Статті

8.E: Нелінійні рівняння (вправи) - математика

8.E: Нелінійні рівняння (вправи) - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

8.1: Лінеаризація, критичні точки та рівноваги

Вправа 8.1.1: Накресліть векторне поле фазової площини для:

а) (x '= x ^ 2, ~~ y' = y ^ 2 ),

б) (x '= (x-y) ^ 2, ~~ y' = - x ),

в) (x '= e ^ y, ~~ y' = e ^ x ).

Вправа 8.1.2: Системи матчів

1) (x '= x ^ 2 ), (y' = y ^ 2 ), 2) (x '= xy ), (y' = 1 + y ^ 2 ), 3) (x '= sin ( pi y) ), (y' = x ), до векторних полів нижче. Обґрунтуйте.

а) б) в)

Вправа 8.1.3: Знайдіть критичні точки та лінеаризуйте наступні системи.

а) (x '= x ^ 2-y ^ 2 ), (y' = x ^ 2 + y ^ 2-1 ),

б) (x '= - y ), (y' = 3x + yx ^ 2 ),

в) (x '= x ^ 2 + y ), (y' = y ^ 2 + x ).

Вправа 8.1.4: Для наступних систем переконайтеся, що вони мають критичну точку в ((0,0) ), і знайдіть лінеаризацію в ((0,0) ).

а) (x '= x + 2y + x ^ 2-y ^ 2 ), (y' = 2y-x ^ 2 )

б) (x '= - y ), (y' = x-y ^ 3 )

c) (x '= ax + by + f (x, y) ), (y' = cx + dy + g (x, y) ), де (f (0,0) = 0 ), (g (0,0) = 0 ), і всі перші часткові похідні від (f ) та (g ) також дорівнюють нулю при ((0,0) ), тобто

( frac { частково f} { частково x} (0,0) = frac { частково f} { частково y} (0,0) = frac { частково g} { частково x} (0,0) = frac { частково g} { частково y} (0,0) = 0 ).

Вправа 8.1.5: Візьміть (x '= (x-y) ^ 2 ), (y' = (x + y) ^ 2 ).

а) Знайдіть множину критичних точок.

б) Накресліть фазову діаграму та опишіть поведінку поблизу критичної точки.

в) Знайдіть лінеаризацію. Чи корисно це в розумінні системи?

Вправа 8.1.6: Візьміть (x '= x ^ 2 ), (y' = x ^ 3 ).

а) Знайдіть множину критичних точок.

б) Накресліть фазову діаграму та опишіть поведінку поблизу критичної точки.

в) Знайдіть лінеаризацію. Чи корисно це в розумінні системи?

Вправа 8.1.101: Знайдіть критичні точки та лінеаризацію наступних систем.

а) (x '= sin ( pi y) + (x-1) ^ 2 ), (y' = y ^ 2-y ),

б) (x '= x + y + y ^ 2 ), (y' = x ),

в) (x '= (x-1) ^ 2 + y ), (y' = x ^ 2 + y ).

Вправа 8.1.102: Системи матчів

1) (x '= y ^ 2 ), (y' = - x ^ 2 ), 2) (x '= y ), (y' = (x-1) (x + 1 ) ), 3) (x '= y + x ^ 2 ), (y' = - x ), до векторних полів нижче. Обґрунтуйте.

а) б) в)

Вправа 8.1.103: Ідея критичних точок та лінеаризація працює також у більш високих вимірах. Ви просто збільшуєте матрицю Якобіана, додаючи більше функцій і більше змінних. Для наступної системи з 3 рівнянь знайдіть критичні точки та їх лінеаризації:

(x '= x + z ^ 2, y' = z ^ 2-y, z '= z + x ^ 2. )

Вправа 8.1.1: Будь-яку двовимірну неавтономну систему (x '= f (x, y, t) ), (y' = g (x, y, t) ) можна записати як три -вимірна автономна система (три рівняння). Запишіть цю автономну систему, використовуючи змінні (u ), (v ), (w ).

