Статті

Позаднє питання - математика

Позаднє питання - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Позаднє питання - математика

Позаднє питання - математика

Бібліотека Adobe PDF 9.0 модифікована за допомогою iText 4.2.0 на 1T3XT

кінцевий потік endobj 18 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 19 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 LCc | @ @. `endstream endobj 20 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 21 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 LC | @ @. ] кінцевий потік endobj 22 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 23 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 L | @ @. 0 кінцевий потік endobj 24 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 25 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 LS | @ @. 1 кінцевий потік endobj 26 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 27 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 LC # | @ @. _ endstream endobj 28 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 29 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 LCC | @ @. ^ кінцевий потік endobj 30 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 31 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 LC | @ @. - кінцевий потік endobj 32 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 33 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 Ls | @ @. 3 кінцевий потік endobj 34 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 35 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 Lc | @ @. / кінцевий потік endobj 36 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 37 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 L | @ @. 4 кінцевий потік endobj 38 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 39 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 L | @ @. , кінцевий потік endobj 40 0 ​​obj> потік x + | кінцевий потік endobj 41 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 L3 | @ @. 2 кінцевий потік endobj 42 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 43 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 LK | @ @. 5 кінцевий потік endobj 44 0 obj> потік x + | кінцевий потік endobj 45 0 obj> потік x S * * T0T0 BC 3c = 3 L # | @ @. . кінцевий потік endobj 47 0 obj> потік H W r H + x, D 0j s xdO H7 1 Q V *, ( t8L j Z ˗?


Передня справа

Основна частина книги складається з її дуже перші сторінки: титульна сторінка, сторінка авторських прав, зміст тощо. Також може бути передмова автора або передмова когось, хто знайомий з їх роботою.

Незважаючи на те, що багато читачів пропускають це, головна частина містить досить важливу інформацію про автора та видавця книги. А у тих, хто її читає, переднє питання формує їхнє перше враження, тож переконайтеся, що ви це правильно зрозуміли!

Титульна сторінка

Повна назва та ім’я автора, як вони з’являються на обкладинці.

Фронтальний диск

Декоративна ілюстрація чи фотографія, що з’являється на сторінці наступний на титульну сторінку. Зазвичай йде зліва.

Фронтиспис від Хоббіта (зображення: Sotheby's)

Похвали

Цитати шановних рецензентів та публікації на похвалу книзі. Ця похвала часто з’являється і на задній обкладинці.

Сторінка авторських прав

Сторінка авторських прав, яку також називають „колофоном”, містить технічну інформацію про авторські права, дати видання, гарнітури, ISBN, а також про видавця та принтер. Зазвичай з’являється на звороті титульної сторінки.

Сторінка присвячення

Сторінка, на якій автор називає людину чи людей, яким вони присвячують свою книгу, і чому. Зазвичай це відбувається після сторінки авторських прав.

Зміст

Список заголовків розділів та номерів сторінок, де вони починаються. Зміст (скорочено ToC) повинен перерахувати всі основні розділи, що слідують за ним, обидва основні і назад матерія.

Епіграф

Цитата чи уривок, що вказує на тематику книги, епіграф може бути взято з іншої книги, вірша, пісні чи майже будь-якого джерела. Зазвичай це відбувається безпосередньо перед першим розділом.

Епіграфи з Гаррі Поттера та Дарів Смерті

Передмова

Вступ, написаний автором, передмова розповідає про те, як книга з’явилася, або дає контекст для поточного видання.

Передмова

Вступ, написаний іншою людиною, як правило, другом, членом сім'ї або вченим про авторські роботи.


Використання логарифмів та експоненціальних чисел

Загальний логарифм числа (журналу) - це ступінь, до якої 10 потрібно підняти, щоб дорівнювати цьому числу. Наприклад, загальний логарифм 100 дорівнює 2, оскільки 10 потрібно підняти до другого ступеня, щоб дорівнювати 100. Наведемо додаткові приклади.

Кількість Число, виражене експоненціально Загальний логарифм
1000 10 3 3
10 10 1 1
1 10 0 0
0.1 10 −1 −1
0.001 10 −3 −3
Таблиця 1. Логарифми та експоненційні числа

Що таке загальний логарифм 60? Оскільки 60 лежить між 10 і 100, які мають логарифми 1 і 2, відповідно, логарифм 60 дорівнює 1,7772, тобто

Загальний логарифм числа менше 1 має від’ємне значення. Логарифм 0,03918 дорівнює -1,4069, або

Щоб отримати загальний логарифм числа, використовуйте журнал на калькуляторі. Щоб обчислити число з його логарифму, візьміть зворотний журнал логарифму або обчисліть 10 х (де х - логарифм числа).

Натуральний логарифм числа (ln) - це потужність, до якої e потрібно підняти, щоб дорівнювати кількості e - константа 2,7182818. Наприклад, натуральний логарифм 10 дорівнює 2,303, тобто

Щоб отримати натуральний логарифм числа, використовуйте ln на калькуляторі. Щоб обчислити число з його натурального логарифму, введіть натуральний логарифм і візьміть обернене значення ln натурального логарифму або обчисліть e x (де х - натуральний логарифм числа).

Отже, логарифми є експонентами, операції з логарифмами дотримуються тих самих правил, що і операції з експонентами.

    Логарифм добутку двох чисел - це сума логарифмів двох чисел.


Кафедра математики

Інсталяція, яку називають Математичною хімією, оспівує красу та творчість математики.

Використання досвіду викладання та математичних навичок з користю.

Пейдж Балут ‘21 знаходить способи допомогти своїй громаді у пандемії, пропонуючи свої навички вихователя.

Чому вивчати математику в PLU?

Кафедра математики PLU пропонує широкий вибір освітніх та кар'єрних цілей.

Математика в ПЛУ

Багато людей думають про математику як про давній предмет, правила якого були встановлені греками, індусами та математичними героями європейського Просвітництва - Ньютоном, Лейбніцам і Гаусом, які дали нам сучасний рахунок. Насправді більшість математик було створено в минулому столітті, і зараз проводиться більше математичних досліджень, ніж будь-коли раніше! Ця нова математика має важливе значення для того, як працюють комп’ютери, як оцифровується музика, як витончені інвестори заробляють гроші у світі фінансів, як фізики моделюють природу матерії та як веб-пошукові системи, такі як Google, знаходять потрібну веб-сторінку, а також в безлічі інших підприємств.

У PLU ми навчимо вас класичним математичним інструментам, які вам потрібні, щоб зрозуміти новітні розробки та сучасні програми.

Незалежно від того, чи ваша мета - вивчити математику для прикладної програми - проблеми моделювання в науці, техніці, економіці чи фінансах під час підготовки до кар’єри в початковій чи середній освіті або для подальшого навчання в аспірантурі, ми будемо кидати виклик, надихати та інформувати вас про математику 'краса і сила, а також її теорія та застосування. Окрім бакалаврів мистецтв та бакалаврів природничих спеціальностей з традиційної математики, PLU пропонує шановану спеціальність математичної освіти, призначену для студентів, які планують викладати математику в середній школі.

Для студентів, які цікавляться математикою на підтримку іншого напряму, PLU пропонує неповнолітнім з математики, статистики та актуарної науки (для тих, хто планує кар’єру в страховій галузі). Незалежно від того, станете ви професіональним математиком, кількісні навички вирішення проблем та критичного мислення, розроблені для здобуття спеціальності з математичної програми PLU, дозволять вам вирішувати кількісні та аналітичні завдання скрізь, куди веде ваш кар'єрний шлях.


Система числення та арифметичні дії

Єгиптяни, як і римляни після них, виражали числа за десятковою схемою, використовуючи окремі символи для 1, 10, 100, 1000, і так далі кожен символ з'являвся у виразі для числа стільки разів, скільки значення, яке воно представляло, відбулося у самому номері. Наприклад, означало 24. Це досить громіздке позначення було використано в ієрогліфічних письмах, знайдених у кам’яних написах та інших формальних текстах, але в папірусових документах книжники використовували більш зручний скорочений шрифт, званий ієратичним письмом, де, наприклад, було написано 24 / >.

У такій системі додавання і віднімання дорівнює підрахунку, скільки символів кожного виду є в числових виразах, а потім переписуванню з отриманою кількістю символів. Тексти, які вижили, не розкривають, які, якщо такі існували, спеціальні процедури, які писарі використовували для сприяння в цьому. Але для множення вони запровадили метод послідовного подвоєння. Наприклад, щоб помножити 28 на 11, будується таблиця кратних 28, подібна до такої:

Кілька записів у першому стовпці, які разом складають 11 (тобто 8, 2 та 1), відмічені. Потім товар знаходять шляхом складання кратних, що відповідають цим записам, таким чином, 224 + 56 + 28 = 308, бажаний товар.

Щоб розділити 308 на 28, єгиптяни застосували ту саму процедуру навпаки. Використовуючи ту саму таблицю, що і в задачі на множення, можна побачити, що 8 видає найбільший кратний 28, що менше 308 (для запису на 16 це вже 448), а 8 відмічено. Потім процес повторюється, цього разу для залишку (84), отриманого відніманням запису в 8 (224) від вихідного числа (308). Однак це вже менше, ніж запис у 4, що, отже, ігнорується, але це більше, ніж запис у 2 (56), який потім відмічається. Процес повторюється ще раз для залишку, отриманого відніманням 56 від попереднього залишку 84 або 28, що також трапляється рівним входу в 1 і який потім відмічається. Зазначені записи складаються, отримуючи частку: 8 + 2 + 1 = 11. (Звичайно, у більшості випадків є залишок, менший за дільник.)

Для більших чисел цю процедуру можна вдосконалити, враховуючи множини одного з множників на 10, 20, ... або навіть на більш високі порядки (100, 1000, ...), якщо це необхідно (у десяткових позначеннях в Єгипті ці кратні просто розробити). Таким чином, можна знайти добуток 28 на 27, виставивши кратні 28 на 1, 2, 4, 8, 10 і 20. Оскільки записи 1, 2, 4 і 20 складаються з 27, лише скласти відповідні кратні, щоб знайти відповідь.

Обчислення, що включають дроби, проводяться за обмеженням на одиничні частини (тобто дроби, які в сучасних позначеннях пишуться з 1 як чисельник). Щоб виразити результат ділення 4 на 7, наприклад, що в сучасних позначеннях просто 4/7, писар писав 1/2 + 1/14. Процедура знаходження коефіцієнтів у цій формі просто розширює звичайний метод ділення цілих чисел, коли зараз перевіряють записи на 2/3, 1/3, 1/6 тощо тощо, і 1/2, 1/4, 1/8 тощо, до тих пір, поки відповідні кратні дільника не підсумуються до дивіденду. (Письменники включали 2/3, можна спостерігати, хоча це не одинична частка.) На практиці процедура іноді може стати досить складною (наприклад, значення 2/29 дається в папірусі Rhind як 1 / 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) і можуть бути розроблені різними способами (наприклад, той самий 2/29 може бути знайдений як 1/15 + 1/435 або як 1/16 + 1 / 232 + 1/464 тощо). Значна частина текстів папірусу присвячена таблицям для полегшення пошуку таких значень одиничних часток.

Ці елементарні операції - все, що потрібно для вирішення арифметичних задач у папірусах. Наприклад, “щоб розділити 6 хлібів між 10 чоловіками” (папірус Рінда, задача 3), просто ділимо, щоб отримати відповідь 1/2 + 1/10. В одній групі задач використовується цікавий фокус: “Кількість (аhа) і його 7-е разом становлять 19 - що це? " (Задній папірус, проблема 24). Тут спочатку припускаємо, що кількість дорівнює 7: оскільки 1 1 /7 з нього стає 8, а не 19, приймається 19/8 (тобто 2 + 1/4 + 1/8), а його множення на 7 (16 + 1/2 + 1/8) стає необхідною відповіддю. Цей тип процедур (який іноді називають методом "хибної позиції" або "хибного припущення") знайомий у багатьох інших арифметичних традиціях (наприклад, китайській, індуїстській, мусульманській та європейській епосі Відродження), хоча, як видається, вони не мають прямого зв'язку до єгипетського.


ДНК-математика: наскільки назад значення має рід?

Багато оточуючих Акадіану вважають, що Марді Гра їм у крові. Святкувати це - хоч вони це роблять - зазвичай, як це святкували і їх батьки. Або батьків своїх батьків чи навіть бабусь і дідусів батьків.

З акцентом, який так багато людей в регіоні приділяють своїй спадщині, Марді Гра змусив мене знову подумати про генеалогію - або, можливо, це більше генетика, ніж генеалогія. Ось що я маю на увазі. Оскільки у кожного з нас двоє батьків, ці батьки вносять 50 відсотків нашого генетичного складу. Їхні батьки, наші біологічні бабусі та дідусі, вносять приблизно 25 відсотків кожному.

Я кажу приблизно, бо виявляється, що не виключено, що материнська лінія може внести трохи більше.

“Є винятки з ДНК та спадковості та того, як ми міняємо місцями ДНК. Наприклад, частина нашої ДНК успадковується лише за нашою материнською лінією », - сказав доктор медичних наук Генрі Кауфман. "Існує також перестановка ДНК, яка продовжується. Ви успадковуєте трохи більше ДНК від своєї матері, ніж інші бабусі та дідусі ».

