Статті

1.1: Адитивні та мультиплікативні принципи - математика

1.1: Адитивні та мультиплікативні принципи - математика



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Розслідуйте!

  1. Ресторан пропонує 8 закусок та 14 закусок. Скільки варіантів ви маєте, якщо:
    1. ви будете їсти одну страву, або закуску, або закуску?
    2. Ви надзвичайно голодні і хочете з’їсти як закуску, так і закуску?
  2. Подумайте, які методи ви використовували для вирішення питання 1. Запишіть правила цих методів.
  3. Чи працюють ваші правила? Стандартна колода гральних карт має 26 червоних карт та 12 карт обличчя.
    1. Скількома способами можна вибрати картку, яка є червоною або лицьовою?
    2. Скількома способами можна вибрати як червону картку, так і лицьову?
    3. Скількома способами можна вибрати дві картки, щоб перша була червоною, а друга - лицьовою?

Розглянемо цю досить просту проблему підрахунку: у Red Dogs and Donuts існує 14 різновидів пончиків та 16 видів хот-догів. Якщо ви хочете або пампушку, або собаку, скільки варіантів у вас є? Це не надто складно, просто додайте 14 і 16. Чи завжди це спрацює? Що тут важливо?


Принципи математичного аналізу, скорочення Дедекінда, мультиплікативний зворотний

У верхній частині сторінки 20 книги Рудіна `` Принципи математичного аналізу '' він пише: `` Докази (аксіом множення) настільки подібні до тих, що детально наведені в кроці 4 (доведення аксіом додавання) що ми їх опускаємо ''. Я намагався їх довести, але застряг у доказі begin alpha cdot < alpha> ^ <-1> = 1 ^ * кінець де $ alpha $ - позитивний зріз і $ < alpha> ^ <-1> = mathbb_ <-> bigcup left <0 right > bigcup left : 0 & ltt & ltr text <для деяких> r in mathbb: frac <1> notin alpha right > $ є кандидатом на мультиплікативну обернену до $ alpha $. Я вже довів, що $ < alpha> ^ <-1> $ - це скорочення і $ alpha cdot < alpha> ^ <-1> le 1 ^ * $.

Моє питання полягає в тому, як ми можемо довести протилежний напрямок подібно до доказу, який дає Рудін $ alpha + (- alpha) le 0 ^ * $. Тут можна знайти доказ, абсолютно відмінний від цього: Дедекінд вирізав мультиплікативну обернену

Ось те, що я намагався до цього часу:

Нехай $ p в 1 ^ * $. Якщо $ p le 0 $, тоді очевидно $ p in alpha cdot alpha ^ <-1> $.

Нехай & ltp & lt1 $ і $ q = q (p) in mathbb_ <+> $. Архімедовим властивістю раціональних чисел begin існує n в mathbb: nq in alpha text <і> (n + 1) q notin alpha end Ми повинні знайти $ u в alpha ^ <-1> $, наприклад $ p = (nq) cdot u $ або еквівалент, $ u = frac

$

Для того, щоб $ u in alpha ^ <-1> $ ми мали мати & ltu & ltr $ та $ frac <1> notin alpha $ для деякого раціонального $ r $. Єдиним розумним вибором для $ r $ буде $ frac <1> <(n + 1) q> $. Але тоді почu & ltr Leftrightarrow frac

& lt frac <1> <(n + 1) q> Ліва стрілка p & lt frac кінець що може бути невірно для деяких значень $ n $ (наприклад, $). Де ми можемо вивести обмеження для цих значень $ n $?


Вступ та основні результати

Нехай (B = ) in mathbb, t_ <1> in mathbb_ <+> > ) - стандартний броунівський рух, (W _ < gamma> = (t_ <2>) в mathbb, t_ <2> in mathbb_ <+> > ) - дробовий інтегрований броунівський рух з параметром індексу ( gamma & gt-1/2 ), (B_= <>(t_ <3>) в mathbb, t_ <3> in mathbb_ <+> > ) - дробовий броунівський рух із параметром Херста (H в (0,1) ), (S _ < alpha> = (t_ <4>) в mathbb, t_ <4> in mathbb_ <+> > ) - стабільний процес з індексом ( alpha in (0,2] ), і вони не залежать один від одного. Визначте аддитивні процеси домішок

і мультиплікативні процеси домішок

Зауваження 1.1

Зокрема, (W_ <0> (t) = B_ <1/2> (t) = S_ <2> (t) ) є стандартним броунівським рухом. Цілком очевидно, що процес ( mathbb^ <1, 1, 1, 1> _ <0,1 / 2,2> ( mathrm) ) - адитивний броунівський рух. Щоб отримати докладнішу інформацію про адитивні броунівські рухи, читач може звернутися до монографій [1] та [2].

Об'єктом дослідження в цій роботі будуть невеликі відхилення для ( mathbb^, a_ <2>, a_ <3>, a_ <4>> _ < gamma, H, alpha> ( mathrm) ) та ( mathbb_ < гамма, Н, альфа> ( mathrm) ), які формально визначаються таким чином:

$ початок log mathbb

Bigl ( sup _ < mathrm in [0,1] ^ <4>> vert cdot vert leq varepsilon Bigr) = - phi ( varepsilon) quad mbox varepsilon rightarrow 0. кінець$

Нашим стандартним посиланням є монографія [3]. Існує ряд робіт, присвячених невеликим відхиленням різних стохастичних процесів. Детальніше ми посилаємось на монографії [3, 4]. Якщо правильно визначити, невелике відхилення в деяких літературах називається ймовірністю малого кулі (див., Наприклад, [5, 6]). Існують різні мотиви для вивчення деяких адитивних процесів, і останнім часом це активно досліджувалося з різних точок зору; див. Хошневісан, Сяо та Чжун [2, 7] для детального обговорення та бібліографії для подальших робіт у цій галузі. . Перш за все, аддитивні процеси відіграють важливу роль у вивченні інших більш цікавих багатопараметричних процесів, оскільки вони локально нагадують багатопараметричні процеси, такі як броунівський аркуш, дробовий броунівський аркуш та стабільний аркуш, а також тому, що вони більш піддаються аналізу. Наприклад, локально та з відповідним масштабом час, броунівський аркуш дуже нагадує адитивний броунівський рух (див., Наприклад, [8, 9]). Вони також виникають у теорії перетину та самоперетину локальних часів броунівських процесів (див., Наприклад, [10, 11]).

Тепер ми коротко дамо оцінки невеликих відхилень для процесів добавки домішок ( mathbb^, a_ <2>, a_ <3>, a_ <4>> _ < gamma, H, alpha> ( mathrm) ) та мультиплікативні процеси домішок ( mathbb_( mathrm) ). Основні результати такі.