8.2: Стійкість та класифікація ізольованих критичних точок

Вправа 8.2.1: Для наведених нижче систем знайдіть і класифікуйте критичні точки, також вкажіть, чи є рівноваги стабільними, асимптотично стабільними чи нестабільними.

a) (x '= - x + 3x ^ 2, y' = - y ) b) (x '= x ^ 2 + y ^ 2-1 ), (y' = x ) c) (x '= ye ^ x ), (y' = y-x + y ^ 2 )

Вправа 8.2.2: Знайдіть неявні рівняння траєкторій наступних консервативних систем. Далі знайдіть їх критичні точки (якщо такі є) та класифікуйте їх.

a) (x '' + x + x ^ 3 = 0 ) b) ( theta '' + sin theta = 0 ) c) (z '' + (z-1) (z + 1) = 0 ) г) (x '' + x ^ 2 + 1 = 0 )

Вправа 8.2.3: Знайдіть і класифікуйте критичні точки (x '= -x ^ 2 ), (y' = -y ^ 2 ).

Вправа 8.2.4: Нехай (x '= - xy ), (y' = x ^ 2-1-y ). а) Покажіть, що є дві спіральні раковини на ((- 1,0) ) та ((1,0) ). б) Для будь-якої початкової точки форми ((0, y_0) ) знайдіть, якою є траєкторія. в) Чи може траєкторія, що починається з ((x_0, y_0) ), де (x_0> 0 ), спиратися до критичної точки в ((- 1,0) )? Чому чи чому б ні?

Вправа 8.2.5: У прикладі (x '= y ), (y' = y ^ 3-x ) показують, що для будь-якої траєкторії відстань від початку координат є зростаючою функцією. Зробіть висновок, що походження поводиться як спіральне джерело. Підказка: Розгляньте (f (t) = { bigl (x (t) bigr)} ^ 2 + { bigl (y (t) bigr)} ^ 2 ) і покажіть, що він має позитивну похідну.

Вправа 8.2.6: Нехай (f ) завжди позитивний. Знайдіть траєкторії (x '' + f (x ') = 0 ). Чи є критичні моменти?

Вправа 8.2.7: Припустимо, що (x '= f (x, y) ), (y' = g (x, y) ). Припустимо, що (g (x, y)> 1 ) для всіх (x ) та (y ). Чи є критичні моменти? Що ми можемо сказати про траєкторії при (t ), що йде до нескінченності?

Вправа 8.2.101: Для наведених нижче систем знайдіть і класифікуйте критичні точки. a) (x '= - x + x ^ 2 ), (y' = y ) b) (x '= yy ^ 2-x ), (y' = - x ) c) (x '= xy ), (y' = x + y-1 )

Вправа 8.2.102: Знайдіть неявні рівняння траєкторій наступних консервативних систем. Далі знайдіть їх критичні точки (якщо такі є) та класифікуйте їх. a) (x '' + x ^ 2 = 4 ) b) (x '' + e ^ x = 0 ) c) (x '' + (x + 1) e ^ x = 0 )

Вправа 8.2.103: Консервативна система (x '' + x ^ 3 = 0 ) не є майже лінійною. Класифікуйте його критичну точку (точки).

Вправа 8.2.104: Вивести аналогічну класифікацію критичних точок для рівнянь в одному вимірі, наприклад (x '= f (x) ) на основі похідної. Точка (x_0 ) є критичною, коли (f (x_0) = 0 ), і майже лінійною, якщо додатково (f '(x_0) not = 0 ). З'ясуйте, чи є критична точка стабільною чи нестійкою залежно від знака (f '(x_0) ). Поясніть. Підказка: див. Гл. 1.6.

8.3: Застосування нелінійних систем

Вправа 8.3.1: Візьміть затухаюче нелінійне рівняння маятника ( theta '' + mu theta '+ ( frac {g} {L}) sin theta = 0 ) для деяких ( mu> 0 ) (тобто є деяке тертя) . а) Нехай ( mu = 1 ) та ( frac {g} {L} = 1 ) для простоти знаходять і класифікують критичні точки. б) Зробіть те ж саме для будь-яких ( mu> 0 ) та будь-яких (g ) та (L ), але таких, щоб демпфування було невеликим, зокрема, ( mu ^ 2 <4 ( frac {g} {L}) ). в) Поясніть, що означають ваші висновки, і якщо це узгоджується з тим, що ви очікуєте насправді.