Але різниця незначна, тому для наших цілей ми просто продовжуватимемо з прямими поділами від одного покоління до наступного.

Залишайтеся зі мною тут, поки ми продовжуватимемо розрахунок ДНК. Наші вісім прабабусь і дідусів вносять по 12,5 відсотків нашої ДНК. У нас є 16 прабабусь і друзів - кожен з них вносить 6,25 нашої ДНК. У нас є 32 третіх прадідуся і бабусі - і кожен з них вносить по 3.125 нашої ДНК.

Ви бачите експоненціальну тенденцію - і, звичайно, вона продовжується і продовжується. У нас є 64 четвертих прадідуся - і кожен вносить 1,56 нашої ДНК, і ми маємо 128 п’ятих прадідусів, які вносять по 0,78, менше одного відсотка, нашої ДНК. І на цьому я зупинюсь на уроці математики.

Помістити покоління в якусь історичну перспективу. Будьмо щедрими і скажемо, що наші другі прадідусі і бабусі народились приблизно за 100 років до нас. Це означає, що наші п’яті прабабусі і дідусі, як правило, народилися менш ніж за 200 років до нас. Коли я замислювався над цією математикою ДНК, я дедалі більше замислювався над тим, наскільки швидко генетичний вплив попередніх поколінь може зникнути.

Кауфман сказав мені, що ДНК деяких ранніх предків може повністю випасти. Він також згадав, що одна риса з позитивними перевагами може швидко вловитись і швидко домінувати.

Думаючи і обговорюючи просту математику ДНК, я переконав мене, що попередні покоління ще з далеких часів можуть мати значення менше, ніж я уявляв раніше. На основі лише ДНК, здається, життя набагато більше стосується наших безпосередніх обставин та попереднього покоління, не кажучи вже про наступне.

Зосередження уваги на наступному поколінні - це, я гадаю, кінцевий намір кожного покоління. Наприклад, коли у мене народилася найстарша дочка, я зрозумів, що ніколи більше нічого не можу робити абсолютно альтруїстично.Що б я не робив з цього моменту, які б зусилля зробити світ кращим, це відбуватиметься з місця несвідомого егоїзму. Я запрограмований на те, щоб хотіти зробити світ кращим для неї. Що є, я припускаю, тим самим невід’ємним потягом, який мав і кожен із сотень поколінь до нас.


Зміст

Жодних автентичних праць Піфагора не збереглося [5] [6] [7], і майже нічого точно не відомо про його життя. [8] [9] [10] Найдавніші джерела з життя Піфагора є короткими, неоднозначними і часто сатиричними. [7] [11] [12] Найдавнішим джерелом вчення Піфагора є сатирична поема, написана, ймовірно, після його смерті Ксенофаном Колофонським, який був одним із його сучасників. [13] [14] У вірші Ксенофан описує Піфагора, який заступається від імені собаки, яку б’ють, сповідуючи, що в її криках розпізнає голос покійного друга. [12] [13] [15] [16] Алкмеон Кротонський, лікар, який жив у Кротоні приблизно в той самий час, коли там жив Піфагор [13], включає в свої праці багато піфагорійських вчень [17] і натякає на те, що можливо Піфагор особисто. [17] Поет Геракліт з Ефесу, який народився через кілька миль моря від Самосу і, можливо, жив ще за життя Піфагора, [18] висміював Піфагора як розумного шарлатана [11] [18], відзначаючи, що "Піфагор, син Мнесарха, займався розслідуванням більше, ніж будь-яка інша людина, і, вибираючи з цих творів, він вигадав собі мудрість - багато вченості, хитромудрості ". [11] [18]

Грецькі поети Іон Хіосський (бл. 480 - бл. 421 до н. Е.) Та Емпедокл Акразький (бл. 493 - бл. 432 до н. Е.) Обидва висловлюють захоплення Піфагором у своїх віршах. [19] Перший стислий опис Піфагора походить від історика Геродота з Галікарнаса (бл. 484 - бл. 420 р. До н. Е.) [20], який описує його як "не самого незначного" грецьких мудреців [21] і стверджує, що Піфагор навчав своїх послідовників, як досягти безсмертя. [20] Точність творів Геродота суперечлива. [22] [23] [24] [25] [26] Писання, що приписуються піфагорійському філософу Філолаю Кротонський, який жив наприкінці V століття до нашої ери, є найбільш ранніми текстами для опису нумерологічних та музичних теорій, які згодом приписували до Піфагора. [27] Афінський ритор Ісократ (436–338 рр. До н. Е.) Перший описав Піфагора як відвідувача Єгипту. [20] Арістотель написав трактат Про піфагорійців, якого вже немає. [28] Деякі з них можуть бути збережені в Протрептикус. На цю ж тему писали також учні Арістотеля Дікаарг, Арістоксен і Гераклід Понтій. [29]

Більшість основних джерел життя Піфагора відносяться до римського періоду [30], до цього моменту, на думку німецького класициста Вальтера Буркерта, "історія піфагорійства вже була. Копітка реконструкція чогось загубленого і зниклого". [29] Три життя Піфагора збереглися з пізньої античності, [10] [30] всі вони сповнені переважно міфами та легендами. [10] [30] [31] Найбільш ранній і найповажніший з них - той, що написаний Діогеном Лаертієм Життя та думки видатних філософів. [30] [31] Два подальші життя були написані філософами-неоплатоніками Порфирієм та Ямбліхом [30] [31] і частково були задумані як полеміка проти піднесення християнства. [31] Пізніші джерела набагато довші, ніж попередні [30], і навіть більш фантастичні в описі досягнень Піфагора. [30] [31] Порфирій та Ямбліх використовували матеріали з втрачених творів учнів Арістотеля [29], і матеріали, взяті з цих джерел, як правило, вважаються найнадійнішими. [29]

Раннє життя

У житті Піфагора немає жодної деталі, яка б не суперечила. Але можна, з більш-менш критичного відбору даних, побудувати правдоподібний рахунок.

Геродот, Ісократ та інші ранні письменники сходяться на думці, що Піфагор був сином Мнесарха [20] [33] і що він народився на грецькому острові Самос у східних Егейських морях. [5] [33] [34] [35] Кажуть, що його батько був гравером дорогоцінних каменів або багатим купцем [36] [37], але його походження спірне і незрозуміле. [38] [d] Ім’я Піфагора змусило його пов’язувати з Піфієм Аполлоном (Путіа) Арістіпп Кіренський у 4 столітті до нашої ери пояснив своє ім'я, сказавши: "Він говорив [ἀγορεύω, agoreúō] правда не менше, ніж піфійська [πυθικός puthikós] ". [39] Пізнє джерело називає ім'я матері Піфагора Піфай. [40] [41] Ямбліх розповідає історію, що Піфія пророкувала їй, коли вона була вагітна від нього, що вона народить чоловіка надзвичайно красивого, мудрого , і корисно для людства. [39] Щодо дати свого народження, Арістоксен заявив, що Піфагор залишив Самос за царювання Полікрата, у віці 40 років, що дало дату народження близько 570 р. до н. е. [42]

У роки існування Піфагора Самос був процвітаючим культурним центром, відомим своїми подвигами передової архітектурної інженерії, включаючи будівлю Тунелю Евпалінос, і своєю бурхливою фестивальною культурою. [43] Це був великий центр торгівлі в Егейському морі, куди торговці привозили товари з Близького Сходу. [5] За словами Крістіан Л. Джост-giоґ’є, ці торговці майже напевно принесли із собою близькосхідні ідеї та традиції. [5] Раннє життя Піфагора також співпало з розквітом ранньої іонійської натурфілософії. [33] [44] Він був сучасником філософів Анаксимандра, Анаксимена і історика Гекатая, які всі мешкали в Мілеті, через море від Самосу. [44]

Популярні подорожі

Традиційно вважається, що більшу частину своєї освіти Піфагор здобув у Стародавньому Єгипті, Ново-Вавилонській імперії, Імперії Ахеменідів та Криті. [45] Сучасна наука показала, що культура архаїчної Греції зазнала сильного впливу культури Левантини та Месопотамії. [45] Як і багато інших важливих грецьких мислителів, Піфагор навчався в Єгипті. [20] [46] [47] До часів Ізократа в IV столітті до нашої ери відомі дослідження Піфагора в Єгипті вже сприймалися як факт. [20] [39] Письменник Антифон, який, можливо, жив у епоху еллінізму, стверджував у своєму втраченому творі Про людей видатних заслуг, використаний Порфирієм як джерело, що Піфагор навчився говорити по-єгипетськи від самого фараона Амасіса II, що він навчався у єгипетських священиків у Діосполі (Фіви), і що він був єдиним іноземцем, котрий коли-небудь отримав привілей брати участь в їх поклонінні. [45] [48] Біограф середнього платоніста Плутарх (бл. 46 - бл. 120 р. Н. Е.) Пише у своєму трактаті Про Ісіду та Осіріса що під час свого візиту до Єгипту Піфагор отримав настанови від єгипетського священика Енуфія з Геліополя (тим часом Солон читав лекції від Сонхіди Саїської). [49] За словами християнського богослова Климента Олександрійського (бл. 150 - бл. 215 р. Н. Е.), "Піфагор був учнем Соха, єгипетським архіпророком, а також Платоном Сехнуфієм Геліопольським". [50] Деякі античні письменники стверджували, що Піфагор навчився геометрії та вчення про метемпсихоз у єгиптян. [46] [51]

Однак інші античні письменники стверджували, що Піфагор навчився цих вчень від волхвів у Персії або навіть від самого Зороастра. [52] [53] Діоген Лаертіус стверджує, що Піфагор пізніше відвідав Крит, де разом з Епіменідом він відправився в Ідську печеру. [52] Відомо, що фінікійці навчали Піфагора арифметиці, а халдеї - астрономії. [53] До третього століття до нашої ери Піфагор вже навчався також у євреїв. [53] Протирічивши всім цим повідомленням, прозаїк Антоній Діоген, пишучи у ІІ столітті до нашої ери, повідомляє, що Піфагор сам відкрив усі свої вчення, тлумачачи сни. [53] Софіст Філострат третього століття нашої ери стверджує, що, крім єгиптян, Піфагор навчався також у індуїстських мудреців або гімназофістів в Індії. [53] Ямбліх розширює цей список ще більше, стверджуючи, що Піфагор також навчався у кельтів та іберійців. [53]

Зазначені грецькі вчителі

Античні джерела також фіксують, що Піфагор навчався у різних корінних грецьких мислителів. [53] Деякі вважають Гермодаму з Самосу можливим вихователем. [53] [55] Гермодама представляв корінну саамську рапсодичну традицію, а його батько Креофілос був господарем його суперника-поета Гомера. [53] Інші вважають упередженістю Прієна, Фалеса [56] або Анаксимандра (учня Фалеса). [53] [56] [57] Інші традиції претендують на міфічного барда Орфея як на вчителя Піфагора, представляючи таким чином Орфічні таємниці. [53] Неоплатоніки писали про "священний дискурс", який Піфагор писав про богів на доричному грецькому діалекті, який, як вони вважали, диктував Піфагору орфічний священик Аглаофам після його посвяти в орфічні таємниці в Лейбетрі. [53] Ямбліх приписував Орфею те, що він був взірцем манери мови Піфагора, його духовного ставлення та манери поклоніння. [58] Ямбліх описує піфагорейство як синтез усього, чого Піфагор навчився від Орфея, від єгипетських священиків, Елевсінських містерій та інших релігійних та філософських традицій. [58] Рідвег стверджує, що, хоча ці історії є вигадливими, вчення Піфагора, безумовно, зазнало значного впливу орфізму. [59]

З різних грецьких мудреців, які стверджували, що навчали Піфагора, найчастіше згадується Ферецид із Сіросу. [59] [60] Подібні диво-історії були розказані як про Піфагор, так і про Ферекід, в тому числі та, в якій герой передбачає корабельну аварію, та, в якій він передбачає завоювання Мессіни, і та, в якій він п’є з криниці і пророкує землетрус . [59] Аполлоній Парадоксограф, парадоксограф, який, можливо, жив у II столітті до нашої ери, визначив тавматургічні ідеї Піфагора в результаті впливу Ферекіда. [59] Інша історія, яку можна простежити до неопіфагорейського філософа Нікомаха, розповідає, що коли Ферекід був старим і вмирав на острові Делос, Піфагор повернувся, щоб піклуватися про нього та віддавати йому шану. [59] Повідомляється, що Дуріс, історик і тиран Самосу, патріотично похвалився епітафією, нібито написаною Ферекидом, яка заявила, що мудрість Піфагора перевищує його власну. [59] На підставі всіх цих посилань, що пов'язують Піфагор з Ферецидом, Рідвег приходить до висновку, що цілком може бути якесь історичне підґрунтя традиції про те, що Ферекід був учителем Піфагора. [59] Піфагор і Ферецид, схоже, також поділяли схожі погляди на душу та вчення про метемпсихоз. [59]