Ми використовуємо лише звичайні польові аксіоми для дійсних чисел. Спочатку ми доводимо проміжний результат.

Відніміть раз 0 $ з кожної сторони, щоб отримати = 0 раз 0 $. Тепер ми готові до остаточного вбивства.

$ = 1 раз 1 + 1 раз (-1) + (- 1) раз 1 + (- 1) раз (-1) $

Додайте $ 1 $ на кожну сторону, щоб отримати $ 1 = (- 1) times (-1) $.

Закон знаків $ rm : (-x) (- y) = xy : $ зазвичай не приймається як аксіома. Швидше, це похідне як наслідок більш фундаментальних кільцевих аксіом $ $ [особливо. розподільче право $ rm , x (y + z) = xy + xz , $], закони, які абстрагують загальну алгебраїчну структуру, спільну для знайомих систем числення. Нижче наведено кілька способів довести закон знаків (зауважте, що над / підкреслені умови $ = 0) $

Дійсно, вищезазначені є приватними випадками аналогічного доказу унікальності адитивних зворотів

Зверніть увагу, що докази використовують лише кільцеві закони (найголовніше розподільче право), тому закон знаків справедливий у кожному кільці. Закон розподілу лежить в основі кожної кільцевої теореми, яка не є виродженою, тобто включає обидва доповнення і множення, оскільки це єдиний закон кільця, який пов'язує аддитивну та мультиплікативну структури, які в сукупності утворюють кільцеву структуру. Без закону розподілу кільце було б набагато менш цікавим алгебраїчно, зводиться до множини з адитивною та мультиплікативною структурою, але без будь-якого гіпотетичного відношення між ними. Отже, в певному сенсі розподільчим законом є ключовий камінь кільцевої структури.

У будь-якому кільці воно виконується, де $ 1 $ позначає одиничний елемент ($ 1x = x = x1 $ для всіх $ x $), а $ -x $ позначає обернену добавку ($ x + (- x) = 0 $ для всіх $ x $).

$ x = 1 cdot x = (1 + 0) cdot x = 1 cdot x + 0 cdot x = x + 0 cdot x $. Потім, використовуючи аддитивну групу, випливає, що cdot x = 0 $ для всіх $ x $.

Тепер використовуйте розподільність для $ 0 = (1 + (- 1)) (- 1). $

Припустимо, нам дано натуральні числа $ mathbb= <0,1,2, ldots > $ з аксіомами Пеано. Іншими словами, ми знаємо, що означає "додавати" і "множити" будь-які два числа в $ mathbb$, ми можемо визначити, чи одне натуральне число більше іншого, і якщо $ x & gty $, ми знаємо, що означає $ xy $ --- а саме, $ xy $ - це натуральне (це важливо) число, яке при додаванні до $ y $ отримує вам $ x $.

Щоб отримати цілі числа, нам потрібно визначити, що таке від’ємні числа. Ми можемо зробити це, представляючи кожне ціле число (яке на даний момент є невизначеним словом) парами натуральних чисел: розглянемо будь-які дві пари $ (x, y) $ і $ (x ', y') $ натуральних чисел. Ми хотіли б, щоб ці хлопці "представляли одне і те ж ціле число", якщо $ x-y = x'-y '$. Але що, якщо $ x & lty $? Тоді ми не знаємо, що взагалі означає $ x-y $! Отже, нам доведеться трохи жонглювати. Ми говоримо, що $ (x, y) $ і $ (x ', y') $ обидва "представляють одне ціле число", якщо $ x + y '= x' + y $. Нарешті, ми визначити набір цілих чисел $ mathbb$ - набір усіх цих пар, де дві пари вважаються однаковими, якщо обидві "представляють одне і те ж ціле число". Наприклад, ми визначаємо $ -1 $ як пару $ (0,1) $ (що збігається з парами $ (2,3) $ і $ (7921,7920) $).

Щоб побачити, як визначити множення цілих чисел, ми використовуємо FOIL: У наших звичайних цілих числах маємо $ (a-b) (c-d) = - ad-bc + ac + bd $, тому ми просто визначити це має бути з нашими новими цілими числами: тобто $ (a, b) (c, d) $ визначається як $ (ac + bd, ad + bc) $. Зокрема, це означає, що $ (- 1) (- 1) = (0,1) (0,1) = (0 cdot 0 + 1 cdot 1, 0 cdot 1 + 1 cdot 0) = ( 1,0) = 1 $.

Використовуючи правила алгебри (розподільності), які застосовуються до натуральних цілих чисел, маємо: $ [(- 1) times (-1)] + [(- 1) times 1] = (- 1) times (-1 + 1) = (- 1) разів 0 $.

Далі, $ (- 1) times 0 = (- 1) times (0 + 0) = (- 1) times 0 + (-1) times 0 $ і так, віднімаючи $ (- 1) times 0 $ з обох сторін, отримуємо = (- 1) разів 0 $.

На закінчення: бажаючи зберегти правила алгебри, що діють і для додатних чисел, і для від’ємних чисел, нас ведуть до знайти що $ [(- 1) раз (-1)] + [(- 1) раз 1] = 0 $ і, отже, $ (- 1) раз (-1) = - [(- 1) раз 1] = - (- ((1)) = 1 $.

І лише для відома, ясності та розсудливості: нічого без винятку в математиці просто не передбачається. Причина завжди є.

Я пропоную нижче лише тому, що, здається, воно відрізняється від того, що розміщували всі інші:

За законом розподілу, $ (x + 1) (x - 1) = x ^ 2 - 1 $. Встановіть $ x = -1 $ і спостерігайте, що ліва сторона дорівнює нулю, отже, права сторона дорівнює нулю, отже, $ x ^ 2 = 1 $.

Можна сперечатися, чи припущення, які я використовую там, є більш-менш очевидними, ніж висновок. Якщо ви хочете більш переконливого, вам, мабуть, слід зупинитися на визначенні цілих чисел - їх декілька, і вибір, який ви оберете, впливає на те, чи те, що ви цитували, є теоремою чи просто визначенням.

Для того, щоб винайти цілі числа, ви, мабуть, спочатку хочете винайти натуральні числа 1. Якщо ви зацікавлені, перейдіть до пошукових аксіом Піано, інакше просто припустіть, що вони існують.

1 Власне кажучи, це не потрібно! Наприклад, ви можете вивчати абелеві групи, в яких цілі числа мають особливе значення як циклічна група без відношень, або комутативні кільця, де цілі числа в певному сенсі є прототиповим прикладом, який відображається в кожне інше. Але це більш складні способи зробити щось загалом.