Вправа 8.3.2: Припустимо, зайці ростуть не експоненціально, а логістично. Зокрема розглянемо

[x '= (0,4-0,01 року) x - гамма x ^ 2, ~~~~~ y' = (0,003x-0,3) y.]]

Для наступних двох значень ( gamma ) знайдіть і класифікуйте всі критичні точки в додатному квадранті, тобто для (x geq 0 ) та (y geq 0 ). Потім накидайте фазову діаграму. Обговоріть наслідки для довгострокової поведінки населення. а) ( гамма = 0,001 ), б) ( гамма = 0,01 ).

Вправа 8.3.3: а) Нехай (x ) та (y ) є додатними змінними. Показати ( frac {y x} {e ^ {x + y}} ) досягає максимуму в ((1,1) ). б) Нехай (a, b, c, d ) є позитивними константами, а також нехай (x ) та (y ) є додатними змінними. Показати ( frac {y ^ ax ^ d} {e ^ {cx + by}} ) досягає максимуму в (( frac {d} {c}, frac {a} {b}) ) .

Вправа 8.3.4: Припустимо, що для рівняння маятника ми беремо траєкторію, що дає обертальний рух, наприклад ( omega = sqrt { frac {2g} {L} cos theta + frac {2g} {L} + omega_0 ^ 2} ). Це траєкторія, де найнижча кутова швидкість дорівнює ( omega_0 ^ 2 ). Знайдіть інтегральний вираз, скільки часу потрібно маятнику, щоб пройти весь шлях.

Вправа 8.3.5: [складне завдання] Візьміть маятник, припустимо, початкове положення - ( theta = 0 ). а) Знайдіть вираз для ( omega ), що дає траєкторію з початковою умовою ((0, omega_0) ). Підказка: З'ясуйте, що (C ) має бути з точки зору ( omega_0 ). б) Знайдіть вирішальну кутову швидкість ( omega_1 ), таку, що при будь-якій вищій початковій кутовій швидкості маятник буде продовжувати обертатись навколо своєї осі, а при будь-якій нижчій початковій кутовій швидкості маятник буде просто коливатися вперед-назад. Підказка: Коли маятник не переходить зверху, вираз ( omega ) для деяких ( theta ) буде невизначеним. в) Що, на вашу думку, відбувається, якщо початковою умовою є ((0, omega_1) ), тобто початковий кут дорівнює 0, а початкова кутова швидкість - точно ( omega_1 ).

Вправа 8.3.101: Візьмемо затухаюче нелінійне рівняння маятника ( theta '' + mu theta '+ ( frac {g} {L}) sin theta = 0 ) для деяких ( mu> 0 ) (тобто існує тертя). Припустимо, тертя велике, зокрема ( mu ^ 2> 4 ( frac {g} {L}) ). а) Знайдіть і класифікуйте критичні точки. б) Поясніть, що означають ваші висновки, і якщо це узгоджується з тим, що ви очікуєте насправді.

Вправа 8.3.102: Припустимо, у нас є система система хижак-здобич, де лисиць також вбивають з постійною швидкістю (h ) ( (h ) лисиць, убитих за одиницю часу): (x '= (a- за) x, ) (y '= (cx-d) y - h ). а) Знайдіть критичні точки та матриці Якобіна системи. б) Помістіть константи (a = 0,4 ), (b = 0,01 ), (c = 0,003 ), (d = 0,3 ), (h = 10 ). Проаналізуйте критичні точки. Що, на вашу думку, там сказано про ліс?

Вправа 8.3.103: [складно] Припустимо, лисиці ніколи не вмирають. Тобто ми маємо систему (x '= (a-by) x, ) (y' = cxy ). Знайдіть критичні точки та зауважте, що вони не ізольовані. Що станеться з населенням у лісі, якщо воно почнеться з якихось позитивних цифр. Підказка: Подумайте про константу руху.

8.4: Граничні цикли

Вправа 8.4.1: Покажіть, що наступні системи не мають закритих траєкторій. а) (x '= x ^ 3 + y, y' = y ^ 3 + x ^ 2 ), б) (x '= e ^ {xy}, y' = e ^ {x + y} ), в) (x '= x + 3y ^ 2-y ^ 3, y' = y ^ 3 + x ^ 2 ).