До 520 р. До н. Е. Під час одного з візитів до Єгипту чи Греції Піфагор міг зустрітися з Фалесом Мілетським, який був би приблизно на п'ятдесят чотири роки старший за нього. Фалес був філософом, вченим, математиком та інженером [61], відомий також особливим випадком теореми про вписаний кут. Місце народження Піфагора, острів Самос, знаходиться в Північно-Східному Егейському морі неподалік від Мілета. [62] Діоген Лаертій цитує заяву Арістоксена (IV століття до н. Е.), В якій говориться, що Піфагор вивчив більшість своїх моральних вчень від дельфійської жриці Фемістоклеї. [63] [64] [65] Порфирій погоджується з цим твердженням, [66] але називає жрицю Арістоклею (Арістоклея). [67] Античні авторитети також відзначають подібність між релігійними та аскетичними особливостями Піфагора з орфічними або критськими таємницями [68] або дельфійським оракулом. [69]

У Кротоні

Порфирій повторює розповідь Антифона, який повідомляв, що, будучи ще на Самосі, Піфагор заснував школу, відому як "півколо". [70] [71] Тут саамці обговорювали питання, що становлять суспільний інтерес. [70] [71] Імовірно, школа стала настільки відомою, що найсвітліші уми всієї Греції прийшли на Самос, щоб почути вчення Піфагора. [70] Сам Піфагор мешкав у таємній печері, де навчався приватно і зрідка проводив дискурси з кількома своїми близькими друзями. [70] [71] Крістоф Рідвег, німецький вчений раннього піфагорейства, стверджує, що цілком можливо, що Піфагор, можливо, вчив на Самосі [70], але застерігає, що розповідь Антифона, яка посилається на конкретну будівлю, яка все ще використовувалася у свій час, здається, мотивований саамським патріотичним інтересом. [70]

Близько 530 р. До н. Е., Коли Піфагору було близько сорока років, він залишив Самос. [5] [33] [72] [73] [74] Його пізніші шанувальники стверджували, що він пішов, бо він не погоджувався з тиранією Полікрата на Самосі [61] [72] Рідвег зазначає, що це пояснення тісно узгоджується з акцентом Нікомаха на Нібито Піфагор нібито любив свободу, але вороги Піфагора зобразили його таким, що схильний до тиранії. [72] Інші відомості стверджують, що Піфагор покинув Самос, оскільки він був настільки перевантажений державними обов'язками на Самосі, через високу оцінку, яку мали його співгромадяни. [75] Він прибув до грецької колонії Кротон (сьогодні Кротоне, Калабрія) в тодішній Великій Греції. [33] [74] [76] [77] Усі джерела сходяться на думці, що Піфагор був харизматичним і швидко набув великого політичного впливу у своєму новому середовищі. [33] [78] [79] Він служив радником еліт у Кротоні і часто давав їм поради. [80] Пізніше біографи розповідають фантастичні історії про наслідки його красномовних виступів, що спонукають жителів Кротона відмовитись від свого розкішного і корумпованого способу життя і присвятити себе чистішій системі, яку він прийшов ввести. [81] [82]

Родина та друзі

Діоген Лаертіус стверджує, що Піфагор "не потурав насолодам любові" [86], і що він застерігав інших, щоб вони мали статеві стосунки лише "тоді, коли ви бажаєте бути слабшими за себе". [87] За словами Порфирія, Піфагор одружився з Теано, дамою Криту та дочкою Пітенакса [87], і мав з нею кількох дітей. [87] Порфирій пише, що у Піфагора було двоє синів на ім’я Телаж і Арігноте [87] і дочка на ім’я Мія [87], які „взяли першість серед дівчат у Кротоні, а коли була дружиною, - серед заміжніх жінок“. [87] Ямбліх не згадує жодного з цих дітей [87], а натомість згадує лише сина на ім’я Мнесарх на честь свого діда. [87] Цей син був вихований призначеним Піфагором наступником Арістаєм і врешті взяв на себе школу, коли Арістей був занадто старим, щоб продовжувати керувати нею. [87] Суда пише, що у Піфагора було 4 дитини (Телаж, Мнесарх, Мія та Арігноте). [88]

Борець Міло з Кротона, як говорили, був близьким соратником Піфагора [89], і йому приписували те, що він врятував життя філософу, коли дах збирався обвалитися. [89] Ця асоціація може бути результатом плутанини з іншою людиною на ім'я Піфагор, який був тренером з легкої атлетики. [70] Діоген Лаертіус фіксує ім’я дружини Міло як Мия. [87] Ямбліх згадує Теано як дружину Бронтіна з Кротона. [87] Діоген Лаертіус стверджує, що той самий Теано був учнем Піфагора [87], а дружина Піфагора Теано була її дочкою. [87] Діоген Лаертіус також зазначає, що твори, написані Теано, як і раніше, існували ще за його життя [87] і цитує кілька думок, приписуваних їй. [87] Зараз ці твори відомі як псевдепіграфічні. [87]

Смерть

Наголос Піфагора на самовідданості та аскетизмі приписується вирішальній перемозі Кротона над сусідньою колонією Сибаріс у 510 р. До н. [90] Після перемоги деякі видатні громадяни Кротона запропонували демократичну конституцію, яку піфагорійці відхилили. [90] Прихильники демократії, очолювані Сайлоном і Ніноном, колишнього з яких, як кажуть, дратувало його виключення з братів Піфагора, підняли населення проти них. [91] Послідовники Сайлона і Нінона напали на піфагорійців під час однієї зі своїх зустрічей, або в будинку Міло, або в іншому місці зустрічі. [92] [93] Розповіді про атаку часто суперечливі, і багато хто, ймовірно, плутали її з пізнішими повстаннями проти Піфагора. [91] Будівля, очевидно, була підпалена [92], і багато зібраних членів загинули [92], лише молодші та активніші члени змогли врятуватися. [94]

Джерела не погоджуються щодо того, чи був Піфагор присутній, коли стався напад, і якщо він був, чи вдалося йому врятуватися чи ні. [32] [93] У деяких звітах Піфагор не був на зборах, коли на Піфагореїв напали, бо він знаходився на Делосі, доглядаючи за вмираючими Ферецидами. [93] Згідно з іншим описом Дікаорга, Піфагор був на зборах і йому вдалося втекти [95], провівши невелику групу послідовників до сусіднього міста Локрис, де вони просили про притулок, але їм було відмовлено. [95] Вони дійшли до міста Метапонтум, де укрились у храмі муз і померли там від голоду після сорока днів без їжі. [32] [92] [95] [96] Інша казка, записана Порфирієм, стверджує, що, коли вороги Піфагора спалювали будинок, його віддані учні лягли на землю, щоб прокласти шлях для нього, щоб врятуватись, проходячи через їхні тіла поперек полум'я, як міст. [95] Піфагору вдалося врятуватися, але він настільки зневірився у смерті своїх улюблених учнів, що покінчив життя самогубством. [95] Інша легенда, про яку повідомляють як Діоген Лаертій, так і Ямбліх, говорить про те, що Піфагору майже вдалося врятуватися, але він прийшов на поле бобів Фава і відмовився пробігати через нього, оскільки це порушило б його вчення, тому він замість цього зупинився і був убитий. [95] [97] Здається, ця історія виникла від письменника Неанта, який розповідав про пізніших піфагорейців, а не про самого Піфагора. [95]

Метемпсихоз

Хоча точні деталі вчення Піфагора невідомі [99] [100], можна реконструювати загальний контур його основних ідей. [99] [101] Аристотель довго пише про вчення піфагорейців [16] [102], але без прямого згадування Піфагора. [16] [102] Однією з головних доктрин Піфагора, схоже, була метемпсихоз, [73] [103] [104] [105] [106] [107] віра в те, що всі душі безсмертні і що після смерті душа переноситься в нове тіло. [103] [106] На це вчення посилаються Ксенофан, Іон Хіоський та Геродот. [103] [108] Однак нічого не відомо про природу чи механізм, за допомогою яких Піфагор вважав, що відбувається метемпсихоз. [109]

В одному зі своїх віршів Емпедокл натякає, що Піфагор, можливо, стверджував, що він має здатність згадувати свої колишні втілення. [110] Діоген Лаертіус повідомляє розповідь Геракліда Понтія про те, що Піфагор говорив людям, що прожив чотири попередні життя, про які він міг детально пам’ятати. [111] [112] [113] Першим із цих життів був Еталід, син Гермеса, який дав йому можливість згадувати всі свої минулі втілення. [114] Далі він був втілений як Ейфорб, другорядний герой Троянської війни, коротко згаданий у Іліада. [115] Потім він став філософом Гермотімом [116], який визнав щит Евфорба в храмі Аполлона. [116] Його останнє втілення було як Пірр, рибалка з Делосу. [116] Одне з його минулих життів, як повідомляє Дікаарх, було прекрасною куртизанкою. [104] [117]

Містика

Іншим переконанням, яке приписували Піфагору, було "віру гармонії сфер" [118] [119], яке стверджувало, що планети і зірки рухаються відповідно до математичних рівнянь, які відповідають музичним нотам і, таким чином, створюють нечутну симфонію. [118] [119] За словами Порфирія, Піфагор вчив, що сім Муз насправді були сім планет, що співають разом. [120] У своєму філософському діалозі Протрептикус, Арістотель має свій літературний подвійний вислів:

Коли Пифагора запитували [чому люди існують], він сказав, "щоб спостерігати за небом", і він звик стверджувати, що він сам був спостерігачем природи, і саме заради цього він перейшов у життя. [121]

Казали, що Піфагор практикував ворожіння та пророкування. [122] Під час відвідин різних місць у Греції - Делоса, Спарти, Флія, Криту та ін., Які йому приписують, він, як правило, виступає або у своєму релігійному чи священичому вигляді, або ж як закон. [123]

Нумерологія

Так звані піфагорійці, які першими зайнялися математикою, не тільки вдосконалили цю тему, але й наситилися нею, вони уявляли, що принципи математики є принципами всього.

На думку Арістотеля, піфагорійці використовували математику виключно з містичних причин, позбавлених практичного застосування. [128] Вони вірили, що все зроблено з цифр. [129] [130] Число один (монада) представляло походження всіх речей [131], а число два (діада) представляло матерію. [131] Число три було «ідеальним числом», оскільки воно мало початок, середину та кінець [132] і являло собою найменшу кількість точок, які можна було використати для визначення плоского трикутника, який вони шанували як символ бог Аполлон. [132] Число чотири означало чотири пори року та чотири елементи. [133] Число сім було також священним, оскільки це було число планет і кількість струн на лірі, [133] і тому, що день народження Аполлона відзначався сьомого дня кожного місяця. [133] Вони вважали, що непарні числа є чоловічими, [134] що парні числа є жіночими, [134] і що число п’ять представляє шлюб, оскільки це сума двох і трьох. [135] [136]

Десять вважався "ідеальним числом" [128], і піфагорійці вшановували його, ніколи не збираючись у групи, що перевищували десять. [137] Піфагору приписується розробка тетрактиди, трикутної фігури з чотирьох рядів, яка складає ідеальне число - десять. [124] [125] Піфагорейці розглядали тетрактиду як символ надзвичайно містичного значення. [124] [125] [126] Ямбліх, у своєму Життя Піфагора, стверджує, що тетрактида була "настільки захоплюючою і настільки ворожою для тих, хто її зрозумів", що учні Піфагора давали б на ній клятви. [98] [125] [126] [138] Ендрю Григорій дійшов висновку, що традиція, що пов'язує Піфагора з тетрактидами, є, мабуть, справжньою. [139]

Сучасні вчені дискутують, чи розробляв ці нумерологічні вчення сам Піфагор або пізніший піфагорейський філософ Філолай Кротонський. [140] У своєму знаковому дослідженні Знання та наука в стародавньому піфагорействі, Вальтер Буркерт стверджує, що Піфагор був харизматичним політичним і релігійним учителем [141], але що число філософій, яке йому приписували, було справді нововведенням Філолая. [142] За словами Буркерта, Піфагор взагалі ніколи не мав справи з числами, не кажучи вже про якийсь вагомий внесок у математику. [141] Буркерт стверджує, що єдиною математикою, якою насправді займалися піфагорійці, була проста, бездоказна арифметика [143], але ці арифметичні відкриття зробили значний внесок у початок математики. [144]

Спільний спосіб життя

І Платон, і Ісократ стверджують, що, перш за все, Піфагор був відомий як засновник нового способу життя. [145] [146] [147] Організацію Піфагора, засновану в Кротоні, називали "школою" [148] [149] [61], але багато в чому нагадувала монастир. [150] Прихильники були зобов'язані обітницею Піфагору та один одному з метою дотримання релігійних та аскетичних обрядів та вивчення його релігійних та філософських теорій. [151] Члени секти розділили всі свої володіння спільно [152] і були віддані одне одному, виключаючи сторонніх. [153] [154] У древніх джерелах зафіксовано, що піфагорійці їли спільну їжу на зразок спартанців. [155] [156] Однією з піфагорійських сентенцій було "koinà tà phílōn"(" Усе спільне серед друзів "). [152] І Ямбліх, і Порфирій дають детальні відомості про організацію школи, хоча головний інтерес обох письменників полягає не в історичній точності, а в тому, щоб представити Піфагора як божественну фігуру , посланий богами на користь людству. [157] Ямбліх, зокрема, представляє "Піфагорійський спосіб життя" як язичницьку альтернативу християнським монастирським громадам свого часу [150].