Як тільки у вас є $ mathbb N $, мені здається, що "найкраще" визначення у значенні "найбільш очевидно правильного" - це таке, яке з'єднує цілі числа з розв'язками рівнянь $ a + x = b $: ми спостерігаємо, що ми можемо розв’язати це рівняння для $ x $ в $ mathbb N $ щоразу, коли $ a & lt b $, але іноді ми хочемо робити вигляд, що маємо рішення, навіть коли $ b & lt a $, тому що ми можемо використовувати таке для отримання істини результати (і доведіть, що вони відповідають дійсності!) щодо цілих додатних чисел.

Тоді спочатку ми винаходимо "цілі числа" як просто пари натуральних чисел $ (a, b) $, які ми маємо на увазі "рішення" $ a + x = b $ (ідея полягає в тому, що $ (a, b) $ являє собою $ b - a $, але ми ще не визначили віднімання).

Однак ми швидко спостерігаємо, що за визначенням додавання на натуральні числа $ (1 + a) + x = 1 + b $, тому насправді більшість цих пар однакові: якщо $ (a, b) $ розв'язує $ a + x = b $, так само $ (n + a, n + b) $. Отже, "справжніми" цілими числами є пари $ (a, b) $ на тему розглядаючи пару $ (a, b) $ так само, як пару $ (c, d) $, якщо ми можемо довести, що кожне рішення $ a + x = b $ також буде рішенням для $ c + x = d $ . Власна назва цього - a коефіцієнт автором відношення еквівалентності, якщо вам цікаво прочитати більше про них.

Зверніть увагу, що ці нові цілі числа мають підмножину, яка поводиться як натуральні числа: натуральне число $ n $ є рішенням для + n = n $, отже, поводиться як пара $ (0, n) $ (що збігається з пара $ (1, n + 1) $, що те саме, що і.).

Зараз існує лише один спосіб визначити додавання на цих нових парах, який має сенс: $ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) $. Множення становить $ (a, b) times (c, d) = (ad + bc, ac + bd) $. $ (- 1) $ - це будь-яка пара виду $ (n + 1, n) $. Підключіть відповідні речі, і ви отримаєте свій результат.


Моделі нелінійної регресії

Мілан Мелун, Іржі Міліткі, у Статистичному аналізі даних, 2011

8.2 Моделі помилок вимірювання

Припустимо, що експериментальні дані <хi Т , рi>, i = 1, …, n, і модель регресії відомі. Змінна відповіді р є змінною, яка вимірюється і піддається різним видам помилок. До загальних помилок належать помилки вимірювання εМ, помилки формулювання моделі εТ, помилки регулювання незалежної керованої змінної х, εх і випадкові помилки експерименту εN. Загальна похибка, ε залежної змінної р - це сума окремих помилок. Передбачається, що загальна похибка вимірювання для всіх значень рi., i = 1, …, п, має середнє значення, рівне нулю, тобто Еi) = 0. Коли Еi) = константа, термін перехоплення в моделі відсутній і коли Еi) константа, модель хибно запропонована. Загальну модель регресії можна виразити у формі

де функція Zi залежить від типу помилок і від форми функції регресії.

Коли дані представляють результати експериментальних вимірювань, адитивна модель помилок вимірювання зазвичай приймається

У багатьох експериментах існують певні обмеження щодо вимірюваної змінної рi., i = 1,…, п. Наприклад, рi може приймати лише позитивні значення з не постійною дисперсією, σ 2 (рi), але з постійною відносною похибкою, σ 2 (р)/р. Такі умови діють у мультиплікативна модель похибок вимірювань

У хімічній практиці комбінована модель похибок вимірювань

також використовується. Помилки vi. та εi, в рівнянні (8.13) вважаються незалежними.

Рисунок 8.2. Три моделі помилок вимірювання: (а) адитивна модель, (б) мультиплікативна модель і (в) комбінована модель.

У хімічній лабораторії вимірювання, як правило, проводять лише на одній експериментальній системі. Наприклад, при дослідженні рівноваги продуктів реакції напруга елемента скляного електрода (або поглинання) контролюється під час титрування після кожного додавання об'єму титранту. У такій експериментальній процедурі можуть з’явитися кумулятивні помилки. Інструментальні вимірювання часто зазнають постійної відносної похибки

Так що дисперсія вимірюваної змінної р пропорційний квадрату значення функції f(х, β),

загальна помилка εi потім виражається

де vi представляє похибка вимірювання і uj є помилка процесу. Помилки процесу vi спричинені коливаннями експериментальних умов, таких як температура, тиск, чистота реагентів тощо, і вони накопичувальні. Повна помилка εi виражається рівнянням (8.14), отже, є добавкою.

Для того, щоб знайти правильний критерій регресії та провести статистичний аналіз, розподіл випадкових величин рi. повинні бути визначені. Цей розподіл тісно пов'язаний з розподілом помилок εi задається функцією щільності ймовірності сторε(ε). Ця функція залежить від таких параметрів розподілу, як дисперсія σ 2 тощо.

У хіміометричних задачах розподіл помилок вважається унімодальним та симетричним, з максимальним значенням Е(ε) = 0. Часто вважають, але помилково, що похибки вимірювання εi є взаємозалежними. Точкова функція щільності ймовірності сторε(ε) дається добутком граничний щільності сторε(εi)

Кілька розподілів, включаючи нормальний, прямокутний, лапласовський і трапецієподібний, можуть бути виражені функцією щільності ймовірності

де ПитанняN є нормуючою константою і α - параметр, пропорційний дисперсії. Якщо стор = 1, отриманий розподіл - Лапласа. Коли p = 2, розподіл нормальний і коли стор∞, прямокутний. Недолік опису розподілу сторε(εi) за рівнянням (8.16) - це для стор & lt 2, в районі походження розподіл не є локально квадратичним. Тому використовуються альтернативні функції щільності ймовірності, такі як узагальнений розподіл Стьюдента [4],

У деяких випадках помилки не є незалежними, але характеризуються коваріаційною матрицею помилок C.ε. При помилках εi походять із симетричного та унімодального розподілу із середнім значенням E (ε) = 0, функція щільності ймовірності вибирається із класу еліптичних розподілів

де Питанняп - коефіцієнт нормування, B - матриця коваріації помилок C.ε і h(•) - додатна функція, визначена на інтервалі [0, ∞] з кінцевими моментами до (п + 1). Найбільш широко використовуваним розподілом є багатовимірний нормальний розподіл, N (0, C.ε), який для h(х) = exp (-0,5х 2) дає функцію щільності ймовірності

Також можна використовувати багатовимірний розподіл Лапласа, Студента чи інші [4],

Вигляд матриці коваріації помилок C.ε залежить від типу залежності від помилок. Простим прикладом є випадок гетероскедастичності, коли помилки є взаємозалежними, але мають не постійну дисперсію Е(ε1 2 ) = σi 2. Матриця C.ε тоді діагональ з елементами σi 2 на діагоналі, а функція щільності ймовірності (8.17) перетворюється в рівняння (8.15). Для інших типів автокореляції матриця C.ε не є діагональною та їх не діагональ елементів C.ij відповідають коваріації між εi та εj, C.ij = Еi, εj).

