + 3x ^ 2) нечисло ]

є особливим рішенням рівняння ref {eq: 5.4.14}).

Резюме

Попередні приклади ілюструють наступні факти щодо конкретних розв’язків рівняння постійного коефіцієнта форми

[ay '' + by '+ cy = e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

де (G ) - багаточлен (див Вправа 5.4.30):

  1. Якщо (e ^ { alpha x} ) не є рішенням додаткового рівняння [ label {eq: 5.4.16} ay '' + by '+ cy = 0, ], тоді (y_p = e ^ { alpha x} Q (x) ), де (Q ) - багаточлен того самого ступеня, що і (G ). (Див. Приклад ( PageIndex {4} )).
  2. Якщо (e ^ { alpha x} ) є рішенням рівняння ref {eq: 5.4.16}, але (xe ^ { alpha x} ) немає, то (y_p = xe ^ { альфа x} Q (x) ), де (Q ) - поліном того самого ступеня, що і (G ). (Див. Приклад ( PageIndex {5} ).)
  3. Якщо обидва (e ^ { alpha x} ) та (xe ^ { alpha x} ) є рішеннями рівняння ref {eq: 5.4.16}, то (y_p = x ^ 2e ^ { альфа x} Q (x) ), де (Q ) - поліном того самого ступеня, що і (G ). (Див. Приклад ( PageIndex {6} ).)

У всіх трьох випадках ви можете просто підставити відповідну форму (y_p ) та її похідні безпосередньо на

[ay_p '' + by_p '+ cy_p = e ^ { alpha x} G (x), nonumber ]

і розв'яжемо коефіцієнти многочлена (Q ). Однак, спробувавши це, ви побачите, що обчислення є більш виснажливими, ніж ті, з якими ви стикаєтесь, зробивши підстановку (y = ue ^ { alpha x} ) і знайшовши певне рішення отриманого рівняння для (u ). (Побачити Вправи 5.4.34-5.4.36.) У випадку (а) рівняння для (u ) матиме вигляд

[au '' + p '( alpha) u' + p ( alpha) u = G (x), нечисло ]

з певним розв’язком форми (u_p = Q (x) ), поліномом того самого ступеня, що і (G ), коефіцієнти якого можна знайти методом, використаним у прикладі ( PageIndex {4} ). У випадку (b) рівняння для (u ) матиме вигляд

[au '' + p '( alpha) u' = G (x) нечисло ]

(відсутній термін (u ) ліворуч), з певним розв’язком виду (u_p = xQ (x) ), де (Q ) - поліном такого самого ступеня, як (G ) коефіцієнти якого можна знайти методом, використаним у Прикладі ( PageIndex {5} ). У випадку (c) рівняння для (u ) матиме вигляд

[au '' = G (x) нечисло ]

з певним рішенням форми (u_p = x ^ 2Q (x) ), яке можна отримати інтегруванням (G (x) / a ) двічі та прийняттям констант інтегрування за нуль, як у Прикладі ( PageIndex {6} ).

Використання принципу суперпозиції

Наступний приклад показує, як поєднати метод невизначених коефіцієнтів та теорему 5.3.3, принцип суперпозиції.

Приклад ( PageIndex {7} )

Знайдіть конкретне рішення

[ label {eq: 5.4.17} y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x} + 5e ^ {4x}. ]

Рішення

У прикладі ( PageIndex {1} ) ми виявили, що (y_ {p_1} = 2e ^ {2x} ) є особливим рішенням

[y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x}, нечисло ]

а в Прикладі ( PageIndex {2} ) ми виявили, що (y_ {p_2} = 5xe ^ {4x} ) є особливим рішенням

[y '' - 7y '+ 12y = 5e ^ {4x}. нечисельний ]

Отже, принцип суперпозиції передбачає, що (y_p = 2e ^ {2x} + 5xe ^ {4x} ) є особливим рішенням рівняння ref {eq: 5.4.17}).


Спочатку я маю MATLAB виконувати ті самі кроки, які я б робив, якби я вирішував їх вручну. Тоді я бачу, що трапиться, якщо я попрошу MATLAB розв’язати вихідне рівняння.

Ось функція MATLAB (визначена файлом function-M), яка застосовуватиме ліву частину рівняння до функції f.

Першим кроком є ​​вирішення відповідного однорідного рівняння шляхом підключення

Я ділю ліву сторону на exp (rx). Я повинен дати спростити команда отримати MATLAB для проведення дивізії.

Тепер я маю знайти корені характерного многочлена. вирішити припускає, що права частина рівняння дорівнює 0.

Я знаю, що 1, exp (x), exp (2x), cos (x) та sin (x) утворюють фундаментальний набір рішень однорідного рівняння.

Права частина рівняння має 4 доданки, кожен різної форми, тому я розбиваю неоднорідну задачу на 4 задачі. Для першої, права сторона дорівнює x ^ 5. Отже, оскільки 1 розв’язує однорідне рівняння, я шукаю рішення виду y_1, рівного x, помноженому на багаточлен ступеня 5. Ось цикл, який його будує.

Я підключаю його до лівого боку і віднімаю x ^ 5. Вираз дуже довгий. Це допомагає використовувати збирати зібрати всі терміни, що включають однакову ступінь x (і врахувати потужність термінів) і використовувати гарненька щоб він не вибіг з екрану.

Я хочу вирішити систему рівнянь, яку я отримую, встановлюючи коефіцієнти рівними 0. Я можу це зробити, скопіювавши та вставивши коефіцієнти в команду вирішення, або використовуючи цикл for для обчислення коефіцієнтів і встановивши їх рівними 0. Тут я використовую цикл для цього. Значення коефіцієнта x ^ j є j-ю похідною Y, що оцінюється як 0.Відповідне рівняння індексується j + 1.

Тепер я вирішую отриману систему.

Я підставляю їх у y_1.

Я перевіряю, що це рішення. Щоб змусити MATLAB виконати алгебру після застосування лівої сторони до Y_1, я повинен використовувати спростити.

Права частина другого рівняння дорівнює 6 exp (7x), що не вирішує однорідне рівняння, тому я шукаю рішення виду

Я підключаю його до лівої частини рівняння і віднімаю 6 exp (7x). Цього разу я хочу зібрати умови, що стосуються досвіду (7x).

Мені потрібен коефіцієнт exp (7x).

Я оцінюю y_2, використовуючи це.

Я перевіряю, що це рішення.

Третій доданок справа - 2exp (-x) cos (3x), який не вирішує однорідне рівняння, тому я шукаю рішення виду

Я підключаю це до лівої частини рівняння і віднімаю - 2exp (-x) cos (3x) Коли я це роблю, кожен доданок міститиме коефіцієнт exp (-x), тому я ділю результат на це.

Я міг би отримати рівняння, оцінивши Y та його похідну на 0. Натомість я буду використовувати коефіцієнти команди. Я помічаю, що Y є лінійним "поліномом" за cos (3x) та sin (3x), тому я хочу коефіцієнти cos (3x) та sin (3x).

Коефіцієнт cos (3x) є другим доданком у E1

Тепер я знаходжу коефіцієнт гріха (3x).

Я розв'язую отримані рівняння, використовуючи вирішити. вирішити команда передбачає, що права частина кожного рівняння дорівнює 0.

Я оцінюю y_3, використовуючи це.

Я перевіряю, що це вирішує рівняння.

Останній член праворуч - 9 гріх (7x). Це не вирішує однорідне рівняння, тому я шукаю рішення виду

Я підключаю це до лівої частини рівняння і віднімаю 9 sin (7x).

Знову використовую коефіцієнти отримати рівняння.

Отриманий розв'язок рівняння є

Я перевіряю, що це вирішує рівняння.

Отримане конкретне рішення вихідного рівняння отримується додаванням цих 4 рішень.


Джерело проблеми

На уроці вчитель розповідав про використання методу невизначених коефіцієнтів для пошуку аналітичної формули функції. Якщо це лінійна функція, встановіть її у вигляд $$ f (x) = y = kx + b $$, і результат можна отримати після заміни двох наборів значень. Для функцій вищої потужності метод невизначеного коефіцієнта також можливий, але збільшення кількості елементів у рівняннях розв’язку змушує метод невизначеного коефіцієнта втратити свою початкову простоту. Тому ми обговоримо, як визначити аналітичний вираз функції у поєднанні з поліномами. Давайте спочатку вивчимо, скільки точок на графіку даної функції, ми можемо визначити унікальну функцію. Функції, що розглядаються тут, - це всі поліноміальні функції, тобто функції є поліномами.

Лема

$$ n + 1 $$ балів визначають поліноміальну функцію ступеня $$ n $$.

Доказ

Ми розглядаємо найбільш примітивний метод невизначених коефіцієнтів. Нехай поліноміальна функція ступеня $$ n $$ $$ y = f (x) = sum limit_^ na_ix ^ i $$ є необхідною функцією, і ми нарешті маємо суму в системі рівнянь, що складається з методу невизначеного коефіцієнта. Система рівнянь з однаковим числом $. Тому для вирішення всіх $$ a $$ потрібні рівняння $$ n + 1 $$.

Тоді ми дамо $$ n $$ балів нижче і попросимо визначити поліноміальну функцію ступеня $$ n-1 $$.


Почніть із загального рішення

Під час вступу до диференціальних рівнянь другого порядку ми дізнаємось, як знайти загальне рішення.

В основному беремо рівняння

d 2 рdx 2 + стор диdx + qy = 0

і звести його до "характеристичного рівняння":

Яке є квадратним рівнянням, яке має три можливі типи розв’язків залежно від дискримінанта р 2 - 4q. Коли р 2 - 4q є

позитивні ми отримуємо два справжні корені, і рішення є

нуль ми отримуємо один справжній корінь, і рішення є

негативний отримуємо два складні корені р1 = v + wi і р2 = v - wi, і рішення є


5.4: Метод невизначених коефіцієнтів I - Математика


Це веб-сайт курсу MAT22B на кафедрі математики в UC Davis.
Він містить основну інформацію про курс, математичні щоденники та математичні ресурси.

Підручник для курсу - це скорочена версія Елементарних диференціальних рівнянь та крайових задач В.Є. Бойс, Р. ДіПріма та Д.Б. Meade підготовлений для студентів UC Davis. Наш курс використовуватиме лише глави 1,2,3,6 та 7 із їх стандартного 11-го видання.

Мета курсу - розробити чітке розуміння диференціальних рівнянь, основних прийомів розв’язування та набути вміння використовувати їх для розв’язання задач, як зазначено в програмі кафедри.

Інформація про курс

Лекції: MWF о 10: 00-10: 50 ранку у залі Клайбера 3.

Підручник: Елементарні диференціальні рівняння та крайові задачі В.Є. Бойс, Р.Ц. ДіПріма та Д.Б. Мід (11-е видання).
Зверніть увагу, що для студентів UC Davis існує скорочена та доступна версія цього підручника.
Ми будемо використовувати розділи 1,2,3,6 та 7 вищезазначеного підручника, які доступні у скороченій версії.


Навчальний план: Програма курсу містить основні вказівки щодо курсу, вона буде завантажена ближче до початку кварталу.

Робочий час: Понеділок 4: 30-5: 30 вечора та середа 3-4 вечора в MSB 3214 (Казальс). Завжди сміливо питайте після уроку. Вівторок з 17:00 та середу з 17:00 на MSB 2123 (Jiawei Wang). Вівторки 15:00 та четверги 15:00 у MSB 2204 (Haolin Chen).
Центри академічної допомоги та репетиторства пропонують семінар підтримки для цього класу По понеділках та середах з 15: 22 до 16 вечора у 3218 Даттон Холі.

Асистенти викладання: Асистентами викладання є Цзявей Ван (wangjw - at - math.ucdavis.edu) та Хаолін Чен (hlnchen - at - math.ucdavis.edu).

Важливі дати: Перший день (25 вересня), проміжний тест (25 жовтня), заключний іспит (9 грудня).
Курс можна додати до 10 жовтня (12-й день навчання) і відмовитись до 22 жовтня (20-й день навчання).

Набори проблем: Щотижневі завдання виконуються по п’ятницях о 10:00 на початку занять.
Набори проблем потрібно подавати через Інтернет через Canvas. Набір проблем 1 відбудеться у п’ятницю, 4 жовтня.

Набори проблем

    : Термін подання - п’ятниця, 4 жовтня, доступний у п’ятницю, 27 вересня

: Термін подання - п’ятниця, 11 жовтня, доступний у суботу, 5 жовтня.

: Термін подання - п’ятниця, 18 жовтня, доступний у суботу, 12 жовтня.

: На практиці та доступно, четвер 17 жовтня.

: На практиці та доступний пт 18 жовтня.

: Доступний у класі пт 25 жовтня.

: Термін подання - п’ятниця, 8 листопада, і доступний у суботу, 2 листопада

: Термін випуску - п’ятниця, 15 листопада, і доступний у четвер, 7 листопада.

: Термін подання - п’ятниця, 6 грудня, і доступний до чт. 23 листопада

: Для тренувань та доступні в суботу, 30 листопада.

: Для тренувань та доступні в суботу, 30 листопада.

: Для тренувань та доступні в суботу, 30 листопада.

Рішення

: Доступно в четвер, 17 жовтня.

Щоденники математики

    Середа, 25 вересня: Вступ до диференціальних рівнянь.

Визначення диференціального рівняння. Приклади замовлень один і два.
Фундаментальна теорема обчислення та інтегрування як метод розв’язування.
Два класи диференціальних рівнянь: Другий закон Ньютона та Моделювання темпів зростання.
Приклади: коливальний маятник та малі коливання (Розділ 1.3).
Читання підручників (25 вересня): розділи 1.1 та 1.3. Розділ 1.2 також рекомендується.