Вправа 8.4.2: Сформулюйте умову для лінійної системи 2 на 2 ({ vec {x} ,} '= A vec {x} ) не бути центром, використовуючи теорему Бендіксона-Дулака. Тобто, теорема дещо говорить про певні елементи (A ).

Вправа 8.4.3: Поясніть, чому теорема Бендіксона-Дулака не застосовується до жодної консервативної системи (x '' + h (x) = 0 ).

Вправа 8.4.4: Така система, як (x '= x, y' = y ), має рішення, які існують протягом усього часу (t ), однак немає закритих траєкторій чи інших граничних циклів. Поясніть, чому не застосовується теорема Пуанкаре-Бендікссона.

Вправа 8.4.5: Диференціальні рівняння також можна подавати в різних системах координат. Припустимо, ми маємо систему (r '= 1-r ^ 2 ), ( theta' = 1 ), задану в полярних координатах. Знайдіть усі замкнуті траєкторії та перевірте, чи є вони граничними циклами, і якщо так, чи є вони асимптотично стабільними чи ні.

Вправа 8.4.101: Покажіть, що наступні системи не мають закритих траєкторій. а) (x '= x + y ^ 2 ), (y' = y + x ^ 2 ), b) (x '= - x sin ^ 2 (y) ), (y '= e ^ x ), c) (x' = xy ), (y '= x + x ^ 2 ).

Вправа 8.4.102: Припустимо, що автономна система в площині має рішення (x = cos (t) + e ^ {- t} ), (y = sin (t) + e ^ {- t} ). Що ви можете сказати про систему (зокрема про граничні цикли та періодичні рішення)?

Вправа 8.4.103: Покажіть, що граничний цикл генератора Ван дер Поля (для ( mu> 0 )) не повинен повністю лежати в множині, де (- sqrt { frac {1+ mu} { mu}}

Вправа 8.4.104: Припустимо, ми маємо систему (r '= sin (r) ), ( theta' = 1 ), задану в полярних координатах. Знайдіть усі замкнуті траєкторії.


МАТЕМАТИКА 412: Нелінійна динаміка та хаос (весна 2015)

Цей перший курс нелінійної динаміки та хаосу орієнтований на студентів та аспірантів вищого рівня. Ми будемо використовувати аналітичні методи, конкретні приклади та геометричну інтуїцію для розробки базової теорії динамічних систем, починаючи з диференціальних рівнянь першого порядку та їх біфуркацій, потім аналізу фазової площини, граничних циклів та їх біфуркацій, а кульмінацією - Лоренца рівняння, хаос, ітераційні карти, подвоєння періоду, перенормування, фрактали та дивні атрактори.

Ваша оцінка визначатиметься через дев’ять домашніх завдань та підсумковий іспит. Домашнє завдання складатиме сімдесят відсотків вашої оцінки, а підсумковий іспит - решту тридцять відсотків. У сукупності дев'яносто відсотків або більше гарантуватиме А, вісімдесят відсотків Б, сімдесят відсотків С і шістдесят відсотків D.

Обов’язковий текст Нелінійна динаміка та хаос (друге видання) Стівена Х. Строгаца
Години занять По понеділках, середах та п’ятницях з 11:00 до 11:50
Розташування класу Науково-математичний навчальний центр 356
Робочий час По понеділках з 14:00 до 15:00 та в середу з 14:00 до 16:00
Місцезнаходження офісу Науково-математичний навчальний центр 226


Для випадку однієї змінної існують більш повільні методи з гарантіями, такі як інтервал бісекції та швидші методи, які потребують хорошого стартового відгадування, наприклад метод Ньютона. У сучасному програмному забезпеченні поєднані хороші властивості двох. Найкращий спосіб спробувати - це, мабуть, метод Брента, реалізований у scipy.optimize.brentq. Інші методи, такі як метод Ньютона, також доступні в пакеті оптимізації. Доступні методи зазвичай знаходять деякий корінь, а не всі. У цьому сенсі методи є місцевими.

У цьому прикладі ми знайдемо корінь $ x ^ 3 - x ^ 2 -1 $. Завжди добре поєднувати пошук коренів з візуалізацією функції, щоб отримати уявлення про вихідні точки або інтервали, що цікавлять.


8.E: Нелінійні рівняння (вправи) - математика

Ось набір практичних задач для розділу "Системи рівнянь" в примітках до алгебри.