Задача 8.6 Коваріаційна матриця помилок для поєднання помилок вимірювання та помилок процесу

Вивести матрицю коваріації помилок для випадку, коли помилки εi результат помилок вимірювання vi та обробляти помилки ui згідно з рівнянням (8.14). Зробіть такі припущення:

помилки процесу uj та похибки вимірювання vi є взаємозалежними, Е(uj vi) = 0

Рішення: Рівняння (8.14) переписується як

де wj. - загальна похибка при зміні з (я - 1) го штату до iго штату. Ця помилка має нульове середнє значення Е(wi) = 0, але непостійна дисперсія, τi 2 = σ 2 + σ0 2 f 2 (хi, β). З рівняння (8.19a), окремі помилки εi. може бути написана у формі

де A - нижня трикутна матриця одиниць, розташована на і під основною діагоналлю

Матриця коваріації помилок C.ε задається

де Е(w w T) = V - матриця коваріації помилок w.

З наведеними припущеннями помилки wi незалежні, так що V - діагональна матриця з елементами на діагоналі Vii = τi 2. Підстановка в рівняння (8.20) призводить до

із загальним елементом цієї матриці коваріації C ij = ∑ j = 1 k τ j 2 де k - = хв(i, j).

Висновок: Знання складу помилок є важливим при побудові матриці коваріації.

Якщо ми знаємо точкову функцію щільності ймовірності помилок вимірювання (ε) або граничні щільності (εi) ми можемо визначити щільність ймовірності стор(р) або стор(рi) з виразу для щільності ймовірності для функції випадкової величини.

У разі незалежних випадкових помилок ε

де Zi - 1 (.) Позначає обернену до функції Z (.) Функцію. Для адитивної моделі вимірювань [Рів. (8.11)] може бути записана наступна функція Zi − 1 (.) = рif(хi, β) з похідною ∂ Z i - 1. ∂ y i = 1. Підстановка в рівняння (8.22) дає

Отже, можна зробити висновок, що адитивна модель не викликає жодних деформацій розподілу вимірюваних величин з урахуванням розподілу помилок. У випадку мультиплікативної моделі вимірювань [Рів. (8.12)], отримане рівняння є Zi - 1 (.) = Ln рi - л f(хi, β) з похідною ∂ Z i - 1. ∂ y i = 1 y i де лише позитивні значення вимірюваної змінної р дозволені. Підстановка в рівняння (8.22) дає

Отримана щільність ймовірності не відповідає щільності ймовірності помилок сторε (.).

Завдання 8.7 Розподіл змінної y для комбінованих помилок ε

Визначити розподіл вектора вимірюваних змінних р, для випадку комбінованих помилок (8.14) припускаючи, що помилки ε мають багатовимірний нормальний розподіл N(0, C.ε) і адитивна модель вимірювань є дійсною.

Рішення: Відповідно до рівняння (8.23), функція щільності ймовірності сторт(ε) визначено для загальної коваріаційної матриці помилок C.ε в рівнянні (8.18). Необхідно оцінити det (C.ε) і C.ε - 1 фор C.ε визначається рівнянням (8,21). Якщо C.ε = AVA T, тоді його обернено дорівнює

З рівняння (8.20), матриця A −1 дорівнює

Двокутна матриця A -1 - це матриця з однією діагональною та однією нижньодіагональною смугою. Оскільки матриця V діагональ, матриця V −1 також діагональ з елементами τi - 2 по діагоналі. Підставивши в рівняння (8.25) веде до

Ця матриця є тридіагональною матрицею. Його визначник det (C.ε) обчислюється з рівняння (8,21)

Висновок: Спільна функція щільності ймовірності вектора р є, згідно з рівняннями (8.18) та (8.23), задані виразом

де вектор f містить елементи f(хi, β), i = 1, …, п. Змінна р також має багатовимірний нормальний розподіл з тією ж матрицею коваріацій помилок, що і C.ε.

З огляду моделей помилок з експериментальних умов та припущень про різні типи помилок випливає, що розподіл вимірюваної змінної р можна отримати. Під час вимірювань, проведених у хімічній лабораторії, більшість спостережуваних помилок мають нормальний розподіл і дотримуються адитивної моделі помилок. Будь-які відмінності характеризуються матрицею коваріації C.ε, які можуть містити лише діагональні елементи або додатково недіагональні елементи.


Розділ 1

Виберіть розділ розділу з меню вгорі або натисніть нижче:

Вступ до глави 1 Системи нумерації та альтернативні бази

Розділ 1.1 Вступ до адитивних, мультиплікативних та систем нумерації місцевих цінностей Китайські та єгипетські числівники Індуїстський арабський абак, розвіюючи математичні міфи Підрахунок дітей

Розділ 1.2 Система числення Майя, значення місця в базі 20 і 10

Проект 1 Створіть власну систему числення

Секта. 1.3 Додавання та віднімання в єгипетській системі числення, поєднуючи подібні терміни в алгебрі База десяти блоків Додавання та віднімання як додавання часткових сум "торгівлі"

Розділ 1.4 Блоки в інших базах, що перетворюють між базовими десятьма іграми з підрахунком основ

Розділ 1.5 Вавілонська система числення поглиблює наше розуміння вартості місця

Розділ 1.6 Додавання та віднімання в базах Розуміння додавання та віднімання в основі десяти

Розділ 1.7 Альтернативні методи віднімання Поєднання "подібних термінів" у методі Алгебри Гауса додавання чисел від 1 до 100 Додавання до десяти фактів Розумова математика


1.1: Адитивні та мультиплікативні принципи - математика

Незабаром ми будемо розглядати поля, хоча не будемо заглиблюватися в цю тему. Вивчення полів може легко пройти курс цілого року. Для цілей цього курсу нам потрібно лише знати деяку термінологію, пов’язану з полями, і кілька прикладів полів.

Перш ніж ми розглянемо властивості поля, це допомагає ігнорувати віднімання та ділення. Іншими словами, ми обмежуємо свою увагу додаванням і множенням. Щоб компенсувати збитки, ми використовуємо поняття добавка обернена і мультиплікативний зворотний. Знання цих понять має вирішальне значення для розуміння того, як ми можемо мати поля, що включають об'єкти, які не є числами.