Метод поділу змінних. Перший приклад.
Диференціальне рівняння для закону Парето та його рішення.
Застосування: Приблизна кількість мільйонерів у США у 1998 році.
Диференціальне рівняння для росту клітин та рішення.
Читання підручників (30 вересня): Розділ 2.2.

Якісні рішення. З якою швидкістю падає предмет, що падає.
Довготривала поведінка: аналітичне рішення та геометричне рішення.
Метод напрямних полів (ізоклін). Приклад: Логістична модель.
Квоти врожаю. Зникнення морської корови Стеллера (1968).
Читання підручників (2 жовтня): розділи 1.1, 1.2 та розділ 2.5.

Автономні диференціальні рівняння. Поведінка з точки зору f (y).
Приклад у логістичній моделі. Рецепт стабільних і нестабільних рішень.
Застосування до збирання врожаю: Рішення для випадку постійної квоти.
(Випадок непостійної квоти: модель Гордона-Шефера.)

Читання підручників (4 жовтня): Розділ 2.5, Завдання 19 та 20 (Збір поновлюваних джерел).

Числові наближення: значення та помилки. Метод Ейлера,
Геометричний персептив. Алгоритмічний перцептив: рецепт.
Комплексний кейс: аналітичні та чисельні рішення.
Аналіз помилок. Помилка через h та верхню межу глобальної помилки.
Читання підручників (7 жовтня): Розділ 2.7.

ОДЕ другого порядку. Лінійність і принцип суперпозиції.
Два основних приклади: Маятник з малими коливаннями та його інверсія.
Експоненціальний анзатц. Характеристичне рівняння. Виразні та складні корені.
Рецепт: Розв’язування однорідних ОДЕ другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Читання підручників (9 жовтня): Розділ 3.1.

Затухаючі гармонійні генератори. Фізичне тлумачення.
Надмірне затухання (чітке справжнє коріння). Заниження (чітко виражені складні корені).
Критично демпфіровані генератори: випадок повторних коренів.
Зменшення порядку: пошук другого лінійно незалежного рішення.

Читання підручників (11 жовтня): Розділи 3.4 та 3.7.

Примусові демпфіровані гармонійні генератори. Конкретні рішення.
Загальні рішення: однорідні розчини плюс окреме рішення.
Таблиця Анзаца: форма конкретних розв’язків із заданою зовнішньою силою.
Метод невизначених коефіцієнтів. Приклади.
Читання підручників (14 жовтня): розділи 3.5 та 3.8.

Варіація параметрів для лінійних ODE другого порядку.
Визначення функцій: Лінійна система з точки зору Вронського.
Визначення Вронського та завершення головної теореми (Thm. 3.6.1).
Приклад: Поєднання зменшення порядку та варіації параметрів.
Читання підручників (16 жовтня): Розділ 3.6

Існування та унікальність лінійних однорідних ОДЕ другого порядку (теорема 3.2.3).
Існування та унікальність для лінійних неоднорідних ОДЕ другого порядку (теорема 3.6.1).
Приклади, коли потрібні варіації параметрів (а невизначені коефіцієнти не вдаються).
Пошук лінійно незалежних рішень за допомогою зменшення порядку.
Читання підручників (18 жовтня): Розділи 3.2 та 3.6.

Рівняння Ейлера. Поліном Анзац. Повторювані та складні корені.
Повітряне рівняння та ефірна функція. Веселки та поворотні точки.
Рівняння Шра і Омлдінгера. Квантовий гармонійний генератор.
Читання підручників (21 жовтня): розділи 5.2 та 5.4.

Інтуїція перетворень Фур'є і Лапласа. Застосування інтегральних перетворень.
Точні математичні визначення. Частота лову: Ортогональність синусів і косинусів.
Перетворення Фур'є фа мажорного акорду. Перетворення імпульсів та сигналів постійного струму.
Читання підручників (28 жовтня): Розділ 6.1.

Визначення перетворення Лапласа. Умови існування (теорема 6.1.2): експоненціальне зростання.
Таблиця перетворень Лапласа (таблиця 6.2.1): експоненти, поліноми та тригонометричні функції.
Основна властивість перетворення Лапласа (теорема 6.2.1): Перетворення похідної.
Перетворення Лапласа лінійного диференціального рівняння. Приклади систем другого порядку.
Читання підручників (30 жовтня): Розділ 6.2.

Перетворення Лапласа затухаючої гармонічної системи: синуси та косинус із завершення квадратів.
Диференціальні рівняння вищого порядку з перетворенням Лапласа. Приклад четвертого порядку (Приклад 6.2.3).
Функції кроку Heaviside та його перетворення Лапласа. Приклади в розділах 6.3 та 6.4.
Дельта-імпульс Дірака та його перетворення Лапласа. Приклади в розділі 6.5.
Читання підручників (1 листопада): розділи 6.3, 6.4 та 6.5.

Система зчеплених пружин та подвійних маятників.
Диференціальні рівняння вищого порядку як система першого порядку.
Визначення системи ODE. Визначення лінійної системи ODE.
Огляд лінійної алгебри: власні значення, власні вектори та діагоналізація.
Читання підручників (4 листопада): розділи 7.1, 7.2 та 7.3.

Принцип суперпозиції (теорема 7.4.1). Фундаментальний набір рішень.
Рішення лінійних однорідних систем (теорема 7.4.2).
Однорідні лінійні системи з постійними коефіцієнтами.
Приклади: Діагональний регістр та Недіагональний регістр.
Читання підручників (6 листопада): розділи 7.4 та 7.5.

Власні значення та власні вектори. Фундаментальні рішення, пов'язані з власними значеннями.
Огляд лінійної алгебри: нульовий простір, ранг та власні простори.
Кілька прикладів. Простір розв’язків лінійної системи.
Читання підручників (8 листопада): розділи 7.5 та 7.6.

Загальний рецепт для лінійних систем. Приклад з дефектними власними значеннями.
Вежі узагальнених власних цінностей. Фундаментальні рішення для узагальнених власних значень.
Тривимірний приклад із кратністю трьох власних значень та фундаментальних рішень.
Читання підручників (13 листопада): Розділ 7.8.

Поле напрямку лінійної системи. Довготривала поведінка.
Геометричне значення власних значень та власних векторів. Приклади.
Справа реальних власних значень. Уявні власні значення та обертання.
Загальні складні власні значення та спіралі.
Читання підручників (15 листопада): розділи 7.5 та 7.6.

Мотивація для матриці експоненціальна. Визначення із серією Тейлора.
Приклади експоненцій у діагональному та недіагональному відмінку.
Обчислення експоненції матриці за допомогою діагоналізації.
Застосування для вирішення лінійних систем ODE.
Читання підручників (18 листопада): Розділ 7.7.

Неоднорідні лінійні системи. Структура загального рішення.
Метод варіацій параметрів. Фундаментальні матриці.
Побудова конкретного рішення. Детальний приклад.
Читання підручників (20 листопада): Розділ 7.9.

Атрактор Лоренца. Нелінійні системи рівнянь.
Приклади: система Лоренца та система Лотки-Вольтерри.
Теорема Гартмана-Гробмана: лінеаризація при постійних рішеннях.
Приклад того, як лінеаризувати систему. Відрахування глобальної динаміки.
Ресурси (22 листопада): Ця лекція та ця лекція можуть бути корисними.


MA8151 Конспект EM-I, ІНЖЕНЕРНА МАТЕМАТИКА & # 8211 I Конспект & # 8211 1-а СЕМ

Положення університету Анни 2017 MA8151 Навчальний план EM-I для всіх 5 одиниць подано нижче. Посилання для завантаження 1-а SEM MA8151 ІНЖЕНЕРНА МАТЕМАТИКА & # 8211 I Інженерна програма перераховано для студентів, щоб вони досконало використовували і набрали максимальну оцінку за допомогою наших навчальних матеріалів.

Положення університету Анни 2017 р. 1-а SEM MA8151 EM-I - ІНЖЕНЕРНА МАТЕМАТИКА & # 8211 I Інженерна програма

MA8151 ІНЖЕНЕРНА МАТЕМАТИКА - I
ЦІЛІ:
Метою цього курсу є досягнення концептуального розуміння та збереження найкращих традицій традиційного числення. Програма розроблена для забезпечення основних інструментів обчислення, головним чином, для математичного моделювання інженерних задач та отримання рішень. Це основний курс, який в основному займається такими темами, як одна змінна та багатоваріантність
числення і відіграє важливу роль у розумінні науки, техніки, економіки та інформатики, серед інших дисциплін.
БЛОК І РІЗНИЙ КАЛЬКУЛ
Представлення функцій & # 8211 Межа функції & # 8211 Неперервність & # 8211 Похідні & # 8211 Правила диференціації & # 8211 Максимуми та мінімуми функцій однієї змінної.

БЛОК II ФУНКЦІЇ НЯКОЛЬКО ЗМІННИХ
Часткова диференціація - Однорідні функції та теорема Ейлера - Повна похідна - Зміна змінних - Якобіан - Часткова диференціація неявних функцій - Ряд Тейлора для функцій двох змінних - Максимуми та мінімуми функцій двох змінних - Метод Лагранжа невизначені множники.
БЛОК III ЦІЛИЙ КАЛЬКУЛ
Визначені та невизначені інтеграли & # 8211 Правило заміщення & # 8211 Методи інтегрування & # 8211 Інтегрування за частинами, Тригонометричні інтеграли, Тригонометричні підстановки, Інтегрування раціональних функцій частковим дробом, Інтеграція ірраціональних функцій & # 8211 Неправильні інтеграли.
БЛОК IV БЕЗКОШТОВНІ ІНТЕГРАЛІ
Подвійні інтеграли - Зміна порядку інтегрування - Подвійні інтеграли в полярних координатах - Площа, оточена площинами кривих - Потрійні інтеграли - Обсяг твердих тіл - Зміна змінних у подвійних та потрійних інтегралах.
ОДИНИЦЯ V РІЗНІСНІ РІВНЯННЯ
Лінійні диференціальні рівняння вищого порядку з постійними коефіцієнтами & # 8211 Метод варіації параметрів - Гомогенне рівняння типу Ейлера та Лежандра - Система одночасних лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами & # 8211 Метод невизначених коефіцієнтів.

Результати:
Після закінчення цього курсу студенти повинні продемонструвати свою компетентність у наступному
навички:
Для диференціації функцій використовуйте як граничне визначення, так і правила диференціації.
Застосуйте диференціацію для розв’язування задач максимумів та мінімумів.
Оцініть інтеграли як за допомогою сум Рімана, так і за допомогою Фундаментальної теореми
Числення.
Застосовуйте інтеграцію для обчислення множинних інтегралів, площі, об'єму, інтегралів у полярних
координати, крім зміни порядку та зміни змінних.
Оцініть інтеграли, використовуючи прийоми інтегрування, такі як заміна, часткові дроби
та інтеграція за частинами.
Визначити збіжність / розбіжність неправильних інтегралів та оцінити збіжність
неправильні інтеграли.
Застосовуйте різні техніки при розв’язуванні диференціальних рівнянь.
КНИГИ ТЕКСТУ:
1. Греваль Б.С., «Вища інженерна математика», видавництво Khanna, Нью-Делі, 43-е видання,
2014.
2. Джеймс Стюарт, & # 8220Calculus: Early Transcendentals & # 8221, Cengage Learning, 7-е видання, нове
Делі, 2015. [Для блоків I & amp III & # 8211, розділи 1.1, 2.2, 2.3, 2.5, 2.7 (лише проблеми з дотичними), 2.8,
3,1-3,6, 3,11, 4,1, 4,3, 5,1 (лише для проблем з територією), 5,2, 5,3, 5,4
теорема), 5.5, 7.1 & # 8211 7.4 та 7.8].
ЛІТЕРАТУРА:
1. Антон, Н, Бівенс, I та Девіс, S, & # 8220Calculus & # 8221, Wiley, 10-е видання, 2016.
2. Джейн Р.К. та Iyengar S.R.K., «Розширена інженерна математика», Narosa Publications,
Нью-Делі, 3-е видання, 2007.
3. Нараянан С. та Манікавачагом Пілла, Т. К., ― Калькул & # 8221 Том I і II,
S. Viswanathan Publishers Pvt. ТОВ, Ченнаї, 2007.
4. Шріманта Пал і Бунія, Південна Кароліна, & # 8220Engineing Mathematics & # 8221 Oxford University Press, 2015.
5.Вейр, М.Д. та Джоель Хасс, & # 8220Томас Калькуляс & # 8221, 12-е видання, Пірсон, Індія, 2016.

Завантажити навчальну програму - Натисніть тут

Якщо вам потрібні будь-які інші примітки / навчальні матеріали, ви можете залишити коментар у нижченаведеному розділі.

Пов’язані посилання

Для опитувальних робіт попереднього року MA8151 EM-I - Натисніть тут

Для MA8151 EM-I Question Bank / 2марки 16марок із відповідями - Натисніть тут

Для MA8151 EM-I Важливі запитання / ключ відповіді - Натисніть тут

Для лекції MA8151 EM-I Рукописні примітки & # 8211 Натисніть тут

Пошукові терміни

Університет Анни 1-й навчальний план SEM-I EM-I

MA8151ІНЖЕНЕРНА МАТЕМАТИКА & # 8211 I Інженерна програма безкоштовно завантажити


5.4: Метод невизначених коефіцієнтів I - Математика

Math 321: Диференціальні рівняння Весна 2005
Доктор Джеймс Р. Хьюз
Відділ математичних наук коледжу Елізабеттаун

3.5 Неоднорідні рівняння та метод невизначених коефіцієнтів

  • Метод невизначених коефіцієнтів
    • Правило 1
    • приклади
    • Правило 2
    • приклади
    • ідея методу та виведення формул
    • підсумок: які формули
    • приклад

    Метод невизначених коефіцієнтів

    Невизначені коефіцієнти є способом отримання конкретного рішення неоднорідного лінійного диференціального рівняння з постійним коефіцієнтом форми

    де f (x) - лінійна комбінація добутків багаточленів у x, експоненціальних функцій exp (rx) (r постійна), cos (kx) (k постійна) та / або sin (kx).