  1. Якщо вам потрібен документ у форматі PDF, що містить рішення, на вкладці завантаження вище містяться посилання на файл PDF, який містить рішення для повної книги, розділу та розділу. На даний момент я не пропоную PDF-файли для вирішення окремих проблем.
  2. Якщо ви хочете переглянути рішення в Інтернеті, перейдіть на веб-сторінку з набором проблем, клацніть посилання на рішення для будь-якої проблеми, і вона переведе вас до рішення цієї проблеми.

Зверніть увагу, що деякі розділи матимуть більше проблем, ніж інші, а деякі матимуть більшу чи меншу кількість різноманітних проблем. Більшість розділів повинні мати різні рівні складності в задачах, хоча це залежить від розділу до розділу.

Ось перелік усіх розділів, для яких були написані практичні завдання, а також короткий опис матеріалу, викладеного в примітках до цього конкретного розділу.

Лінійні системи з двома змінними - у цьому розділі ми розв’яжемо системи з двох рівнянь та двох змінних. Ми використаємо метод заміщення та метод усунення для розв’язання систем у цьому розділі. Також ми введемо поняття суперечливих систем рівнянь та залежних систем рівнянь.

Лінійні системи з трьома змінними - У цьому розділі ми розробимо кілька коротких прикладів, що ілюструють, як використовувати метод заміщення та метод усунення, представлений у попередньому розділі, оскільки вони застосовуються до систем трьох рівнянь.

Розширені матриці - у цьому розділі ми розглянемо інший метод вирішення систем. Ми введемо поняття доповненої матриці. Це дозволить нам використовувати метод елімінації Гауса-Йордана для розв'язування систем рівнянь. Ми використаємо метод із системами двох рівнянь та системами трьох рівнянь.

Детальніше про розширену матрицю - у цьому розділі ми переглянемо випадки суперечливих та залежних рішень систем та способи їх ідентифікації за допомогою методу розширеної матриці.


8.E: Нелінійні рівняння (вправи) - математика

Диференціальні рівняння та динамічні системи: математика 645

Зустріч: ВТ 1:00 LGRT 111

Інструктор: Люк Рей-Беллет

Офіс: 1423 J LGRT
Телефон: 545-6020
Електронна пошта: [email protected]
Робочий час : Вівторок 2: 30--3: 45, четвер 2: 30--3: 45 або за домовленістю.

Текст: Офіційного підручника для класу не існує, оскільки я не буду слідувати жодному з них. Існує дуже багато книг на цю тему, і придбання тієї, яка найбільше підходить вам, є гарною інвестицією. Ось декілька рекомендацій із коментарями. Деякі з них будуть заброньовані в бібліотеці. Матеріали, що висвітлюються в класі, можна знайти, грубо кажучи, у поєднанні Гуревича (основна теорія ОДЕ) з Верхулстом або Деванеєм, Гіршем та Смейлом (більше орієнтованим на динамічні абсекти системи).

Я пишу примітки до класу. Хоча вони не замінять підручник, вони будуть розміщені тут. Це попередня версія. Якщо ви виявите помилки, помилки, незрозумілі твердження, скажіть мені, будь ласка.

    Нелінійні диференціальні рівняння та динамічні системи, Фердинанд Верхулст, Університет, Спрингер.

Це гарна книга, орієнтована на прикладну математику. Він містить багато прикладів, і матеріал організований дуже ефективно. Однак загальна теорія (існування, унікальність тощо) вважається вже відомою.

Ця чудова маленька книжка (122 маленькі сторінки) містить загальну теорію диференціальних рівнянь аж до (та включено) теорії Пуанкаре-Бендікссона. Він був написаний в 1943 році (!) І є прекрасним математичним письмом. Деякі аспекти, які я хочу обговорити, не включені, і прикладів дуже мало, а вправ немає.

Ця книга була спочатку написана в 1963 році та надзвичайно добре постаріла.

Це стандартна книга, орієнтована на програми для динамічних систем. Тут розглядаються багато результатів, яких зазвичай немає в підручниках, але багато доказів, навіть елементарних, опущено. Відмінний як довідник, а не як підручник.