Вільно кажучи, адитивна, обернена до елемента поля (a ), є елементом (b ) таким, що (a + b = b + a = 0 ). Виявляється, для кожного елемента існує лише одна обернена добавка. Наприклад, над раціональними числами адитивна обернена до ( frac <2> <5> ) дорівнює (- frac <2> <5> ), а адитивна обернена до (- 5 ) дорівнює (5 ).

Для елемента поля (a ), що не дорівнює 0, мультиплікативне зворотне (a ) є елементом (b ) таким, що (a cdot b = b cdot a = 1 ). Виявляється, для кожного елемента існує лише одна мультиплікативна обернена. Наприклад, над раціональними числами мультиплікативна обернена ( frac <2> <5> ) дорівнює ( frac <5> <2> ), а мультиплікативна обернена (- 1 ) дорівнює (-1 ).

Можливо, ви тепер зрозуміли, чому немає потреби у відніманні чи діленні. Ми можемо переписати (a - b ) як (a ) плюс адитив, зворотний до (b ), який зазвичай позначається (- b ), і ми можемо переписати (a / b ) як (a ) вмножується на мультиплікативну обернену до (b ), яку зазвичай позначають (b ^ <-1> ).

При моделюванні Lights Out ми використовуємо лише 0 та 1 із зміненими арифметичними правилами: Множення чисел відбувається як зазвичай, але додавання є майже звичайним додаванням за винятком того, що (1 + 1 = 0. ) Ми посилаємось на множину ( <0,1 > ) із зміненим арифметичним правилом як (GF (2). ) Зверніть увагу, що над (GF (2) ) адитивна обернена дорівнює 1 дорівнює 1, оскільки (1 + 1 = 0 ), а мультиплікативне обернене до 1 дорівнює 1.

Цікавий приклад

Ми показуємо, що мультиплікативне обернене (3- sqrt <7> ) може бути записано у вигляді (a + b sqrt <7> ) де (a, b in mathbb).

Вимога, щоб мультиплікативний зворотний записався у формі (a + b sqrt <7> ) де (a, b in mathbb) робить наше завдання більш складним. Причина полягає в тому, що оскільки (3- sqrt <7> ) є дійсним числом, його мультиплікативне зворотне є просто ( frac <1> <3- sqrt <7>> ). Однак ( frac <1> <3- sqrt <7>> ) не у необхідній формі.

На щастя, ми можемо застосувати техніку раціоналізації знаменника наступним чином: begin frac <1> <3- sqrt <7>> & = & frac <1> <3- sqrt <7>> cdot frac <3+ sqrt <7>> <3+ sqrt < 7 >> & = & frac <3+ sqrt <7>> <3 ^ 2- sqrt <7> ^ 2> & = & frac <3+ sqrt <7>> <9 -7> & = & frac <3+ sqrt <7>> <2> & = & frac <3> <2>+frac<1> <2> sqrt <7> кінець Зверніть увагу, що ( frac <3> <2>+frac<1> <2> sqrt <7> ) знаходиться у бажаній формі.

Зауваження. Використовуючи ту саму техніку, насправді можна показати більш загально, що для всіх (x, y in mathbb) та простих чисел (p ), якщо (x + y sqrt

neq 0 ), то його мультиплікативну обернену можна записати як (a + b sqrt

) для деяких (a, b in mathbb).


Зміст

Слово один може вживатися як іменник, прикметник та займенник. [3]

Це походить від англійського слова an, [3] що походить від протогерманського кореня * айназ. [3] Протогерманський корінь * айназ походить від протоіндоєвропейського кореня * oi-no-. [3]

Порівняйте протогерманський корінь * айназ до старофризької an, Готичний ains, Данська en, Голландська een, Німецька eins і давньоскандинавської einn.

Порівняйте протоіндоєвропейський корінь * oi-no- (що означає "один, єдиний" [3]) до грецької ойнос (що означає "туз" на кубиках [3]), лат незвичний (один [3]), давньоперсидський айвам, Старослов'янська -іну і я не-, Литовська віден, Давньоірландська ойн та бретонський ООН (один [3]).

Один, який іноді називають єдність, [4] [1] - перше ненульове натуральне число. Таким чином, це ціле число після нуля.

Будь-яке число, помножене на одиницю, залишається цим числом, оскільки одне є ідентичністю множення. Як результат, 1 - це власний факторіал, власний квадратний і квадратний корінь, власний куб і корінь куба тощо. Одне також є результатом порожнього продукту, оскільки будь-яке число, помножене на одиницю, є самим собою. Це також єдине натуральне число, яке не є ані складеним, ані простим відносно поділу, а натомість вважається одиницею (що означає теорію кілець).

Гліф, що використовується сьогодні в Західному світі, для позначення цифри 1 - вертикальної лінії, часто із засічкою вгорі, а іноді короткою горизонтальною лінією внизу, сягає своїм корінням до брахмічного письма стародавньої Індії, де воно було проста вертикальна лінія. У середні віки він передавався в Європу арабською мовою.

У деяких країнах зарубок у верхній частині іноді подовжується на довгий підйом, іноді довгий до вертикальної лінії, що може призвести до плутанини з гліфом для семи в інших країнах. У той час як цифра 1 пишеться довгим ходом, цифра 7 має горизонтальний хід через вертикальну лінію.

У той час як форма символу для цифри 1 має підйом у більшості сучасних шрифтів, у шрифтах із текстовими малюнками гліф зазвичай має висоту x, як, наприклад, у.

Багато старих друкарських машинок не мають окремого символу для 1, і використовуйте малу літеру л натомість. Можна знайти випадки, коли великі регістри J використовується, хоча це може бути і для декоративних цілей.

Визначення

  • в арифметиці (алгебрі) та числення натуральне число, що слідує за 0, та мультиплікативний елемент тотожності цілих чисел, дійсних чисел та комплексних чисел
  • більш загально, в алгебрі, мультиплікативна ідентичність (також називається єдність), як правило, групи або кільця.

Формалізації натуральних чисел мають власні подання 1. В аксіомах Пеано 1 є наступником 0. В Principia Mathematica, він визначається як сукупність усіх одиночних (наборів з одним елементом), а в кардинальному присвоєнні фон Неймана натуральних чисел, він визначається як множина <0>.

У мультиплікативній групі або моноїді елемент ідентичності іноді позначають 1, але e [2] (від нім Ейнхайт, "єдність") також є традиційним. Однак 1 часто зустрічається для мультиплікативної ідентичності кільця, тобто коли також є додавання і 0. Коли таке кільце має характеристику п не дорівнює 0, елемент, що називається 1, має властивість, що п1 = 1п = 0 (де це 0 - адитивна ідентичність кільця). Важливими прикладами є скінченні поля.