    Метод зводиться до розумного здогадування про форму конкретного рішення yстор з (*) може зайняти. Основна здогадка полягає в тому, що існує рішення з термінами, які відповідають умовам f (x), але з різними коефіцієнтами (звідси і назва, "невизначені коефіцієнти-". щоб отримати рішення).

    Зверніть увагу, що метод дає лише одне конкретне рішення yстор до (*), а не загальне рішення. Нагадаємо, що згідно теореми 5 із розділу 3.2, це все, що нам потрібно, оскільки загальним рішенням (*) є просто yc + yстор, де yc є додатковою функцією (загальне рішення пов'язаного однорідного рівняння), і yстор це якесь конкретне рішення.

    Метод втілений у наступних двох Правилах.

    Спочатку правила можуть здатися загадковими, тому я наводив численні приклади після кожного правила.

    Правило 1. Якщо жоден термін, що зустрічається у f (x) або в будь-якому з його похідних, не задовольняє пов'язане з ним однорідне рівняння

    то прийміть як пробне рішення устор лінійна комбінація всіх лінійно незалежних членів у f (x) та їх похідних. Визначте коефіцієнти цих доданків, підставивши пробний розчин устор в неоднорідне рівняння (*) та рівняння коефіцієнтів подібних доданків.

    Приклади застосування правила 1.

    Приклад 1. Знайдіть загальне рішення неоднорідного DE y '' + 3y '+ 2y = sin (2x).

    Диференціювання гріха (2x) призводить до терміна cos (2x), який лінійно не залежить від гріха (2x). Подальша диференціація цих термінів не дає нових лінійно незалежних термінів. Оскільки додатковою функцією є yc = c1e -x + c2e -2x, ні sin (2x), ні cos (2x) не є рішенням пов'язаного однорідного рівняння, тому ми можемо застосувати правило 1. Таким чином, пробне рішення має значення yстор = Асін (2x) + Bcos (2x). Підставляючи yстор в заданому неоднорідному рівнянні дає

    (-4Asin (2x) - 4Bcos (2x)) + 3 (2Acos (2x) - 2Bsin (2x)) + 2 (Asin (2x) + Bcos (2x)) = sin (2x)

    або (збір коефіцієнтів подібних доданків)

    (-4A - 6B + 2A) sin (2x) + (-4B + 6A + 2B) cos (2x) = sin (2x).

    Рівняння коефіцієнтів подібних доданків дає систему

    рішенням якого є A = -1/20, B = -3/20,

    отже, конкретним рішенням даного неоднорідного рівняння є yстор = (-1/20) гріх (2x) + (-3/20) cos (2x).

    Відповідно до теореми 5 у розділі 3.2, загальне рішення є таким

    Приклад 2. Знайдіть загальний розв’язок неоднорідного рівняння y '' + y = xe x.

    Диференціюючи xe x, отримуємо xe x + e x, що містить новий лінійно незалежний термін e x. Подальша диференціація не дає інших нових лінійно незалежних термінів. Тепер, оскільки додатковою функцією є c1cos (x) + c2sin (x), ні xe x, ні e x не є рішенням відповідного однорідного рівняння, тому застосовується правило 1. Таким чином, пробне рішення - yстор = Ae x + Bxe x. Підставляючи в задані неоднорідні DE, виходить

    Ae x + B (xe x + 2e x) + Ae x + Bxe x = xe x,

    або, збираючи коефіцієнти подібних доданків,

    Рівняння коефіцієнтів подібних доданків дає систему

    отже, A = -1/2, B = 1/2, а бажаним конкретним рішенням є -e x / 2 + xe x / 2. Таким чином, загальним рішенням даного неоднорідного рівняння є

    y = c1cos (x) + c2sin (x) -e x / 2 + xe x / 2.

    (Завдання No1 у тексті) Знайдіть конкретне рішення y '' + 16y = e 3x.

    Оскільки e 3x не задовольняє пов'язане з ним однорідне рівняння y '' + 16y = 0 (як і жодна з похідних e 3x, оскільки всі вони є постійними кратними e 3x), ми можемо застосувати правило 1. Випробувальне рішення то устор = Ae 3x. Підставляючи до заданого неоднорідного рівняння, отримуємо 9Ae 3x + 16Ae 3x = e 3x, отже, 25A = 1, A = 1/25, а бажаним конкретним рішенням є e 3x / 25.

    (Зауважте, що, хоча проблема і не вимагає цього, легко отримати загальне рішення даного неоднорідного рівняння: додатковою функцією є yc = c1cos (4x) + c2sin (4x), отже загальним рішенням є y = yc + yстор = c1cos (4x) + c2гріх (4x) + e 3x / 25.)

    (Завдання No2 у тексті) Знайдіть конкретне рішення y '' - y '- 2y = 3x + 4.

    Ми зауважимо, що терміни 3x та 4 лінійно незалежні один від одного, і що прийняття похідних від цих термінів не дає нових лінійно незалежних членів. Жоден термін не задовольняє пов'язане з ним однорідне рівняння y '' - y '- 2y = 0, тому застосовується правило 1. Випробувальне рішення - yстор = Ax + B, підставляючи в заданому DE, дає

    Рівняючи коефіцієнти x і постійні доданки на кожній стороні рівняння (точно так само, як і в часткових частках), отримуємо систему рівнянь

    розв'язок якого A = -3/2, B = -5/4. Таким чином, конкретним рішенням є yстор = (-3/2) x - 5/4.

    Залишається випадок "дубльованих термінів:" термінів, які з'являються у f (x) (або одному з його похідних), а також у додатковій функції yc (мається на увазі, що вони є розв’язками пов’язаного однорідного рівняння). Правило 2 є достатньо загальним для розгляду справи, що повторюється.

    Правило 2. Якщо f (x) включає термін форми Pм(x) e rx cos (kx) або Pм(x) e rx sin (kx), де Pм(x) - поліном в x градуса m, тоді пробне рішення повинно включати члени форми

    де s - найменше ціле невід’ємне число, таке, що жоден доданок у y не маєстор дублює доданок у додатковій функції yc .

    Примітка: Константи r та / або k можуть дорівнювати нулю у наведених виразах.

    Приклади застосування правила 2.

    Приклад 3. Знайдіть загальний розв’язок неоднорідного рівняння y '' - 6y '+ 5y = x + x 2 e x.

    По-перше, зауважимо, що характеристичним рівнянням для асоційованого однорідного рівняння є r 2 - 6r + 5 = (r-1) (r-5), тому додатковою функцією є yc = c1e x + c2e 5x.

    Далі зауважимо, що права частина рівняння разом із похідними включатиме лінійні комбінації доданків виду 1, x, e x, xe x та x 2 e x. Оскільки e x дублює доданок у yc, пробне рішення повинно містити умови форми

    x s (A0 + А1x + A2 x 2) e x, де s - найменше ціле невід’ємне число, таке, що жоден доданок не дублюється в yc. У цьому випадку s = 1 буде працювати, тому повне пробне рішення є

    (де умови B0 та Б1x з'являються через наявність терміна x праворуч від оригіналу DE).

    Тепер, обчислюючи yстор'і устор'' а потім замінити в оригінальний DE справжній біль, але справа в тому, що це можна зробити, невизначені коефіцієнти можна знайти, і DE можна вирішити. Ось деталі:

    Підставляючи в оригінал DE, виходить

    Прирівнюючи коефіцієнти подібних доданків, отримуємо систему

    що легко вирішити: A0 = -1/32, А1 = -1/16, А2 = -1/12, Б0 = 6/25, і B1 = 1/5.

    Таким чином, конкретним рішенням є yстор = (-x / 32 - x 2/16 - x 3/12) e x + 6/25 + x / 5
    і загальним рішенням є

    рc + yстор = c1e x + c2e 5x + (-x / 32 - x 2/16 - x 3/12) e x + 6/25 + x / 5.

    Приклад 4. Запишіть пробне рішення yстор для DE y '' + 25y = xsin (5x).

    Оскільки уc = c1cos (5x) + c2sin (5x), а похідні правої сторони дублюватимуть ці ці терміни, ми повинні використовувати правило 2. Ще раз, s = 1 достатньо, і пробне рішення є

    Приклад 5. Запишіть пробне рішення yстор для DE y (3) - 2y '' + y '= x + xe x.

    У нас є yc = c1 + (c2 + c3x) e x, тому цього разу, щоб уникнути повторення доданків, нам потрібні s = 1 для многочленів і s = 2 для доданків, що включають e x. Випробувальне рішення -

    Варіація параметрів це ще один метод, який можна використовувати для вирішення неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь.

    На відміну від методу невизначених коефіцієнтів, варіація параметрів не вимагає постійних функцій коефіцієнта і не вимагає, щоб f (x) складався лише з поліноміальних, експоненціальних, синусоїдальних та косинусних функцій. Отже, варіація параметрів є більш загальним методом, ніж метод невизначених коефіцієнтів. З іншого боку, ідея варіації параметрів є дещо витонченішою, і її виведення та отримані формули можуть дещо ускладнитися. В результаті на цьому етапі ми будемо представляти лише варіацію параметрів для рівнянь другого порядку.

    Ідея методу

    Дано неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку

    з додатковою функцією yc = c1р1 + c2р2 (ще раз нагадаємо, що додаткова функція є загальним розв’язком пов’язаного однорідного рівняння y '' + P (x) y '+ Q (x) y = 0), ми знайдемо конкретний розв'язок yстор (**), замінивши постійні коефіцієнти c1 та c2 у рc від функції u1 і ти2 x (звідси і назва, "варіація параметрів-", ми дозволяємо "параметри" c1 та c2 варіювати). Таким чином

    Все, що нам потрібно зробити, це знайти дві невідомі функції u1 і ти2.

    Виведення формул

    Очевидно, ми хочемо yстор щоб задовольнити (**), тож перед нами є одна умова1 і ти2 автоматично.

    З причин, які стануть зрозумілими пізніше, ми встановлюємо другу умову, вимагаючи цього

    Тепер ми маніпулюємо заданими умовами, щоб створити пару лінійних рівнянь в u1' і ти2', що може бути вирішено за допомогою методів лінійної алгебри. Функції u1 і ти2 потім можна відновити за допомогою інтеграції.

    За правилом товару ми маємо

    але завдяки нашій другій умові останні два терміни зникають і залишаються

    але оскільки у1 та y2 є рішеннями пов'язаного однорідного рівняння, маємо

    Підставляючи y1і y2'' у наведеному вище рівнянні дає

    який після спрощення стає

    Тепер наша перша умова говорить, що ліва частина наведеного рівняння має бути f (x). Отже, ми повинні мати вас1'y1'+ u2'y2'= f (x). Таким чином ми маємо

    u1' і ти2'повинен задовольняти лінійній системі

    Коли вищезазначена система записана у матричній формі, легко побачити, що визначальним фактором матриці коефіцієнтів є вронскіан у1 та y2 , а оскільки y1 та y2 генерують додаткову функцію, вони повинні бути лінійно незалежними, тому їх Вронскіан ніколи не дорівнює нулю, і система може бути вирішена. (Потім ми можемо відновити u1 і ти2 шляхом інтеграції.)

    Приклад варіації параметрів.

    Знайдіть загальний розв’язок неоднорідного лінійного DE y '' + y = sec 2 x.

    Зверніть увагу, що ми не можемо використовувати метод невизначених коефіцієнтів, оскільки sec 2 x не є добутком поліномів, експоненцій, синусів та / або косинусів.

    Далі зауважимо, що додатковою функцією є c1cos (x) + c2sin (x), тож система рівнянь, яку ми повинні вирішити, така

    Помноження першого рівняння на sin (x), а другого рівняння на cos (x) і додавання дає нам

    (sin 2 (x) + cos 2 (x)) u2'= sec (x), або, використовуючи ідентичність Піфагора, u2'= сек (х). Замінивши в першому рівнянні та діливши на cos (x), ви отримаєте u1'= -сек (х) загар (х). Інтегруючи, отримуємо
    u2 = ln | sec (x) + tan (x) | і ти1 = -sec (x), тому конкретним рішенням для даного неоднорідного DE є

    і загальним рішенням є

    3.5 Домашнє завдання

    Мета навчання Проблеми Окуляри
    Знайдіть конкретне рішення неоднорідного DE, використовуючи невизначені коефіцієнти 3, 9, 12 4, 4, 4
    Постановка задачі невизначених коефіцієнтів 23 3
    Розв’яжіть неоднорідну ІВТ 33 5
    Знайдіть конкретне рішення неоднорідного DE, використовуючи варіацію параметрів 54, 55 4, 4

    Підказка щодо проблем 54 та 55: Використовуйте технології та / або формули інтеграції на внутрішніх обкладинках вашої книги, щоб допомогти з інтеграціями.


    Ми будемо вважати знайомство з численням, особливо здатність обчислювати стандартні інтеграли та похідні функцій, що включають тригонометричні функції, експоненційні функції тощо. Ми також припускаємо базове знайомство з комплексними числами. Розуміння базової лінійної алгебри (множення матриць, лінійні перетворення, детермінанти, власні вектори) буде корисним, хоча за необхідності ми дамо краш-огляд матеріалу.

    Матеріал цього курсу буде приблизно слідувати главам 1,2,3,4,5,7 підручника Бойса та ДіПріми. Лекції включатимуть деякі матеріали з цих розділів, а також деякі додаткові матеріали та приклади. Ми настійно рекомендуємо читати відповідні розділи підручника одночасно.