У ранньому піфагорействі існували дві групи: mathematikoi ("учні") та akousmatikoi ("слухачі"). [62] [158] akousmatikoi традиційно ідентифікуються вченими як "старообрядці" в містиці, нумерології та релігійних вченнях [158], тоді як mathematikoi традиційно ідентифікуються як більш інтелектуальна, модерністська фракція, яка була більш раціоналістичною та науковою. [158] Григорій застерігає, що між ними, мабуть, не було різкої різниці, і що багато піфагорійців, напевно, вважали, що ці два підходи сумісні. [158] Вивчення математики та музики могло бути пов’язане із поклонінням Аполлону. [159] Піфагорейці вірили, що музика - це очищення для душі, як і медицина - для тіла. [120] Один з анекдотів Піфагора повідомляє, що коли він зіткнувся з п’яними юнаками, які намагалися проникнути в дім доброчесної жінки, він заспівав урочисту мелодію довгими спондами, і хлопці "розбурхану свавільність" придушили. [120] Піфагорійці також наголошували на важливості фізичних вправ [150], лікувальних танців, щоденних ранкових прогулянок за мальовничими маршрутами та легкої атлетики були основними складовими піфагорійського способу життя. [150] Також рекомендувались моменти споглядання на початку та в кінці кожного дня. [160]

Заборони та правила

Піфагорейські вчення були відомі як "символи" (символа) [83], а члени пообіцяли мовчати, що не розкриватимуть ці символи сторонам, що не є членами. [83] [146] [161] Ті, хто не підкорявся законам громади, були вислані [162], а решта членів поставили їм надгробки, ніби вони померли. [162] Ряд "усних приказок" (akoúsmata), що приписуються Піфагору, збереглися [16] [163], де мова йде про те, як члени піфагорейської громади повинні робити жертви, як вони повинні шанувати богів, як їм слід "рухатися звідси" і як їх слід поховати. [164] Багато з цих висловів підкреслюють важливість ритуальної чистоти та уникнення забруднення. [165] [107] Наприклад, вислів, який робить висновок Леонід Жмуд, можливо, справді можна віднести до самого Піфагора, який забороняє своїм послідовникам носити вовняні речі. [166] Інші усні вислови, що дійшли до наших днів, забороняють піфагорійцям ламати хліб, тикати вогнями мечами або брати крихти [156] і вчити, що людина завжди повинна одягати праву сандалію перед лівою. [156] Однак точне значення цих висловлювань часто є неясним. [167] Ямбліх зберігає описи Арістотеля первісних, ритуальних намірів, що стоять за деякими з цих висловлювань [168], але вони, мабуть, пізніше вийшли з моди, оскільки Порфирій дає помітно різні етично-філософські тлумачення їх: [169]

Висловлювання Піфагора Оригінальна ритуальна мета за Арістотелем / Ямбліхом Філософська інтерпретація Порфирія
"Не їдьте по дорогах, якими подорожує громадськість". [170] [16] "Страх бути оскверненим нечистим" [170] "цим він заборонив слідувати думкам мас, але все ж слідувати думкам небагатьох та освічених". [170]
"і [не] носити образи богів на кільцях" [170] "Страх заплямувати їх, одягаючи". [170] "Не слід мати вчення і знання про богів швидко під рукою і видимими [для всіх], а також не повідомляти їх масам". [170]
"і налийте боги богам з ручки чашки для пиття [" вуха "]" [170] "Намагання тримати божественне і людське строго окремо" [170] "тим самим він загадково натякає, що богів слід шанувати і хвалити музикою, бо це проходить через вуха". [170]

Нібито новим посвяченим було дозволено зустрічатися з Піфагором лише після того, як вони закінчили п'ятирічний період ініціації [71], протягом якого вони повинні були мовчати. [71] Джерела вказують, що сам Піфагор був надзвичайно прогресивним у своєму ставленні до жінок [85], і, здається, жінки-члени школи Піфагора відігравали активну роль у її діяльності. [83] [85] Ямбліх наводить список 235 відомих піфагорейців, [84] з яких сімнадцять жінок. [84] У пізніші часи багато видатних жінок-філософів сприяли розвитку неопіфагорейства. [171]

Піфагорійство також спричинило ряд дієтичних заборон. [107] [156] [172] Більш-менш узгоджено, що Піфагор видав заборону на споживання фасолі [173] [156] та м’яса нежертовних тварин, таких як риба та птиця. [166] [156] Однак обидва ці припущення суперечили. [174] [175] Піфагорійські дієтичні обмеження, можливо, були мотивовані вірою в доктрину метемпсихозу. [146] [176] [177] [178] Деякі античні письменники представляють Піфагора як дотримання суворо вегетаріанської дієти. [e] [146] [177] Евдокс Кнідський, учень Архіта, пише: «Піфагор відрізнявся такою чистотою і настільки уникав вбивств і вбивць, що він не лише утримувався від тваринної їжі, але навіть тримався на відстані від кухарів і мисливці ". [179] [180] Інші органи влади суперечать цьому твердженню. [181] За словами Арістоксена, [182] Піфагор дозволяв використовувати всі види тваринної їжі, крім м’яса волів, що використовуються для оранки, та баранів. [180] [183] ​​За словами Геракліда Понтіка, Піфагор їв м’ясо від жертвоприношень [180] і встановив дієту для спортсменів, залежних від м’яса. [180]

Протягом свого життя Піфагор вже був предметом складних агіографічних легенд. [30] [184] Арістотель описав Піфагора як чудотворця і дещо надприродну фігуру. [185] [186] У фрагменті Арістотель пише, що у Піфагора було золоте стегно [185] [187] [188], яке він публічно виставляв на Олімпійських іграх [185] [189] і показав Абарісу Гіперборейському в якості доказу про його особу як "гіперборейського Аполлона". [185] [190] Мовляв, священик Аполлона подарував Піфагору чарівну стрілу, якою він користувався для перельоту на великі відстані та проведення ритуальних очищень. [191] Нібито його колись бачили одночасно і в Метапонтумі, і в Кротоні. [192] [30] [189] [187] [188] Коли Піфагор переправився через річку Косас (сучасний Басенто), "кілька свідків" повідомили, що чули, як він вітає його по імені. [193] [189] [187] У римські часи легенда стверджувала, що Піфагор був сином Аполлона. [194] [188] Згідно з мусульманською традицією Піфагор був ініційований Гермесом (єгипетський Тот). [195]

Казали, що Піфагор одягався весь у біле. [185] [196] Також кажуть, що він носив на голові золотий вінок [185] і носив штани за модою фракійців. [185] Діоген Лаертіус представляє Піфагора таким, що він виявляв надзвичайний самовладання [197], він завжди був веселим [197], але «повністю утримувався від сміху та від усіх таких поблажок, як шути та неробні історії». [87] Казали, що Піфагор мав надзвичайний успіх у спілкуванні з тваринами. [30] [198] [189] Фрагмент Арістотеля зафіксував, що коли смертельна змія вкусила Піфагора, він відкусив її назад і вбив. [191] [189] [187] І Порфирій, і Ямбліх повідомляють, що колись Піфагор переконав бика не їсти боби фави [30] [198] і що колись він переконав відомого руйнівного ведмедя, щоб поклястись, що це ніколи не зашкодить живій істоті знову, і що ведмідь дотримав слова. [30] [198]

Рідвег припускає, що Піфагор, можливо, особисто заохочував ці легенди [184], але Григорій стверджує, що прямих доказів цього немає. [158] Також розповсюджувались антипіфагорейські легенди. [199] Діоген Лаертес переказує історію, розказану Герміпом Самосським, де говориться, що Піфагор колись заходив у підземну кімнату, розповідаючи всім, що він спускається в підземний світ. [200] Він просидів у цій кімнаті місяцями, тоді як його мати таємно записувала все, що відбувалося за його відсутності. [200] Після того, як він повернувся з цієї кімнати, Піфагор розповів про все, що сталося, коли його не було, [200] переконавши всіх, що він насправді був у підземному світі [200], і змусив їх довіряти йому своїх дружин. [200]

З математики

Хоча Піфагор найвідоміший сьогодні своїми нібито математичними відкриттями, [127] [201] класичні історики заперечують, чи він сам коли-небудь робив якийсь значний внесок у цю сферу. [143] [141] Багато математичних та наукових відкриттів були приписані Піфагору, включаючи його знамениту теорему [202], а також відкриття в галузі музики, [203] астрономії [204] та медицини. [205] Принаймні з першого століття до нашої ери Піфагору зазвичай приписували відкриття теореми Піфагора, [206] [207] теореми з геометрії, яка стверджує, що "в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює [до суми] квадратів двох інших сторін "[208] - тобто a 2 + b 2 = c 2 < displaystyle a ^ <2> + b ^ <2> = c ^ <2>> . Згідно з популярною легендою, після того, як він відкрив цю теорему, Піфагор приніс у жертву вола або, можливо, навіть цілого гекатомба, до богів. [208] [209] Цицерон відкинув цю історію як помилкову [208] через набагато ширшу віру, що Піфагор забороняв кровні жертви. [208] Порфирій намагався пояснити історію, стверджуючи, що віл насправді був зроблений з тіста. [208]

Теорема Піфагора була відома і використана вавилонянами та індіанцями за століття до Піфагора [210] [208] [211] [212], але, можливо, він був першим, хто представив її грекам. [213] [211] Деякі історики математики навіть припускають, що він - або його учні - могли створити перший доказ. [214] Буркерт відкидає цю пропозицію як неправдоподібну, [213] зазначаючи, що Піфагору ніколи не приписували те, що довів будь-яку теорему в античності. [213] Крім того, спосіб, у якому вавилоняни використовували піфагорейські цифри, означає, що вони знали, що принцип загальноприйнятний, і знали якийсь доказ, який ще не знайдений у (досі значною мірою неопублікованій) клинописних джерелах. [f] Біографи Піфагора стверджують, що він також був першим, хто визначив п'ять регулярних твердих тіл [127], і що він першим відкрив Теорію пропорцій. [127]

У музиці

Згідно з легендою, Піфагор виявив, що музичні ноти можна перевести в математичні рівняння, коли одного разу він пройшов повз ковалів на роботі і почув звук їх молотів, що стукали об ковадла. [215] [216] Подумавши, що звуки молотків були гарними та гармонійними, за винятком одного, [217] він кинувся до ковальської майстерні та розпочав випробування молотків. [217] Потім він зрозумів, що мелодія, що звучала при ударі молотком, була прямо пропорційна розміру молотка, і тому дійшов висновку, що музика є математичною. [216] [217] Однак ця легенда очевидно хибна, [126] [216] [218], оскільки ці співвідношення стосуються лише довжини струни (наприклад, струни монокорду), а не ваги молота. [218] [216]

В астрономії

У давнину Піфагору та його сучаснику Парменіду з Елеї приписували те, що вони першими вчили, що Земля сферична, [219] першими розділили земну кулю на п’ять кліматичних зон [219] і першими, хто визначив ранкова зірка та вечірня зірка як той самий небесний об’єкт (нині відомий як Венера). [220] З-поміж двох філософів Парменід має набагато сильнішу претензію на те, що він був першим [221], і приписування цих відкриттів Піфагору, мабуть, походить від псевдепіграфальної поеми. [220] Емпедокл, який жив у Великій Греції незабаром після Піфагора та Парменіда, знав, що земля сферична. [222] До кінця V століття до нашої ери цей факт був загальновизнаним серед грецьких інтелектуалів. [223] Ідентичність ранкової та вечірньої зірок була відома вавилонянам понад тисячу років тому. [224]

Про грецьку філософію

Значні спільноти піфагорейців існували в Великій Греції, Флії та Фівах на початку IV століття до н. [226] Приблизно в той же час філософ Піфагора Архита мав великий вплив на політику міста Тарент у Великій Греції. [227] Згідно з пізнішою традицією, Архита було обрано як стратегі ("загальний") сім разів, хоча іншим було заборонено служити більше року. [227] Архитас також був відомим математиком і музикантом. [228] Він був близьким другом Платона [229], і його цитують у Платоні Республіка. [230] [231] Арістотель стверджує, що філософія Платона сильно залежала від вчень піфагорейців. [232] [233] Цицерон повторює це твердження, відзначаючи це Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Кажуть, Платон пізнав усе, що піфагорійське"). [234] На думку Чарльза Х. Кана, середні діалоги Платона, в т.ч. Я ні, Федон, і Республіка, мають сильну "піфагорійську забарвлення" [235] та кілька останніх його діалогів (зокрема Філіб і Тимей) [225] мають надзвичайно піфагорійський характер. [225]

На думку Р. М. Зайця, Платона Республіка може частково базуватися на "тісно організованій спільноті мислителів-однодумців", створеній Піфагором у Кротоні. [236] Крім того, Платон, можливо, запозичив у Піфагора ідею, що математика та абстрактна думка є надійною основою для філософії, науки та моралі. [236] Платон і Піфагор поділяли "містичний підхід до душі та її місця в матеріальному світі" [236], і цілком ймовірно, що обидва зазнали впливу орфізму.[236] Історик філософії Фредерік Коплстон стверджує, що Платон, ймовірно, запозичив свою тристоронню теорію душі у піфагорійців. [237] Бертран Рассел, у своєму Історія західної філософії, стверджує, що вплив Піфагора на Платона та інших був настільки великим, що його слід вважати найвпливовішим філософом усіх часів. [238] Він приходить до висновку, що "я не знаю жодної людини, яка мала б такий вплив, як він був у школі думок". [239]