Це дуже гарна книга, написана з більш геометричною точкою зору. Це важко, але настійно рекомендується до другого читання.

Це досить елементарний і дуже чіткий та інформативний вступ до динамічних систем. (Я маю тут на увазі нещодавнє нове видання, яке досить відрізняється від попереднього).

Старіший стандартний підручник з ODE. Дуже повно.

Це дуже повний і детальний виклад загальної теорії диференціальних рівнянь. Для аналітично орієнтованого студента.

Стандартне посилання, якщо вас цікавлять чисельні методи для ODE. Перший розділ містить короткий та ефективний короткий зміст загальної теорії.

Навчальний план: Цей курс є вступом до диференціальних рівнянь. Серед випробовуваних:

    Проміжний час: Візьміть додому, Понеділок, 8 листопада, о 9 ранку. Закриті книги, але ви можете скористатися примітками.
    Проміжний PDF-файл Проміжний розв'язок PDF-файл

Домашнє завдання No1 (термін подання - четвер, 23 вересня): & nbsp HW # 1 PDF-файл & nbsp & nbsp & nbsp

Домашнє завдання No2 (термін подання - четвер, 7 жовтня): & nbsp HW # 2 PDF-файл & nbsp & nbsp & nbsp

Домашнє завдання No3 (термін подання - вівторок, 19 жовтня): & nbsp HW # 3 PDF-файл & nbsp & nbsp & nbsp

Домашнє завдання No4 (термін подання - четвер, 28 жовтня): & nbsp HW # 4 PDF-файл & nbsp & nbsp & nbsp

Домашнє завдання No5 (термін подання - вівторок, 23 листопада): & nbsp HW # 5 PDF-файл & nbsp & nbsp & nbsp

Домашнє завдання No6 (термін подання - четвер, 2 грудня): & nbsp HW # 6 PDF-файл & nbsp & nbsp & nbsp

Домашнє завдання No7 (термін подання - понеділок, 13 грудня): & nbsp HW # 7 PDF-файл & nbsp & nbsp & nbsp


Межі прикладної математики

Інформація про заголовок

Лінійні та нелінійні системи рівнянь є основою для багатьох, якщо не більшості моделей явищ у науці та техніці, і їх ефективне чисельне вирішення має вирішальне значення для прогресу в цих сферах. Це перша книга, що вийшла з середини 1980-х років про нелінійні рівняння. Незважаючи на те, що воно наголошує на останніх подіях у цій галузі, таких як методи Ньютона-Крилова, було включено значний матеріал щодо лінійних рівнянь. Ця книга зосереджена на невеликій кількості методів та розглядає їх поглиблено.

Автор пропонує повний аналіз спряженого градієнта та узагальнених мінімальних залишкових ітерацій, а також останні досягнення, включаючи методи Ньютона-Крилова, включення неточності та шуму в аналіз, нові докази та реалізації методу Бройдена та глобалізацію неточних методів Ньютона.

Приклади, методи та алгоритмічний вибір базуються на додатках до нескінченних розмірних задач, таких як рівняння з частковими частковими частками та інтегральні рівняння. Методи аналізу та доведення побудовані з урахуванням нескінченної розмірної установки, а обчислювальні приклади та вправи засновані на середовищі MATLAB

Ця книга про ітераційні методи лінійних та нелінійних рівнянь може бути використана як підручник та довідник будь-ким, хто потребує вирішення нелінійних систем рівнянь або великих лінійних систем. Він також може бути використаний як підручник для вступних курсів з нелінійних рівнянь або ітераційних методів або як вихідний матеріал для вступного курсу з чисельного аналізу на рівні аспірантів. Ми припускаємо, що читач знайомий з елементарним числовим аналізом, лінійною алгеброю та центральними ідеями прямих методів чисельного розв'язку щільних лінійних систем, як описано у стандартних текстах, таких як [7], [105] або [184].

Наш підхід полягає у тому, щоб зосередитись на невеликій кількості методів та поглиблено їх розглянути. Хоча ця книга написана в скінченновимірній обстановці, ми вибрали для охоплення здебільшого алгоритми та методи аналізу, які поширюються безпосередньо на нескінченновимірний випадок і збіжність яких можна ретельно проаналізувати. Наприклад, безматричне формулювання та аналіз для GMRES та спряженого градієнта майже не змінюються у нескінченновимірних умовах. Аналіз методу Бройдена, представлений у главі 7, та реалізацій, представлених у главах 7 та 8, відрізняються від класичних та також поширюються безпосередньо на нескінченновимірну обстановку. Обчислювальні приклади та вправи зосереджені на дискретизаціях нескінченновимірних задач, таких як інтегральні та диференціальні рівняння.