    На додаток до лекцій, буде щотижня дванадцять наборів задач. Вони будуть перераховані на цьому веб-сайті і повинні бути передані в позначений ящик на 4 поверсі математичного корпусу. Градуйовані набори задач можна знайти у вікні на шостому поверсі. Пізні домашні завдання не приймаються.

    Дуже важливо виконувати всі набори проблем якнайкраще, оскільки це найефективніший спосіб поглинання матеріалу. Хоча ви можете співпрацювати зі своїми однолітками, ви повинні вирішувати всі проблеми самостійно, а подані вами рішення повинні бути виписані індивідуально. Подання, скопійовані або підозріло подібні, можуть бути відхилені.

    Буде проведено два проміжні іспити та один випускний. Зазвичай іспити складаються з матеріалів наборів задач, але можуть включати деякі додаткові концептуальні завдання, щоб перевірити ваше розуміння. Кожен проміжний період охоплює приблизно третину матеріалу курсу. Підсумковий іспит охоплюватиме весь матеріал курсу, з трохи більшим акцентом на зміст, викладений після другого проміжного курсу. Майте на увазі, що перший проміжний термін вже на 5-му тижні - не впадайте в очі! Дата фіналу визначається реєстратором університету.


    2250 2250 Запис лекцій


    20 квіт:
    Лекція: Вступ до теорії стійкості для автономних систем. Рівноваги. Стабільність. Нестабільність. Асимптотична стійкість.
    Розчини для вправ: ch7 та ch8.
    Лекція 9.1: Класифікація рівноваг для u '= Au, коли det (A) не дорівнює нулю, для випадку 2x2.
    Спіраль, сідло, центр, вузол. Теорія лінеаризації. Якобіян.
    Передача стійкості: Re (лямбда) асим. стабільність. Нестабільні рішення.
    Теорія нелінійної стійкості: коли лінеаризована класифікація та стійкість переходять до нелінійної системи.
    Зразок іспиту 3: Деякі рішення.

    21 квіт:

    Лекція: Зразок іспиту 3 рішення задач 1,2.
    Лекція 9.2: Детальніше про стійкість, лінійні та майже лінійні системи, якобіан, стійкість лінійних систем, стійкість майже лінійних [нелінійних] систем, фазові діаграми, класифікація нелінійних систем.

    Розпочато випускний огляд іспиту. Обкладинка в основному ch5, частина ch10. Пакет розповсюджується в Інтернеті.
    Деталі заключного іспиту: Менше контактів з ch3, ch4, ch6 через додаткові розділи 8,9 на фіналі, порівняно з заключним іспитом S2008. Не так багато змін для ch5, ch7, ch10. Новий спін - це лише додаткові методи для розв’язання DE, особливо exp (At) та розв'язувач Лапласа для систем.

    22 квіт:

    Лекція 9.3: Нелінійна стійкість, фазові діаграми, класифікація. Системи Predator-Prey. Як визначити, хто хижак, а хто здобич. Розрахунки для точок рівноваги, лінеаризація, класифікація рівноваг, вплив на фазову діаграму. Деякі зразки коду для використання DEtools та DEplot у maple для створення фазових діаграм. Вправи 9.1, 9.2.

    23 квіт: Іспитовий день.

    Іспит 3 о 7 ранку та 10:30.

    24 квіт:

    Тиждень 13, з 13 по 17 квітня: Розділи EPbvp3.7,7.1,7.2,7.3,7.4,8.1,8.2


    13 квіт:
    Огляд і деталізація: Електричні схеми.
    Імпеданс Z. Реактивність S = омега L - (1 / C) (1 / омега)
    Дельта часу / омега. Стаціонарний періодичний розчин. Перехідний розчин.
    Огляд: Електромеханічна аналогія. Закон Фарадея, закон Ома, закон Кулона, закони Кірхгофа. Формули падіння напруги.
    Резонансні рівняння.
    Моделювання мережі: Кількість незалежних диференціальних рівнянь, що використовуються для опису багатоконтурної схеми.
    Лекція: 7.1, 7.2 Як перетворити mx '' + cx '+ kx = F0 cos (омега t) в динамічну систему u' = Au + F (t). Електричні системи u '= Au + E (t) із рівнянь ланцюга LRC. Електричні системи другого порядку, механічні системи другого порядку, u '' = Au + F

    Лекція: Пакети D і P у рівнянні діагоналізації AP = PD, що еквівалентно моделі Фур'є. У випадку 2x2 модель Фур'є дорівнює A (c1 v1 + c2 v2) = c1 (лямбда1 v1) + c2 (лямбда2 v2).
    Враховуючи P і D, знайдіть A у відношенні AP = PD.
    Проблема: З огляду на модель Фур’є, знайдіть А.
    Проблема: Дано A, знайдіть модель Фур'є.
    Проблема: Дано A, знайти всі eigenepairs.
    Проблема: З огляду на A, знайти пакети P і D такі, що AP = PD.
    Проблема: Наведіть приклад матриці A, яка не має моделі Фур’є.
    Проблема: Наведіть приклад матриці A, яка не піддається діагоналізації.
    Проблема: Давши 2 власні пари, знайдіть матрицю 2х2 А.
    Лекція: Завдання 7.3, 7.4.
    Основна теорема (ch7, 7.3) про розв'язування u '= Au методом ейгенаналізу.
    Основна теорема методу Кейлі-Гамільтона.
    Основна теорема для розв’язання u '' = Au + F
    Основна теорема для експоненціальної матриці.

    15 квіт:

    Лекція: Приклади Айгнаналізу. Як знайти модель Фур'є. Еквівалентність моделі Фур'є та діагоналізація.Матриці P, D і як їх знайти.
    Приклади розмірів 2х2, 3х3, 4х4, які не мають моделі Фур'є, які не піддаються діагоналізації.
    Приклади розмірів 2x2, 3x3, 4x4, які мають модель Фур'є, які можна діагоналізувати.
    Обчислення A з його моделі Фур'є.
    Обчислення A з його власних пар.
    Обчислення A з P і D.
    Слайди на додатках.
    Теорія систем та приклади, 800 тис. (рукопис у форматі pdf)
    Системи другого порядку, модель пружинної маси 3х3, залізничні вагони, землетруси. Виведення. (слайди у форматі PDF)
    Теми:
    Цистерни з розсолом переглянуто. Каскади. Рециркуляційні резервуари. Забруднення ставка. Опалення будинку. Залізничні вагони. Землетруси.
    Виявлення властивостей моделі з розчинів.
    Як визначити, які методи могли бути використані для отримання рішення. Атоми розв’язку та характеристичні рівняння.
    Поділ однорідних та неоднорідних розчинів на u = uh + up. Обговорення різних методів вирішення u '= Cu + G та x' '= Ax + F.

    Лекція: спектральна теорія, формула Пуцера та суміжні теми ch8
    Фундаментальна матриця. Як знайти експоненціальну матрицю.
    Системи u '= Au + F. Невизначені коефіцієнти. Варіація параметрів.
    Приклад варіації параметрів.
    Гірки: Залізничні вагони, землетруси.

    Тиждень 12, з 6 по 10 квітня: Розділи 5.6, EPbvp3.7,6.1,6.2,7.1,7.2,7.3

    Механічний резонанс. Чистий і практичний резонанс. mx '' + cx '+ kx = F0 cos (омега t)
    Електричний резонанс LI '' + RI '+ I / C = F0 омега cos (омега t). [помилка виправлена ​​15 квітня 2009 р.]
    Резонансні формули омега = sqrt (k / m-c ^ 2 / (2m ^ 2)) та омега = 1 / sqrt (LC)
    Теорема. Однорідний розв'язок для ay '' + by '+ cy = 0 з константами a, b, c> 0 має граничний нуль при x = нескінченності. Це означає, що ay '' + by '+ cy = f (x) має унікальне T-періодичне рішення, якщо f (x + T) = f (x) для всіх x [f є T-періодичним].
    Теорема. Рішення для ay '' + cy = 0 з константами a, c> 0 є гармонічним, що передбачає фіксовану амплітуду періодичного коливання частоти sqrt (c / a).
    Теорема. Рівняння ay '' + by '+ cy = f (x), a, b, c> 0 константи, f (x) періодична лінійна комбінація атомів, має унікальний періодичний розв'язок y (x) того самого періоду, що і f (x). Рішення y (x) можна знайти за невизначеними коефіцієнтами або за теорією Лапласа.
    Резонансна крива для практичного механічного резонансу.
    Електричний резонанс. Імпеданс, реактивний опір. Стабільна амплітуда струму. Функція передачі. Рівняння вхідних та вихідних даних.
    Довідково: Едвардс-Пенні, Диференціальні рівняння та крайові задачі, 4-е видання, розділ 3.7 [підручник з математики 2280]. Додаткові сторінки, надані Пірсоном, з копіями підручника 2250 у книгарні. Також доступна у вигляді копії xerox на випадок, якщо ваша книга надійшла з іншого місця. Перегляньте книгу 2280 в математичній бібліотеці.

    07 квіт:

    Лекція: Системи двох диференціальних рівнянь, правило Крамера, методи інверсії матриць. Метод резольвенти Лапласа для систем.
    Приклад: Розв’язання динамічної системи 2х2 за допомогою методу розв’язання Лапласа.
    Вивчення u '= Au, u (0) = вектор ([2,1]), A = матриця ([[2,3], [0,4]]).
    Лекція: Теорема Кейлі-Гамільтона, Метод Кейлі-Гамільтона для розв’язання u '= Au.
    Доказ леми Зібура: компоненти u в u '= Au - це лінійні комбінації атомів, створені теоремою Ейлера, застосовані до коренів характерного рівняння det (A-rI) = 0.
    Огляд методів вирішення динамічної системи 2x2:
    Метод Кейлі-Гамільтона для систем u '= Au. (слайди у форматі PDF)
    Метод Лапласа для систем, резольвент. (слайди у форматі PDF)
    Методи систем другого порядку, розчинник Лапласа, ейгеналіз, Кейлі-Гамільтон. (слайди у форматі PDF)
    Лекція: Теми з теорії Лапласа, лінійних систем та електричних ланцюгів.
    Моделі баків для розсолу. Циркуляційні розсольні баки. Забруднення ставка. Усі це системні додатки 3x3, які можна вирішити методами Лапласа.
    Танк розсолу каскад. Переробка розсольного баку. (слайди у форматі PDF)

    07 квіт:
    Лекція: Модель Фур'є. Вступ до ейгеналізу, ch6. Приклади та мотивація. Модель Фур'є. Історія. Трактат Дж. Б. Фур'є 1822 р. Про теорію тепла. Приклад стрижня.

    Посилання на модель Фур'є, ейгеналіз.
    Що таке слайди eigenanalysis 2008 (pdf)
    Ейгенаналіз-I рукопис S2009 (pdf)
    Ейгенаналіз-II рукопис S2009. Приклад телекомунікацій. стохастичні матриці. (pdf)

    08 квітня:
    Лекція: Алгебраїчний ейгеналіз, розділ 6. Розрахунок власних пар для отримання моделі Фур'є.
    Зв'язок між моделлю Фур'є та діагоналізованою матрицею.
    Як знайти змінні лямбда та v у моделі Фур’є за допомогою детермінант та послідовностей кадрів.
    алгебраїчні слайди ейгеналізу 2008 (pdf)
    Рукопис Eigenanalysis-I S2009 (набір 20 сторінок, 200 тис. Pdf)
    Розв’язано в класі: приклади, подібні до задач в 6.1 та 6.2.
    Слайди та примітки до проблем існують для задач 6.1 та 6.2. Перегляньте веб-сайт.

    Посилання на модель Фур'є, ейгеналіз.
    Що таке слайди eigenanalysis 2008 (pdf)
    алгебраїчні слайди ейгеналізу 2008 (pdf)
    Слайди Eigenanalysis-2 f2008 (pdf)
    Рукопис Eigenanalysis-I S2009 (набір 20 сторінок, 200 тис. Pdf)
    Теми Кейлі-Гамільтона. Обчислювальні потужності матриць. Стохастичні матриці.
    Приклад 1984 року телекомунікаційних компаній MCI, SPRINT, ATT з дискретною динамічною системою u (n + 1) = A u (n) із матрицею A стохастичною.
    Історія телекомунікаційних компаній (текст)
    Google. Лоуренс Пейдж алгоритм рейтингу сторінок, рейтинг веб-сторінок Google, відношення до методу потужності, стохастичні матриці та ейгеналіз Довідково:
    Де знайти статті про алгоритм Пейджа. (txt)

    10 квіт:
    Проекція: відео, що розбиває скло.
    Детальніше про резонанс, включаючи практичну теорію резонансу.
    Поломка винного скла (QuickTime MOV)
    Експеримент із винним келихом (відео 12 хв на галон 2 хвилини)
    Вузький міст Такоми, 7 листопада 1940 р. (18 Мб на галон 4 хвилини відео)
    Лабораторія клена на Такомі звужується (додатковий кредит).
    Слайди лекцій про метод Кейлі-Гамільтона для розв’язання u '= Au.
    Метод Кейлі-Гамільтона для систем u '= Au. (слайди у форматі PDF)

    Тиждень 11, 30, 31 березня, з 1 по 2 квітня: Розділи EPbvp 7.6, 5.5, 5.6, 6.1, 6.2

    Лекція: EPbvp7.6, функція Дельта, функція Хевісайда. З додатка EPbvp 7.6. Див. Також веб-рукопис на цю тему.
    Лекція: Варіація параметрів.
    Посилання: 5.5 варіація параметрів формули (33).
    Зміна параметрів слайдів другого порядку 2008 (pdf)
    Варіація параметрів другого порядку (набір, 6 сторінок pdf)

    Проблемна сесія на 10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, EPbvp7.6.
    Отримайте EPbvp7.6 з математичної бібліотеки: перегляньте книгу 2280 і натисніть xerox у Kinkos. Це пакет в комплекті з E&P 3rd edition.
    Розв’язані задачі 10.2-16, 10.5-4,22,28. EPbvp7.6-8.
    Друга теорема про зміщення, додатки. Теорема про періодичну функцію, застосування. Розрахункові рампи та імпульси. Хевісайд і одиничний крок.
    Відповіді на питання з частковими дробами. Розчинний метод. Як моделювати імпульси.
    Обговорення теорії інтеграції Рімана-Стілтьєса та функції дельти.
    Значення дельти в моделі. Моделювання ударів молотком. Як використовувати таблиці Лапласа, щоб уникнути розширеного інтегрального обчислення RS. Дельта-функція та друга теорема про зміщення.
    Silde:
    Функції, визначені частинами, та слайди теорії Лапласа F2008 (pdf)
    01 квіт:

    Лекція: невизначені коефіцієнти.
    Як знайти однорідне рішення yh за характеристичним рівнянням.
    Пошук надлишкового пробного рішення з g (x) = x ^ n f (x).
    Враховуючи пробне рішення з невизначеними коефіцієнтами, знайдіть систему рівнянь для d1, d2,. і вирішити це.
    Повідомлення y_p з пробного рішення та відповіді d1, d2, d3,.
    Знаходження непотрібного пробного рішення з g (x) = f (x) та правила виправлення закресленого викреслювання.
    Пошук пробного рішення з найменшою кількістю символів.
    Співвідношення між непотрібним пробним рішенням та таблицею книги, яка використовує коефіцієнт таємниці x ^ s.