Відродження вчень Піфагора відбулося в першому столітті до нашої ери [240], коли середньоплатоністські філософи, такі як Евдор та Філон Олександрійські, вітали піднесення "нового" піфагорейства в Олександрії. [241] Приблизно в той же час неопітагорейство стало помітним. [242] Філософ першого століття нашої ери Аполлоній з Тяни намагався наслідувати Піфагора і жити за вченнями Піфагора. [243] Пізніший неопіфагорейський філософ першого століття Модерат Гадський розширив філософію Піфагора з числами [243] і, ймовірно, розумів душу як "свого роду математичну гармонію". [243] Неопіфагорейський математик і музикознавець Нікомах також розширив питання піфагорейської нумерології та теорії музики. [242] Нуменій з Апамеї інтерпретував вчення Платона у світлі піфагорійських вчень. [244]

Про мистецтво та архітектуру

Грецька скульптура прагнула представити постійну реальність поверхневих виглядів. [246] Рання архаїчна скульптура представляє життя у простих формах, і, можливо, на неї вплинули найдавніші грецькі натурфілософії. [g] Греки загалом вважали, що природа виражала себе в ідеальних формах і була представлена ​​типом (εἶδος), який обчислювався математично. [247] [248] Коли розміри змінювались, архітектори прагнули передати постійність за допомогою математики. [249] [250] Моріс Боура вважає, що ці ідеї вплинули на теорію Піфагора та його учнів, які вважали, що "всі речі є числами". [250]

Протягом шостого століття до нашої ери числова філософія піфагорейців спричинила революцію в грецькій скульптурі. [251] Грецькі скульптори та архітектори намагалися знайти математичне відношення (канон), що лежить в основі естетичної досконалості. [248] Можливо, спираючись на ідеї Піфагора, [248] скульптор Поліклейтос писав у своєму Canon що краса полягає у пропорції не елементів (матеріалів), а взаємозв’язку частин між собою та з цілим. [248] [h] У грецьких архітектурних замовленнях кожен елемент обчислювався і будувався математичними співвідношеннями. Ріс Карпентер стверджує, що співвідношення 2: 1 було "генеративним співвідношенням доричного ордена, а в елліністичні часи звичайна дорична колонада вибиває ритм нот". [248]

Найстарішою відомою спорудою, спроектованою згідно з вченнями Піфагора, є Базиліка Порта-Маджоре [252], підземна базиліка, яка була побудована за правління римського імператора Нерона як таємне місце поклоніння піфагорійців. [253] Базиліка була побудована під землею через наголос Піфагора на секретності [254], а також через легенду про те, що Піфагор секвестрував себе в печері на Самосі. [255] Апсида базиліки знаходиться на сході, а її атріум на заході з поваги до східного сонця. [256] Він має вузький вхід, що веде до невеликого басейну, де посвячені можуть очиститися. [257] Будівля також спроектована згідно з піфагорейською нумерологією [258], при цьому кожен стіл у святині забезпечує місця для семи людей. [137] Три проходи ведуть до єдиного вівтаря, що символізує три частини душі, що наближаються до єдності Аполлона. [137] В апсиді зображена сцена поета Сапфо, що стрибає з левкадських скель, стискаючи її ліру до грудей, а Аполлон стоїть під нею, простягаючи праву руку в знак захисту, [259] символізуючи вчення Піфагора про безсмертя душі. [259] Інтер’єр святині майже повністю білий, оскільки білий колір піфагорійці розглядали як священний. [260]

Пантеон імператора Адріана в Римі також був побудований на основі піфагорійської нумерології. [245] Круговий план храму, центральна вісь, півсферичний купол та вирівнювання з чотирма основними напрямками символізують піфагорійські погляди на порядок Всесвіту. [261] Поодинокий окулус у верхній частині купола символізує монаду та бога сонця Аполлона. [262] Двадцять вісім ребер, що простягаються від окулуса, символізують Місяць, оскільки двадцять вісім були однаковим числом місяців за місячним календарем Піфагора. [263] П'ять касетних кілець під ребрами представляють шлюб сонця і місяця. [132]

У ранньому християнстві

Багато ранніх християн глибоко поважали Піфагор. [264] Євсевій (бл. 260 - бл. 340 р. Н. Е.), Єпископ Кесарійський, хвалить Піфагора Проти Ієрокла за його правило мовчання, його ощадливість, його "надзвичайну" мораль і мудрі вчення. [265] В іншій роботі Євсевій порівнює Піфагор з Мойсеєм. [265] В одному зі своїх листів отець Церкви Ієронім (близько 347 - 420 рр. Н. Е.) Хвалить Піфагора за його мудрість [265], а в іншому листі він зараховує Піфагора за віру в безсмертя душі, яку він пропонує християни, успадковані від нього. [266] Августин з Гіппона (354 - 430 рр. Н. Е.) Відкинув вчення Піфагора про метемпсихоз, не вказавши його явно, але в іншому випадку висловив захоплення ним. [267] В На Трійцю, Августин хвалить той факт, що Піфагор був досить смиренним, щоб назвати себе а філософ або "любитель мудрості", а не "мудрець". [268] В іншому уривку Августин захищає репутацію Піфагора, стверджуючи, що Піфагор, безумовно, ніколи не викладав вчення про метемпсихоз. [268]

У середні віки

У середні віки Піфагор шанувався як засновник математики та музики, двох із семи вільних мистецтв. [269] Він з'являється в численних середньовічних зображеннях, в освітлених рукописах та в рельєфних скульптурах на порталі собору в Шартрі. [269] Тимей був єдиним діалогом Платона, який вижив у перекладі на латинську мову в Західній Європі [269], що змусило Вільгельма Конського (бл. 1080–1160) заявити, що Платон був Піфагореєм. [269] У 1430-х роках камадольський брат Амвросій Траверсарі переклав книгу Діогена Лаерція Життя та думки видатних філософів з грецької на латинську [269], а в 1460-х роках філософ Марсіліо Фічіно переклав Порфирія та Ямбліха Життя Піфагора також на латинську мову [269], тим самим дозволяючи їх читати та вивчати західним вченим. [269] У 1494 р. Грецький учений Неопіфагора Костянтин Ласкаріс опублікував Золоті вірші Піфагора, перекладений латинською мовою, із друкованим його виданням Grammatica, [270] тим самим залучаючи їх до широкої аудиторії. [270] У 1499 році він опублікував першу біографію Піфагора в епоху Відродження у своїх працях Vitae illustrium philosophorum siculorum et calabrorum, виданий в Мессіні. [270]

Про сучасну науку

У передмові до своєї книги Про революцію Небесних сфер (1543), Микола Коперник наводить різних піфагорійців як найважливіші впливи на розвиток його геліоцентричної моделі Всесвіту [269] [271], навмисно опускаючи згадки про Арістарха Самосського, непіфагорійського астронома, який розробив повністю геліоцентричного модель у IV столітті до нашої ери, намагаючись зобразити свою модель як принципово піфагорейську. [271] Йоганнес Кеплер вважав себе піфагорійцем. [269] [272] [273] Він вірив у піфагорійське вчення Росії musica universalis [274], і саме його пошуки математичних рівнянь, що лежать в основі цієї доктрини, призвели до його відкриття законів руху планет. [274] Кеплер назвав свою книгу на цю тему Гармоніки Мунді (Гармоніки світу), після вчення Піфагора, яке його надихнуло. [269] [275] Близько до закінчення книги Кеплер описує себе, засинаючи під звуки небесної музики, "зігрітий питтям щедрого пива з чаші Піфагора". [276] Він також називав Піфагора "дідом" усіх коперників. [277]

Ісаак Ньютон твердо вірив у піфагорейське вчення про математичну гармонію та порядок Всесвіту. [278] Хоча Ньютон прославився тим, що рідко давав заслуги іншим за свої відкриття, [279] він приписував відкриття Закону всесвітнього тяжіння Піфагору. [279] Альберт Ейнштейн вважав, що вчений також може бути "платоніком або піфагорейцем, оскільки він вважає точку зору логічної простоти необхідним і ефективним інструментом своїх досліджень". [280] Англійський філософ Альфред Норт Уайтхед стверджував, що "У певному сенсі Платон і Піфагор стоять ближче до сучасної фізичної науки, ніж Арістотель. Два з них були математиками, тоді як Арістотель був сином лікаря". [281] За допомогою цього заходу Уайтхед заявив, що Ейнштейн та інші сучасні вчені, подібні йому, "дотримуються чистої піфагорейської традиції". [280] [282]

Про вегетаріанство

Вигаданий образ Піфагора з’являється у XV книзі Овідія Метаморфози, [284], в якому він виголошує промову, в якій благає своїх послідовників дотримуватися суворо вегетаріанської дієти. [285] Це було через переклад Овідія Артура Голдінга в 1567 р. Англійською мовою Метаморфози що Піфагор був найбільш відомий англомовним протягом усього раннього сучасного періоду. [285] Джон Донн Поступ душі обговорює наслідки доктрин, викладених у цій промові [286], і Мішель де Монтень цитував цю промову не менше трьох разів у своєму трактаті "Про жорстокість", щоб висловити свої моральні заперечення проти жорстокого поводження з тваринами. [286] Вільям Шекспір ​​згадує промову у своїй п’єсі Венеціанський купець. [287] Джон Драйден включив переклад сцени з Піфагором у своїй роботі 1700 року Байки, давні та сучасні, [286] і байка Джона Гея 1726 року "Піфагор і земляк" повторює свої основні теми, пов'язуючи м'ясолюбство з тиранією. [286] Лорд Честерфілд фіксує, що його перехід до вегетаріанства був мотивований читанням промови Піфагора в книзі Овідія Метаморфози. [286] До слова вегетаріанство була придумана в 1840-х роках, вегетаріанців по-англійськи називали "піфагорійцями". [286] Персі Бішше Шеллі написав оду під назвою "До дієти Піфагора" [288], а Лев Толстой сам прийняв дієту Піфагора. [288]

Про західну езотерику

Ранній сучасний європейський езотеризм значною мірою спирався на вчення Піфагора. [269] Німецький вчений-гуманіст Йоганнес Реухлін (1455–1522) синтезував піфагореїзм з християнською теологією та єврейською Каббалою [289], стверджуючи, що Каббала та Піфагореїзм були натхнені мозаїчною традицією [290], а тому Піфагор був каббалістом. [290] У своєму діалозі De verbo mirifico (1494), Ройхлін порівняв піфагорійські тетрактиди з невимовним божественним іменем ЯХВХ [289], приписуючи кожній з чотирьох букв тетраграматону символічне значення згідно з міфами Піфагора. [290]

Популярний і впливовий тритомний трактат Генріха Корнелія Агріппи De Occulta Philosophia цитує Піфагора як "релігійного волхва" [291] і вказує на те, що містична нумерологія Піфагора діє на надцелестіальному рівні. [291] Масони навмисно моделювали своє суспільство на основі громади, заснованої Піфагором у Кротоні. [292] Розенкрейцерство використовувало піфагорійський символізм, [269] як і Роберт Флудд (1574–1637), [269], який вважав, що його власні музичні твори натхненні Піфагором. [269] Джон Ді зазнав сильного впливу ідеології Піфагора [293] [291], зокрема вчення про те, що все складається з чисел. [293] [291] Адам Вейшаупт, засновник Ілюмінатів, був сильним шанувальником Піфагора [294] і, у своїй книзі Піфагор (1787), він виступав за те, що суспільство повинно бути реформоване таким чином, щоб воно більше нагадувало комуну Піфагора в Кротоні. [295] Вольфганг Амадей Моцарт включив у свою оперу масонську та піфагорійську символіку Чарівна флейта. [296] Сільвен Марешаль у своїй шеститомній біографії 1799 року Подорожі Піфагора, заявив, що всі революціонери в усі періоди часу є "спадкоємцями Піфагора". [297]

Про літературу

Данте Аліг'єрі був захоплений піфагорейською нумерологією [298] і базував свої описи Пекла, Чистилища та Неба на піфагорійських числах. [298] Данте писав, що Піфагор розглядав єдність як добро, а множинність як зло [299], а в Paradiso XV, 56–57, він заявляє: "п’ять і шість, якщо їх зрозуміти, випромінювати від єдності". [300] Число одинадцять та його кратні знайдені по всьому Божественна комедія, кожна книга яких містить тридцять три співи, крім Пекло, який налічує тридцять чотири, перший з яких служить загальним вступом. [301] Данте описує дев'яту і десяту болгії у восьмому колі пекла як двадцять дві милі та одинадцять миль відповідно [301], що відповідає частці 22/7, яка була наближенням Піфагора до пі. [301] Пекло, Чистилище та Рай описуються як кругові [301], і Данте порівнює диво величності Бога з математичною головоломкою квадратури кола. [301] Число три також має видно: [301] Божественна комедія має три частини [302], а Беатріче асоціюється з числом дев'ять, яке дорівнює трьом по три. [303]