Ми представляємо обмежену кількість обчислювальних прикладів. Ці приклади призначені для надання результатів, які можуть бути використані для перевірки власних реалізацій читача та для того, щоб зрозуміти, як працюють алгоритми. Приклади не призначені для того, щоб дати повне уявлення про ефективність роботи або бути набором тестових задач.


Перевірте себе

Це один із понад 2400 курсів з OCW. Ознайомтеся з матеріалами цього курсу на сторінках, зв’язаних ліворуч.

MIT OpenCourseWare - це безкоштовна відкрита публікація матеріалів тисяч курсів MIT, що охоплює всю навчальну програму MIT.

Відсутність реєстрації та реєстрації. Вільно переглядайте та використовуйте матеріали OCW у своєму власному темпі. Немає реєстрації, а також дати початку чи закінчення.

Знання - це ваша нагорода. Використовуйте OCW, щоб керувати власним навчанням протягом усього життя або навчати інших. Ми не пропонуємо кредит або сертифікацію за використання OCW.

Створено для обміну. Завантажте файли на потім. Надіслати друзям та колегам. Змінюйте, реміксуйте та використовуйте повторно (просто пам’ятайте, що як джерело потрібно навести OCW.)


8.E: Нелінійні рівняння (вправи) - математика

Рівняння є лінійним, якщо його можна записати у формі

де - змінна і і - константи. Найважливішою частиною цього визначення є фраза, яку можна записати, оскільки більшість лінійних рівнянь не зустрічаються в такій простій формі, як зазначено вище.

Рішення лінійного рівняння

Припустимо. У цьому випадку є одне і єдине рішення, а саме

Нехай і. У цій ситуації ми маємо рівняння, подібне і, очевидно, існує немає рішення.


Нескінченно багато рішень

Очевидно, що інших можливостей немає, і ми зазначаємо важливий факт лінійне рівняння не може мати жодного, одного або нескінченно багато рішень. Неможливо, наприклад, що лінійне рівняння має два рішення.

Суть вирішення лінійного рівняння полягає у визнанні того, що рівняння є лінійним, і в перетворенні його у вищезазначену просту форму. На решті цієї сторінки цей процес буде проілюстрований для все більш складних рівнянь.

Нижче ви побачите кілька прикладів того, як рівняння, лінійність якого не очевидна, можна перетворити на чітко лінійне рівняння. Приклади охоплюють більшість або всі прийоми, необхідні для цього класу, але, звичайно, список далеко не вичерпний.

Ми віднімаємо і з обох сторін, і отримуємо нове та еквівалентне лінійне рівняння


8.E: Нелінійні рівняння (вправи) - математика

У випуску «Обчислення в науці та техніці» за січень / лютий 2000 р. Джек Донгарра та Френсіс Салліван вибрали 10 алгоритмів, які найбільше вплинули на науку, чисельний аналіз та техніку в 20 столітті. У березні 2016 року Нік Хігхем (президент SIAM, 2017-2018) представив трохи перероблений список. У цьому курсі ми розглянемо мотивацію, ідеї, історію та майбутній вплив цих десяти алгоритмів.

Попередні вимоги: Пристрасть до числових алгоритмів.

  • Методи Ньютона та квазіньютона,
  • Розділення матриць (LU, Cholesky, QR)
  • Алгоритми SVD, QR та QZ,
  • Методи Монте-Карло,
  • Швидке перетворення Фур'є,
  • Методи підпростору Крилова,
  • JPEG,
  • PageRank,
  • Симплексний метод, і
  • Фільтр Калмана.

Почесні згадки: методи завантаження, швидкий багатополюсний метод та швидка сортування.