    02 квіт:

    Сіта проводить лабораторну сесію в четвер. Клен 5 обговорювали. Іспит 2 завдання 5 наприкінці години. Ви можете взяти участь в іспиті 7:30 або 10:45.

    03 квіт:

    Лекція: 5.6. Рівняння mx '' + kx = F0 cos (омега t) для чистого резонансу та ударів, рівняння mx '' + cx '+ kx = F0 cos (омега t) для практичного резонансу.
    Формули унікального періодичного рішення
    x = A cos (омега t) + B sin (омега t) та його амплітуда
    C = F0 / sqrt (дельта), де дельта = (k-m омега) ^ 2 + (c омега) ^ 2
    Чиста і практична формула резонансу
    омега = sqrt (к / м - c ^ 2 / (2м ^ 2))
    ТЕОРЕМА. Однорідний розчин має граничний нуль на нескінченності при c> 0.
    ТЕОРЕМА. Існує унікальний періодичний розчин, отриманий за невизначеними коефіцієнтами при c> 0 і періоді 2 PI / омега. Це рішення є спостережуваним або стійким станом. Усі розв’язки однорідного рівняння є тимчасовими.
    У рішенні Лапласа вихід L (x) дорівнює часу передавальної функції Лапласу на вході F0 cos (омега t). Можна знайти рішення стаціонарного стану, опустивши всі негативні експоненційні члени в розчин Лапласа.
    Свердло: Графіка для ударів [x = sin (10 t) sin (t / 2)], повільно коливається огинаюча, швидко коливається гармоніка з різною в часі амплітудою.
    Лекція: Чистий резонанс і вибух розчину проти практичного резонансу, де омега налаштована так, щоб С (омега) = максимальна серед усіх вхідних частот.
    Приклади резонансу: Солдати марширують у ритмі, Такома звужує міст, Експеримент із келихом вина. Теодор фон Карман і вихровий пролив. Кабельна модель 2000 року. Пояснення резонансу.
    Ділянка С (омега) проти омеги. Практичний резонанс як вершина на графіці.

    Тиждень 10, з 23 по 27 березня: Розділи 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 5.5

    Читання: Перейдіть до розділу 10. Пізніше ми повернемось до 5.6, ch6, ch7, ch8, ch9.
    Лекція: Вступ до методу Лапласа. Метод квадратури для рівнянь та систем вищого порядку. Числення для першої першої квадратури проти числення Лапласа. Інтегратор Лапласа dx = exp (-st) dt. Інтеграл Лапласа абревіатура L (f (t)) для інтеграла Лапласа від f (t). Закон відміни Лерха та фундаментальна теорема числення.
    Def: Пряме перетворення Лапласа == інтеграл Лапласа == int (f (t) exp (-st), t = 0..нескінченність) == L (f (t)).
    Лінійність. Теорема s-диференціації (d / ds) L (f (t)) = L ((- t) f (t)).

    Лекція: Таблиця вперед. Зворотна таблиця. Розширення таблиці.
    Основні теорії Лапласа. Теорема зсуву. теорема s-diff. Теорема про частини.
    Лекція: Розв’язування диференціальних рівнянь методом Лапласа.
    Правила Лапласа та коротка таблиця [числення Лапласа].

    24 квіт:

    Слайди проекції:
    Інтегральне числення Ньютона та числення Лапласа. Метод Лапласа. (слайди у форматі PDF)
    Приклади теорії Лапласа. Таблиця вперед і назад. Зміщення, частини, теореми s-диференціації. (слайди у форматі PDF)
    Правила Лапласа. Включає: Lerch, лінійність, t-диференціацію, s-диференціацію, інтеграл, зміщення I та II, періодичну, згортку. (слайди у форматі PDF)
    Метод Лапласа для систем, резольвент. (слайди у форматі PDF)
    Танк розсолу каскад. Утилізація розсольного баку, опалення будинку. (слайди у форматі PDF)
    Системи другого порядку, модель пружинної маси 3х3, залізничні вагони, землетруси. Виведення. (слайди у форматі PDF)

    25 бер:
    Лекція: Огляд та деталізація таблиці вперед і назад, правила Лапласа.
    Приклади прямого та зворотного обчислення таблиці. Гармонійний генератор.
    Проектування фізичних моделей із моделей Лапласа замість диференціальних рівнянь.
    Функція передачі. Вхід і вихід у s-домені.
    Теорема про періодичну функцію. Теорія згортки.
    Приклад: Алгебраїчний розв'язок DE в інтегральній формі з теореми згортки:
    x '' + x = F (t), x (0) = x '(0) = 0 ==> x (t) = int (sin (tu) F (u) du, u = 0..t) .
    Деталі доведення теореми про згортку.
    Періодичні хвилі, що використовуються в техніці. Сходинка, пандус, випрямлена синусоїда, пилкоподібні, сходи.
    Проблеми з бурінням: докладніше про пандус, пилкоподібні сходи, випрямлений синус.

    26 квіт:
    Іспит 2. Охоплює глави 3, 4 та 5.1, 5.2, 5.3.

    27 берез:
    Лекція: Часткові фракції, метод Хевісайда, ярлики, безпечний метод для часткових фракцій [== метод відбору проб], Метод атомів, покриття Хевісайда.
    Огляд і деталізація: Як написати рішення, яке відкладає оцінку часткових часток констант до кінця.
    Лекція: Методи часткової частки для складних коренів та коренів кратності вище одиниці.
    Приклади часткових дробів: Як боротися зі складними факторами, такими як s ^ 2 + 4. Метод прикриття Хевісайда та спосіб його дії у випадку складних коренів.
    Проблема: Напишіть динамічну систему 2x2 як вектор-матричне рівняння u '= Au.
    Завдання: Розв’яжіть динамічну систему 2x2 у векторно-матричній формі u '= Au.
    Огляд: Розширення періодичних функцій при перетворенні s-домену Лапласа. Теорема про періодичну функцію.
    Лаплас квадратної хвилі, функція tanh.
    Приклад опалення будинку.
    Опалення будинку: мансарда, основний поверх, підвал. (слайди у форматі PDF)
    Метод резольвенти Лапласа для систем рівнянь.

    Після весняних канікул:
    Поворотна машина з одним поршнем та масивним маховиком - демпфуюча конструкція.

    Тиждень 9, 9-13 березня: Розділи 5.1,5.2,5.3,5.4,10.1

    Розмір. Основа для лінійної системи Ax = 0 з останнього алгоритму кадру. Часткові похідні та основи.
    Докази, що включають підпростори для векторних просторів V, пакети елементів даних яких є функціями або абстрактними векторами.
    Огляд лінійної алгебри.
    Теорема: стовпці стовпців є незалежними, а стовпці стовпців - лінійними комбінаціями стовпців стовпа.
    Теорема: ранг (A) = ранг (A ^ T).
    Теорема: Набір ненульових попарно ортогональних векторів лінійно незалежний.
    Класні рішення. Будь ласка, прочитайте примітки до проблеми, розділ 4.
    Проблемні заняття 4.3, 4.4, 4.7.
    Рішення до 4.3-18,24, 4.4-6,24 та 4.7-10,22,26.
    Веб-посилання:
    Слайди лекцій про векторні простори, тести на незалежність. (pdf)
    Слайди лекцій про основу, розмірність, ранг, ядро, опорну теорему, простір рядків, пробіл (pdf)
    Слайди лекцій про ортогональність, незалежність ортогональних множин, Коші-Шварц, тотожність Піфагора (pdf)

    Лінійний DE
    Лінійні DE слайди.
    Як розв'язувати лінійні ДЕ, приклади порядків від 1 до 4, пояснюється теоремою Ейлера. слайди 2008 (pdf)
    Постійні рівняння вищого порядку, однорідна та неоднорідна структура. Суперпозиція. Теорема Пікарда. Структура простору рішення. Розмір набору розчинів.
    Теорема Ейлера. Що робити зі складними коренями та спряженими парами факторів (r-a-ib), (r-a + ib).
    Як вирішити такі приклади, як y '' = 0, y '' + 3y '+ 2y = 0, y' '+ y' = 0, y '' '+ y' = 0. Формула exp (i theta) = cos (theta) + i sin (theta). Як розв’язати однорідні рівняння: за допомогою теореми Ейлера знайдіть список з n різних атомів, які є розв’язками рівняння. Конкретні приклади рівнянь першого, другого та вищих порядків.
    Як використовувати теорему Ейлера для побудови атомів лінійного диференціального рівняння.
    Поширені помилки при розв’язуванні рівнянь вищого порядку.
    Вирішені приклади на зразок задач 5.1.5.2.5.3.
    Ідентифікація атомів у лінійних комбінаціях.
    Лекція: Рівняння другого порядку. Однорідне рівняння.
    Приклад гармонійного генератора y '' + y = 0.
    Теорема Пікарда. Розмір простору розчину. Структура розчинів.
    Неоднорідне рівняння. Примусовий термін. Рівняння N-го порядку.
    Теорема простору розв’язків для лінійних диференціальних рівнянь.
    Суперпозиція. Незалежність і вронські.
    Визначення атома. Незалежність атомів.
    Основна теорема про рівняння з постійними коефіцієнтами [Рішення - це лінійні комбінації атомів].
    Підстановка Ейлера y = exp (rx). Ярлик до знаходження характеристичного рівняння.
    Основна теорема Ейлера: y = exp (rx) є розв’язком r є коренем характеристичного рівняння.
    Теорема Ейлера про множинність: y = x ^ n exp (rx) - це рішення r - корінь кратності n + 1 з характерного рівняння.
    Як розв’язати будь-яке однорідне диференціальне рівняння з постійним коефіцієнтом.
    Теорема Пікарда для вищого порядку DE та систем.

    Посилання на 9 тиждень.
    Теорема Пікарда для систем, слайди 2008 (pdf)
    Як розв'язувати лінійні ДЕ, приклади порядків від 1 до 4, пояснюється теоремою Ейлера. слайди 2008 (pdf)
    Довідково: Як розв’язати лінійні DE, слайди 2008 (pdf)
    Довідково: Розв’язування лінійних ДЕ, приклади замовлень від 1 до 4, слайди 2008 (pdf)
    Основне посилання: рецепт постійного коефіцієнта першого порядку, структура розчинів, суперпозиція (слайди, 3 сторінки у форматі PDF)
    Основне посилання: Рецепт постійного коефіцієнта першого порядку + теорія + зміна параметрів та невизначені коефіцієнти (набір, 11 сторінок pdf)
    Ch5. Рецепт постійного коефіцієнта (набір, 2 сторінки, pdf)
    Рецепт постійного коефіцієнта другого порядку + теорія (набір, 7 сторінок pdf)
    Невизначені коефіцієнти, двері кафе, двері вихованця, фазова амплітуда, резонансні слайди F2007

    10 берез: Зібрано 4.7.
    Лекція: Рівняння постійних коефіцієнтів зі складними коренями. Як розв’язати для атомів, коли характеристичне рівняння має кілька коренів або складні корені.
    Застосування теорем Ейлера для розв’язання ДЕ.
    Приклади замовлення 2,3,4. Вправи 5.1, 5.2, 5.3.
    Програми. Пружинно-масова система, гармонічні коливання, демпфіровані та незатухаючі системи, примусові системи. Рівняння схеми RLC.
    Висновки DE пружинної маси та RLC-ланцюга. Електромеханічна аналогія.
    Свердло: Відбір проб частковими фракціями.
    Свердло: Метод атомів у часткових частках.
    Свердло: прихований метод Heaviside.