Трансценденталісти читали давнє Життя Піфагора як керівництво щодо того, як прожити зразкове життя. [304] На Генрі Девіда Торо вплинули переклади Ямбліхуса Томаса Тейлора Життя Піфагора і Стобея Піфагоричні вислови [304] та на його погляди на природу, можливо, вплинула піфагорейська ідея зображень, що відповідають архетипам. [304] Піфагорейське вчення Росії musica universalis є постійно повторюваною темою Торо magnum opus, Уолден. [304]

Виноски

  1. ^НАС:/ p ɪ ˈ θ æ ɡ ər ə s /, [2]Великобританія:/ p aɪ - / [3] Давньогрецька: Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, романізований:Піфагор з Саміоса, освітлений.`` Піфагор Саманець '', або просто Πυθαγόρας Πυθαγόρης на іонійсько-грецькій
  2. ^ "Дати його життя не можна точно визначити, але припускаючи приблизну правильність висловлювання Арістоксена (ап. Порф. В.П. 9) що він залишив Самос, щоб уникнути тиранії Полікрата у віці сорока років, ми можемо визначити його народження приблизно 570 р. До н. Е. Або кількома роками раніше. Тривалість його життя по-різному оцінювалася в глибокій старовині, але є думка, що він дожив до дозрілої старості, і, швидше за все, він помер приблизно в сімдесят п'ять чи вісімдесят "[4].
  3. ^Цицерон, Тускуланські диспути, 5.3.8–9 (з посиланням на Heraclides Ponticus fr. 88 Wehrli), Diogenes Laërtius 1.12, 8.8, IamblichusВП 58. Буркерт намагався дискредитувати цю давню традицію, але її захищав К. Дж. Де Фогель, Піфагор і ранній піфагореїзм (1966), сс. 97–102, і К. Рідвег, Піфагор: його життя, вчення та вплив (2005), с. 92.
  4. ^ Деякі письменники називають його тирренцем або фліазійцем, а Мармака або Демарата називають іменем свого батька: Діоген Лаертій, viii. 1 Порфирій, Віт. Піф. 1, 2 Джастін, xx. 4 Павсанія, ii. 13.
  5. ^ як це зробив Емпедокл згодом, Арістотель, Рет. i. 14. § 2 Sextus Empiricus, ix. 127. Це також була одна з орфічних заповідей, Арістоф. Побіг. 1032
  6. ^ Тільки в Британському музеї є близько 100 000 неопублікованих клинописних джерел. Вавілонські знання про доведення теореми Піфагора обговорює Дж. Хойруп, "Піфагорейське правило" та "Теорема" - дзеркало взаємозв'язку між вавилонською та грецькою математикою "в: Дж. Ренгер (червоний): Вавилон. Фокус mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne (1999).
  7. ^ "Для Фалеса походженням була вода, а для Анаксимандра нескінченний (апейрон), який слід вважати матеріальною формою" [246]
  8. ^ "Кожна частина (палець, долоня, рука тощо) передала своє індивідуальне існування наступній, а потім і цілій": Канон Поліклейта, також Плотін, Еннеад I.vi.i: Найджел Співей, с. 290–294.