  • Алгоритми та плаваюча крапка, стаття Вікіпедії про помилку Pentium
  • Розкладання на фактори QR, Докладніше про QR, формула ІМТ, bmi_data
  • Алгоритм QR
  • Підпростір Крилова
  • ШПФ
  • JPEG, сценарій MATLAB JPEG.m
  • PageRank
  • Розенброк
  • Примітки FMM

Конспекти лекцій написані Джулією та опубліковані за допомогою Jupyter. Джулія шпаргалка

Дата і час: Вт-чт, 11:40 - 12:45, Малотт 406
Викладачі: Алекс Таунсенд.

Курсовий проект: Курсовий проект може складатись із будь-чого, що пов’язане з алгоритмом десятки. Сподіваємось, проект буде на науковий інтерес студента. Звіт про проект повинен бути складений як 5-7-сторінкова публікація, тобто чіткою та короткою. Хорошою ідеєю є використовувати LaTeX для набору тексту. Будь ласка, виберіть проект якомога швидше.

Важливі дати: 2 та 4 травня, презентація студентів у класі. Письмові звіти, що подаються 4 травня. Інформація про проект

Розділення матриць: pdf
Алгоритм QR: pdf
Методи підпростору Крилова: pdf
Швидке перетворення Фур'є: pdf, Mat-vecs, обробка сигналів
JPEG: pdf
Квазі-Ньютон: pdf
Симплекс:
Монте Карло:
PageRank: pdf
Швидкий багатополюсний метод:


Про числовий розв’язок нелінійних рівнянь Блека – Скоулза

Нелінійні рівняння Блека – Скоулза все частіше викликають інтерес протягом останніх двох десятиліть, оскільки вони надають більш точні значення, беручи до уваги більш реалістичні припущення, такі як трансакційні витрати, ризики від незахищеного портфеля, уподобання великих інвесторів або неліквідні ринки (що може впливають на ціну акцій), волатильність, дрейф та саму ціну опціону.

У цій роботі ми зупинимось на кількох моделях з найбільш релевантного класу рівнянь Блека – Скоулза для європейських та американських опціонів з волатильністю залежно від різних факторів, таких як ціна акції, час, ціна опціону та його похідні завдяки трансакційні витрати. Ми аналітично підійдемо до ціни опціону, перетворивши задачу для опціону Європейського виклику у рівняння конвекції-дифузії з нелінійним членом, а задачу вільної межі для опціону Американський виклик - у повністю нелінійне нелокальне параболічне рівняння, визначене на фіксованій області, слідуючи ідея. Нарешті, ми представимо результати різних числових схем дискретизації для європейських варіантів для різних моделей волатильності, включаючи модель Леланда, модель Барлеса та Сонера та модель методології ціноутворення, скориговану на ризик.


6.6 Експоненціальне та логарифмічне рівняння

У 1859 році австралійський землевласник на ім’я Томас Остін випустив 24 мисливських кроликів на полювання. Оскільки в Австралії було мало хижаків і достатньо їжі, популяція кроликів зросла. Менш ніж за десять років популяція кроликів нараховувала мільйони.

Неконтрольований приріст популяції, як у диких кроликів в Австралії, можна моделювати за допомогою експоненціальних функцій. Рівняння, отримані внаслідок цих експоненціальних функцій, можна вирішити для аналізу та прогнозування експоненціального зростання. У цьому розділі ми вивчимо техніки розв’язування експоненціальних функцій.

Використання подібних основ для розв’язування експоненціальних рівнянь

Перша техніка включає дві функції з подібними основами. Нагадаємо, що властивість експоненціальних функцій "один на один" говорить нам, що для будь-яких дійсних чисел b, b, S, S та T, T, де b & gt 0, b ≠ 1, b & gt 0, b ≠ 1, b S = b T b S = b T тоді і тільки тоді, коли S = ​​T. S = T.

Іншими словами, коли експоненціальне рівняння має однакову основу на кожній стороні, показники експоненти повинні бути рівними. Це також застосовується, коли показники степеня є алгебраїчними виразами. Отже, ми можемо розв’язати багато показникових рівнянь, використовуючи правила показників, щоб переписати кожну сторону як степінь з однаковою основою. Потім ми використовуємо той факт, що експоненційні функції є однозначними, щоб встановити показники рівня, однакові між собою, і вирішити для невідомого.


Перегляньте відео: Віднімання Раціональних Чисел - 6 клас (Найясніший 2022).