За визначенням, 1 - це величина, абсолютне значення або норма одиничного комплексного числа, одиничного вектора та одиничної матриці (частіше називається матрицею ідентичності). Зверніть увагу, що термін одинична матриця іноді використовується, щоб означати щось зовсім інше.

За визначенням, 1 - це ймовірність події, яка абсолютно або майже напевно відбудеться.

У теорії категорій 1 іноді використовується для позначення кінцевого об'єкта категорії.

У теорії чисел 1 - це значення константи Лежандра, яке було введено в 1808 році Адрієном-Марі Лежандром для вираження асимптотичної поведінки функції підрахунку простих чисел. Спочатку вважали, що константа Лежандра становить приблизно 1,08366, але було доведено, що вона дорівнює рівно 1 в 1899 році.

Властивості

Підрахунок часто називають "базою 1", оскільки потрібен лише один знак - сам підрахунок. Це більш формально називається унарною системою числення. На відміну від бази 2 або бази 10, це не позиційне позначення.

Оскільки основа 1 експоненціальна функція (1 х ) завжди дорівнює 1, його обернене не існує (що називалося б базою логарифму 1, якби воно існувало).

Існує два способи записати дійсне число 1 як повторюваний десятковий знак: як 1.000. і як 0,999. . 1 - це перше образне число будь-якого виду, таке як трикутне число, п’ятикутне число та відцентроване гексагональне число, щоб назвати лише декілька.

У багатьох математичних та технічних задачах числові значення зазвичай є нормалізується потрапляти в одиничний інтервал від 0 до 1, де 1 зазвичай представляє максимально можливе значення в діапазоні параметрів. Подібним чином, вектори часто нормалізуються на одиничні вектори (тобто, вектори величини один), оскільки вони часто мають більш бажані властивості. Функції також часто нормуються за умови, що вони мають інтегральну, максимальне значення або квадратну інтегральну, залежно від програми.

Через мультиплікативну ідентичність, якщо f(х) - мультиплікативна функція, тоді f(1) має дорівнювати 1.

Це також перше і друге число в послідовності Фібоначчі (0 є нульовим) і є першим числом у багатьох інших математичних послідовностях.

Визначення поля вимагає, щоб 1 не було рівним 0. Таким чином, не існує полів характеристики 1. Тим не менше, абстрактна алгебра може розглядати поле з одним елементом, який не є синглотоном і не є набором.

1 - найпоширеніша провідна цифра у багатьох наборах даних, наслідок закону Бенфорда.

1 - єдине відоме число Тамагави для просто пов'язаної алгебраїчної групи над числовим полем.

Породжувальна функція, що має всі коефіцієнти 1, задається формулою

Цей степенний ряд сходиться і має кінцеве значення тоді і лише тоді, коли | х | & lt 1 < displaystyle | x | & lt1>.

Первинність

1 за домовленістю не є простим чи складеним числом, а одиницею (що означає теорію кільця), такою як -1, і в цілих числах Гауса i і -i.

The fundamental theorem of arithmetic guarantees unique factorization over the integers only up to units. For example, 4 = 2 2 , but if units are included, is also equal to, say, (−1) 6 × 1 23 × 2 2 , among infinitely many similar "factorizations".

1 appears to meet the naïve definition of a prime number, being evenly divisible only by 1 and itself (also 1). As such, some mathematicians considered it a prime number as late as the middle of the 20th century, but mathematical consensus has generally and since then universally been to exclude it for a variety of reasons (such as complicating the fundamental theorem of arithmetic and other theorems related to prime numbers).

1 is the only positive integer divisible by exactly one positive integer, whereas prime numbers are divisible by exactly two positive integers, composite numbers are divisible by more than two positive integers, and zero is divisible by all positive integers.

Table of basic calculations

Multiplication 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1000
1 × х 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1000
Division 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 ÷ х 1 0.5 0. 3 0.25 0.2 0.1 6 0. 142857 0.125 0. 1 0.1 0. 09 0.08 3 0. 076923 0.0 714285 0.0 6
х ÷ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Exponentiation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 х 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
х 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  • The resin identification code used in recycling to identify polyethylene terephthalate. [5]
  • The ITU country code for the North American Numbering Plan area, which includes the United States, Canada, and parts of the Caribbean.
  • A binary code is a sequence of 1 and 0 that is used in computers for representing any kind of data.
  • In many physical devices, 1 represents the value for "on", which means that electricity is flowing. [6][7]
  • The numerical value of true in many programming languages.
  • 1 is the ASCII code of "Start of Header".
    are also known as quantities of dimension one.
  • 1 is the atomic number of hydrogen.
  • +1 is the electric charge of positrons and protons.
  • Group 1 of the periodic table consists of the alkali metals.
  • Period 1 of the periodic table consists of just two elements, hydrogen and helium.
  • The dwarf planet Ceres has the minor-planet designation 1 Ceres because it was the first asteroid to be discovered.
  • The Roman numeral I often stands for the first-discovered satellite of a planet or minor planet (such as Neptune I, a.k.a. Triton). For some earlier discoveries, the Roman numerals originally reflected the increasing distance from the primary instead.

In the philosophy of Plotinus (and that of other neoplatonists), The One is the ultimate reality and source of all existence. [8] Philo of Alexandria (20 BC – AD 50) regarded the number one as God's number, and the basis for all numbers ("De Allegoriis Legum," ii.12 [i.66]).

The Neopythagorean philosopher Nicomachus of Gerasa affirmed that one is not a number, but the source of number. He also believed the number two is the embodiement of the origin of otherness. His number theory was recovered by Boethius in his Latin translation of the Nichomachus' treatise Introduction to Arithmetic. [9]


Solving for a Variable on One Side Using Multiplication, Addition, and Subtraction

Not all problems only have one thing happening at a time, we often have multiplication and addition. We still add the additive inverse to both sides and multiply both sides by the multiplicative inverse, but which comes first? The following video will show this process:

Remember, when solving for a variable, we use the Order of Operations (PEDMAS), but we go backward instead. In your practice problems, you&rsquore just dealing with Multiplication and Addition/Subtraction, so first you&rsquoll add the additive inverse, then you multiply by the multiplicative inverse.

Additional Resources

Solve for the variable:

  1. (5< ext> + 2 = 12)
  2. (-2< ext> + 1 = 5)
  3. (2< ext> + 9 = -5)
  4. (8< ext><->7 = 17)
  5. (-3< ext> + 14 = -7)
  6. (-5< ext><->29 = 41)
  7. (10< ext><->6 = 24)

Solutions

Where there are several operations within an equation, it is helpful to identify the operations and the order we should do them in.

