Статті

Основні числа в арифметичній прогресії

Основні числа в арифметичній прогресії



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Ми знаємо, що додатне ціле число є простим, якщо воно ділиться лише собою за межі 1. Прості числа відіграють основну роль в арифметиці, аналогічній ролі атомів у структурі речовини, тобто цілих чисел, які не є числами. прайми можуть бути виражені як добуток простих чисел. Тому будь-яке ціле число, що перевищує 1, є простим числом або виражається як добуток простих чисел.

Хоча поняття просте число у вищезгаданому сенсі здається очевидним, загалом на питання, пов’язані з простими числами, нелегко відповісти на сучасному етапі математики. Наприклад, кожне непарне число виражається у формі 4.х + 1 або 4х + 3; тому ми запитуємо, які є двоюрідні брати форми 4х + 1 і що таке двоюрідні брати форми 4х + 3. Якщо ми генеруємо числові послідовності форми, наведеної вище, замінюючи х позитивними цілими числами, отримані послідовності матимуть нескінченну кількість простих чисел.?

Евклід Олександрійський (близько 300 р. До н. Е.) Дав дуже геніальну демонстрацію, що існує нескінченна кількість простих чисел. Той самий аргумент, наведений Евклідом, може бути використаний для демонстрації нескінченності двоюрідних братів форми 4.х + 3. Оскільки 2 є єдиним парним простим числом, множина непарних простих чисел ділиться на дві сім'ї:

і) 5, 13.17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, 149, 157, 173…;

ii) 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131 139, 151,…

де перша послідовність чисел відноситься до двоюрідних братів форми 4х + 1 і другий, щоб утворити 4 кузенах + 3. Давайте продемонструємо, що існує нескінченна кузина типу 4х + 3, використовуючи метод Евкліда, який демонструє існування нескінченних двоюрідних братів.

Насправді, припустимо, існувало скінченна кількість простих чисел форми 4х + 3; назвемо їх що1, що2, що3,… , щоні. Розглянемо додатне ціле число:

N = 4 що1.що2.що3щоні - 1 = 4 що1.що2.що3щоні - 4 + 3 = 4 ( що1.що2.що3щоні- 1) + 3

і нехай N = r1.r2.r3rМ її розкладання на прості числа. Оскільки N - це непарне ціле число, то випливає, що rк відрізняється від 2 для всіх к, і кожен rк тому вона має форму 4х +1 або 4х + 3. Однак добуток двох або більше цілих чисел форми 4х +1 також призводить до цілого числа, як це, тобто

(4м + 1).(4ні + 1) = 16мн + 4м + 4ні + 1 = 4(мн + м + ні) + 1 = 4z + 1.

Таким чином, випливає, що N має принаймні один простий фактор форми 4х + 3, скажімо ri = 4х + 3.

Зараз ми це стверджуємо ri не є елементом нашого оригінального кінцевого списку простих чисел: що1, що2, що3,… , щоні. Насправді, інакше ми мали б ri = щоjдля якогось двоюрідного брата щоj з нашого оригінального списку двоюрідних братів і далі ri поділили б продукт що1.що2.що3щоні. З іншого боку, буття ri коефіцієнт N, ri ділимо N - 4 що1.що2.що3щоні = -1. Незабаром, ri ділити -1. Тому робимо висновок, що існує нескінченна кількість двоюрідних братів форми 4х + 3 припустимо, що існує кінцева кількість простих форм 4х + 3 веде нас до суперечності.

Наступним питанням буде: є нескінченна кількість двоюрідних братів форми 4х + 1? Відповідь - так, але ми повинні використовувати інший аргумент. Аналогічна ситуація виникає щодо числових послідовностей форми 6.х +1 і 6х + 5.

Зауважимо, що якщо ми генеруємо послідовність чисел форми 4х + 3:

3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87,… ,

Різниця між терміном у послідовності та його попередником завжди дорівнює 4.

Те саме стосується послідовностей форми 4х + 1, 6х + 1 або 6х + 5. Насправді у нас є таке визначення: "a Арифметична прогресія - це послідовність цілих чисел, у якій різниця між доданком (від 2то.) і попередній термін завжди однаковий ».

Чи можна узагальнити той факт, що в деяких арифметичних прогресіях є нескінченні двоюрідні брати, наприклад, згадані вище?

Зауважте, що прогресії, цитовані вище, наступні. б + сокира де то і б закріплені і х = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, тобто вони мають форму

б, б + то, б + 2то, б + 3то, б + 4то,…

Якщо то і б мають загальний фактор, тому арифметична прогресія не містить простих чисел, оскільки кожен елемент прогресії має цей фактор. Наприклад, розглянемо арифметичну прогресію, задану 6 + 2х, тобто

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,…

Зауважте, що 2 є загальним фактором 2 і 6, і кожен член прогресії має число 2 як фактор. Цей факт говорить про те, що ми повинні враховувати прогреси б + сокира де то і б бути простим один для одного, щоб отримати нескінченну кількість простих, як зазначено б + сокира. Схоже, математик Легендр першим усвідомив важливість цього питання, і в 1808 р. Опублікував таку гіпотезу:Якщо a ≥ 2 і b 0 є цілими натуральними числами і простими один з одним, тому в арифметичній прогресії існує безліч простих чисел

б, б + a, б + 2а, б + 3то,… ”

Ця гіпотеза стала головною теоремою і була продемонстрована Діріхле в 1837 р. Цей результат був монументальним з ряду причин. Діріхлет покладався на оригінальну ідею Ейлера, щоб продемонструвати нескінченність кузенів. Були використані революційні аналітичні методи, такі як нескінченна серія, конвергенція рядів, межі, логарифми тощо, та багато інших концепцій, до цих пір чужих теорії цілого числа. Демонстрація Діріхле розглядається як одне з перших важливих застосувань аналітичних методів в теорії чисел і дало нові напрямки розвитку. Ідеї, що лежать в основі аргументів Діріхле, мають дуже загальний характер і були важливими для розробки подальшої роботи із застосування аналітичних методів у теорії чисел.

У 1949 році математик Атл Сельберг продемонстрував елементарну теорему Діріхле, аналогічну його попередній демонстрації теореми просте число.

Діріхлет також продемонстрував, що будь-яка квадратична форма у двох змінних, тобто будь-яка форма типу сокира2 + bxy + ци2 де то, б, с, є родичами один одному, породжують нескінченність двоюрідних братів. Не багато відомо про інші способи, що генерують нескінченні прості числа.

З іншого боку, ми можемо продемонструвати, що не існує арифметичної прогресії, в якій усі доданки є простими числами. До минулого століття старою відкритою проблемою було визначити довільно довгу, але скінченну арифметичну прогресію, в якій усі терміни були простими числами.

Повернутися до стовпців

<