Цитати

  1. ^ аbcДжост-auоґ’є, 2006, с. 143.
  2. ^Американський: Піфагор, Словник Коллінза, n.d. , отримано 25 вересня 2014 року
  3. ^
  4. Британський: Піфагор, Словник Коллінза, n.d. , отримано 25 вересня 2014 року
  5. ^Вільям Кіт Чемберс Гатрі, (1978), Історія грецької філософії, том 1: Ранні досократики та піфагорейці, стор. 173. Cambridge University Press
  6. ^ аbcdeДжост-auоґ’є, 2006, с. 11.
  7. ^Celenza 2010, с. 796.
  8. ^ аbФергюсон 2008, с. 4.
  9. ^Фергюсон 2008, с. 3–5.
  10. ^Григорій 2015, с. 21–23.
  11. ^ аbcКоплстон 2003, с. 29.
  12. ^ аbcКан 2001, с. 2.
  13. ^ аbБуркерт 1985, с. 299.
  14. ^ аbcДжост-auоґ’є, 2006, с. 12.
  15. ^Рідвег 2005, с. 62.
  16. ^ Діоген Лаертіус, viii. 36
  17. ^ аbcdeКоплстон 2003, с. 31.
  18. ^ аbJoost-Gaugier 2006, с. 12–13.
  19. ^ аbcДжост-auоґ’є, 2006, с. 13.
  20. ^Joost-Gaugier 2006, с. 14–15.
  21. ^ аbcdefДжост-auоґ’є, 2006, с. 16.
  22. ^ 4. 95.
  23. ^Марінкола (2001), с. 59
  24. ^Робертс (2011), с. 2
  25. ^Іскри (1998), с. 58
  26. ^Asheri, Lloyd & amp Corcella (2007)
  27. ^Камерон (2004), с. 156
  28. ^Джост-auоґ’є, 2006, с. 88.
  29. ^ Він сам натякає на це, Зустрілися i. 5. с. 986. 12, вид. Беккер.
  30. ^ аbcdБуркерт 1972, с. 109.
  31. ^ аbcdefghijkлКан 2001, с. 5.
  32. ^ аbcdeЖмуд 2012, с. 9.
  33. ^ аbcБуркерт 1972, с. 106.
  34. ^ аbcdefКан 2001, с. 6.
  35. ^Фергюсон 2008, с. 12.
  36. ^Кенні 2004, с. 9.
  37. ^ Клеменс фон Александрія: Стромата I 62, 2–3, цит.
  38. Євген В. Афонасін Джон М. Діллон Джон Фінамор, ред. (2012), Ямбліх та основи пізнього платонізму, Лейден і Бостон: Брилл, с. 15, ISBN978-90-04-23011-8
  39. ^Джост-auоґ’є, 2006, с. 21.
  40. ^Фергюсон 2008, с. 11–12.
  41. ^ аbcРідвег 2005, с. 59.
  42. ^Тауб 2017, с. 122.
  43. ^Аполлоній з Тяни ап. Порфирій, Віт. Піф. 2.
  44. ^ Порфирій, Віт. Піф. 9
  45. ^Рідвег 2005, с. 45–47.
  46. ^ аbРідвег 2005, с. 44–45.
  47. ^ аbcРідвег 2005, с. 7.
  48. ^ аbРідвег 2005, с. 7–8.
  49. ^Григорій 2015, с. 22–23.
  50. ^ Порфирій, Віт. Піф. 6.
  51. ^ Плутарх, Про Ісіду та Осіріса, гл. 10.
  52. ^Press 2003, с. 83.
  53. ^ пор. Антифон. ап. Порфирій, Віт. Піф. 7 Ізократ, Бусіріс, 28–9 Цицерон, де Фінібус, т. 29 Страбон, 14.1.16.
  54. ^ аb Діоген Лаертіус, viii. 1, 3.
  55. ^ аbcdefghijkлРідвег 2005, с. 8.
  56. ^Діллон 2005, с. 163.
  57. ^ Порфирій, Віт. Піф. 2, Diogenes Laërtius, viii. 2.
  58. ^ аb Ямбліхус, Віт. Піф. 9.
  59. ^ Порфирій, Віт. Піф. 2.
  60. ^ аbРідвег 2005, с. 8–9.
  61. ^ аbcdefghРідвег 2005, с. 9.
  62. ^ Арістоксен та інші у Діогена Лаертія, тобто 118, 119 Цицерон, де Дів. i. 49
  63. ^ аbc
  64. Бойер, Карл Б. (1968), Історія математики
  65. ^ аbЖмуд 2012, с.2, 16.
  66. ^ Діоген Лаертіус, Життя видатних філософів, viii. 1, 8.
  67. ^
  68. Уейт, М. Е. (30 квітня 1987 р.), Стародавні жінки-філософи: 600 р. До н. Е. - 500 р. Н. Е., Springer Science & amp Business Media, ISBN9789024733682 - через Google Books
  69. ^
  70. Мейлоун, Джон К. (30 червня 2009 р.), Психологія: Піфагор до теперішнього часу, MIT Press, стор. 22, ISBN978-0-262-01296-6, отримано 25 жовтня 2010 року
  71. ^ Порфирій, Життя Піфагора, 41.
  72. ^Жиль Менаж: Історія жінок-філософів. Переклад з латинської із вступом Беатріче Х. Цедлер. University Press of America, Lanham 1984, с. 47. "Людину, яку в Лаертії називають Фемістоклеєю, а Суїду - Теоклеєю, Порфирій називає Арістоклеєю".
  73. ^ Ямбліхус, Віт. Піф. 25 Порфирій, Віт. Піф. 17 Діоген Лаертіус, viii. 3.
  74. ^ Арістон. ап. Діоген Лаертіус, viii. 8, 21 Порфирій, Віт. Піф. 41.
  75. ^ аbcdefgРідвег 2005, с. 10.
  76. ^ аbcdeCornelli & amp McKirahan 2013, с. 64.
  77. ^ аbcРідвег 2005, с. 11.
  78. ^ аbФергюсон 2008, с. 5.
  79. ^ аbГригорій 2015, с. 22.
  80. ^ Ямбліхус, Віт. Піф. 28 Порфирій, Віт. Піф. 9
  81. ^ Корнелія Ж. де Фогель: Піфагор і ранній піфагореїзм. Assen 1966, стор. 21ff. Пор. Цицерон, De re publica 2, 28–30.
  82. ^Рідвег 2005, с. 11–12.
  83. ^ Корнелія Ж. де Фогель: Піфагор та ранній піфагореїзм, Ассен 1966, С. 148–150.
  84. ^Рідвег 2005, с. 12–13.
  85. ^Рідвег 2005, с. 12–18.
  86. ^ Порфирій, Віт. Піф. 18 Ямбліх, Віт. Піф. 37 тощо.
  87. ^Рідвег 2005, с. 13–18.
  88. ^ аbcdКан 2001, с. 8.
  89. ^ аbcПомерой 2013, с. 1.
  90. ^ аbcПомерой 2013, с. xvi.
  91. ^Фергюсон 2008, с. 58.
  92. ^ аbcdefghijkлмпoсторqФергюсон 2008, с. 59.
  93. ^Судська енциклопедія, с.84
  94. ^ аbРідвег, 2005, с. 5–6, 59, 73.
  95. ^ аbКан, 2001, с. 6–7.
  96. ^ аbРідвег 2005, с. 19.
  97. ^ аbcdКан 2001, с. 7.
  98. ^ аbcРідвег 2005, с. 19–20.
  99. ^ Ямбліхус, Віт. Піф. 255–259 Порфирій, Віт. Піф. 54–57 Діоген Лаертіус, viii. 39 комп. Плутарх, де генерал сокр. стор. 583
  100. ^ аbcdefgРідвег 2005, с. 20.
  101. ^Грант 1989, с. 278.
  102. ^Simoons 1998, с. 225–228.
  103. ^ аbБрун 2005, с. 66.
  104. ^ аbБуркерт 1972, с. 106–109.
  105. ^Кан, 2001, с. 5–6.
  106. ^Кан, 2001, с. 9–11.
  107. ^ аbБуркерт 1972, с. 29–30.
  108. ^ аbcКан 2001, с. 11.
  109. ^ аbЖмуд 2012, с. 232.
  110. ^Буркерт 1985, с. 300–301.
  111. ^ аbГригорій 2015, с. 24–25.
  112. ^ аbcКоплстон 2003, с. 30–31.
  113. ^ Діоген Лаертіус, viii. 36, комп. Арістотель, де Аніма, i. 3 Геродот, ii. 123.
  114. ^Григорій 2015, с. 25.
  115. ^Кан 2001, с. 12.
  116. ^ Діоген Лаертіус, viii. 3–4
  117. ^Cornelli & amp McKirahan 2013, с. 164–167.
  118. ^ Порфирій, Віт. Піф. 26 Павсаній, ii. 17 Діоген Лаертіус, viii. 5 Горацій, Од. i. 28,1. 10
  119. ^Cornelli & amp McKirahan 2013, с. 164–165.
  120. ^Cornelli & amp McKirahan 2013, с. 165–166.
  121. ^ аbcCornelli & amp McKirahan 2013, с. 167.
  122. ^ Авл Гелій, iv. 11
  123. ^ аbРідвег 2005, с. 29–30.
  124. ^ аbГригорій 2015, с. 38–39.
  125. ^ аbcРідвег 2005, с. 30.
  126. ^
  127. D. S. Hutchinson Monte Ransome Johnson (25 січня 2015 р.), Нова реконструкція, включає грецький текст, стор. 48
  128. ^ Цицерон, де Дівін. i. 3, 46 Порфирій, Віт. Піф. 29.
  129. ^ Ямбліхус, Віт. Піф. 25 Порфирій, Віт. Піф. 17 Діоген Лаертіус, viii. 3, 13 Цицерон, Туск. Qu. т. 3.
  130. ^ аbcBruhn 2005, с. 65–66.
  131. ^ аbcdГригорій 2015, с. 28–29.
  132. ^ аbcdРідвег 2005, с. 29.
  133. ^ аbcdКан, 2001, с. 1–2.
  134. ^ аbБуркерт 1972, с. 467–468.
  135. ^Буркерт 1972, с. 265.
  136. ^Кан 2001, с. 27.
  137. ^ аbРідвег 2005, с. 23.
  138. ^ аbcJoost-Gaugier 2006, с. 170–172.
  139. ^ аbcДжост-auоґ’є, 2006, с. 172.
  140. ^ аbБуркерт 1972, с. 433.
  141. ^Буркерт 1972, с. 467.
  142. ^Джост-auоґ’є, 2006, с. 170.
  143. ^ аbcДжост-auоґ’є, 2006, с. 161.
  144. ^ Ямбліхус, Віт. Піф., 29
  145. ^ аbГригорій 2015, с. 28.
  146. ^Joost-Gaugier 2006, с. 87–88.
  147. ^ аbcКан, 2001, с. 2–3.
  148. ^Кан 2001, с. 3.
  149. ^ аbБуркерт 1972, с. 428–433.
  150. ^Буркерт 1972, с. 465.
  151. ^ Платон, Республіка, 600а, Ізократ, Бусіріс, 28
  152. ^ аbcdCornelli & amp McKirahan 2013, с. 168.
  153. ^Грант 1989, с. 277.
  154. ^ Порфирій, Віт. Піф. 19
  155. ^ Трілволл, Історія Греції, вип. ii. стор. 148
  156. ^ аbcdРідвег 2005, с. 31.
  157. ^ комп. Цицерон, де Лег. i. 12, де Вимк. i. 7 Діоген Лаертіус, viii. 10
  158. ^ аbCornelli & amp McKirahan 2013, с. 65.
  159. ^ Арістонекс ап. Ямбліхус, Віт. Піф. 94, 101 та ін., 229 та ін. Комп. історія Деймона та Фінтія Порфірія, Віт. Піф. 60 Ямбліх, Віт. Піф. 233 тощо.
  160. ^Cornelli & amp McKirahan 2013, с. 68–69.
  161. ^ Ямбліхус, Віт. Піф. 98 Страбон, с.
  162. ^ аbcdefКенні 2004, с. 10.
  163. ^ Джон Діллон і Джексон Гершбелл, (1991), Ямбліх, Про життєвий шлях Піфагора, сторінка 14. Наукова преса. Д. Дж. О'Меара, (1989), Піфагор відроджений. Математика та філософія в пізній античності, сторінки 35–40. Clarendon Press.
  164. ^ аbcdeГригорій 2015, с. 31.
  165. ^ Еліан, Varia Historia, ii. 26 Діоген Лаертіус, viii. 13 Ямбліх, Віт. Піф. 8, 91, 141
  166. ^Рідвег 2005, с. 33–34.
  167. ^ Scholion ad Aristophanes, Nub. 611 Ямбліх, Віт. Піф. 237, 238
  168. ^ аbCornelli & amp McKirahan 2013, с. 69.
  169. ^Рідвег 2005, с. 64–67.
  170. ^Рідвег 2005, с. 64.
  171. ^Рідвег 2005, с. 65.
  172. ^ аbЖмуд 2012, с. 200.
  173. ^Рідвег 2005, с. 65–67.
  174. ^Рідвег 2005, с. 65–66.
  175. ^Рідвег 2005, с. 66–67.
  176. ^ аbcdefghiРідвег 2005, с. 66.
  177. ^Померой 2013, стор. Xvi – xvii.
  178. ^ комп. Порфирій, Віт. Піф. 32 Ямбліх, Віт. Піф. 96 та ін.
  179. ^Жмуд 2012, с. 137, 200.
  180. ^Коплстон 2003, с. 30.
  181. ^ Діоген Лаертіус, viii. 19, 34 Aulus Gellius, iv. 11 Порфирій, Віт. Піф. 34, де Абст. i. 26 Ямбліх, Віт. Піф. 98
  182. ^ Плутарх, де Есу Карн. Сторінки 993, 996, 997
  183. ^ аbКан 2001, с. 9.
  184. ^Кенні 2004, с. 10–11.
  185. ^ Евдокс, фр. 325
  186. ^ аbcdЖмуд 2012, с. 235.
  187. ^ Арісто ап. Діоген Лаертіус, viii. 20 комп. Порфирій, Віт. Піф. 7 Ямбліх, Віт. Піф. 85, 108
  188. ^ Арістоксен ап. Діоген Лаертіус, viii. 20
  189. ^ комп. Порфирій, Віт. Піф. 7 Ямбліх, Віт. Піф. 85, 108
  190. ^ аbРідвег 2005, с. 1.
  191. ^ аbcdefgРідвег 2005, с. 2.
  192. ^Григорій 2015, с. 30–31.
  193. ^ аbcdГригорій 2015, с. 30.
  194. ^ аbcКенні 2004, с. 11.
  195. ^ аbcdeФергюсон 2008, с. 60.
  196. ^ Порфирій, Віт. Піф. 20 Ямбліх, Віт. Піф. 31, 140 Еліан, Varia Historia, ii. 26 Діоген Лаертіус, viii. 36.
  197. ^ аbMcKeown 2013, с. 155.
  198. ^ Комп. Іродіан, iv. 94 та ін.
  199. ^Буркерт 1972, с. 144.
  200. ^Фергюсон 2008, с. 10.
  201. ^ Див. Антуан Фавр, в Вічний Гермес (1995)
  202. ^Джост-auоґ’є, 2006, с. 47.
  203. ^ аbФергюсон 2008, с. 58–59.
  204. ^ аbcCornelli & amp McKirahan 2013, с. 160.
  205. ^Фергюсон 2008, с. 60–61.
  206. ^ аbcdeФергюсон 2008, с. 61.
  207. ^Григорій 2015, с. 21–22.
  208. ^ Діоген Лаертіус, viii. 12 Плутарх, Non posse suav. vivi сек. Еп. стор. 1094
  209. ^ Порфирій, в Птол. Шкода. стор. 213 Діоген Лаертіус, viii. 12.
  210. ^ Діоген Лаертіус, viii. 14 Пліній, Історія Нат. ii. 8.
  211. ^ Діоген Лаертіус, viii. 12, 14, 32.
  212. ^Кан, 2001, с. 32–33.
  213. ^Рідвег 2005, с. 26–27.
  214. ^ аbcdefРідвег 2005, с. 27.
  215. ^Буркерт 1972, с. 428.
  216. ^Буркерт 1972, с.429, 462.
  217. ^ аbКан 2001, с. 32.
  218. ^Фергюсон 2008, с. 6–7.
  219. ^ аbcБуркерт 1972, с. 429.
  220. ^Кан 2001, с. 33.
  221. ^Рідвег 2005, с. 27–28.
  222. ^ аbcdГригорій 2015, с. 27.
  223. ^ аbcРідвег 2005, с. 28.
  224. ^ аbКрістенсен 2002, с. 143.
  225. ^ аbБуркерт 1972, с. 306.
  226. ^ аbБуркерт 1972, с. 307–308.
  227. ^Буркерт 1972, с. 306–308.
  228. ^Кан 2001, с. 53.
  229. ^Дікс 1970, с. 68.
  230. ^Ленґдон і підсилювач Фотерінгем 1928.
  231. ^ аbcКан, 2001, с. 55–62.
  232. ^Кан, 2001, с. 48–49.
  233. ^ аbКан 2001, с. 39.
  234. ^Кан, 2001, с. 39–43.
  235. ^Кан, 2001, с. 39–40.
  236. ^Кан 2001, с. 40, 44–45.
  237. ^ Платон, Республіка VII, 530д
  238. ^ Метафізика, 1.6.1 (987a)
  239. ^Кан 2001, с. 1.
  240. ^ Туск. Диспут. 1.17.39.
  241. ^Кан 2001, с. 55.
  242. ^ аbcdЗаєць 1999, с. 117–119.
  243. ^Коплстон 2003, с. 37.
  244. ^Рассел 2008, с. 33–37.
  245. ^Рассел 2008, с. 37.
  246. ^Рідвег 2005, с. 123–124.
  247. ^Рідвег 2005, с. 124.
  248. ^ аbРідвег 2005, с. 125–126.
  249. ^ аbcРідвег 2005, с. 125.
  250. ^Рідвег 2005, с. 126–127.
  251. ^ аbJoost-Gaugier 2006, с. 166–181.
  252. ^ аbГоманн-Ведекінг 1968, с. 63.
  253. ^Гоманн-Ведекінг 1968, с. 62.
  254. ^ аbcdeКарпентер 1921, с. 107, 122, 128.
  255. ^Гоманн-Ведекінг 1968, с. 62–63.
  256. ^ аbBowra 1994, с. 166.
  257. ^Гоманн-Ведекінг 1968, с. 62–65.
  258. ^Джост-auоґ’є, 2006, с. 154.
  259. ^Joost-Gaugier 2006, с. 154–156.
  260. ^Joost-Gaugier 2006, с. 157–158.
  261. ^Джост-auоґ’є, 2006, с. 158.
  262. ^Joost-Gaugier 2006, с. 158–159.
  263. ^Джост-auоґ’є, 2006, с. 159.
  264. ^Joost-Gaugier 2006, с. 159–161.
  265. ^ аbДжост-auоґ’є, 2006, с. 162.
  266. ^Joost-Gaugier 2006, с. 162–164.
  267. ^Joost-Gaugier 2006, с. 167–168.
  268. ^Джост-auоґ’є, 2006, с. 168.
  269. ^Joost-Gaugier 2006, стор. 169–170.
  270. ^Joost-Gaugier 2006, с. 57–65.
  271. ^ аbcДжост-auоґ’є, 2006, с. 57.
  272. ^Joost-Gaugier 2006, с. 57–58.
  273. ^Joost-Gaugier 2006, с. 58–59.
  274. ^ аbДжост-auоґ’є, 2006, с. 59.
  275. ^ аbcdefghijkлмпoCelenza 2010, с. 798.
  276. ^ аbcRusso 2004, с. 5–87, особливо 51–53.
  277. ^ аbКан 2001, с. 160.
  278. ^Кан, 2001, с. 161–171.
  279. ^Фергюсон 2008, с. 265.
  280. ^ аbФергюсон 2008, с. 264–274.
  281. ^Кан 2001, с. 162.
  282. ^Фергюсон 2008, с. 274.
  283. ^ Джеймі Джеймс, Музика сфер: музика, наука та природний порядок Всесвіту, с 142.
  284. ^Фергюсон 2008, с. 279.
  285. ^ аbФергюсон 2008, с. 279–280.
  286. ^ аbКан 2001, с. 172.
  287. ^Уайтхед 1953, с. 36–37.
  288. ^Уайтхед 1953, с. 36.
  289. ^ аbБорлик 2011, с. 192.
  290. ^Борлик 2011, с. 189.
  291. ^ аbБорлик 2011, С. 189–190.
  292. ^ аbcdefБорлик 2011, с. 190.
  293. ^Фергюсон 2008, с. 282.
  294. ^ аbФергюсон 2008, с. 294.
  295. ^ аbРідвег 2005, с. 127–128.
  296. ^ аbcРідвег 2005, с. 128.
  297. ^ аbcdФранцузька 2002, с. 30.
  298. ^Рідвег 2005, с. 133.
  299. ^ аbШерман 1995, с. 15.
  300. ^Фергюсон 2008, с. 284–288.
  301. ^Фергюсон 2008, с. 287–288.
  302. ^Фергюсон 2008, с. 286–287.
  303. ^Фергюсон 2008, с. 288.
  304. ^ аbcHaag 2013, с. 89.
  305. ^Haag 2013, с. 90.
  306. ^Haag 2013, с. 90–91.
  307. ^ аbcdefHaag 2013, с. 91.
  308. ^Haag 2013, стор. 91–92.
  309. ^Haag 2013, с. 92.
  310. ^ аbcdБрегман 2002, с. 186.

Цитовані

Лише декілька відповідних текстів-джерел стосуються Піфагора, а піфагорейці - більшість із них доступні в різних перекладах. Пізніші тексти, як правило, спираються виключно на інформацію в цих роботах.


Чи насправді нам потрібно вивчати просунуту математику? Справа одного професора для більш практичного та практичного підходу 04:53

Чи справді старшокласникам потрібно приймати обчислення, геометрію та тригонометрію?

Ендрю Хакер, професор політології з Квінс-коледжу, каже, що ні. Він наполягає на прийнятті "рахунку", що, спрощено кажучи, означає здатність вимірювати, робити оцінки та розбивати прості відсотки.

Ви можете подумати: "Що професор політології знає про математику?" Ну, Хакер каже, що все своє життя він вивчав людей і суспільство, і одне, що він постійно помічав, це те, що багато американців, здається, бояться математики.

Три роки тому Хакер вирішив розпочати викладання курсу з рахунку, практичного застосування математики. За його словами, він виявив, що його учні добре реагують.

Я розмовляв із Хекером по телефону про його теорію та процес навчання рахунку.

Тому що обчислення - це просто обчислення, тоді як обчислення - це реальний світ. Ви повинні знати про політику та голосування. Ви повинні знати, чому народжуваність знижується. Ми дивимося на цифри і запитуємо, чому. Цифри починають розповідати історію.