    11 берез: Зібрано 4.7.
    Лекція: Диференціальні рівняння другого та вищого порядку.
    Теорема Пікарда для рівнянь другого порядку, суперпозиції, структури простору розв’язків, розмірності множини розв’язків.
    Теорема Ейлера. Знову квадратні рівняння. Постійно-коефіцієнт однорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Характеристичне рівняння та його фактори визначають атоми для лінійного DE другого порядку.
    Зразки рівнянь: y '' = 0, y '' + 2y '+ y = 0, y' '- 4y' + 4y = 0, y '' + y = 0, y '' + 3y '+ 2y = 0, mx '' + cx '+ kx = 0, LQ' '+ RQ' + Q / C = 0.
    Як вирішити для c1, c2 тощо, коли задано початкові умови.
    Теорія рівнянь та 5.3-32.
    Розв’язування ДЕ, коли характеристичне рівняння має складні корені.
    Рівняння вищого порядку або порядок 3 і 4.
    Затухаючі та незатухаючі рівняння. Фазово-амплітудна форма.
    Частково вирішено 5.4-34. DE становить 3,125 x '' + cx '+ kx = 0. Характеристичним рівнянням є 3.125r ^ 2 + cr + kr = 0, яке враховує 3.125 (r-a-ib) (r-a + ib) = 0, що має складні корені a + ib, a-ib. Завдання 32, 33 знаходять числа a, b за поданою інформацією. Це обернена задача, в якій експериментальні дані використовуються для виявлення моделі диференціального рівняння.У книзі використовуються власні позначення символів a, b: a ==> -p та b ==> omega. Оскільки два корені a + ib, a-ib визначають квадратне рівняння, тоді c і k відомі з точки зору символів a, b.
    Знаходження 2 атомів від одного складного кореня. Чому складний спряжений корінь ідентифікує однакові два атоми.
    Рівняння як із справжніми коренями, так і зі складними коренями.
    Рівняння з 4 складними коренями. Як знайти 4 атоми.
    Огляд і свердління.
    Рівняння схеми RLC та його фізичні параметри.
    Рівняння маси пружини mx '' + cx '+ kx = 0 та його фізичні параметри.
    Розв’язування більш складних однорідних рівнянь. Приклад: Лінійний DE, заданий коренями характеристичного рівняння. Приклад: Лінійний DE, заданий множниками характеристичного многочлена. Приклад: Побудуйте лінійний DE порядку 2 зі списку двох атомів, які повинні бути розв’язками. Приклад: Побудуйте лінійний DE з коренів характеристичного рівняння. Приклад: Побудуйте лінійний DE за його загальним рішенням.

    12 берез: Зібрано 4.7. Лок і Сіта, огляд іспиту. Вправи 5.1, 5.2, 5.3.

    13 берез: Нічого не потрібно.

    Лекція: 5.4 Затухаючий та незатухаючий рух. Маятник, гармонічні коливання, рівняння пружини-маси, перетворення фаз-амплітуд із триггерного курсу. Удар. Чистий резонанс. Двері кафе. Двері для домашніх тварин.
    надто затухаючий, критично затухаючий і недостатньо пригнічений, псевдоперіод
    Задачі, вирішені в класі: всі 5.2, 5.3 та 5.4-20,34

    Тиждень 8, з 2 по 6 березня: Розділи 4.2,4.3,4.4,4,7,5,1

    Тиждень 7, з 23 по 27 лютого: розділи 3.5,3.6,4.1,4.2

    Потрібно сьогодні, 3.4-20,30,34,40. Див. Примітки про проблеми в Інтернеті.
    Елементарні матриці. Інверсії елементарних матриць.
    Розв’язування B = E3 E2 E1 A для матриці A = (E3 E2 E1) ^ (- 1) B.
    Про проблему 3.5-44: Ця задача є основою фундаментальної теореми про елементарні матриці (див. Нижче). Хоча 3.5-44 є складним технічним доказом, додаткові кредитні проблеми з цього питання замінюють докази розрахунком. Див. Xc3.5-44a та Xc3.5-44b.

    Як робити 35.-16 у клена. Кленові анси чеки.
    Фундаментальна теорема про послідовності кадрів
    ТЕОРЕМА. Якщо A2 - кадр відразу після кадру 1, A1, то A2 = E A1, де E - елементарна матриця, побудована з ідентифікаційної матриці I шляхом застосування однієї комбінації операцій набору інструментів (s, t, c), обміну (s, t) або мульти (t, m).
    ТЕОРЕМА. Якщо A є першим кадром, а B - пізнішим кадром у послідовності, то існують елементарні своп, комбіновані та багатоматричні матриці E_1 на E_n такі, що послідовність кадрів A -> B може бути записана як рівняння множення матриці
    B = E_n E_ . E_1 A.
    ТЕОРЕМА. 4 правила для обчислення будь-якого детермінанта можуть бути скомпільовані у два правила: (1) трикутне правило та (2) det (EA) = det (A) det (A), де E - елементарна комбінована, своп або мультиматриця.

    1. Обчислення за 4 правилами, кофакторне розширення, гібридні методи.
    2. Теорема про визначальний добуток det (AB) = det (A) det (B).
    3. Правило Крамера для розв’язання Сокири = b.
    4. Регулювання зворотної формули зворотне (A) = регулювання (A) / det (A).

    25 лютого:
    Цифрові фотографії та матриці.
    Веб-довідка: Датчики зображень, цифрові фотографії, шахова аналогія, візуалізація додавання матриці та скалярне множення.
    Слайди цифрових фотографій та матричних операцій S2009
    Цифрові слайди для фотографій F2008
    Лекція: Правило Кофактора та матриця регулювання.
    Як обчислити розширення кофактора.
    основні теореми.
    A adj (A) = adj (A) A = det (A) I
    Правило Крамера для Сокири = b.
    x_1 = delta_1 / delta,. , x_n = дельта_н / дельта
    Відрегулюйте матрицю та обернені формули.

    26 лютого:
    Лекція в четвер [Loc and sita]:
    Maple Lab 3, Чисельні рішення
    Maple Lab 3 весна 2009 (pdf)
    Maple L3 snips Spring 2009 (кленовий текст)
    Файли робочого аркуша Maple: У Mozilla firefox збережіть на диск, клацнувши правою кнопкою миші, а потім "Зберегти посилання як.". Деякі браузери вимагають клавіші SHIFT, а потім клацання мишею. Відкрийте збережений файл у xmaple.
    Maple L3 snips Worksheet Spring 2009 (maple .mws)
    Числові підказки кодування DE (txt)
    Фактичне виведення символічного рішення та перевірка відповідей подаються як L3.1. Розгублений? Дотримуйтесь деталей у наступному посиланні.
    Зразок символічного звіту для рішення 2.4-3 (pdf 1 сторінка, 120k)
    Не подавайте жодних робіт для L3.1 з десятковими знаками! Повинні з'явитися лише 1,4 методи.

    Числові роботи, частини Ейлера, Хейна, RK4 - це L3.2, L3.3, L3.4.
    Вас бентежить питання, що вкласти у звіт L3.2? Виконайте те саме, що вказано у зразку звіту для 2.4-3 (нижче).
    Зразок звіту для 2.4-3. Включає символічний звіт про рішення. (pdf 3 сторінки, 350 тис.)

    Додаткове посилання, можливо, не потрібне:
    Деталі звіту на 2.4,2.5,2.6 prob 6 (pdf)

    27 лют:
    Правила кофактора, вкладені у формулу det (A) I = A adj (A) = adj (A) A.
    Детермінантні слайди 2008 (pdf)
    Приклади в класі: (1) вирішити систему 2x2 за правилом Крамерса. (2) Знайдіть запис у рядку 3, колонка 2 оберненого до A = adj (A) / det (A) як частку 2 визначників. (3) Знайдіть det (A) від A та adj (A).
    Проблемна сесія на 3.6 вправи.
    Огляд: приклади оцінки детермінант 2x2, 3x3, 4x4. Приклад правила крамерів. Приклад коригування. Обчислювальний запис 2,3 в adj (A) або оберненому (A).

    Тиждень 6, з 17 по 20 лютого: розділи 3.4,3.5,3,6,4.1


    17 лютого:
    Лекція: Проблема лабораторії клена L2.1, обговорена сьогодні. Проектоване рішення для L2.1 та L2.4.
    Свердло: алгоритм останнього кадру та скалярні та векторні форми рішення. Рівність векторів як метод перетворення скалярних розв’язків у векторні розв’язки, і навпаки.
    Лекція: Загальна будова лінійних систем. Суперпозиція.
    Властивості матриць. Правила множення матриць. Матриця множить Ax для x вектора. Лінійні системи як матричне рівняння Ax = b.
    Лекція: Фіксовані вектори, фізичні вектори i, j, k, інженерні вектори (стрілки), вектори Гіббса. Закон паралелограма. Правило голова-хвіст.
    Лекція: Набір інструментів для 8 векторів. Векторні пробіли. Прочитайте 4.1 в Едвардс-Пенні, особливо 8 властивостей.
    Огляд векторних моделей міститься в наборі слайдів
    Слайди на векторних моделях та векторних просторах 2008 (pdf)

    Набір рукописів для ch3 та ch4
    Лінійні рівняння, без матриць, ПРОЕКТ 2009 (набір, 45 сторінок, pdf)
    вектори та матриці (набір, 14 сторінок)
    Матричні рівняння (набір, 12 сторінок)
    Детермінанти та правило Крамера (набір, 11 сторінок, 140k pdf)

    18 лютого:
    Огляд та детальний аналіз лінійних рівнянь: Унікальний випадок рішення, нескінченно багато випадків розв’язання, останній алгоритм кадру. Рівність векторів. Матрично-векторні рівняння Ax = b. Векторна форма рішення як в унікальному випадку рішення, так і в останньому випадку алгоритму кадру. Суперпозиція. Загальне рішення X = X0 + t1 X1 + t2 X2 +. + tn Xn.
    Огляд: Чотири векторні моделі, векторні пробіли та набір інструментів з 8 властивостями.
    Лекція: Елементарні матриці.
    Теорема: Якщо послідовність кадрів починається з A і закінчується B, то B = (добуток елементарних матриць) A.
    Веб-довідка: Елементарні матриці
    Елементарні матричні слайди S2009

    19 лютого:
    Іспит 1. Перший іспит починається о 7 ранку в JTB 140. Запрошуються як 7:30, так і 10:45. Виберіть цей час, якщо вам потрібен додатковий час на іспитах. Другий іспит починається о 10:35 ранку. Запрошуються як 7:30, так і 10:45.

    20 лютого:
    Обговорення 3,4 проблем.
    Сьогодні, лабораторія клена L2.1.
    Лекція: Як записати послідовність кадрів як добуток елементарних матриць.
    Лекція: Як обчислити обернену матрицю з оберненого = регулювання / детермінанта, а також за послідовностями кадрів. Обернені правила.
    Веб-довідка: Побудова інверсів. Теореми про обернені.
    слайди на rref зворотний метод S2009

    Лекція: Ідеї рангу, недійсності, розмірності на прикладах.
    Більше про Ранг, Недійсність, розмірність, 3 можливості, алгоритм усунення.
    Слайди про ранг, недійсність, алгоритм усунення лютий 2009 (pdf)
    Відповідь на запитання: Що я щойно зробив, коли виявив rref (A)?
    Термін подання: понеділок: усі 3.4 див. У розділі FAQ 3.4 для отримання детальної інформації.
    Завдання 3.4-17 - 3.4-22 - це однорідні системи Ax = 0 з A у редукованій формі ешелону. Застосуйте останній агоритм кадру, а потім напишіть загальне рішення у векторній формі.
    Обговорення теореми Кейлі-Гамільтона [3.4-29] та способи вирішення проблеми 3.4-30.
    Завдання 3.4-29 використано у задачі 3.4-30. Результатом є теорема Кейлі-Гамільтона, відома теорема лінійної алгебри, яка є основою для розв'язування систем диференціальних рівнянь.
    Завдання 3.4-40 - принцип суперпозиції для матричного рівняння Ax = b. Це аналог відношення диференціального рівняння y = y_h + y_p.

    Тиждень 5, з 9 по 13 лютого: Розділи 3.1,3.2,3.3,3.4

    Тиждень 4, з 2 по 6 лютого: Розділи 2.3,2.4,2.5,2.6, 3.1, 3.2

    02 лют: Потрібно сьогодні 2.2-10,14. Усі 2.3 до ср. Термін подання 10 лютого, Maple Lab 1: Вступний клен L1.1, L1.2, L1.3 [L1.4 перенесено на 24 лютого].
    Якщо вам не вдається звернутися в цю лабораторію, перегляньте проблеми з додатковим кредитом Ch2, яка містить 2 проблеми, такі як L1.1 та L1.2.
    Огляд і читання: Будь ласка, вивчіть слайди на часткових частках.
    Теорія часткових дробів 2008 (125k pdf)
    Нелінійні моделі опору повітря F = kx '| x' |. Слайди лекцій щодо завдання читання для 2.3 та роботи Ісаака Ньютона щодо моделей підйому та спуску для кінематики з опором повітря.
    Моделі Ньютона, слайди для снарядів 2008 (pdf)
    Примітки до завдання для 2.3-10. Доступні 2.3-20, Натисніть тут.

    03 лют: Іспит 1 огляд, запитання та приклади з задач 1,2,3,4,5.
    Детальніше про проблеми 2.3 Натисніть тут.
    Огляд 2.2: моделі Verhulst із терміном збирання. Відмінності на фазових діаграмах неавтономних систем. Що нового ми бачимо в комп’ютерній графіці таких моделей.
    Вступ до проблеми Жуля Верна та її вирішення.
    Слайди про проблему Жуля Верна [читання: 2.3].
    Слайди Землі до Місяця 2008 (pdf)
    Обговорювані проблеми: 2.3-10 та 2.3-20.
    Примітки до завдання для 2.3-10. 2.3-20, включаючи зразок кленового коду:
    Глава 2, 2.3-10,20,22 примітки S2007

    Завдання для читання: докази 2.3 теорем у підручнику та виведення деталей рівнянь підйому та падіння з опором повітря.
    Починаються лекції з 2.4, 2.5, 2.6 тем з числових рішень.
    Числові слайди DE 2008 (14 слайдів pdf)
    04 лютого: Іспит 1 огляд, запитання та приклади з задач 1,2,3,4,5.
    Потрібно сьогодні, 2.3: 10, 20.
    Продовження: Вступ до числових розв’язків квадратурних задач y '= F (x), y (x0) = y0.