In this example, there is addition and multiplication.

When solving for a variable, we do the order of operations backward.

The order of operations is as follows:

  1. Parentheses
  2. Exponents
  3. Multiplication & division
  4. Addition and subtraction

Step 1: Going backward we start by undoing the addition and subtraction:

In the equation (5< ext> + 2 = 12) we need to remove the addition of the (+2) from the left-hand side. We do this by adding the additive inverse to both sides. The additive inverse of (+2) is (-2).

The (+2) and (-2) add to zero, so we are left with (5< ext>) on the left side.

The (12) and (-2) add to (10) on the right side.

Крок 2: Undo any multiplication or division

The (5) is currently being multiplied to the (< ext>). We need to remove this to get (< ext>) all by itself. We do this by multiplying both sides of the equation by the multiplicative inverse of (5).

The multiplicative inverse of (5) is (frac<1><5>).

Since (frac<1> <5> imes 5 = 1), we are left with (1< ext>). Anything multiplied by (1) is still itself, so (1< ext> = < ext>).

In the previous image, multiplication is written in several different ways.

  • A number and a variable right next to each other without any other operations between them means they are being multiplied together. Ex: (5< ext>)
  • Parentheses are used to show multiplication between the numbers inside the parentheses and the numbers outside the parentheses.
  • A dot is used between the fractions showing they are being multiplied together.
  • The (*) symbol is used within the fraction to show multiplication between the numbers in the fraction.

We now have (< ext>) all by itself on one side of the equal sign. The next step is to simplify the other side of the equal sign.

(left ( 10 ight )left ( frac<1> <5> ight )) is the same as (frac<10><5>=2).

In this example problem, there are two operations going on: multiplication and the addition of a negative number.

We need to unravel our equation in order to get the variable (< ext>) all by itself on one side of the equal sign. We do this by doing the order of operations backward.

Step 1: Do the inverse of any addition or subtraction

In this example, (-7) is being added to (8< ext>).

In order to remove the (-7), we add the additive inverse to both sides.

The additive inverse of (-7) is (+7)

Крок 2: Now the only operation on (< ext>) is the multiplication of (8). We isolate (< ext>) by multiplying both sides of the equation by the multiplicative inverse of (8).

Therefore, the multiplicative inverse of (8) is (frac<1><8>).

On the left-hand side of the equal sign:

On the right-hand side of the equal sign:

(left ( frac<1> <8> ight )24 = left ( frac<1> <8> ight )left ( frac<24> <1> ight ) = left ( frac<24> <8> ight ) = 3)


Math 321 Class Notes

An expression involving logical variables that is true for all values is called a .

Definition 2.1.2 .

An expression involving logical variables that is false for all values is called a .

Statements that are not tautologies or contradictions are called .

Definition 2.1.3 .

We say two propositions (p) and (q) are if (p leftrightarrow q) is a tautology. We denote this by (p equiv q ext<.>)

Example 2.1.4 .

Prove the following are equivalent using a truth table.

  1. (displaystyle ( eg p o (q wedge eg q) ) equiv p)
  2. (displaystyle p vee (p wedge q) equiv p )
  3. (displaystyle p vee (q wedge r) equiv (p vee q) wedge (p vee r))
  4. (displaystyle eg(p o q) equiv p wedge eg q)
  5. (displaystyle p o q equiv eg p vee q)
Note 2.1.5 .

We use (p o q equiv eg p vee q) often enough that this has a name. We'll call it

Here's the solution for (( eg p o (q wedge eg q)) equiv p ext<:>) Table 2.1.6 . Showing (( eg p o (q wedge eg q) )leftrightarrow p) is a tautology
(p) (q) ( eg p) (q wedge eg q) ( eg p o (q wedge eg q)) (( eg p o (q wedge eg q)) leftrightarrow p)
Т Т F F Т Т
Т F F F Т Т
F Т Т F F Т
F F Т F F Т
Note 2.1.7 .

The following is a collection of very useful tautologies. Do you need to memorize them? Absolutely!

Table 2.1.8 . Logical Equivalences

Commutative Laws
(p lor qequiv qlor p) (p land qequiv q land p)
Associative Laws
((p lor q) lor r equiv p lor (q lor r)) ((p land q) land requiv p land (q land r))
Distributive Laws
(p land (q lor r) equiv (p land q ) lor (p land r)) (p lor (q land r) equiv (p lor q) land (p lor r))
Identity Laws
(p lor Fequiv p) (p land T equiv p)
Negation Laws
(pland eg pequiv F) (plor eg pequiv T)
Idempotent Laws
(p lor p equiv p) (pland p equiv p)
Domination Laws
(p land F equiv F) (p lor T equiv T)
Absorption Laws
(p land (plor q)equiv p) (p lor (p land q) equiv p)
DeMorgan's Laws
( eg (p lor q) equiv ( eg p) land ( eg q)) ( eg (p land q) equiv ( eg p) lor ( eg q))
Double Negation Law
( eg ( eg p)equiv p)
Implication
(p o q equiv eg p lor q)

Example 2.1.9 .

Use existing logical equivalences from Table 2.1.8 to show the following are equivalent.

  1. (displaystyle p wedge q equiv eg(p o eg q))
  2. (displaystyle (p o r) vee (q o r) equiv (p wedge q) o r)
  3. (displaystyle q o p equiv eg p o eg q)
  4. (displaystyle ( eg p o (q wedge eg q) ) equiv p)
Note 2.1.10 .

This is your first experience with logical proof! It won't be your last. Much of this class is about learning to understand and argue rigorously.

Exercises 2.1.1 Exercises

Determine whether the following two statements are logically equivalent: ( eg(p o q)) and (p wedge eg q ext<.>) Explain how you know you are correct.

Make a truth table for each and compare. The statements are logically equivalent.

Are the statements (p o (qvee r)) and ((p o q) vee (p o r)) logically equivalent?

Let's start with the left-hand side and work towards the right to find out.

which was what we wanted to show.

Use a truth table to show that ((p o q) land (p o r)) and (p o (q land r)) are logically equivalent.

Here's an alternative solution using previous equivalences (not a truth table):

Simplify the following statements (so that negation only appears right before variables).

  1. ( eg(p o eg q) ext<.>)
  2. (( eg p vee eg q) o eg ( eg q wedge r) ext<.>)
  3. ( eg((p o eg q) vee eg (r wedge eg r)) ext<.>)
  1. (p wedge q ext<.>)
  2. (( eg p vee eg r) o (q vee eg r)) or, replacing the implication with a disjunction first: ((p wedge q) vee (q vee eg r) ext<.>)

((p wedge q) wedge (r wedge eg r) ext<.>) This is necessarily false, so it is also equivalent to (p wedge eg p ext<.>)

Either Sam is not a man and Chris is not a woman, or Chris is a woman.