Ви вже казали, що математика - це фактор успіху у середній школі. Ви можете пояснити це?

Я справді вірю, що кожен може по-справжньому застосувати себе до історії чи англійської літератури і почати розуміти її та робити з нею гідний прогрес. Є багато людей, які просто не можуть впоратися з [математикою]. Вони побудовані не так, і це не питання соціального класу чи раси. Я чув, як діти професійних батьків або самі професійні батьки кажуть: "Одна з моїх дочок - це знахарка геометрії, а друга стає напівсуїцидальною через алгебру".

Деякі стверджують, що математика життєво важлива.

Я всі за просту аніметику ванілі аж до довгого поділу, десяткових знаків і дробів. Більшу частину часу, коли ми говоримо про математику, ми справді говоримо про арифметику. Грамотність означає бути вдома з цифрами, як майже другою мовою, або статистикою, яку ми бачимо у своїх газетах та на телебаченні, бути в змозі їх зрозуміти.

Як ви думаєте, в чому проблема чи розрив зв'язку, через які важко переосмислити спосіб викладання математики?

Нехай я буду трохи претензійною. Існує фраза: "інтелектуальний капітал". Інтелектуальний капітал - це те, що ви знаєте, знання у вашій голові. Математики знають, що їх інтелектуальний капітал - це математика. Вони це вивчили. Вони навчають цього. Вони про це пишуть. Вони думають про це. І якщо ви почнете говорити: "Те, що ви знаєте, не так важливо", [людина] може почуватись дуже захисно. Ось чому я називаю це математичним міфом. Це вигадування причин, чому люди повинні вивчати математику.

Я вирішив запустити теорію Хакера від Метью Бейраневанда. Він є координатором математичного відділу К-12 для шкіл Челмсфорда та багатогранником з математики. Він випускає музичні відеокліпи, телевізійний пілот і навіть має подкаст, присвячений математиці.

Тоня Мослі: Ендрю Хакер каже, що математика високого рівня, така як числення та тригонометрія, є марною тратою часу для більшості студентів. Ваші думки?

Метью Бейраневанд: Зокрема, обчислення надає [студентам] навички вирішення проблем, мислення та міркування, а також набагато більше додаткових навичок, які вони можуть застосовувати в інших областях STEM. Зокрема наука, техніка та техніка.

Ви говорили, що певною мірою погоджуєтесь з Хакером. Які частини ви з ним погоджуєтесь?

Професор Хакер дуже критично ставиться до математичної освіти К-12, і я думаю, що на вчителів чиниться великий тиск, щоб вони могли охопити всі стандарти за короткий термін, який вони мають. Існує великий тиск, щоб досягти успіху. Думаю, нам потрібно зробити певний крок назад і подумати про математику трохи в іншому об’єктиві і знайти радість у математиці, яка є красивою, цікавою та цікавою. Часто вчителі не мають можливості витрачати на це час, оскільки вони настільки напружені та зосереджені на тестуванні з високими ставками та інших державних рамках.

Це описи, які я не часто чую, пов’язані з математикою. Гарний! Захоплююче! Як ви намагалися зробити так для своїх учнів?

Це моя професійна місія - мати змогу зацікавити учнів та зайнятися математикою. Частина цього пов’язана із зміною способу навчання в класі. Я намагаюся отримати речі, такі як поп-культура.Студентам подобається, коли вони можуть генерувати власні запитання щодо математики, і вони зацікавлені, а потім можуть зосередитись на цьому.

Хакер насправді вважає, що Америка досить добре виконує роботу з викладання математики з дитячого садка до восьмого класу. Він каже, що проблема виникає, коли ми вступаємо до середньої школи, коли раптом замість того, щоб спиратися на свої арифметичні навички, ми переходимо до вищих концепцій.

Як ви вже чули, хакер хоче бачити навчальні вказівки, орієнтовані на "рахування" та mdash, що дозволило б студентам поглибити свою здатність використовувати математичні поняття в реальному світі. Окрім цього, він вважає, що математика вищого рівня повинна бути факультативом для дітей, котрі зацікавлені в тому, щоб займатися сферами STEM.

Цей сегмент вийшов в ефір 14 квітня 2017 року.

Співведучий, Here & amp Now
Тоня Мослі - співведуча програми Here & amp Now із штату Лос-Анджелес.


Зміст

Походження грецької математики недостатньо документовано. [5] [6] Найдавнішими передовими цивілізаціями в Греції та Європі були Мінойська та пізніше Мікенська цивілізації, обидві з яких процвітали протягом 2-го тисячоліття до н. Хоча ці цивілізації володіли писемністю і були здатні до вдосконаленої техніки, включаючи чотириповерхові палаци з дренажними та гробницями вуликів, вони не залишили поза собою математичних документів.

Хоча прямих доказів немає, загалом вважається, що сусідня вавилонська та єгипетська цивілізації вплинули на молодшу грецьку традицію. [7] [8] [5] На відміну від розквіту грецької літератури протягом 800–600 рр. До н. Е., Про грецьку математику в цей ранній період відомо не так багато - майже вся інформація передавалась через пізніших авторів, починаючи з середина 4 століття до н. [9] [10]

Грецька математика нібито почалася з Фалеса Мілетського (бл. 624–548 рр. До н. Е.). Про його життя та творчість відомо дуже мало, хоча загальновизнано, що він був одним із семи мудреців Греції. За словами Прокла, він подорожував до Вавилону, звідки вивчав математику та інші предмети, і придумав докази того, що зараз називають теоремою Фалеса. [11] [12]

Не менш загадковою фігурою є Піфагор Самосський (близько 580–500 рр. До н. Е.), Який нібито відвідав Єгипет та Вавилон [10] [13] і врешті-решт оселився в Кротоні, Велика Греція, де започаткував своєрідний культ. Піфагорійці вірили, що "все - це число", і прагнули шукати математичних зв'язків між числами і речами. [14] Сам Піфагор був визнаний багатьма пізнішими відкриттями, включаючи побудову п'яти регулярних твердих тіл. Однак Арістотель відмовився приписувати що-небудь конкретно Піфагору і лише обговорював роботу піфагорійців як групи. [15] [16]

Зазвичай прийнято зараховувати майже половину матеріалу до книги Евкліда Елементи до піфагорейців, а також відкриття ірраціональних понять, приписуваних Гіппасу (бл. 530-450 рр. до н. е.), і найперша спроба квадратизації кола в праці Гіппократа з Хіосу (бл. 470-410 рр. до н. е.). [17] Однак найбільшим математиком, пов’язаним із цією групою, міг бути Архіт (близько 410-350 рр. До н. Е.), Який вирішив проблему подвоєння куба, визначив середнє гармонічне і, можливо, сприяв оптиці та механіці. [17] [18] До інших математиків, що діяли в цей період, не пов'язані з жодною школою, належать Теодор (ет. 450 р. До н. Е.), Теетет (бл. 417-369 рр. До н. Е.) Та Евдокс (бл. 408-355 рр. До н. Е.).

Грецька математика також привертає увагу філософів у класичний період. Платон (близько 428–348 рр. До н. Е.), Засновник Платонівської академії, згадує математику в декількох своїх діалогах. Незважаючи на те, що Платон не вважався математиком, Платон, схоже, зазнав впливу піфагорейських уявлень про число і вважав, що елементи матерії можуть бути розбиті на геометричні тверді тіла. [19] Він також вважав, що геометричні пропорції пов'язані між собою космосом, а не фізичними чи механічними силами. [20] Арістотель (близько 384–322 рр. До н. Е.), Засновник перипатетичної школи, часто використовував математику, щоб проілюструвати багато своїх теорій, як тоді, коли він використовував геометрію у своїй теорії веселки та теорії пропорцій у своєму аналізі руху. [20] Багато знань, відомих про давньогрецьку математику в цей період, завдяки записам, на які посилався Арістотель у своїх власних працях. [10] [21]

Елліністична ера розпочалася в 4 столітті до нашої ери, коли Олександр Македонський завоював східне Середземномор'я, Єгипет, Месопотамію, Іранське плато, Середню Азію та частини Індії, що призвело до поширення грецької мови та культури на цих територіях. Грецька мова стала мовою науковців у всьому елліністичному світі, а математика класичного періоду злилася з єгипетською та вавилонською математикою, щоб породити елліністичну математику. [23] [24]

Грецька математика та астрономія досягли свого апогею в елліністичний та ранньоримський періоди, і більша частина робіт, представлених такими вченими, як Евклід (ет. 300 до н. Е.), Архімед (бл. 287–212 до н. Е.), Аполлоній (бл. 240–190 До н. Е.), Гіппарх (бл. 190–120 рр. До н. Е.) Та Птолемей (бл. 100–170 рр. Н. Е.) Були на дуже високому рівні. [25] Існують також докази поєднання математичних знань з високим рівнем технічної експертизи, як це виявлено, наприклад, у працях Героя (близько 10–70 рр. Н. Е.) Або у побудові простих аналогових комп’ютерів, таких як механізм Антикітери. [26] [27]

У цей період з’явилося кілька елліністичних центрів навчання, серед яких найважливішим був Музей в Олександрії, Єгипет, який залучав вчених з усього елліністичного світу (переважно грецьких, але також єгипетських, єврейських, перських, фінікійських та навіть індійських вчених ). [28] [29] Хоча їх було мало, але елліністичні математики активно спілкувались між собою публікацією, що складалася з передачі та копіювання чиїсь роботи серед колег. [30]

Пізніше математики включають Діофанта (близько 214–298 рр. Н. Е.), Який писав про багатокутні числа та роботу з досучасної алгебри (Арифметика), [31] [32] Папп Олександрійський (близько 290-350 рр. Н. Е.), Який зібрав багато важливих результатів у Колекція, [33] та Теон Олександрійський (бл. 335-405 рр. Н. Е.) Та його дочка Іпатія (бл. 370–415 рр. Н. Е.), Які редагували книгу Птолемея Альмагест та інші роботи. [34] [35] Хоча жоден із цих математиків, крім Діофанта, не мав помітних оригінальних робіт, вони відрізняються своїми коментарями та викладами. Ці коментарі зберегли цінні уривки із загиблих творів або історичні натяки, які за відсутності оригінальних документів є цінними через рідкість. [36] [37]

Більшість математичних текстів, написаних грецькою мовою, збереглися шляхом копіювання рукописів протягом століть, хоча деякі фрагменти, що датуються античністю, були знайдені в Греції, Єгипті, Малій Азії, Месопотамії та Сицилії. [25]

Грецька математика становить важливий період в історії математики: фундаментальний щодо геометрії та ідеї формального доказу. [38] Грецькі математики також брали участь у теорії чисел, математичній астрономії, комбінаториці, математичній фізиці, а часом підходили до ідей, близьких до інтегрального числення.

Евдокс із Кніда розробив теорію пропорції, яка нагадує сучасну теорію дійсних чисел, використовуючи виріз Дедекінда, розроблену Річардом Дедекіндом, який визнав Евдокса натхненням. [39] [40] [41] [42]

Евклід зібрав багато попередніх результатів і теорем у Елементи, канон геометрії та елементарної теорії чисел протягом багатьох століть. [43] [44] [45]

Архімед зміг використати концепцію нескінченно малого так, щоб передбачити сучасні ідеї інтегрального числення. [46] [47] Використовуючи техніку, що залежить від форми доказування суперечливістю, він міг досягати відповідей на задачі з довільним ступенем точності, одночасно визначаючи межі, в яких лежали відповіді. Ця техніка відома як метод виснаження, і він використовував у кількох своїх роботах, таких як приблизне значення π (Вимірювання кола). [48] ​​В Квадратура параболи, Архімед довів, що площа, закрита параболою та прямою лінією, в 4/3 рази перевищує площу трикутника з однаковими основою та висотою. Одне з двох його доказів показує рішення проблеми як нескінченний геометричний ряд, сума якого становила 4/3. [49] В Розрахунок піску, Архімед вирішив назвати кількість піщинок, які міг би містити Всесвіт. Роблячи це, він кинув виклик думці, що кількість піщинок занадто велика, щоб її можна було підрахувати, розробивши власну схему підрахунку, засновану на безлічі, яка позначала 10 000. [50]

Найхарактернішим продуктом грецької математики може бути теорія конічних перерізів, яка значною мірою була розроблена в елліністичний період, насамперед Аполлонієм. [51] [52] [53] Використані методи не передбачали явного використання алгебри, ані тригонометрії, остання з’явилася приблизно за часів Гіппарха. [54] [55]

Хоча найдавніші тексти грецької мови з математики, які були знайдені, були написані після елліністичного періоду, багато з них вважаються копіями творів, написаних під час і до елліністичного періоду. [56] Двома основними джерелами є

    , написані приблизно через 500–1500 років після їх оригіналів, або арабські переклади грецьких творів та латинські переклади арабською мовою.

Проте, незважаючи на відсутність оригінальних рукописів, дати грецької математики є більш певними, ніж дати збережених вавилонських чи єгипетських джерел, оскільки існує велика кількість хронологій, що перекриваються. Навіть незважаючи на це, багато дат невизначені, але сумніви стосуються не десятиліть, а століть.