      Посилання на чисельні методи:
      Числові слайди DE 2008 (14 слайдів pdf)
      Числове рішення першого порядку DE (набір, 19 сторінок, 220k pdf)
      Зразок звіту для 2.4-3 (pdf 3 сторінки, 350k)
      ch2 Числові методи Слайди, вправи 2.4-5,2.5-5,2.6-5 плюс правила Rect, Trap, Simp (5 сторінок, pdf)
      Робота над 2.4, 2.5, 2.6 проводиться в лабораторії клена 3 та лабораторії клена 4. Деталі лабораторії 3:
      Maple Lab 3, Чисельні рішення
      Maple Lab 3 S2009 (pdf)
      Maple L3 snips S2009 (кленовий текст)
      Файли Maple Worksheet [.mws]: у Mozilla firefox збережіть на диск, клацнувши правою кнопкою миші, а потім "Зберегти посилання як.". Деякі браузери вимагають клавіші SHIFT, а потім клацання мишею. Відкрийте збережений файл у xmaple або maple.
      Maple L3 snips Worksheet Spring 2009 (maple .mws)
      Числові підказки кодування DE (txt)
      Фактичне виведення символічного рішення та перевірка відповідей наведено в L3.1. Не робив цього раніше.? Подібні подробиці дивіться у наступному посиланні.
      Зразок символічного звіту для рішення 2.4-3 (pdf 1 сторінка, 120k)
      Не подавайте L3.1, якщо ви подали огляд іспиту ER-1!

    Чисельна робота з використанням Ейлера, Хейна, RK4 наведена в L3.2, L3.3, L3.4.
    Вас бентежить питання, що вкласти у звіт L3.2? Виконайте те саме, що вказано у зразку звіту для 2.4-3 (нижче).
    Зразок звіту для 2.4-3. Включає символічний звіт про рішення. (pdf 3 сторінки, 350 тис.)
    Завантажте всі аркуші .mws maple на диск, а потім запустіть у maple.
    Зразок кленового коду для Euler, Heun, RK4 (maple .mws)
    Зразок кленового коду для точного звітування / помилок (maple .mws)

    05 лют: Loc and Sita, огляд іспиту 1, запитання та приклади з проблем 1,2,3,4,5.
    Обговоріть питання щодо лабораторії клена 2, особливо частини 2,3,4.
    Як представити рішення задач огляду іспиту ER-1 та ER-2 [ідентичні математичним завданням L3.1, L4.1].

    06 лютого: Продовжити лекцію з числових методів.
    Обговорено y '= 3x ^ 2-1, y (0) = 2 з розв’язком y = x ^ 3-x + 2. Точкові таблиці, з’єднати графічні точки.
    Як намалювати графіку, не знаючи рівняння розв’язку для y. Основний приклад y '= srqt (x) exp (x ^ 2), y (0) = 2. Складання крапкової таблиці шляхом наближення інтегралу F (x). Правила Rect, Trap, Simp та їх точність до 1,2,4 цифр відповідно.
    Приклад для вашого дослідження: Завдання y '= x + 1, y (0) = 1 має точкову таблицю з x = 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1 та y = 1, 1,25, 1,5625, 1,9375, 2,375. Точне рішення y = 1/2 + (x + 1) ^ 2/2 має значення y = 1, 1,28125, 1,625, 2,03125, 2,5000. Спробуйте визначити, як була побудована таблиця крапок, та визначте, яке правило [Rect, Trap, Simp] було застосовано.
    Проблеми з переглядом іспитів із символічним рішенням ER-1, ER-2 [копія клена L3.1, L4.1] мають відбутися наступного понеділка.
    Обговорення алгоритмів Ейлера, Хейна, RK4. Комп’ютерні реалізації.
    Цифровий робочий клен L3.2-L3.4, L4.2-L4.4 буде поданий після весняних канікул. Усі обговорення кленових програм відбуватимуться у вівторок. На основній лекції буде проведена одна додаткова презентація деталей лабораторії клена.
    Посилання на чисельні методи:
    Числові слайди DE 2008 (14 слайдів pdf)
    Числове рішення першого порядку DE (набір, 19 сторінок, 220k pdf)
    Зразок звіту для 2.4-3 (pdf 3 сторінки, 350k)
    ch2 Числові методи Слайди, вправи 2.4-5,2.5-5,2.6-5 плюс правила Rect, Trap, Simp (5 сторінок, pdf)

    Тиждень 3, з 26 по 30 січня: Розділи 1.5, 2.1, 2.2, 2.3.

    Посилання на 2.1, 2.2, 2.3:
    Автономні слайди DE 2008 (pdf)
    Моделі Ньютона, слайди для снарядів 2008 (pdf)
    Слайди Землі до Місяця 2008 (pdf)
    Логістичне рівняння Верхульста (набір, 5 сторінок, pdf)
    Діаграми лінії фази та біфуркації (включає "Стабільність, воронку, носик та біфуркацію") (набір, 6 сторінок, 161k pdf)
    ch2 розділи 1,2,3 Слайди: 2,1-6, 2,1-16 (кролик), 2,1-38, 2,2-4, 2,2-10, 2,3-9, 2,3-27 + швидкість виходу (8 сторінок, pdf)
    ch2 DEplot клен приклад 1 для вправ 2.2, 2.3 (1 сторінка, 1k)
    ch2 DEplot maple приклад 2 для вправ 2.2, 2.3 (1 сторінка, 1k)
    Метод часткового дробу Хевісайда (4 сторінки, 86 тис.)
    Метод Хевісайда та теорія Лапласа (153k pdf)
    Теорія часткових дробів 2008 (125k pdf)
    29 січня: Обговоріть клен 2 в лабораторії. Лекція Лока та Сіти з проблеми середнього рівня 1 4.
    Зміст: Обговорена лабораторія клена: Проблема лабораторії 2 1. Джерела на www. Проблеми, що обговорюються з 2.1 по 2.3. Проміжним зразком є ​​іспит F2008, який можна знайти в Інтернеті.
    Посилання для лабораторії клена 2:
    maple Lab 2 F2008 (pdf)
    кленовий аркуш тексту Лабораторія 2 F2008
    Детальніше про суперпозицію y = y_p_ + y_h див. У теоремі 2 у посиланні Лінійний DE, частина I (8 сторінок pdf)
    Детальніше про моделі опалення будинку читайте наступне посилання.
    Застосування лінійних рівнянь, баки для розсолу, опалення будинку (набір, 12 сторінок, pdf)

    30 січня:
    Подано сьогодні, Стор. 86, 2.1-6,16. Наступного разу: 2.2-10,14
    Лекція з теорії стійкості.
    Висвітлено в класі для 2.1, 2.2: теорія автономного DE y '= f (y), стійкість рівноважних розчинів, воронка, носик, вузол, діаграма фазової лінії, діаграма фаз, нестабільна, класифікація рівних рішень.
    Лекція: Вступ до моделей сили та тертя Ньютона.
    Вільне падіння без опору повітря F = 0.
    Моделі лінійного опору повітря F = kx '.
    Моделі нелінійного опору повітря F = k | x '| ^ 2.
    Проблема з тенісним м’ячем. Чи потрібно більше часу, щоб підніматися або довше падати?
    Проблема Жуля Верна. Ракета від землі до місяця.

    Тиждень 2, з 20 по 23 січня: Розділи 1.4, 1.5, 2.1.

    20 січня: Зібрано в класі, Сторінка 26, 1.3-8.
    Свердло: напрямні поля, два правила, теореми Пікара та Піано.
    Теорія відокремлюваних рівнянь, розділ 1.4.
    Визначення сепарабельного DE. Деякі тести.
    Приклади: 1,4-6,12,18. Повні відповіді та методи див. У Примітках до проблеми.

    Довідкові слайди для відокремлюваного DE.
    Слайди з розділеними рівняннями 2008, тест на відокремлюваність, тести I та II (9 сторінок, pdf)
    Рукопис розділених рівнянь, класифікація (pdf)
    1.4 Сторінка 40 Слайди для вправ (4 сторінки, 500 тис.)
    Як зробити перевірку відповіді клена на y '= y + 2x (ТЕКСТ 1k)
    21 січня: Зібрано в класі, Сторінка 26, 1.3-14.
    Свердло: Квадратура, інтеграл du / (1 + u ^ 2), 2u du / (1 + u ^ 2). Істинні та хибні формули тригера: arctan (tan (theta)) = theta [false], tan (arctan (x)) = x [true].
    Рішення для 1,4-6,12,18. Див. Також примітки до проблеми 1.4 на веб-сайті.
    Наступними мають бути вправи Сторінка 41, 1.4: 6, 12.
    Теорія відокремлюваних рівнянь продовжена, розділ 1.4.
    Тест на розділення: F (x) = f (x, y0) / f (x0, y0), G (y) = f (x0, y), тоді FG = f тоді і лише тоді, коли y '= f (x, y ) можна розділити. Обговорюється основна теорія.
    Основна теорія: y (x) = H ^ (- 1) (C1 + int (F)), H (u) = int (1 / G, u0..u).
    Розв'язки y = константа називаються рівноважними. Знайдіть їх за допомогою G (c) = 0. Нерівноважні розв'язки з y '/ G (y) = F (x) і квадратурного кроку. Неявні та явні рішення. Обговорення перевірок відповідей на неявні рішення, а також явні рішення. Деякі проблеми з явними рішеннями y '= 3 sqrt (xy) [1.4-6]. Розділене DE без рівноважних розв’язків. Розділене DE з нескінченною кількістю рівноважних розв’язків. Список відповідей на відокремлюваний DE. Вплив початкової умови на вилучення зі списку лише однієї формули розчину.
    Приклади для проміжної задачі 1. y '= x + y, y' = x + y ^ 2, y '= x ^ 2 + y ^ 2
    Приклад 1: Покажіть, що y '= x + y не можна розділити за допомогою TEST I або II (часткові похідні тести).
    Приклад 2: Знайдіть факторизацію f = F (x) G (y) для y '= f (x, y), задану
    (1) f (x, y) = 2xy + 4y + 3x + 6 [ans: F = x + 2, G = 2y + 3].
    (2) f (x, y) = (1-x ^ 2 + y ^ 2-x ^ 2y ^ 2) / x ^ 2 [ans: F = (1-x ^ 2) / x ^ 2, G = 1 + y ^ 2].

    Посилання на часткові фракції: Рукопис методу прикриття Heaviside, 4 сторінки pdf
    22 січня: Лок і Сіта представляють проблеми 2,3 середнього зразка 1. Запитання по 1.3, 1.4. Перегляньте та просвердліть ch1.
    23 січня:
    Збирайте в класі Сторінка 41, 1.4: 6, 12. Наступного разу Сторінка 41, 1.4: 18, 22, 26
    Ознайомтесь із методом розділення змінних. Обговоріть залишилися вправи 1,4.
    Початок 1.5, теорія лінійного DE y '= - P (x) y + Q (x). Інтегруючий фактор, частка, яка замінює двозначний вираз y '+ py.
    Класифікація y '= f (x, y): квадратурна, сепараційна, лінійна. Схема Венна класів. Приклади різних типів.
    Випробування для квадратурного (f_y = 0) та лінійного (f_y indep від y) типів.
    Метод лінійного інтегруючого фактора 1.5. Застосування до y '+ 2y = 1 та y' + y = e ^ x.Тестування лінійного DE y '= f (x, y) за допомогою f_y, незалежного від y. Приклади лінійних рівнянь та нелінійних рівнянь. Теорема Пікарда передбачає, що лінійний DE має унікальне рішення. Основна теорема про лінійне DE та явне загальне рішення.


    2250 S2007 7:30 та 10:45 Запис лекцій


    23 квіт: Зібрано Сторінка 597, 10.3: 6, 18
    Лекція: Огляд розділів 10 та 7 випускного іспиту, а також один приклад із розділу 6 про модель Фур'є для x '= Ax. Часткові частки, метод Хевісайда, ярлики, безпечний метод часткових дробів, системи двох диференціальних рівнянь, правило Крамера, методи інверсії матриць, як написати рішення, яке відкладає оцінку часткових дробів констант до кінця. Використання оберненої теореми Лапласа та Лерха. Методи часткової частки для складних коренів і коренів кратності вище одиниці.


    24 квіт: Чен і Тодоров: Лекція з розділів 6 та 5, остаточний огляд іспиту.


    25 квіт: Зібрано Сторінка 606, 10.4: 22
    Лекція: Підсумковий огляд іспиту, продовження, розділи 4 та 3.

    Тиждень 14, 16, 18, 20 квітня: розділи 10.1, 10.2, 10.3, 10.4


    16 квіт: Зібрано Сторінка 425, 7.3: 8, 20, 30
    Лекція: Огляд іспиту. Вступ до методу Лапласа. Метод квадратури для рівнянь та систем вищого порядку. Теорема Лерха. Пряме перетворення Лапласа == інтеграл Лапласа == L (f (t)). Теорема зсуву. Теорема про частини. Лінійність. Теорема s-диференціації. Форвардний стіл. Зворотна таблиця. Розширення таблиці.

    Посилання на теорію Лапласа 14 тиждень.
    Слайди Лапласа Ch10, 10,1 - 10,4 (9 сторінок, 1,9 млн pdf)
    Рукопис набору теорії Лапласа (34 сторінки, 290 тис. Pdf)
    Метод Хевісайда, набір (4 сторінки, 84K pdf)

    17 квіт: Проміжні 3, 5 проблеми

    18 квіт: Зібрано Сторінка 438, 7.4: 6, Сторінка 576, 10.1: 18, 28
    Ch5 додатковий кредит до сплати.
    Лекція: Розв’язування диференціальних рівнянь методом Лапласа. Огляд правил та таблиці [числення Лапласа]. Часткові дроби. Використання тригональних ідентичностей [sin 2u = 2 sin u cos u тощо].