Use De Morgan's Laws, and any other logical equivalence facts you know to simplify the following statements. Show all your steps. Your final statements should have negations only appear directly next to the sentence variables or predicates ((p ext<,>) (q ext<,>) etc.), and no double negations. It would be a good idea to use only conjunctions, disjunctions, and negations.


Forecasting: Principles and Practice (3rd ed)

In the rest of this chapter, we study the statistical models that underlie the exponential smoothing methods we have considered so far. The exponential smoothing methods presented in Table 8.6 are algorithms which generate point forecasts. The statistical models in this section generate the same point forecasts, but can also generate prediction (or forecast) intervals. A statistical model is a stochastic (or random) data generating process that can produce an entire forecast distribution. We will also describe how to use the model selection criteria introduced in Chapter 7 to choose the model in an objective manner.

Each model consists of a measurement equation that describes the observed data, and some state equations that describe how the unobserved components or states (level, trend, seasonal) change over time. Hence, these are referred to as state space models.

For each method there exist two models: one with additive errors and one with multiplicative errors. The point forecasts produced by the models are identical if they use the same smoothing parameter values. They will, however, generate different prediction intervals.

To distinguish between a model with additive errors and one with multiplicative errors (and also to distinguish the models from the methods), we add a third letter to the classification of Table 8.5. We label each state space model as ETS( (cdot,cdot,cdot) ) for (Error, Trend, Seasonal). This label can also be thought of as ExponenTial Smoothing. Using the same notation as in Table 8.5, the possibilities for each component are: Error (=<) A,M (>) , Trend (=<) N,A,A (_d>) and Seasonal (=<) N,A,M (>) .

ETS(A,N,N): simple exponential smoothing with additive errors

Recall the component form of simple exponential smoothing: [egin ext && hat_ & = ell_ ext && ell_ & = alpha y_ + (1 - alpha)ell_. end] If we re-arrange the smoothing equation for the level, we get the “error correction” form, [egin ell_ %&= alpha y_+ell_-alphaell_ &= ell_+alpha( y_-ell_) &= ell_+alpha e_, end] where (e_=y_-ell_=y_-hat_) is the residual at time (t) .

The training data errors lead to the adjustment of the estimated level throughout the smoothing process for (t=1,dots,T) . For example, if the error at time (t) is negative, then (y_t < hat_) and so the level at time (t-1) has been over-estimated. The new level (ell_t) is then the previous level (ell_) adjusted downwards. The closer (alpha) is to one, the “rougher” the estimate of the level (large adjustments take place). The smaller the (alpha) , the “smoother” the level (small adjustments take place).

We can also write (y_t = ell_ + e_t) , so that each observation can be represented by the previous level plus an error. To make this into an innovations state space model, all we need to do is specify the probability distribution for (e_t) . For a model with additive errors, we assume that residuals (the one-step training errors) (e_t) are normally distributed white noise with mean 0 and variance (sigma^2) . A short-hand notation for this is (e_t = varepsilon_tsim ext(0,sigma^2)) NID stands for “normally and independently distributed.”

Then the equations of the model can be written as [egin y_t &= ell_ + varepsilon_t ag<8.3> ell_t&=ell_+alpha varepsilon_t. ag <8.4>end] We refer to (8.3) as the measurement (or observation) equation and (8.4) as the state (or transition) equation. These two equations, together with the statistical distribution of the errors, form a fully specified statistical model. Specifically, these constitute an innovations state space model underlying simple exponential smoothing.

The term “innovations” comes from the fact that all equations use the same random error process, (varepsilon_t) . For the same reason, this formulation is also referred to as a “single source of error” model. There are alternative multiple source of error formulations which we do not present here.

The measurement equation shows the relationship between the observations and the unobserved states. In this case, observation (y_t) is a linear function of the level (ell_) , the predictable part of (y_t) , and the error (varepsilon_t) , the unpredictable part of (y_t) . For other innovations state space models, this relationship may be nonlinear.

The state equation shows the evolution of the state through time. The influence of the smoothing parameter (alpha) is the same as for the methods discussed earlier. For example, (alpha) governs the amount of change in successive levels: high values of (alpha) allow rapid changes in the level low values of (alpha) lead to smooth changes. If (alpha=0) , the level of the series does not change over time if (alpha=1) , the model reduces to a random walk model, (y_t=y_+varepsilon_t) . (See Section 9.1 for a discussion of this model.)

ETS(M,N,N): simple exponential smoothing with multiplicative errors

In a similar fashion, we can specify models with multiplicative errors by writing the one-step-ahead training errors as relative errors [ varepsilon_t = frac<>_>_> ] where (varepsilon_t sim ext(0,sigma^2)) . Substituting (hat_=ell_) gives (y_t = ell_+ell_varepsilon_t) and (e_t = y_t - hat_ = ell_varepsilon_t) .

Then we can write the multiplicative form of the state space model as [egin y_t&=ell_(1+varepsilon_t) ell_t&=ell_(1+alpha varepsilon_t). end]

ETS(A,A,N): Holt’s linear method with additive errors

For this model, we assume that the one-step-ahead training errors are given by (varepsilon_t=y_t-ell_-b_ sim ext(0,sigma^2)) . Substituting this into the error correction equations for Holt’s linear method we obtain [egin y_t&=ell_+b_+varepsilon_t ell_t&=ell_+b_+alpha varepsilon_t b_t&=b_+eta varepsilon_t, end] where for simplicity we have set (eta=alpha eta^*) .

ETS(M,A,N): Holt’s linear method with multiplicative errors

Specifying one-step-ahead training errors as relative errors such that [ varepsilon_t=frac<>+b_)><(ell_+b_)> ] and following an approach similar to that used above, the innovations state space model underlying Holt’s linear method with multiplicative errors is specified as [egin y_t&=(ell_+b_)(1+varepsilon_t) ell_t&=(ell_+b_)(1+alpha varepsilon_t) b_t&=b_+eta(ell_+b_) varepsilon_t, end]

where again (eta=alpha eta^*) and (varepsilon_t sim ext(0,sigma^2)) .

Other ETS models

In a similar fashion, we can write an innovations state space model for each of the exponential smoothing methods of Table 8.6. Table 8.7 presents the equations for all of the models in the ETS framework.


Перегляньте відео: คณตศาสตร ป. 2 โจทยปญหาการคณ ครอญชล สกใส (Найясніший 2022).