    20 квіт: Зібрані кленові механічні коливання L6.1, L6.2, L6.3
    Зібрані сторінки 588, 10.2: 10, 16, 24
    Лекція: Розширення часткових часток, придатні для теорії ЛаПласа. Розв’язування проблем початкових значень методом ЛаПласа. Деталі зворотної таблиці та прямої таблиці. Інформація про еквівалентність оберненої до L та теореми Лерха. Затримка використання оберненого до L останнього кроку рішення. Як боротися зі складними факторами, такими як s ^ 2 + 4. Метод прикриття Хевісайда і як він працює. Це була остання лекція з теорії ЛаПласа. Наступний тиждень: Підсумковий огляд іспиту протягом 3 днів поспіль + інші приклади LaPlace.

    Тиждень 13, 9,11,13 квітня: Розділи 7.1,7.2,7.3,7.4,10.1


    9 квіт: Зібрано Сторінка 370, 6.1: 12, 20, 32, 36

    Лекція: Ейгенаналіз вирішив задачі, зразки іспиту. Як використовувати детермінанти та послідовності кадрів для пошуку власних пар та пакетів P, D. Перевірка відповідей на власні пари [обчислити AP та PD, а потім порівняти AP = PD].
    Системи диференціальних рівнянь, перетворення 2x2 скалярних лінійних рівнянь у векторно-матричні системи x '= Ax, розв'язування динамічних систем (2x2), основна теорема власного аналізу та x' = Ax.

    Лекція: Системи диференціальних рівнянь, підстановка швидкості положення, перетворення скалярних рівнянь у векторно-матричні системи, загальне рішення, огляд задач до іспиту 3 [Модель Фур'є, невизначені коефіцієнти]. Вирішення x '= Ax, коли A є діагональною матрицею [метод ch1] або коли A є недіагональною (метод ch5). Вирішення x '= Ax за допомогою ейгенаналізу.

    13 квіт: Зібрано Сторінка 400, 7.1: 8, 20
    Лекція: Перевірка відповідей на загальне рішення, тест Вронського на незалежність. Системи другого порядку. Складні власні значення та як поводитися з виразами для реальних розв’язків у методі ейгеналізу. Задачі з 7.2, 7.3.

    12 тиждень, 2,4 квітня: Розділи 5.6, 6.1, 6.2


    02 квіт: Зібрано 5.4-20,34.

    Лекція: Експеримент з фужером (7:30). Такома звужується, резонанс і вихровий линь. Солдати марширують у каденції. Теореми про mx '' + kx = F0 cos (омега t). Теореми про mx '' + cx '+ kx = F0 cos (омега t). Обмежені та необмежені рішення. Унікальне періодичне стійке рішення. Чисто резонансна омега = sqrt (к / м). Практичний резонансний омега = sqrt (k / m - c ^ 2 / (2m ^ 2)). Резонанс і правило виправлення: omega = sqrt (k / m) тоді і тільки тоді, коли правило виправлення стосується mx '' + kx = F0 cos (омега t).
    Завдання, розв’язані в класі: 5.4-34, 5.6-4,8,18.

    03 квіт: Чен і Тодоров читають лекцію про 5,5 проблеми та дві проблеми з ключа F2006 середнього рівня 3. Вони подаватимуть запитання щодо 5.6, а також додаткові кредитні проблеми (ch5).
    Тодоров: Проблеми 5.5. Іспит 3 - Завдання 1 і 2.
    Чен: Іспит 3, завдання 1 і 2, невизначений коефіцієнт та варіація параметра.


    04 квіт: Зібрано в класі, Сторінка 346, 5.5: 6, 12, 22.

    Лекція: Ще один приклад невизначених коефіцієнтів. Вступ до ейгеналізу. Модель Фур'є. Історія. Як знайти змінні лямбда та v у моделі Фур’є за допомогою детермінант та послідовностей кадрів.

    Слайди існують для задач 6.1 та 6.2. Перегляньте веб-сайт із відсканованими PDF-файлами розміром 1,3 Мб.

    06 квіт: Зібрано в класі, Сторінка 346, 5.5: 54, 58, Сторінка 357, 5.6: 4, 8, 18

    Лекція: Ейгеналіз триває. Діагоналізація. Диференціальні рівняння. Власні значення з детермінант та власні вектори з послідовностей кадру. Складні власні значення та власні вектори.

    Тиждень 11, 26, 28, 30 березня: розділи 5.5, 5.4, 5.6


    26 квіт: Зібрано 5,1 завдання з 34 по 48.

    Лекція: 5.5 варіація параметрів та невизначені коефіцієнти.


    27 берез: Лекція Чена і Тодорова з лабораторії клена 5, 5.4-34, 5.3-16, 5.3-32.

    Чен і Тодоров: Сьогодні в класі: Maple L5, 5.3-16 і 5.3-32. Раціональні корені багаточленів із цілими коефіцієнтами.

    28 квіт: Зберіть 5,2 і половину 5,3.

    Лекція: невизначені коефіцієнти, правило виправлення, пов’язані атоми, функція atomRoot та правило виправлення. Як швидко знайти пробні рішення. Розділ 5.5 Едвардса-Пенні. Два набори нотаток були розподілені в класі, один на понеділок (розв’язання однорідного рівняння) і один на сьогодні (розв’язання для y_p за невизначеними коефіцієнтами).

    30 берез: Зберіть останню половину 5,3 і клен 5. Якщо ви не змогли закінчити клен 5, то подивіться на клен 5 + 6 додатковий кредит у розділі 5 додатковий кредит. Це джерело з’явиться незабаром в Інтернеті.

    Лекція: Розділи 5.4, 5.6.
    5.4: Затухаючий і незатухаючий рух. Маятник, гармонійні коливання, рівняння маси пружини, перетворення фази-амплітуди з триггерного курсу, надто затухаючий, критично демпфірований і затухаючий, псевдоперіод.
    5.6: Застосування невизначених коефіцієнтів. Більше прикладів правил виправлення. Чистий резонанс і практичний резонанс. Такома звужує міст. Солдати в каденції. Затухаючі вимушені коливання. Практичні резонансні сюжети.

    Тиждень 10, 12,14,16 березня: Розділи 5.1, 5.2, 5.3, 5.4


    12 берез: Зібрано 4,4-6,24 та додатковий кредит Ch3.
    Огляд іспиту: знову завдання 2,3.
    Лекція: Диференціальні рівняння другого та вищого порядку.
    Атом, незалежність атомів, теорема Пікарда для рівнянь другого порядку, суперпозиція, структура простору розв’язків, розмірність набору розв’язків. Знову квадратні рівняння. Постійно-коефіцієнт однорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Висновки DE з пружинною масою і RLC-ланцюга. Електромеханічна аналогія.

    Якщо ви не закінчили кленову лабораторію 4, то, будь ласка, попрацюйте над додатковими проблемами кредитної лабораторії клена в додатковому кредиті Ch4. Додаткові проблеми з кредитом з’являться в Інтернеті протягом перерви.

    Лекція: Завдання 5.1,5.2,5.3.
    Ідентифікація атомів у лінійних комбінаціях. Розв’язування більш складних однорідних рівнянь.

    Тиждень 9, 5,7,9 березня: Розділи 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7

    Індукція, 3,6-60 та середньострокові проблеми 2,3.
    Чен: Ми зробили 3,6-60, а потім середньострокові завдання 2,3.
    07 берез: 4.2 проблеми через.
    Лекція: Пробіли між рядками та стовпцями. Теорема опори. Еквівалентні основи. Докази, що включають підпростори для векторних просторів V, пакети елементів даних яких є функціями. Незалежність функцій: тест вибірки та тест Вронскіана. Огляд тесту RREF [RANK] та DETERMINANT на незалежність нерухомих векторів.

    09 квіт: Maple Lab 3 та 4.3.
    Огляд іспиту триває з вівторка: проблема 1 та проблема 4.
    Лекція: Ортогональність. Загальні векторні простори. Проблемна сесія 4.4, 4.5, 4.6, 4.7.

    Тиждень 8, 26, 28 лютого, 2 березня: Розділи 3.6, 4.1, 4.2, 4.3

    Тиждень 7, 20, 21, 23 лютого: розділи 3.6, 4.1


    20 лютого: Чен і Тодоров оглядають 3.4 завдання 20, 30, 34, 40, лабораторія клена 2, питання щодо лабораторії клена 3.

    Maple Lab 3, Чисельні рішення
    Maple Lab 3 весна 2007 (pdf)
    Maple L3 snips Spring 2007 (кленовий текст)
    Файли робочого аркуша Maple: У Mozilla firefox збережіть на диск, клацнувши правою кнопкою миші, а потім "Зберегти посилання як.". Деякі браузери вимагають клавіші SHIFT, а потім клацання мишею. Відкрийте збережений файл у xmaple.
    Maple L3 snips Worksheet Spring 2007 (maple .mws)
    Числові підказки кодування DE (txt)
    Фактичне виведення символічного рішення та перевірка відповідей подаються як L3.1. Розгублений? Дотримуйтесь деталей у наступному посиланні.
    Зразок символічного звіту для рішення 2.4-3 (pdf 1 сторінка, 120k)
    Не подавайте жодних робіт для L3.1 з десятковими знаками! Повинні з'явитися лише 1,4 методи.

    Числові роботи, частини Ейлера, Хейна, RK4 - це L3.2, L3.3, L3.4.
    Вас бентежить питання, що вкласти у звіт L3.2? Виконайте те саме, що вказано у зразку звіту для 2.4-3 (нижче).
    Зразок звіту для 2.4-3. Включає символічний звіт про рішення. (pdf 3 сторінки, 350 тис.)

    Додаткове посилання, можливо, не потрібне:
    Деталі звіту на 2.4,2.5,2.6 prob 6 (pdf)
    21 лютого: усі 3,4 проблеми через, 3,4-20,30,34,40
    Лекція: 3,5 елементарні матриці, 3,6 теорія детермінант та правило Крамера.
    Поширений у класі: ксерокс на елементарних матрицях, побудова обернених. Теореми про обернені. Визначники елементарних матриць. Відкоригуйте формулу для оберненого. Огляд правил Сарруса.
    Теорема: rref (A) = (добуток елементарних матриць) A.
    Додатковий кредит Ch3 доступний в Інтернеті 21 лютого.

    23 лютого: Проблем немає. Будь ласка, працюйте над проблемами 3.6 та 4.1.
    Лекція: 3.6 теорема про детермінанти для елементарних матриць, розкладання кофакторів, чотири правила для детермінант. Гібридні методи для обчислення визначника. Правило Крамера. Регулююча матриця. Робочий аркуш у класі про правило Крамера для 2x2 та про формування ад’югатів, неповнолітніх, кофакторів. Як обчислити обернену матрицю з оберненого = регулювання / визначника, а також за послідовностями кадру. Спеціальні теореми для визначників, що мають нульовий рядок, дублюють рядки або пропорційні рядки. Як користуватися 4 правилами.
    слайди для 3,6 теорії детермінант
    Ch3 Сторінка 149+ слайдів, вправи 3.1 - 3.6 (6 сторінок, 890 тис. Pdf)
    Детермінанти та правило Крамера (набір, 11 сторінок, 140k pdf)

    6 тиждень, 12, 14, 16 лютого: розділи 3.3, 3.4, 3.5

    Тиждень 5, лютий 5,7,9: Розділи 2.3, 2.5, 2.6, 3.1

    Тиждень 4, 29, 31 січня, 2 лютого: розділи 2.2, 2.3, 2.4,

      Посилання на чисельні методи:
      Числове рішення першого порядку DE (набір, 19 сторінок, 220k pdf)
      Зразок звіту для 2.4-3 (pdf 3 сторінки, 350k)
      ch2 Числові методи Слайди, вправи 2.4-5,2.5-5,2.6-5 плюс правила Rect, Trap, Simp (5 сторінок, pdf)
      Робота над 2.4, 2.5, 2.6 проводиться в лабораторії клена 3 та лабораторії клена 4. Деталі лабораторії 3:
      Maple Lab 3, Чисельні рішення
      Maple Lab 3 весна 2007 (pdf)
      Maple L3 snips Spring 2007 (кленовий текст)
      Файли робочого аркуша Maple: У Mozilla firefox збережіть на диск, клацнувши правою кнопкою миші, а потім "Зберегти посилання як.". Деякі браузери вимагають клавіші SHIFT, а потім клацання мишею. Відкрийте збережений файл у xmaple.
      Maple L3 snips Worksheet Spring 2007 (maple .mws)
      Числові підказки кодування DE (txt)
      Фактичне виведення символічного рішення та перевірка відповідей подаються як L3.1. Розгублений? Дотримуйтесь деталей у наступному посиланні.
      Зразок символічного звіту для рішення 2.4-3 (pdf 1 сторінка, 120k)
      Не подавайте жодних робіт для L3.1 з десятковими знаками! Повинні з'явитися лише 1,4 методи.

    Числові роботи, частини Ейлера, Хейна, RK4 - це L3.2, L3.3, L3.4.
    Вас бентежить питання, що вкласти у звіт L3.2? Виконайте те саме, що вказано у зразку звіту для 2.4-3 (нижче).
    Зразок звіту для 2.4-3. Включає символічний звіт про рішення. (pdf 3 сторінки, 350 тис.)


    Перегляньте відео: Dalles matte - Substitutionsmetoden (Найясніший 2022).